Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ( ) ( 1 ( ) ) ) ( ( ) ) 1 , , ,
Gi ới thiệu
Chương này trình bày kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch có dạng
• τ τ 1 , 2 , ,τ m là các hàm liên tục có chu kì ω
• f liên tục và f (⋅,x x 0, , 1 x m ) là hàm tuần hoàn chu kì ω, tức là
Ký hi ệu
∈ = Khi đó ( X , ⋅ ) , ( Y , ⋅ ∞ ) là các không gian Banach
L X ∩domL→Y , L x ( ) = x ( ) n là ánh xạ tuyến tính
Các b ổ đề
Với các ánh xạ ,L N định nghĩa ở trên, ta có các kết quả sau: i) KerL = { x t ( ) = c t , ∈ [ ] 0, ω , c ∈} ii) ( )
∫ iii) L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0 iv) Tồn tại các ánh xạ chiếu :P X → X , Q Y: →Y sao cho:
ImP=Ker L; erK Q=ImL Nếu Ω là tập con mở, bị chặn của X với Ω ∩domL≠ ∅, thì N là ánh xạ L-compact trên Ω Biến x t ( ) được coi là nghiệm tuần hoàn của phương trình (1.1) nếu và chỉ nếu x là nghiệm của phương trình Lx=Nx trong D L ( ).
• Trước tiên ta chứng minh với x∈KerL thì x ( ) i ( t + ω ) = x ( ) i ( ) ( t i = 1, 2, , n )
Tiếp tục ta chứng minh được x ( ) i ( t + ω ) = x ( ) i ( ) ( t i = 1, 2, , n )
Lập luận tương tự ta có x t ′ ( ) = 0 ∀ ∈ t ⇒ x t ( ) = c , ∀ ∈ t ii) ( )
∫ iii) L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0
Dễ kiểm tra L là ánh xạ tuyến tính
Thật vậy xét ánh xạ ϕ:C ω 0 →, ( ) ( )
0 y y t dt ϕ =ω ∫ ϕ là ánh xạ liên tục ⇒ ϕ − 1 { } 0 là tập đóng
( / ) 1 dim Y ImL = ⇒ codim ImL= =1 dim KerL
Vậy L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0 iv) Tồn tại ánh xạ chiếu :P X → X , Q Y: →Ysao cho KerL=ImP; ImL=KerQ Đặt P x t ( )( ) = x ( ) 0 , x ∈ X Ta chứng minh KerL=ImP
=ω ∫ Ta ch ứng minh ImL = KerQ
KerL∩KerP = dẫn đến L | D L ( ) ∩ KerP : D L ( ) ∩ KerP → ImP là song ánh, ký hiệu ánh xạ ngược là K P
Trong đó x ( ) i ( ) 0 , i = 1, 2, , n − 1được xác định bởi phương trình sau
Với Ω ⊂ X là tập mở, bị chặn và Ω ∩domL≠ ∅, ta có QN ( ) Ω bị chặn và
K P I −Q N Ω → X là ánh xạ compact Do đó N là ánh xạ L- compact trên
Ω v) Nếu x ∈ D L ( ) , Lx = Nx thì x là nghiệm tuần hoàn chu kỳ ωcủa phương trình (1.1)
Vì x ( ) i ( ) t , i = 1, , n − 1 là các hàm liên tục tuần hoàn với chu kì ω nên theo định lý Lagrang tồn tại ξ i ∈[ ] 0,ω sao cho x ( ) i − 1 ( )ω −x ( ) i − 1 ( ) 0 =ωx ( ) i ( )ξ i
Tiếp tục bằng quy nạp ta chứng minh được: x ( ) i ( ) t ≤ ω n − − 1 i x ( ) n − 1 ∞ ,
Các định lý
Giả sử n=4k+2là số nguyên dương
(A3) Tồn tại các hàm g và h liên tục sao cho
Và tồn tại số β >0,m>0 sao cho
Và tồn tại các hàm liên tục ,g p i i và e sao cho
Tồn tại các hàm liên tục không âm q r i , sao cho
Ký hiệu hàm ngược của t−τ i ( ) t là à i Đặt
Khi đó (1.1) có nghiệm tuần hoàn nếu 1 0
Chứng minh Để áp dụng thuyết trùng bậc Mawhin chúng ta sẽ định nghĩa một tập mở, bị chặn
Ω ⊂ X sao cho các điều kiện i), ii), iii) của thuyết trùng bậc Mawhin được thỏa mãn Để xác định được Ω cần qua 3 bước
Bước 1.1: Chứng minh ∃ >M 0 sao cho: ( ) 1
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có
Cũng từ giả thiết (A3) ta có
→∞ x = nên tồn tại δ >0 sao cho: g t x i ( ) , ≤(ε + p t i ( ) ) x m với x ≥δ, t∈
0 i i m m m i i i i i m g x s ds p s x s s x s ds g x s ds p s x s ds e s x s ds δ ω δ ε τ ε
+ + ∫ + ∫ Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có
0 0 m m m m m i m i m m m m m m i i i m m m m m m x s ds g x s ds p x s s ds x s ds p x s ds e x s ds ω ω δ ω ω ω ω β ω ε τ ε ω
Vỡ τ i là cỏc hàm tuần hoàn với chu kỡ ω và τ i ′( ) t 0 sao cho x ( ) n − 1 M 1
∫ ≤ ⇒ ∃ ∈ ξ [ ] 0, ω : x ( ) ξ ≤ M m 1 + 1 ( Tính chất tích phân Riemann Stieltes )
Với mỗi t∈, đặt k 0 =min k { ∈:kω ξ+ n − 1≥t } và t 0 =k 0 ω ξ+ n − 1 , với ξ n − 1 như trong Bổ đề 1.3.2
Lấy tích phân 2 vế phương trình (1.2) từ t →t 0 , ta có
Chứng minh Ω2 là tập bị chặn
Cả hai trường hợp trên đều mâu thuẫn với (1.3)
Với :J KerL→ImQ là phép đẳng cấu tuyến tính, J c ( ) = c ∀ ∈ c
Lấy dãy x n ( ) t =c n ∈Ω3 Khi đó tồn tại λ n ∈[ ] 0,1 sao cho
→∞ = +∞ Khi đó tồn tại dãy con của ( ) c n n sao cho dãy con đó tiến về +∞ hoặc tiến về −∞ Không mất tính tổng quát, ta giả sử c n → +∞ hoặc c n → −∞
Nếu c n → +∞ thì ta có c n >M với n đủ lớn
Nếu c n → −∞ thì ta có c n < −M với n đủ lớn
Vậy điều giả sử là sai, hay Ω 3 bị chặn Đặt Ω là tập mở, bị chặn, khác rỗng sao cho 3
Ω ⊃Ω Ta kiểm tra các điều kiện của thuyết trùng bậc Mawhin
Theo Bổ đề 1.3.1 ta có L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0, N là toán tử L- compact trên Ω i) L x ( ) ≠ λ N x ( ) ∀ ( ) ( x , λ ∈ domL KerL / ) ∩ ∂Ω × ( ) 0,1
Thật vậy với x ∈ ( domL KerL / ) ∩ ∂Ω , λ ∈ ( ) 0,1 x 1
Theo tính chất bất biến đồng luân ta có
( ( ) , , 0 ) ( ( ) , , 0 ) 0 deg QN x KerL deg J x KerL
Vậy theo thuyết trùng bậc của Mawhin, phương trình L x ( ) = N x ( ) có nghiệm x∈domL∩ Ω
Tức phương trình (1.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω Định lý 1.4.2
Giả sử n=4klà số nguyên dương
Tồn tại M >0 sao cho f t c ( , , , c )> ∀ >0, c M và f t c ( , , , c )< ∀ < −0, c M
(A5) Tồn tại các hàm g và h liên tục sao cho
Và tồn tại số β >0,m>0 sao cho
Và tồn tại các hàm liên tục ,g p i i và e sao cho
Tồn tại các hàm liên tục không âm q r i , sao cho
Ký hiệu hàm ngược của t−τ i ( ) t là à i Đặt
Khi đó (1.1) có nghiệm tuần hoàn nếu 1 0
Lập luận tương tự như phần chứng minh của Định lý 1.4.1
Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ( ) ( 1 ( ) ) ( ( ) ) ) ( ) 1 , , ,
Gi ới thiệu
Chương 2 trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân cấp n có đối số lệch
• f ∈ ( m + 2 , ) và f là hàm tuần hoàn theo biến thứ nhất, nghĩa là
Trong chương 1, sử dụng lý thuyết trùng bậc của Mawhin và có sử dụng giả thiết
( ) 1 i t τ′ < để chỉ ra sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (1.1)
Chương 2 áp dụng lý thuyết trùng bậc của Mawhin để chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho phương trình (2.1), mà không cần giả thiết bổ sung nào.
Ký hi ệu
Khi đó ( X , ⋅ ) và ( Y ,⋅∞ ) là các không gian Banach Định nghĩa các toán tử L và N như sau:
Tương tự như chương 1, ta cũng chứng minh được các khẳng định sau
⇒ = = Do đó L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0 Đặt P X : → KerL P x , ( ) = x ( ) 0
Khi đó L | D L ( ) ∩ KerP : D L ( ) ∩ KerP → ImL có ánh xạ ngược ký hiệu là K P Với Ω là tập mở, bị chặn của X, D L ( ) ∩ Ω ≠ ∅, N là ánh xạ L-compact trên Ω.
Các b ổ đề
Cho x ∈ n ( , ) và x t ( + T ) = x t ( ) Khi đó ta có
Vì x ( ) i ( ) t , i = 1, 2, , n là các hàm liên tục tuần hoàn với chu kì T nên theo định lý Lagrang tồn tại ξ i ∈[ ] 0, T sao cho x ( ) i − 1 ( ) T −x ( ) i − 1 ( ) 0 =T x ( ) i ( )ξ i
Lập luận tương tự ta sẽ có điều phải chứng minh
Khi đó ∀ ∈ x 1 ( , ) mà x t ( + T ) = x t ( ) ta có
Các định lý
Giả sử n=4k+1 là số nguyên dương và các điều kiện sau được thỏa mãn
(H1) Tồn tại hằng số c>0 sao cho
Khi đó phương trình L x ( ) = N x ( ) có nghiệm tuần hoàn nếu
Ta chứng minh Ω1 là tập bị chặn
Vì các hàm x t ( ) ( ) , x t ′ , , x ( ) n − 1 ( ) t là các hàm tuần hoàn chu kì T nên ta có
Ta chứng minh tồn tại t 1∈[ ]0,T sao cho: x t ( ) 1 ≤c
Do đó tồn tại j ∈ { 1, 2, , m } sao cho: x t ( 0 − τ j ( ) t 0 ) ≤ c
Vì x t ( ) liên tục và x t ( + T ) = x t ( ) do đó tồn tại số nguyên k và t 1∈[ ]0,T sao cho
Lý luận tương tự, trường hợp x t ( ) 0 < −cta cũng chọn được t 1∈[ ]0,T : x t ( ) 1 ≤c
Vậy tồn tại t 1∈[ ]0,T sao cho: x t ( ) 1 ≤c
Nhân cả 2 vế của (2.2) với x t ′ ( ) và lấy tích phân 2 vế trên [ ] 0,T
Với mỗi i nguyên dương ta có
T x i t x t dt′ ∫ ( tích phân từng phần (2i – 1) lần)
∫ ∫ ( tích phân từng phần (i-1) lần)
Do đó từ (2.4) ta có
Dẫn đến từ (2.5) ta có
Suy ra tồn tại M 1 >0 sao cho ( 2 1 ) ( ) 2 1
Mặt khác, nhân hai vế (2.2) với x ( ) n ( ) t
Làm tương tự ta có
Trong Bổ đề 2.3.1 ta đã chứng minh ( ) ( ) 1 ( ) ( )
Vậy ∃ >B 0 : x ≤B, tức là Ω 1 bị chặn
Chứng minh Ω 2 là tập bị chặn
Phản chứng: giả sử x t ( ) > c , suy ra x t ( ) > c hoặc x t ( ) < − c
Vậy điều giả sử là sai Có nghĩa là x t ( ) ≤ c Kết luận Ω 2 bị chặn
Chứng minh Ω 3 là tập bị chặn
Thật vậy, với x∈Ω 3 ⇒ ∈x KerL và à x + − ( 1 à ) QN x ( ) = 0, à ∈ [ ] 0,1
Phản chứng: Giả sử d >c⇒ >d c hoặc d < −c
Vậy điều giả sử là sai, tức Ω3 là tập bị chặn Đặt Ω là tập mở, khác rỗng, bị chặn của X sao cho Ω ⊃ Ω ∪ Ω ∪ Ω( 1 2 3 )
Khi đó L là toán tử Fredholm với chỉ số 0 và N là L-compact trên Ω
Kiểm tra các điều kiện của định lý GM i) L x ( ) ≠ λ N x x ( ) , ∈∂Ω ∩ D L ( ) , λ ∈ ( ) 0,1
Thật vậy, với x ∈∂Ω ∩ D L ( ) ⇒ ∉Ωx 1 ⇒ L x ( ) ≠ λ N x ( ) ii) QN x ( ) ≠ 0 ∀ ∈∂Ω ∩ x KerL
Thật vậy, với x∈∂Ω ∩KerL⇒ ∈x KerLvà x∉Ω ⇒2 QN x ( )≠0 iii) Đặt H x ( , à ) : Ωì [ ] 0,1 → Y là ỏnh xạ xỏc định như sau
Theo tính chất bất biến đồng luân ta có
( ( ) , , 0 ) ( , , 0 ) 0 deg QN x KerL deg x KerL
Vậy phương trình L x ( ) = N x ( ) có nghiệm x ∈ D L ( ) ∩ Ω , tức phương trình (2.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T Định lý 2.4.2
Giả sử n=4k+3 là số nguyên dương Các điều kiện (H1), (H2) đều được thỏa mãn Khi đó phương trình (2.2) sẽ có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T nếu
Lập luận tương tự như phần chứng minh của Định lý 2.4.1 Định lý 2.4.3
Giả sử n=4k là số nguyên dương Các điều kiện (H1), (H2) đều được thỏa mãn (H3) Giả sử tồn tại số nguyên dương s≤k sao cho
Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T nếu
Từ các giả thiết (H1), (H2), lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.4.1 ta có
Nhân cả 2 vế của (2.2) với x t ′ ( ) và lấy tích phân 2 vế trên [ ] 0,T
Với mỗi i nguyên dương ta có
T x i t x t dt′ ∫ ( tích phân từng phần (2i – 1) lần)
∫ ∫ ( tích phân từng phần (i-1) lần)
Do đó tồn tại M 1 >0 sao cho ( ) 2 ( ) 2 1
Theo Bổ đề 2.3.1, tồn tại M 2 >0 sao cho ( ) 2 2
Mặt khác, nhân hai vế của (2.2) với x ( ) n ( ) t và lý luận tương tự ta có
Do đó tồn tại số M >0 sao cho ( ) ( ) 2
Tiếp tục lý luận tương tự như trong phần chứng minh của Định lý 2.4.1 ta cũng sẽ chứng minh được phương trình (2.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T
NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI
LOẠI TRUNG HÒA VỚI ĐỐI SỐ LỆCH
Gi ới thiệu
Chương này trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc 2 loại trung hòa với đối số lệch sau
• τ i ( ) ( ) ( ) t a t , , p t là các hàm thực liên tục trên tuần hoàn với chu kì T
• g ∈ ( n + 1 , ) và tuần hoàn theo biến thứ nhất, nghĩa là
( , ,1 2, , n ) ( , ,1 2, , n ) g t+T x x x =g t x x x , ∀( x x 1, 2, ,x n )∈ n Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (3.1), chúng tôi sử dụng Định lý điểm bất động Krasnoselskii và thuyết trùng bậc Mawhin.
Các b ổ đề
Giả sử M là số dương thỏa
Khi đó với bất kỳ hàm ϕ xác định trên [ ] 0,T , phương trình x t ′′ ( ) + Mx t ( ) = ϕ ( ) t có nghiệm ( ) t T ( ) ( ) , t x t = + ∫ G t s ϕ s ds
ta có G t s ( ) , = A t cos s ( ) α + B t sin s ( ) α với α = M
Khi đó nghiệm của phương trình (3.1) có dạng ( ) t T ( ) ( ) , t x t = + ∫ G t s ϕ s ds
Chứng minh tương tự như Bổ đề 3.2.1 và 3.2.2 ta có các bổ đề sau
Giả sử M là số dương thỏa 0 M 2
Với bất kỳ hàm ϕ xác định trên [ ] 0,T , phương trình x t ′′ ( ) + λ Mx t ( ) = ϕ ( ) t ,
Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân phi tuyến bậc hai loại trung hòa v ới đối số lệch ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( 1 ( ) ) , , ( n ( ) ) ) ( )
Gi ới thiệu
Năm 2010, Guo, O’Regan và P Agarwal đã áp dụng định lý điểm bất động của toán tử dạng Krasnoselskii để chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho phương trình.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ thiết lập một số điều kiện cần thiết để chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho phương trình không chứa đạo hàm cấp một x t ′ ( ).
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (4.1), trước tiên, chúng tôi tìm hàm Green để biến đổi phương trình này thành phương trình tích phân Tiếp theo, chúng tôi chuyển đổi về dạng tổng của một ánh xạ co và một ánh xạ compact, từ đó áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii Việc tìm hàm Green cho phương trình (4.1) dựa trên kết quả nghiên cứu của Wang, Lian và Ge [5] về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình.
Các b ổ đề
Trong suốt chương này ta luôn giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(H 1 ) p và q là các hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T,
Trong đó 2 là chuẩn Euclide trong n
(H 3 ) g là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T
(H 4 ) τ i ( i=1, 2, , n ) tuần hoàn với chu kỳ T, khả vi trên và τ i ′( ) t 0 cho trước, do x m − →x 0 nên ∃m 0 sao cho x m x , m m 0 n
Với m≥m 0, từ giả thiết ( ) H 2 ta có
Lập luận tương tự ta có
Dẫn đến Sx m −Sx →0, nghĩa là S liên tục tại x∈Ω bất kỳ Suy ra S liên tục trên Ω
Ta chứng minh S ( ) Ω là tập compact tương đối trong X
Trước tiên ta chứng minh S ( ) Ω là tập compact tương đối trong C 2 ( [ ] 0, T ,) với chuẩn
Do đó S ( ) Ω bị chặn đều trong C 2 ( [ ] 0, T , ) , ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) Sx ′′ t 1 − Sx ′′ t 2 ≤ q t ( )( )( ) ( )( )( ) 1 Ux t 1 −q t 2 Ux t 2 + q t ( )( )( ) ( )( )( ) 1 Sx t 1 −q t 2 Sx t 2
( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 2 2 ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 2 ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 q t Ux t −q t Ux t ≤ q t Ux t − Ux t + q t −q t Ux t
( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 2 q t Sx t −q t Sx t ≤ q t −q t Sx t + q t Sx t − Sx t
( )( ) ( ) 1 1 ( )( ) ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 p t Ux ′ t −p t Ux ′ t ≤ p t −p t Ux ′ t + p t Ux ′ t − Ux ′ t
( )( ) ( ) 1 1 ( )( ) ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 p t Sx ′ t −p t Sx ′ t ≤ p t − p t Sx ′ t + p t Sx ′ t − Sx ′ t
Ký hiệu B (0,K 1 ) là quả cầu đóng tâm O bán kính K 1 trong n
Với ε >0 cho trước, do f liên tục đều trên [ ]0,T ×B (0,K 1 ) nên ∃ >δ 1 0 sao cho với t t 1, 2∈[ ]0,T ,t 1−t 2 < δ1 suy ra
Do tính liên tục đều của các hàm , ,p q g trên [ ] 0,T , ta có thể chọn được δ >0 sao cho với t t 1, 2∈[ ]0,T ,t 1−t 2 < δ từ (4.5) - (4.12) ta suy ra
( )( ) ( )( ) Sx t 1 − Sx t 2 ≤C 1ε,( ) ( ) ( ) ( ) Sx ′ t 1 − Sx ′ t 2 ≤C 2ε,( ) ( ) ( ) ( ) Sx ′′ t 1 − Sx ′′ t 2 ≤C 3ε trong đó C i i ( =1, 2,3 ) là hằng số dương Do đó S ( ) Ω đồng liên tục trên [ ] 0,T
Theo định lý Ascoli – Azela, S ( ) Ω là tập compact tương đối trong C 2 ( [ ] 0, T , )
Giả sử ( ) x m m là một dãy trong S ( ) Ω Đặt ( S ( ) Ω ) 1 = { x [ ] 0, T : x ∈ Ω S ( ) } trong đó
[ ] 0,T x là thu hẹp của x trên [ ] 0, T Khi đó ( S ( ) Ω ) 1 là tập compact tương đối trong
C T Do đó tồn tại dãy con của ( ) x m m là ( ) m k x k sao cho [ ] 0, 0 m k T k lim x a
Khi đó x m k →a trong X Thật vậy
Do đó S ( ) Ω compact tương đối trong X Vậy S là ánh xạ compact trên Ω
Theo định lý điểm bất động Krasnoselskii, ánh xạ U + S có điểm bất động trong Ω Điểm bất động đó là nghiệm tuần hoàn của phương trình (4.1)
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Bài viết đã trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân bậc hai và phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch, trong đó có một kết quả mới được giới thiệu trong chương 4.
Chương 1: Luận văn đã trình bày hai bổ đề và hai định lý để chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch
4 2 n= k+ và n=4k Phương pháp chính là sử dụng thuyết trùng bậc của Mawhin
Chương 2: Luận văn đã chứng minh bổ đề 2.3.1 và tham khảo bổ đề 2.3.2 trong [6] để sử dụng trong việc chứng minh các định lý 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 Ba định lý trong chương này chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình
=∑ + − − + trong trường hợp n=4k+1, n=4k+3 và n=4k Phương pháp chính là sử dụng thuyết trùng bậc của Mawhin
Chương 3: Luận văn trình bày hai kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình x t ′′ ( ) + cx t ′′ ( − + τ ) ( ) ( ) a t x t + g t x t ( , ( − τ 1 ( ) t ) , , x t ( − τ n ( ) t ) ) = p t ( )
Bài viết trình bày kết quả từ định lý điểm bất động Krasnoselskii (Định lý 3.3.1) và thuyết trùng bậc của Mawhin (Định lý 3.3.2) Trước mỗi định lý, tác giả giới thiệu hai bổ đề liên quan đến hàm Green và các tính chất của hàm Green trong phương trình (3.1).
Chương 4: Chúng tôi đã trình bày một kết quả mới về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc hai loại trung hòa với đối số lệch sau đây
Luận văn đã tham khảo các bổ đề trong tài liệu [5] để áp dụng phương pháp tìm hàm Green cho phương trình x t ′′ ( ) + p t x t ( ) ( ) ( ) ′ + q t x t = ϕ ( ) t Qua đó, phương trình (4.1) được chuyển đổi thành phương trình tích phân Tiếp theo, luận văn biến đổi phương trình tích phân về dạng tổng của một ánh xạ co và một ánh xạ compact, nhằm áp dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii Kết quả nghiên cứu đã được gửi tới Tạp chí khoa học thuộc phòng Khoa học công nghệ và môi trường của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và đã được duyệt đăng.
Do thời gian hạn chế và trình độ của người thực hiện luận văn còn hạn chế, luận văn chỉ trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc hai và bậc cao với đối số lệch Bên cạnh đó, luận văn cũng nghiên cứu một kết quả mới về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (4.1) thông qua phương pháp sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii.
Nếu có cơ hội nghiên cứu tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho phương trình (4.1) bằng cách áp dụng thuyết trùng bậc của Mawhin Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ nghiên cứu về tính ổn định đều của nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm.
Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý từ Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm luận văn để luận vặn hoàn thiện hơn.