Phép chiếu phủ nhóm cơ bản và một số ứng dụng vào lý thuyết nhóm

Nội dung của luận văn gồm 4 chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiếu phủ và nhóm cơ bản; tính nhóm cơ bản của đường tròn, mặt cầu, không gian xạ ảnh... Chươn

Nguyễn Phương Anh

Nguyễn Phương Anh

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

dẫn của TS Nguyễn Thái Sơn Luận văn này trình bày lại các khái niệm, tính chất và hệ quả trong tài liệu “Differential geometry and topology” của tác giả Mehrdad Shahshahani với các chứng minh được viết một cách chi tiết và cụ thể hơn

Các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Học viên

Nguyễn Phương Anh

Mục lục

Danh mục các hình vẽ

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Nhóm cơ bản 3

1.2 Không gian phủ 7

1.3 Cấu trúc của không gian phủ 8

1.4 Định lí van Kampen 11

1.5 Nhóm đồng điều thứ nhất 21

Chương 2 NHÓM TỰ DO VÀ NHÓM CON CỦA SL2,  24

Chương 3 ĐỊNH LÍ HUREWICZ VÀ NHÓM NÚT 36

3.1 Nhóm cơ bản và nhóm đồng điều thứ nhất 36

3.2 Định lí Hurewicz và đa thức Alexander 40

3.3 Nút hình xuyến 46

Chương 4 NHÓM CON RỜI RẠC CỦA SL2,  VÀ SL2,  51

4.1 Phép biến đổi hyperbolic và phép biến đổi đường tà hành 51

4.2 Nhóm quaternion 55

4.3 Trắc địa đóng 57

4.4 Hình học đường của mặt phẳng / không gian hyperbolic 59

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

Số hiệu

hình vẽ

MỞ ĐẦU

Tôpô đại số là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để nghiên cứu các không gian tôpô Mục tiêu cơ bản của nó là tìm các bất biến đại

số để phân loại các không gian tôpô Tôpô đại số xây dựng và sử dụng các hàm

tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù đại số, mà ở đây là phạm trù các nhóm Có hai hàm tử đơn giản và quan trọng mà ta đề cập đến là nhóm cơ bản và nhóm đồng điều Nhóm cơ bản có mối quan hệ gần gũi với nhóm các đồng điều của nó Tuy nhiên, ta sẽ xây dựng nhóm cơ bản một cách độc lập Trong việc xây dựng này, ta sẽ thu được những kĩ thuật đằng sau công cụ đại số này

Mặc dù Tôpô đại số sử dụng đại số để nghiên cứu các bài toán tôpô nhưng công việc ngược lại đôi khi cũng có thể thực hiện được

Tôpô đại số là một ngành học kết hợp những kiến thức của tôpô đại cương và

lý thuyết nhóm, hơn nữa, là các vấn đề chuyên sâu của Đại số và Giải tích Do vậy, những vấn đề mà ngành học này đưa ra đều mang tính mới mẻ, thú vị và được rất nhiều người quan tâm đến

Nội dung của luận văn gồm 4 chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiếu phủ và nhóm cơ

bản; tính nhóm cơ bản của đường tròn, mặt cầu, không gian xạ ảnh Trong luận văn này, chúng tôi chú ý trình bày nhóm cơ bản của không gian 3

\

S K - nút trong S 3

Chương 2: Sử dụng kiến thức nhóm cơ bản để thiết lập một số tính chất cơ bản

của nhóm tự do và nhóm con của SL2, 

Chương 3: Trình bày về mối quan hệ giữa nhóm cơ bản và nhóm đồng điều thứ

nhất thông qua định lí Hurewicz, nhờ đó mà ta có thể xây dựng một bất biến của nút - đa thức Alexander – một công cụ quan trọng trong việc phân loại các nút

Chương 4: Nghiên cứu một số tính chất cơ bản của nhóm con rời rạc của

2, 

SL và SL2, 

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của Thầy Nguyễn Thái Sơn Nhờ đó, tôi có ý thức và trách nhiệm trong việc thực hiện Tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy kính mến

Tôi xin chân thành được tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy Cô trong khoa Tin và Phòng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm TP.HCM vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Toán-Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên để tôi an tâm học tập và nghiên cứu

Mặc dù tôi đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi những sai sót Mong Quý Thầy Cô sẽ phê bình để luận văn được hoàn thiện hơn

1.1.2 Định nghĩa Con đường ngược lại của  là 1

được cho bởi

   

   

           

,0,1

Quan hệ này là quan hệ tương đương

1.1.6 Định nghĩa Tập hợp các lớp tương đương của các con đường đóng tại x

kí hiệu là X x,  Mỗi phần tử của tập hợp này kí hiệu là   ,   ,…

Ta trang bị cho X x,  một phép nhân như sau:        

X x, 

bản của X (với điểm gốc x )

1.1.7 Định nghĩa Một không gian tôpô được gọi là đơn liên nếu nhóm cơ bản

1.1.9 Tính chất Nếu f :X x,   Y y,  là phép tương đương đồng luân thì f#

là đẳng cấu Cụ thể hơn, một không gian co rút được thì có nhóm cơ bản là tầm thường

Tích tự do

Để đưa ra ý tưởng tính nhóm cơ bản bằng cách tách không gian thành hai phần đơn giản hơn, ta xét ví dụ sau Xét không gian X là hai đường tròn A và

B giao nhau chỉ tại 1 điểm, mà ta đặt là x0 Như ta đã biết  A là nhóm cyclic

vô hạn sinh bởi con đường đóng a đi một vòng quanh A Tương tự,  B là

luỹ thừa của a và b cho ta một phần tử của  X Chẳng hạn, tích a b a ba5 2 3 2

là con đường đóng đi quanh A năm vòng, rồi quanh B hai vòng, sau đó quanh

A ba vòng theo chiều ngược lại, tiếp tục đi quanh B một vòng, rồi quanh A hai

vòng Tập hợp các từ như vậy gồm các luỹ thừa của a với lũy thừa của b tạo

b a b a a b ab b a b ab ab Phần tử đơn vị là từ trống và phần tử nghịch đảo được suy ra dễ dàng, ví dụ là

ab a b   b a b a  Vậy mỗi từ của a và b ứng với chính xác một phần

tử trong  X nên  X là đẳng cấu với  , nhóm gồm các từ là luỹ thừa

của hai chữ cái a và b

Kí hiệu đại số của tích tự do các nhóm đóng vai trò quan trọng trong việc tính nhóm cơ bản

1.1.10 Định nghĩa Ta kí hiệu các phần tử của nhóm G và H lần lượt là g và j k

h Tích tự do G H là tập hợp các biểu diễn có dạng ( l là số nguyên dương

Cho nhóm A , các đồng cấu 1: AG và 2: AH , ta định nghĩa GA H là

    1

Tổng quát hơn, tích tự do G được hiểu như “phiên bản không aben” của

G

 

Tính chất đơn giản sau là hữu dụng trong việc tính nhóm cơ bản:

1.1.11 Tính chất Cho X và Y là các không gian tôpô Ta có:

1 X Y x y , , X x,   Y y, 

2 Cho X Y là không gian có được bằng cách gắn X với Y tại các điểm

xX và y Y Ta có: X Y x,  y đẳng cấu với tích tự do của X x,  và

Y y, 

bày ở sau)

Chứng minh:

1 được suy ra từ định nghĩa của các phép chiếu X Y X và X Y Y

2 có thể được thấy ngay do không có mối quan hệ nào giữa các con đường đóng trong X và Y

1.1.12 Ví dụ

1 Nhóm cơ bản của xuyến n-chiều

chất 1 dẫn đến nhóm cơ bản của xuyến n-chiều đẳng cấu với n, nghĩa là

Ví dụ đơn giản nhất của không gian phủ là:

1.2.2 Định nghĩa Cái nâng của ánh xạ f X: B là ánh xạ f':X E sao cho pf'  f Tương tự, nếu f :X x,   B b,  và 1 

ep b thì cái nâng của

1.2.3 Định nghĩa

1.(Tính chất nâng đồng luân) Một bộ ba E p B với , ,  p E: B (không nhất thiết là phép chiếu phủ) có tính chất nâng đồng luân với không gian X , nếu cho

một phép đồng luân F X:  I B (I  0,1 ) và f x F x ,0 có một cái nâng f ':X E thì phép đồng luân F có cái nâng F Nếu tính chất nâng đồng '

luân đúng với mọi X , ta nói rằng E p B có tính chất nâng đồng luân và lúc , , 

đó, E p B, ,  được gọi là phân thớ

2.(Tính chất duy nhất nâng con đường) Một bộ ba E p B, ,  với p E: B có

1.2.4 Định nghĩa Phép chiếu phủ E p B với , ,  E là đơn liên được gọi là

không gian phủ phổ dụng của B

1.3 Cấu trúc của không gian phủ

Trong phần này, chúng ta tìm hiểu mối quan hệ giữa nhóm cơ bản và không gian phủ và chủ yếu tìm hiểu cấu trúc của không gian phủ Với phép chiếu phủ

E p B, ,  luôn có ánh xạ cảm sinh của nhóm cơ bản p#: E e, B b,  với

 

p e b, được xác định bởi p#     p

1.3.1 Hệ quả p# là ánh xạ 1-1

Chứng minh: Cho    E e, và giả sử rằng p#     e  B b, , p#   

là đồng luân với ánh xạ hằng :b I b Nâng phép đồng luân đến E (điều này

thực hiện được vì  là cái nâng của p đến E ) Chú ý rằng, ánh xạ hằng nâng

hằng

Tính chất nâng con đường duy nhất đảm bảo rằng với bất kì con đường đóng

  với  0 b, ta luôn có duy nhất cái nâng ' : I E với  ' 0 e

phủ với tính chất là với bất kì con đường đóng nào thì hoặc là mọi cái nâng của

nó là con đường đóng hoặc không có cái nâng nào là con đường đóng, được gọi

p  E e là nhóm con chuẩn tắc của B b,  nếu và chỉ nếu E p B là , , 

không gian phủ chính qui Do đó,  B b, / p# E e,  là một nhóm

Chứng minh: Khẳng định thứ nhất là đơn giản Cho : I B với   B b, 

và  : I E với    E e, Ta có thể nâng  thành ' : I E với

 

  Nâng p thành  p ' :I E với    p ' 0 ' 1  Do tính chính qui nên  p ' là con đường đóng Ta có 1 

nâng của chúng đến E e là con đường đóng thì , ' E p B là không gian phủ , , 

chính qui

1.3.3 Định nghĩa Một nhóm  tác động gián đoạn thật sự (bên trái) lên không gian X nếu với mỗi xX có một lân cận U của x sao cho với mọi

và L x , ' :  I E là cái nâng của p với L x , ' 0  '' 1  Định nghĩa

 x L x , ' 1 

diễn cho  trong B b, , chọn con đường đóng ' biểu diễn phần tử của nhóm

cơ bản và chọn con đường : I E không ảnh hưởng đến giá trị của  x Chẳng hạn, nếu chúng ta thay  bởi con đường khác là ' thì  '1

xác định một phần tử trong E e,  và vì vậy cái nâng của p '1

với điểm đầu '' 1  là con đường đóng (do giả thiết chính qui trên E p B, , ) Hơn nữa, cái nâng

 , '

L x  và  của p và p' với L x , ' 0   0 '' 1  có cùng các đầu mút  1 ' 1  Tương tự, ta chứng minh định nghĩa độc lập với việc chọn con đường đóng biểu diễn   Tác động của  là gián đoạn thực sự vì nếu

1.3.4 Hệ quả Mọi không gian phủ chính qui đều có dạng E \E với nhóm

 tác động gián đoạn thực sự trên E Ngược lại, nếu nhóm  tác động gián

đoạn thực sự trên E thì : p E \EB là không gian phủ chính qui, và

 B b, / p#  E e, 

ep b là một điểm bất kì

chiều ngược Xét ánh xạ Q:B b,   được xác định bởi     1

   

  và  ' là cái nâng của  thoả ' 0 e Rõ ràng, Qlà hợp lí và

'

con đường đóng  với     ' 0 e, là con đường    ' ', với ' là cái nâng

hạt nhân của Q là p# E e,  (hệ quả 1.3.2), ta có điều phải chứng minh

1.3.5 Tính chất Nhóm cơ bản của đường tròn S1 đẳng cấu với nhóm các số

  được cho bởi  n t, nt Do vậy, nhóm cơ bản của đường tròn 1

\

S  là

1.3.6 Tính chất Nhóm cơ bản của không gian xạ ảnh P đẳng cấu với n / 2

Chứng minh: Ta có: / 2 tác động gián đoạn thật sự lên S n bởi tác động

/ 2S n S n được cho bởi 1, x x Do vậy, nhóm cơ bản của không gian xạ ảnh P n  / 2 \ S n là / 2

đồng cấu  :  A  X là toàn ánh Nếu thêm điều kiện mỗi giao

A A A là liên thông đường thì hạt nhân của  là nhóm con chuẩn tắc N

* Đầu tiên ta chứng minh  là toàn ánh

Xét con đường đóng tại điểm gốc x0 là f I: X , ta luôn có một phân hoạch

0   s s s m 1 của I sao cho f  s i1,s i A với i1,m Nghĩa là, vì

f là liên tục, với mọi sI luôn có lân cận mở V s trong I sao cho f V s  A

với A nào đó Chúng ta có thể lấy V s là một khoảng mà bao đóng của nó qua ánh xạ f nằm trong A Do tính compact của I nên sẽ có hữu hạn khoảng như

cần tìm của I

Kí hiệu A chứa f  s i1,s i  là A i và đặt f i là con đường thu được bởi hạn chế

f xuống s i1,s i Do đó, f là f1  f2 f m với f i là con đường trong A i Vì

Hình 1.1 Biểu diễn con đường đóng đồng luân với f

* Để chứng minh hạt nhân của  là N, ta giới thiệu một vài thuật ngữ

Nhân tử hoá của phần tử  f  X là tích  f1  f với: k

+ Mỗi f i là con đường đóng trong A nào đó tại điểm gốc x0 và  f i  A

là lớp đồng luân của f i

+ Con đường đóng f là đồng luân với f1  f k trong X

Nhân tử hoá của  f là một từ trong  A , có thể không bị lược bỏ, mà ảnh của nó qua  chính là  f Việc chứng minh  là toàn ánh chỉ ra rằng mỗi

 f  X có một nhân tử hoá

Chúng ta quan tâm đến tính duy nhất của nhân tử hoá Hai nhân tử hoá của  f

gọi là tương đương nếu chúng được quan hệ bởi một dãy hai loại dịch chuyển sau:

+ Tích hai phần tử   f i f i1 thành một phần tử f i  f i1 nếu  f và i  f i1 nằm trong cùng nhóm  A

+ Chú ý phần tử  f i  A nằm trong nhóm  A nếu f i là con đường

đóng trong A A

Sự dịch chuyển đầu tiên không làm thay đổi phần tử của  A được xác định bởi nhân tử hoá Sự dịch chuyển thứ hai không làm thay đổi ảnh của phần

tử này trong nhóm thương Q  A /N , bởi định nghĩa của N Do vậy nhân

tử hoá tương đương cho ta cùng một phần tử trong Q

Nếu chúng ta chứng minh được rằng bất kì hai nhân tử hoá của  f là tương

đương thì ánh xạ Q X cảm sinh bởi  là đơn ánh Do đó, hạt nhân của

 chính là N

Cho  f1  f và k    f1' f l' là hai nhân tử hoá của  f Hai con đường

f   f và f'1  f l' là đồng luân, vì vậy có F I:  I X là phép đồng luân

từ f1  f k đến f'1  f l' Lúc đó sẽ tồn tại các phân hoạch

0   s s s m 1 và 0    t0 t1 t n 1 sao cho ảnh của hình chữ nhật

 1,  1,

R  s s  t  t  qua F nằm trong một tập A, mà chúng ta kí hiệu là A ij

Các phân hoạch này có được bằng cách phủ II bởi hữu hạn các hình chữ nhật

   a b,  c d, mà ảnh của mỗi hình chữ nhật nằm trong một tập A Do tính

đường thẳng đứng chứa các cạnh của những hình chữ nhật này Chúng ta có thể

giả sử rằng s-phân hoạch chia nhỏ phân hoạch cho ta tích f1  f k và f'1  f l'

Vì F biến một lân cận của R thành ij A , ta có thể xáo trộn các cạnh thẳng đứng ij

của hình chữ nhật R vì vậy mỗi điểm của I ij I nằm trong ít nhất ba tập R Ta ij

có thể giả sử có ít nhất ba hàng gồm các hình chữ nhật nên ta có thể thực hiện việc xáo trộn này chỉ trên các hình chữ nhật ở hàng giữa, còn hàng trên và cuối thì vẫn giữ nguyên Đặt tên lại thành các hình chữ nhật mới là R R1, 2, ,R mn, sắp xếp chúng như hình 1.2

Hình 1.2 Một phân hoạch của II

Nếu  là con đường trong II đi từ cạnh bên trái đến cạnh bên phải, hạn chế

|

F  là con đường đóng tại x0 vì F biến cả hai cạnh trái và phải của II

thành Đặt r là con đường chia r hình chữ nhật R R1, 2, ,R r từ các hình chữ nhật còn lại Do đó, 0 là cạnh nằm dưới và mn là cạnh nằm trên của II Ta băng qua từ r đến r1 bằng cách đẩy từ bên này sang bên kia hình chữ nhật 1

r

R

Gọi các góc của R r là các đỉnh Mỗi đỉnh v với F v  x0, đặt g v là con đường

từ x0 đến F v Ta có thể chọn   g v nằm trong phần giao của hai hay ba tập A ij

ứng với R r chứa v vì ta có thể giả sử rằng phần giao của hai hay ba tập A là ij

đứng giữa các đỉnh kề nhau như nó nằm trong A cho một trong các ij R s chứa đoạn thẳng Việc chọn khác mà vẫn chứa R s làm thay đổi nhân tử hoá của

|

r

F 

con đường liên tiếp r và r1 là tương đương vì việc đẩy r băng qua R r1 đến

F   bởi phép đồng luân bên trong A ứng với ij R r1 Ta

có thể chọn tập A này với tất cả các đoạn thẳng của ij r và r1 trong R r1

Ta có thể sắp xếp lại để nhân tử hoá kết hợp với 0 là tương đương với nhân tử hoá  f1  f bằng cách chọn con đường k g v cho mỗi đỉnh v dọc theo cạnh thấp hơn của I I để không chỉ nằm trong hai tập A ứng với ij R s chứa v mà còn

nằm trong A với f i chứa v trong miền xác định của nó Trong trường hợp v là

điểm cuối chung của hai con đường liên tiếp f i ta có F v x0, vì vậy không cần chọn g v Trong trường hợp tương tự, ta giả sử nhân tử hoá kết hợp với mn

cuối cùng là tương đương với    f1' f l' Vì nhân tử hoá kết hợp với tất cả các

1.4.3 Tính chất Nhóm cơ bản của mặt cầu:

n

Nút là phép nhúng trơn của đường tròn S1 trong 3 hay S3 Chúng ta sử dụng nút với nghĩa phép nhúng của đường tròn lẫn với ảnh của nó Để phân biệt các nút khác nhau, ta xem xét phần bù của nút trong không gian mong muốn Nhóm cơ bản của phần bù của nút là bất biến Nhóm cơ bản của phần bù của nút

K được gọi là nhóm của nút K hay nhóm nút

1.4.4 Tính chất Đồng nhất S3 với compact hoá một điểm của 3 (chẳng hạn

 

đó, B có được bằng cách compact hoá một điểm cùng với phần bù của quả cầu

phép nhúng 3 \KS3 \K cảm sinh đẳng cấu trên 

Sau đây chúng ta giới thiệu một lớp các nút mà được biết đến như nút hình xuyến Chúng ta bắt đầu với việc mô tả sự phân tích S3, điều này đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu đa tạp 3-chiều

S là hợp của hai hình xuyến đặc với phần giao là một hình xuyến

Chứng minh: Xét hai tập con U và V của S3:

z  x ix Ta có: U và V là các hình xuyến đặc Thật vậy, do U là bó đường

1.4.6 Định nghĩa Cho m1 và n1 là hai số nguyên tố cùng nhau Nút được gọi là nút hình xuyến với tham số m n và được kí hiệu là ,  K m n, , cho bởi phép nhúng

của nhóm tự do trên hai phần tử sinh 1 và 2 bởi quan hệ 1m 2n

Chứng minh dựa vào định lí van Kampen và tính chất 1.4.4

Chứng minh: Đặt U' U K\ m n, , V' V K\ m n, và x U ' V' Đơn giản để thấy rằng A U ' V' là tương đương đồng luân với đường tròn Do vậy,

A x, 

  Cũng do U' và V' là các hình xuyến đặc với nút K m n, mà nút này nằm trong biên chung của chúng Do vậy, U' và V' đều tương đương đồng luân với đường tròn Đặt , 1 và 2 lần lượt là các phần tử sinh của nhóm cơ bản của A , U' và V', mà chúng đều có điểm gốc là x Kí hiệu i1 và i2 lần lượt là phép nhúng của A vào U' và V' Sau khi thay một hay có thể nhiều hơn các phần tử sinh bởi nghịch đảo của nó, ta có được

m (tương ứng n ) lần Điều cần chứng minh được suy ra từ định lí van Kampen

Có nhiều cách để tính nhóm cơ bản của nút Những phương pháp này cho chúng ta cách biểu diễn của nhóm cơ bản theo thuật ngữ phần tử sinh và quan

hệ Một phương pháp như thế là biểu diễn Wirtinger của nhóm cơ bản của nút

Ví dụ sau đây đóng vai trò quan trọng trong biểu diễn Wirtinger Thuật toán được giải thích rõ ràng bởi ví dụ sau và được áp dụng cho các trường hợp khác

Ví dụ: Xét nút ba lá như hình 1.4

Hình 1.4 Nút ba lá với các đường chui

Ta có thể giả sử rằng ngoại trừ đường chui thì nút nằm trong mặt phẳng z 0

ý rằng K2,3z 1 gồm 3 đoạn thẳng rời nhau mà ta kí hiệu là A A A1, 2, 3 Nút ba lá được dán tên x x x1, 2, 3 Ta có thể giả sử đoạn x i đi ngang qua A i Để tính nhóm nhóm của nút K2,3, ta biểu diễn 3 \ K2,3  X    Y1 Y2 Y3 Z và

áp dụng định lí van Kampen

Cụ thể hơn, đặt X  x y z, , |z 1 \ K2,3 và vv v v1, ,2 3X với v3 lớn Ta có: X v, F3

Đặt các '

i

Y là các hộp cubic đặc nhỏ trong nửa không gian z 1 được dán với

X sao cho Y i' X là hình chữ nhật trong mặt phẳng z 1 mà trong phần trong của nó chứa A i Đặt L i là đoạn thẳng nối v với Y i'X Giả sử rằng

các phần tử sinh cho các con đường đóng như trên, ta nhận được quan hệ

Bất kì hai quan hệ nào cũng suy ra được quan hệ thứ ba Cuối cùng, đặt

Do vậy, ta kết luận nhóm cơ bản của nút ba lá K2,3 là nhóm thương của nhóm tự

do trên 3 phần tử sinh bởi các quan hệ (1.1)

Chú ý: Cách làm được trình bày trong ví dụ trên được dùng cho bất kì nút nào

để nhận được biểu diễn của nhóm cơ bản của phần bù của nút theo thuật ngữ phần tử sinh và quan hệ Thực tế là chúng ta vẽ một sơ đồ phẳng của nút như một đa tạp với các đường chui Ta định hướng nút và đặt tên x x1, 2, cho mỗi đoạn giữa hai đường chui liên tiếp Với cung x có dạng j , ta kí hiệu là phần

hướng Với mỗi giao của các cạnh hình chữ nhật và đoạn thẳng x , ta viết (trong j

cấp cyclic) j và j1

như cạnh của hình chữ nhật và x thiết lập cặp vectơ định j

hướng dương và âm Điều này cho ta các quan hệ

Biểu diễn Wirtinger trình bày nhóm cơ bản bởi n phần tử sinh i và n1 quan

Đây là đồng cấu lên mặt v0, , , ,vˆi v n

1.5.3 Định nghĩa Một n-đơn hình trong không gian X là ánh xạ liên tục

: n X

   Đặt n X là tập hợp tất cả các n-đơn hình Định nghĩa nhóm

xích kì dị thứ n là S n X Đây là nhóm của các tổng hình thức hữu hạn i n ii

với n i và in X Với n0, định nghĩa n :S n S n1 là ánh xạ tuyến tính sao cho

  / Im 1

Các phần tử của Kern được gọi là n-chu trình, các phần tử của Imn1 được

gọi là n-bờ Do bổ đề, ta thấy ngay n-bờ là n -chu trình và đồng điều thứ n là nhóm của n -chu trình môđun n -bờ

Chúng ta sẽ chỉ đề cập đến nhóm đồng điều thứ nhất Tồn tại một đồng phôi

1

I   được cho bởi t tv1 1 t v 0 Do đó, con đường : I X xác định 1-đơn hình ˆ Với    0  1 , ˆ là 1-chu trình

Ta dùng kí hiệu  thay cho SL2,  trong chương này

Mục đích của ta là nghiên cứu cấu trúc của nhóm con của   tác động lên mặt phẳng hyperbolic z  x iy | y0 bởi phép biến đổi tuyến tính hữu tỉ,

Chứng minh: Tính chất này được suy ra từ hệ quả 1.3.4

Chú ý:  không tác động tự do lên vì id z  z với z

Vấn đề là chúng ta cần trình bày cấu trúc của 

2.2 Tính chất Nhóm con không xoắn của  tác động tự do lên

A gồm tất cả các phần tử xoắn của nó (các phần tử có cấp hữu hạn), nhóm con

không xoắn là không có phần tử xoắn nào khác đồng nhất

bản cho tác động của  lên với nghĩa:

1.Mọi quỹ đạo của  đều có giao với F

2.Hai điểm của F không thuộc cùng quỹ đạo  nếu chúng không nằm trên biên củaF

 và  z F là những điểm thuộc quỹ đạo của z dưới 

với phần ảo cực đại Sự tương đương của những điểm biên của F dưới tác động

thuộc cùng một quỹ đạo của  nếu và chỉ nếu z' z Những điểm i và

chỉ cố định những điểm của  trong F Điều này dẫn đến \ là mặt cầu mà

bỏ đi điểm vô hạn Phép chiếu  \ là ánh xạ phủ ngoài các điểm  i và

hợp, trong , với  hay  Điều này dẫn đến nhóm con không xoắn của  tác

không nhận ra được nó như là nhóm cơ bản của một mặt mà ta sẽ giới thiệu sau đây

2.3 Định lí Nhóm cơ bản của một mặt giống g

Chứng minh: Nhắc lại rằng mô hình của mặt giống g là mặt cầu với g tay nắm; hình 2 ứng với g 3

g  ,   2

1,

M x

  Ta có thể biểu diễn M2  X Y theo cách X và Y là

đồng phôi với xuyến, bỏ đi một đĩa nhỏ và A X Y là đường tròn Ta có

X x,  Y y,  2

  F , nhóm tự do trên 2 phần tử sinh Thực tế, ta có thể biểu

diễn X như một hình vuông bỏ đi một đĩa ở giữa và sau đó là đồng nhất các

cạnh Việc mở rộng cái đĩa ra toàn bộ phần trong của hình vuông, ta thấy rằng biên của hình vuông, với việc đồng nhất các cạnh, là hình số 8, là co rút biến dạng của X

Cho a b (tương ứng 1, 1 a b ) là các phần tử sinh của 2, 2 X x,  (tương ứng

Nếu ta bỏ đi một đĩa nhỏ từ M thì mặt thu được là g M cùng kiểu đồng luân với g'

bu-két gồm 2g đường tròn mà ta kí hiệu là B2g Điều này dễ thấy bằng việc mở rộng các đĩa nhỏ để phần bù của chúng trở thành một hình một chiều Nhóm cơ bản của B2g là F (do ví dụ 1.1.12) Hơn nữa, từ việc biểu diễn của 2 g M , ta g'

thấy rằng nếu A kí hiệu cho biên của M thì ảnh của phần tử sinh của g' A x, 

Với điều này, ta dễ dàng tính nhóm cơ bản của M và g  M g là đẳng cấu với nhóm thương của nhóm tự do F , với các phần tử sinh 2 g a b1, , ,1 a b g, g bởi quan hệ a b a b1 1 11 11 a b a b g g g1 g1 e

Từ chứng minh này, ta cũng suy ra được: nhóm cơ bản của một mặt có được bằng cách bỏ đi n0 điểm phân biệt từ M là nhóm tự do trên g 2g n 1 phần

tử sinh

Ta sẽ sử dụng kiến thức này để giải quyết một vấn đề đại số sau:

2.4 Hệ quả Nhóm con không xoắn của SL2,  là nhóm tự do

Chứng minh: Vì nhóm con không xoắn   ' tác động tự do lên , ' là đẳng cấu với nhóm cơ bản của M' Rõ ràng, M' đồng phôi với đa tạp có được bằng cách bỏ đi một vài điểm của một mặt định hướng compact Mà nhóm cơ bản của mặt này là tự do

e f n Ta có adbcmN 1 với m nào đó và vì vậy, c d N, , 1 Do



  Xét ánh xạ rút gọn:

Ánh xạ này là song ánh do định lí về số dư Trung Hoa và hơn nữa, nó cũng là đồng cấu Do đó, ta có:

2, N r1 2, i

p i

chung nhỏ nhất của chúng thì nhóm được sinh bởi  N và  '