Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở trung học phổ thông

Tính chất địa phương của cực trị biểu hiện ở việc chọn các khoảng lân cận của điểm cực trị…”, “…cũng trong hoạt động này ta cung cấp cho học sinh một minh họa cụ thể về mối liên hệ giữa

Nguyễn Ngọc Hân

CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

Nguyễn Ngọc Hân

CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Nguyễn Ngọc Hân, học viên cao học chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán khóa 28 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tôi xin cam đoan rằng luận văn là công trình nghiên cứu của cá nhân, các thông tin và tài liệu tham khảo cho việc thực hiện luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy

Người thực hiện

Nguyễn Ngọc Hân

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ cũng những lời động viên rất chân tình, quý báu của các cấp lãnh đạo, quý thầy cô, gia đình, bạn bè và anh, chị, em đồng nghiệp tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng, tri ân sâu sắc và lời cảm ơn chân thành đến:

TS Trần Lương Công Khanh, đã tận tâm giúp đỡ, hướng dẫn, dạy bảo và động viên trong suốt quát trình tôi thực hiện và hoàn thành đề tài luận văn “Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở Trung học phổ thông”

Quý lãnh đạo các phòng, ban chức năng, phòng Sau Đại Học và khoa Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; các thầy, cô khóa 28 (2017 – 2019) đã tận tình dìu dắt, truyền đạt cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm

vô cùng quý báu và đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu

Quý lãnh đạo, cán bộ quản lí, các thầy cô và các em học sinh trường Trung học phổ thông Chê Ghê – va – ra tại huyện Mỏ Cày Nam và trường THPT Bến Cát huyện Bến Cát đã tạo điều kiện giúp đỡ, dành thời gian để hỗ trợ, cung cấp các thông tin cần thiết giúp cho tôi hoàn thàn luận văn này

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình đã động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Tuy đã có nhiều cố gắng trong suốt thời gian thực hiện luận văn tốt nghiệp nhưng tất nhiên luận văn sẽ không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong nhận được

sự góp ý của quý thầy, cô, chị em đồng nghiệp và các bạn

Xin trân trọng cảm ơn./

Bến Tre, tháng 12 năm 2019

Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Hân

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 12 8

1.1 Các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số và vai trò của chúng 8

1.2 Cực trị hàm số ở lớp 10 và lớp 11 11

1.3 Cực trị hàm số với các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số trong các câu hỏi tự luận của sách Giải tích 12 13

1.3.1 Phân tích sách Giải tích 12 chương trình chuẩn 14

1.3.2 Phân tích sách Giải tích 12 nâng cao 33

1.4 Cực trị hàm số với các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số trong các câu hỏi trắc nghiệm của sách Giải tích 12 38

1.4.1 Phân tích sách Giải tích 12 chương trình chuẩn 38

1.4.2 Phân tích sách Giải tích 12 chương trình nâng cao 45

Kết luận chương 1 51

Chương 2 CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở CÁC ĐỀ THI CỦA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT 2017, 2018 VÀ 2019 54

2.1 Phân tích các đề thi tham khảo của kì thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019 54

2.2 Phân tích các đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019 63

Kết luận chương 2 77

Chương 3 THỰC NGHIỆM 79

3.1 Mục đích thực nghiệm 79

3.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm 79

3.3 Thực nghiệm đối với giáo viên 79

3.3.1 Câu hỏi thực nghiệm 79

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm 81

3.3.3 Phân tích hậu nghiệm 83

3.4 Thực nghiệm đối với học sinh 85

3.4.1 Các câu hỏi thực nghiệm và mục tiêu 85

3.4.2 Phân tích tiên nghiệm 86

3.4.3 Phân tích hậu nghiệm 96

Kết luận chương 3 104

KẾT LUẬN 105

TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 PHỤ LỤC

SGK10N Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao SGK11C Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 chuẩn SGK11N Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao SBT12N Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao SGK12C Sách giáo khoa Giải tích 12 chuẩn SGK12N Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao SGV12C Sách giáo viên Giải tích 12 chuẩn SGV12N Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Vai trò của các hệ thống biểu đạt 11Bảng 1.2 Khái niệm cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt hàm số 18Bảng 1.3. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐶𝑇 ở sách Giải tích 12 Chuẩn 22Bảng 1.4 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_𝐾 ở sách Giải tích 12 Chuẩn 25Bảng 1.5 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_Đ ở sách Giải tích 12 Chuẩn 28Bảng 1.6 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐵𝐿 ở sách Giải tích 12 Chuẩn 29Bảng 1.7. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐾𝑆 ở sách Giải tích 12 Chuẩn 30Bảng 1.8 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝑇𝑆 ở sách Giải tích 12 Chuẩn 32Bảng 1.9 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐶𝑇 ở sách Giải tích 12 Nâng cao 34Bảng 1.10 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_𝐾 ở sách Giải tích 12 Nâng cao 35Bảng 1.11 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_Đ ở sách Giải tích 12 Nâng cao 37Bảng 1.12 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

𝑇𝐾𝑆 ở sách Giải tích 12 Nâng cao 37Bảng 1.13 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các câu hỏi trắc

nghiệm sách Giải tích 12 Chuẩn 44Bảng 1.14 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các câu hỏi trắc

nghiệm ở sách Giải tích 12 Nâng cao 49Bảng 2.1 Bảng tổng kết các HTBĐ hàm số trong các đề thi MH 62Bảng 2.2 Bảng tổng kết các HTBĐ hàm số trong các đề thi chính thức 2017 74

Bảng 2.3 Bảng tổng kết các HTBĐ hàm số trong các đề thi chính thức 2018 75

Bảng 2.4 Bảng tổng kết các HTBĐ hàm số trong các đề thi chính thức 2019 75

Bảng 3.1 Bảng tổng kết các chiến lược giáo viên sử dụng trong bài toán 1 84

Bảng 3.2 Bảng tổng kết các chiến lược giáo viên sử dụng trong bài toán 2 84

Bảng 3.3 Giá trị của biến trong bài toán 1 và bài toán 2 95

Bảng 3.4 Dự kiến câu trả lời của học sinh về các chiến lược 95

Bảng 3.5 Dự kiến câu trả lời của học sinh về việc sử dụng các hệ thống biểu đạt của hàm số 95

Bảng 3.6 Bảng tổng kết các kỹ thuật và các HTBĐ hàm số trong câu 2 và câu 3 của bài toán 1 96

Bảng 3.7 Bảng tổng kết các chiến lược và các HTBĐ hàm số trong câu 2 và câu 3 của bài toán 2 99

Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây

Đối với hoạt động này, sách giáo viên giải tích 12 cơ bản yêu cầu như sau

“…cần chỉ ra điểm cực đại, cực tiểu bằng cách quan sát trực quan các hình vẽ (đồ

43

0

+∞

thị của các hàm số quen thuộc) Tính chất địa phương của cực trị biểu hiện ở việc chọn các khoảng ( lân cận) của điểm cực trị…”, “…cũng trong hoạt động này ta cung cấp cho học sinh một minh họa cụ thể về mối liên hệ giữa đạo hàm cấp một và cực trị sẽ được phát biểu chính xác…”

Có thể thấy hàm số và cực trị hàm số có thể được đề cập qua các hệ thống biểu đạt: biểu thức giải tích, đồ thị, bảng biến thiên, …Biểu thức giải tích là hệ thống biểu đạt quen thuộc của hàm số và cực trị hàm số Biểu thức gải tích có thể được cho dưới dạng hàm đa thức, phân thức,…quá trình là việc với biểu thức giải tích thường phức tạp vì quá trình biến đổi công thức, biểu thức Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan biểu thị các tính chất của hàm số, làm việc trên đồ thị dễ dàng, tuy nhiên việc vẽ đồ thị hàm số phức tạp vì phải thực hiện qua nhiều bước Ngày nay, khi công nghệ thông tin phát triển đã làm cho việc vẽ đồ thị trở nên đơn giản Liên quan đễn vấn đề này, Nguyễn Thị Thùy Trang (2012) cũng nhận định “Ngày nay, sự tác động của công

nghệ thông tin làm cho việc vẽ đồ thị hàm số nói chung, đồ thị hàm số lượng giác nói riêng trở nên rất dễ dàng Do đó, sử dụng đồ thị hàm số vào việc giải toán là một xu thế hiện đại được khuyến khích trên thế giới”

Năm 2017 là năm đầu tiên tổ chức kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông theo hình thức trắc nghiệm khách quan, các hệ thống biểu đạt và các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cực trị cũng có sự thay đổi, điều này ảnh hướng đến quá trình dạy – học của giáo viên và học sinh

Từ đó chúng tôi đặt ra các câu hỏi xuất phát sau:

- Trong chương trình THPT và đề thi tốt nghiệp THPT, cực trị hàm số có những

hệ thống biểu đạt nào? Hệ thống biểu đạt nào được SGK ưu tiên? Ảnh hương của các

hệ thống biểu đạt lên kỹ thuật giải là gì?

- Học sinh hiểu và vận dụng các hệ thống biểu đạt của cực trị hàm số như thế nào, đặc biệt là trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan?

Các câu hỏi trên đưa chúng tôi đến đề tài Cực trị hàm số trong các hệ thống

biểu đạt khác nhau của hàm số ở trung học phổ thông

1.2 Tổng quan về các công trình liên quan tới vấn đề nghiên cứu

Liên quan đến cực trị, Lê Thị Bích Siêng (2017) đã kiểm chứng được giả thuyết:

H1: Học sinh quan niệm rằng hàm số không khả vi tại một điểm thì không đạt cực trị tại điểm đó

H22: Học sinh xem cực đại là GTLN và cực tiểu là GTNN của hàm số

Liên quan đến bảng biến thiên, Lê Thị Bích Siêng (2017) đã kiểm chứng được giả thuyết:

H3: Dù kĩ thuật đọc BBT sẽ ít tốn kém hơn việc sử dụng quy trình KSHS nhưng với thể chế dạy học đang xét HS sẽ vẫn ưu tiên sử dụng quy trình KSHS này khi xác định cực trị, GTLN và GTNN của hàm số

Liên quan đến cực trị hàm số, Phan Quang Thắng (2012) đã kiểm chứng giả

thuyết “Kĩ thuật sử dụng đồ thị ít được học sinh huy động khi tìm cực trị của hàm

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic Toán với việc vận dụng các lý thuyết sau đây:

là thể chế dạy học lớp 12 Để nghiên cứu thể chế này, chúng tôi nghiên cứu trên các SGK, SBT, SGV hiện hành của bậc THPT, các đề thi minh họa và đề thi chính thức của Bộ Giáo dục & Đào tạo năm 2017, 2018 và 2019

Để nghiên cứu, chúng tôi sử dụng quan điểm của Chevallar (1998), đó là: một praxeologi gồm 4 thành phần [𝑇, 𝜏, 𝜃, Θ ], trong đó:

- T là kiểu nhiệm vụ Toán học, khái niệm kiểu nhiệm vụ phải liên quan đến một tri thức xác định

- 𝜏 là kỹ thuật: là cách thức để giải quyết kiểu nhiệm vụ T Các kỹ thuật có thể được tìm thấy trong các lời giải của ví dụ ở SGK, lời giải của các bài tập trong SBT, lời giải đề nghị cho các bài tập trong SGV, …

- 𝜃 là công nghệ giải thích cho từng kỹ thuật 𝜏 “Như vậy, công nghệ trước hết

là một “diễn văn” về kỹ thuật” ( tham khảo Lê Thị Hoài Châu, 2018 , tr.101) Chức

năng của công nghệ là đảm bào tính hợp lý của kỹ thuật, đảm bảo cho kỹ thuật sẽ đem lại kết quả chắc chắn đúng, đông thời cũng giải thích tại sao kỹ thuật ấy lại được

áp dụng

“Chức năng biện minh đảm bảo tính hợp lý của kỹ thuật, đảm bảo rằng

kỹ thuật ấy cho phép giải quyết các nhiệm vụ thuộc kiểu THPT Chức năng giải thích lại cho phép hiểu vì sao lại như thế, vì sao kỹ thuật ấy lại được vận hành”

(Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.102)

- Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ Như vậy, lý thuyết là công nghệ của công nghệ

2.2 Lý thuyết tình huống

Với lý thuyết tình huống, chúng tôi sử dụng khái niệm biến didactic (biến dạy học), với một giá trị của biến sẽ tạo ra cách giải quyết bài toán (chiến lược giải) cũng khác nhau nhắm đến mục tiêu dạy học ý nghĩa của một tri thức mà giáo viên đã xếp đặt Chúng tôi sử dụng lý thuyết này để để xây dựng thực nghiệm

2.3 Phạm vi và hệ thống biểu đạt

2.3.1 Phạm vi

Theo Douady (1986), phạm vi (cadre) là tập hợp gồm những đối tượng của một

ngành toán học; quan hệ giữa các đối tượng đó; các phát biểu khác nhau có thể có về các đối tượng; những hình ảnh tinh thần gắn với các đối tượng và các mối quan hệ

này (theo Douady R., 1986, tr 11)

Một phạm vi có thể chứa những phạm vi nhỏ hơn (phạm vi con) Một đối tượng toán

học có thể thuộc nhiều phạm vi khác nhau

2.3.2 Hệ thống biểu đạt

Hệ thống biểu đạt là tập hợp các thuật ngữ, ký hiệu, cách biểu diễn và các quy tắc xử lý (tường minh hay ngầm ẩn) cho phép xác định, biểu diễn một đối tượng toán học và giải một bài toán toán học

“Một hệ thống biểu đạt được tạo thành từ những dấu, theo nghĩa rộng nhất của

từ này: những vạch, những kí hiệu, những hình vẽ, …Chúng là phương tiện để diễn đạt, để biểu thị […] Các đối tượng có thể là một, nhưng mối liên hệ giữa chúng và cách trình bày chúng sẽ không giống nhau […] Ta nói rằng, chúng được biểu đạt bằng những hệ thống khác nhau hay những ngôn ngữ khác nhau.”

(Lê Thị Hoài Châu, 2007, tr.43) Mỗi hệ thống biểu đạt có ưu thế riêng trong việc khai thác một tính chất toán học nhất định

“Mỗi hệ thống biểu đạt có ưu thế riêng trong việc khai thác một tính chất toán học nhất định Vì vậy, việc chuyển từ hệ thống biểu đạt này sang hệ thống biểu đạt khác có thể làm thay đổi khả năng khai thác giả thiết bài toán.”

(Trần Lương Công Khanh, 2018, tr.5)

Để minh họa cho nhận định này, tác giả Trần Lương Công Khanh đã đưa ra ví dụ:

“Ví dụ 6: Trong ví dụ 5, hệ thống biểu đạt vectơ có ưu thế trong việc khai thác các biến đổi vectơ và tích vô hướng Khi cần khai thác quan hệ vuông góc, quan

hệ song song trong tam giác và tứ giác đặc biệt, ta có thể dùng hệ thống biểu đạt quan hệ giữa hai đường thẳng Các hệ thống biểu đạt số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tỷ số lượng giác cho phép khai thác các hệ thức lượng về cạnh, góc và các đường đặc biệt trong tam giác.”

(Trần Lương Công Khanh, 2018, tr.5) Bên cạnh đó, một đối tượng toán học có thể có nhiều hệ thống biểu đạt khác nhau, nhưng một hệ thống biểu đạt chỉ phù hợp với một phạm vi nhất định

Ví dụ: Xét hàm số 𝑓 xác định trên N* với 𝑓(𝑛) là số nguyên tố thứ n.(Trích theo Trần Lương Công Khanh, 2018) Đối với hàm số này, hệ thống biểu đạt bằng lời là tối ưu nhất

“Dù có thể lập bảng một số giá trị của 𝑓, toán học ngày nay vẫn chưa thể xác định biểu thức đại số của f […] Mô tả bằng lời là hệ thống biểu đạt duy nhất khi định nghĩa hàm số này”

(Trần Lương Công Khanh, 2018, tr.5)

3 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Trong khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

CH1: Có những hệ thống biểu đạt nào của hàm số được sử dụng trong các tổ

chức toán học liên quan đến cực trị hàm số trong sách Giải tích 12? Vai trò của những

hệ thống biểu đạt đó là gì? Hệ thống biểu đạt nào được ưu tiên?

CH2: Những tiến triển về hệ thống biểu đạt hàm số trong đề thi tốt nghiệp THPT

2017, 2018, 2019? Ảnh hưởng của tiến triển này lên kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cực trị hàm số?

CH3: Khả năng hiểu và sử dụng các hệ thống biểu đạt của học sinh trong việc

giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cực trị hàm số như thế nào? Đặc biệt trong giai đoạn đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan?

4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau để phục vụ cho quá trình nghiên cứu của mình:

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: nghiên cứu các đề thi tham khảo và đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT năm 2017, 2018 và 2019; nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, nghiên cứu thực tế dạy học của giáo viên

Phương pháp thực nghiệm khoa học: phỏng vấn một số giáo viên ở trường trung học phổ thông, thực nghiệm trên học sinh

Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết về cực trị và các hệ thống biểu đạt, nghiên cứu một số công trình đã có

5 Cấu trúc luận văn

Phần mở đầu

Phần này bao gồm lý do chọn đề tài, các câu hỏi ban đầu, các công trình liên quan đến đề tài nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu nghiên cứu, phần trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Chương 1: Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở trường trung học phổ thông

Trong chương này chúng tôi tiến hành nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số, các hệ thống biểu đạt được đề cập và các hệ thống biểu đạt được ưu tiên; nghiên cứu các câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến hàm số được sách giáo khoa đề cập để trả lời cho CH1

Chương 2: Cực trị hàm số trong đề thi minh họa và đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019

Trong chương này chúng tôi phân tích các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số và các hệ thống biểu đạt của hàm số được đưa vào trong các đề thi tham khảo và đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT, từ đó xác định được có những kiểu nhiệm vụ mới nào so với Sách giáo khoa, sách bài tập, có những kiểu nhiệm vụ nào vắng bóng và những kiểu nhiệm vụ nào làm thay đổi kỹ thuật dưới sự can thiệp của máy tính bỏ túi Bên cạnh đó, chúng tôi nghiên các hệ thống biểu đạt của hàm số được đưa vào trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số, từ đó xác định

hệ thống biểu đạt nào được ưu tiên, hệ thống biểu đạt nào vắng bóng, có sự khác biệt nào so với thể chế dạy học hay không Từ đó trả lời cho CH2

Chương 3: Thực nghiệm

Trong chương này chúng tôi tiến hành phân tích thực hành giảng dạy và các tài liệu học đường của của giáo viên, phân tích sản phẩm của học sinh để thấy được khả năng hiểu và vận dụng các hệ thống biểu đạt của hàm số trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị hàm số như thế nào? Từ đó trả lời CH3

Chương 1 CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 12

Trong chương này chúng tôi làm rõ các hệ thống biểu đạt của hàm số được đề cập đến trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số và chỉ ra các hệ thống biểu đạt được thể chế ưu tiên Đồng thời chúng tôi cũng nghiên cứu các câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến cực trị hàm số được đề cập trong thể chế dạy học từ đó trả lời cho câu hỏi nghiên cứu được đưa ra:

CH1: Có những hệ thống biểu đạt nào của hàm số được sử dụng trong các tổ

chức toán học liên quan đến cực trị hàm số trong sách Giải tích 12? Vai trò của những hệ thống biểu đạt đó là gì? Hệ thống biểu đạt nào được ưu tiên?

Trước tiên chúng tôi tìm hiểu về khái niệm cực trị hàm số, các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số được đề cập trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số trong chương tình toán bậc trung học phổ thông

1.1 Các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số và vai trò của chúng

Như đã trình bày trong phần mở đầu của luận văn, hệ thống biểu đạt cho phép xác định, biểu diễn một đối tượng toán học và giải một bài toán toán học Tuy nhiên mỗi hệ thống biểu đạt có ưu thế riêng trong việc khai thác một tính chất toán học nhất

định, từ đó cung cấp một kỹ thuật tốt để giải một bài toán toán học

Với đối tượng là hàm số, có ít nhất 4 hệ thống biểu đạt sau: hệ thống biểu đạt đại số (biểu đạt bằng biểu thức giải tích hay công thức), hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ thị, biểu đồ), hệ thống biểu đạt bằng lời và hệ thống biểu đạt số (biểu thị hàm số bằng bảng số) Tham khảo trong Trần Lương Công Khanh (2006) chúng tôi nhận thấy hệ thống biểu đạt dữ liệu tổng quát hơn hệ thống biểu đạt

số, tác giải đã đưa ra ví dụ sau:

“Cho hàm số f xác định, có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như sau:

0

) ( Khảo sát sự biến

thiên của hàm số F trên R.”

Bài toán trên sử dụng một ý tưởng trong tuyển tập các bài toán ôn thi tú tài do nhóm thanh tra chuyên môn của Bộ Giáo dục quốc gia Pháp phát hành năm 2004 Nó

là dạng toán không quen thuộc đối với học sinh lớp 12 Pháp bởi hai điểm: hàm số dưới dấu tích phân được cho bằng bảng biến thiên và hàm số cần khảo sát sự biến thiên là một tích phân phụ thuộc cận trên Đưa loại bài tập này vào tuyển tập các bài toán ôn thi tú tài, nhóm tác giả mong muốn nó sẽ trở thành dạng toán quen thuộc đối với học sinh lớp 12 Pháp

“Theo chương trình lớp 10 hiện hành ở Pháp, một hàm số có thể được

“xác định bằng đồ thị, bằng bảng dữ liệu hoặc bằng công thức” Vì chương trình không quy định về bản chất của dữ liệu được cho trong bảng nên bảng biến thiên là có thể chấp nhận được Như vậy, việc xác định một hàm số bằng bảng biến thiên 1 là hợp thức đối với chương trình trung học phổ thông ở Pháp Ngược lại, bảng dữ liệu nói chung và bảng biến thiên nói riêng không được sử dụng để xác định một hàm số ở chương trình trung học phổ thông Việt Nam Bài toán 1 nói trên không những không quen thuộc mà còn phá vỡ hợp đồng sư phạm về khảo sát hàm số ở Việt Nam.”(Trần Lương Công Khanh, Tài liệu đã dẫn)

Tuy nhiên, khảo sát trong các đề thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019, chúng tôi nhận thấy sự tồn tại của hàm số cho bằng bảng biến thiên Vì vậy, trong luận văn

1 Về mặt toán học, một bảng biến thiên không xác định một hàm số duy nhất mà xác định một lớp hàm số

này chúng tôi sử dụng hệ thống biểu đạt dữ liệu (cụ thể là bảng biến thiên) thay cho

hệ thống biểu đạt số khi nghiên cứu

Mỗi hệ thống biểu đạt có một vai trò nhất định Tham khảo trong Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012), Trần Lương Công Khanh (2018) và Trần Trường Sinh (2012) chúng tôi tổng kết vai trò của các hệ thống biểu đạt theo bảng

Bảng 1.1 Vai trò của các hệ thống biểu đạt

Các hệ thống

Hệ thống biểu đạt

đại số (công thức)

- Biểu đạt cô động và chính xác mối tương quan hàm;

- Chỉ rõ các phép tính phải thực hiện với biến 𝑥 để tìm 𝑦(𝑥);

- Tính toán, biến đổi trên biểu thức giải tích để chỉ ra các tính chất của hàm số một cách chặt chẽ, logic Đặc biệt là dùng công cụ của giải tích để nghiên cứu các tính chất này

Hệ thống biểu đạt

hình học (đồ thị)

- Xác định nhanh chóng một số tính chất của hàm số: sự đồng biến hay nghịch biến; liên tục hay gián đoạn; cực trị hàm số; GTLN và GTNN;…

- Xác định được sự tương giao giữa đồ thị các hàm số

Hệ thống biểu đạt

bằng lời

Có một số hàm, hệ thống biểu đạt đại số, hình học và số không thể biểu đạt được, khi đó hệ thống biểu đạt bằng lời là sự lựa chọn tối ưu

Dù không thể hiện chính xác đồ thị hàm số những bảng biến thiên cung cấp một số thông tin chính xác về hàm số: sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…

Qua bảng trên, chúng tôi nhận thấy mỗi một hệ thống biểu đạt có vai trò và tầm quan trọng nhất định Một hàm số có thể có nhiều hệ thống biểu đạt, tuy nhiên mỗi

hệ thống biểu đạt sẽ là tối ưu đối với các trường hợp khác nhau

niệm đỉnh của Parabol Trong phần Sự biến thiên của hàm số bậc hai, SGK10N đưa

ra hai bảng biến thiên

“Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−b

2a), đồng biến trên khoảng (−b

2a; +∞) và có giá trị nhỏ nhất là −∆

4a khi x = −b

2a Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−b

2a), nghịch biến trên khoảng (−b

2a; +∞) và có giá trị lớn nhất là −∆

4a khi x = −b

2a.”

(SGK10N, tr.57) Như vậy, đỉnh của Parabol được hiểu chính là GTLN của hàm số (a < 0) hoặc GTNN của hàm số (a > 0) Nghiên cứu SGK10C, chúng tôi nhận thấy không xuất hiện các

thuật ngữ “Giá trị lớn nhất” và “Giá trị nhỏ nhất” mà chỉ ngầm ẩn thông qua khái niệm đỉnh của Parabol

Bên cạnh đó, trong SGK10N và SGK10C, chúng tôi thấy sự xuất hiện của thuật

ngữ cực trị của biểu thức trong bài đọc thêm “Một phương pháp tìm cực trị của biểu

thức trên một miền đa giác lồi” ở SGK10N và bài đọc thêm “Phương pháp tìm cực trị của biểu thức trên một miền đa giác” ở SGK10C Tuy nhiên, thuật ngữ này được

hiểu theo nghĩa “Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất”

“Tuy nhiên, trong nội dung các bài đọc thêm này chỉ nói đến GTLN, GTNN của

biểu thức và không đề cập đến thuật ngữ cực trị của biểu thức nữa Chúng tôi

cho rằng các tác giả viết SGK đã đề cập đến thuật ngữ cực trị theo nghĩa thông thường, tức là GTLN và GTNN.”

“Thuật ngữ cực đại ở đây được hiểu theo ngôn ngữ thông thường, tức là GTLN

Ngoài ra chúng tôi còn phát hiện những thuật ngữ khác như động năng cực đại, thế năng đàn hồi cực đại, vận tốc cực đại đề mang nghĩa thông thường là GTLN Còn xét trong sách giáo khoa Vật lý 10, chúng tôi cũng phát hiện ra thuật ngữ

cực đại trong các khái niệm như: lực ma sát nghỉ cực đại, động năng cực đại,…

mà chúng đều được hiểu theo ngôn ngữ thông thường là GTLN.”

(Nguyễn Hồng Tú, 2012, tr.68 – 69)

Về các hệ thống biểu đạt hàm số, trước tiên chúng tôi nhận thấy công cụ tìm GTLN-GTNN ở lớp 10 là: đồ thị, bảng biến thiên, bất đẳng thức, thuật toán tìm GTLN-GTNN của một biểu thức bậc nhất hai biến trên một miền đa giác lồi2 Như vậy, đồ thị hàm số và bảng biến thiên là một trong những công cụ tìm GTLN-GTNN hàm số Nói cách khác, hàm số có thể được cho bằng một biểu diễn đồ thị hoặc bảng

2 Xem (Nguyễn Hồng Tú, 2012, Phụ lục 4)

biến thiên để tìm GTLN-GTNN Tuy nhiên chúng tôi không tìm được hai cách cho hàm số này trong sách Đại số 10 ở cả chương trình chuẩn và chương trình nâng cao Tất cả hàm số đều được cho bằng công thức

Ở lớp 11, các thuật ngữ GTLN-GTNN tiếp tục được đề cập trong cả hai chương trình chuẩn và nâng cao với công cụ là bất đẳng thức và tập giá trị 3 Như vậy công

cụ đồ thị và bảng biến thiên không được sử dụng để tìm GTLN-GTNN hàm số ở lớp

11 Các hàm số trong các bài tập liên quan đến tìm GTLN-GTNN đều được cho bằng công thức một cách tường minh

Tóm lại, chúng tôi nhận thấy:

- Ở lớp 10, định nghĩa cực trị hàm số không được đề cập đến, thuật ngữ

cực trị được hiểu theo nghĩa thông thường là GTLN và GTNN, cực đại là GTLN

HTBĐ hàm số trong các bài toán tìm GTLN-GTNN là HTBĐ ĐS

- Ở lớp 11, thuật ngữ cực trị không xuất hiện Thuật ngữ GTLN-GTNN

tiếp tục xuất hiện HTBĐ hàm số trong các bài toán tìm GTLN-GTNN ở lớp 11

là HTBĐ ĐS

1.3 Cực trị hàm số với các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số trong các câu hỏi tự luận của sách Giải tích 12

Cực trị hàm số được giảng dạy chính thức trong ở lớp 12, trong chương I: Ứng

dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, đạo hàm là một công cụ quan trọng

để xét cực trị của hàm số

Trong “Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” năm 2018 do Bộ Giáo dục

& Đào tạo ban hành, yêu cầu cần đạt về cực trị :

“Nhận biết được tính đơn điệu, điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.”

Như vậy, ngoài công cụ đạo hàm, bảng biến thiên hoặc hình ảnh hình học của

đồ thị hàm số cũng là những công cụ được đưa vào chương trình giáo dục phổ thông mới để xét tính cực trị của hàm số Tuy nhiên, ngoài công cụ đạo hàm, sách Giải tích

12 có đề cập đến việc sử dụng công cụ bảng biến thiên và đồ thị hàm số để tìm cực

3 Xem(Nguyễn Hồng Tú, 2012, Phụ lục 4)

trị hàm số hay không? Nếu có, sách Giải tích 12 có hướng dẫn cụ thể cách tìm cực trị hàm số dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị hay không?

Bên cạnh đó, như đã biết hàm số có thể được cho bằng các hệ thống biểu đạt khác nhau vậy trong các bài toán liên quan đến tìm cực trị hàm số, hàm số có thể có những hệ thống biểu đạt nào?

Để trả lời những vấn đề trên, chúng tôi phân tích các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số ở cả hai chương trình chuẩn và chương trình nâng cao, đồng thời cũng nghiên cứu các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài toán liên quan đến cực trị hàm số trong cả hai chương trình

1.3.1 Phân tích sách Giải tích 12 chương trình chuẩn

1.3.1.1 Khái niệm cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số

Trong SGK12C, trước khi đưa ra định nghĩa cực trị hàm số, SGK12C yêu cầu

Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây

Đối với hoạt động này, sách giáo viên giải tích 12 cơ bản yêu cầu như sau

“…cần chỉ ra điểm cực đại, cực tiểu bằng cách quan sát trực quan các hình vẽ (đồ thị của các hàm số quen thuộc) Tính chất địa phương của cực trị biểu hiện ở việc chọn các khoảng ( lân cận) của điểm cực trị…”, Như vậy, dựa vào đồ thị có thể thấy

được: cực đại là giá trị lớn nhất trên một khoảng lân cận, cực tiểu là giá trị nhỏ nhất trên một khoảng lân cận Đồng thời đồ thị hàm số giúp HS có thể phân biệt rõ cực đại với GTLN, cực tiểu với GTNN

Ví dụ: Đối với hoạt động 1b có thể thấy trong khoảng (1

2;3

2), Giá trị cực đại của hàm số là y =4

3, tại x = 1, tuy nhiên nhìn vào đồ thị

có thể thấy được y = 4

3 không phải là giá trị lớn nhất của hàm số

Tương tự, giá trị cực tiểu của hàm số là y = 0 nhưng khi nhìn vào đồ thị

có thể thấy được y = 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số

Việc giúp HS phân biệt được cực đại với GTLN, cực tiểu với GTNN cũng được

đề cập trong SGV12C:

“Cần cho HS thấy rằng giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số không chắc chắn lớn hơn (bé hơn) giá trị của hàm số tại điểm tương đối xa (điểm không thuộc lân cận đang xét)”

(SGV12C, tr.32) Qua hoạt động này, SGK12C đã dùng đồ thị để trực quan hóa tính cực trị của hàm số, giúp HS có thể phân biệt cực đại với GTLN, cực tiểu với GTNN Bên cạnh

đó, từ sự kết hợp giữa việc đọc đồ thị để tìm cực trị hàm số và việc xét dấu đạo hàm

+∞

43

0

+∞

của các hàm số đã cho, HS có thể thấy được mối liên hệ giữa đạo hàm cấp 1 và cực trị hàm số là:

′(𝑥𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị) = 0Đạ𝑜 ℎà𝑚 đổ𝑖 𝑑ấ𝑢 𝑘ℎ𝑖 đ𝑖 𝑞𝑢𝑎 𝑥𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị

Đó cũng là Định lý 1 được SGK12C phát biểu trong phần II: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Do đó Hoạt động 1 cũng “…cung cấp cho HS một minh họa cụ thể về mối liên

hệ giữa đạo hàm cấp 1 và cực trị sẽ được phát biểu chính xác.”(SGV12C tr.32)

Từ minh họa về cực trị hàm số ở Hoạt động 1 đã dẫn đến Định nghĩa cực trị hàm số:

“Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là

−∞; b là +∞) và điểm x0 ∈ (a; b)

a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x ∈ (x0− h; x0+ h) và

x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x ∈ (x0− h; x0+ h) và

x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0 ”

Thông qua quy tắc I, chúng tôi thấy được có sự chuyển đổi từ công thức sang bảng biến thiên để tìm cực trị hàm số Từ bảng biến thiên cho phép phác họa hình ảnh

đồ thị hàm số và xác định được tính cực trị của hàm số Như vậy, bảng biến thiên cũng là một công cụ để xét tính cực trị hàm số SGK12C hướng dẫn HS “Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị” nhưng bằng cách nào để suy ra điểm cực đại, cực tiểu không được SGK12C đề cập, mà SGK12C lấy ví dụ 1 để minh họa cho quy tắc

1 Phải chăng việc hướng dẫn HS xác định cực trị hàm số từ bảng biến thiên là do GV thực hiện?

Ngoài ra, SGK12C cũng cung cấp một quy tắc khác để tìm cực trị hàm số:

Như vậy có thể thấy được hệ thống biểu đạt đại số và hệ thống biểu đạt đồ thị

là hai hệ thống biểu đạt của hàm số được đề cập trong SGK12C để đưa ra định nghĩa cực trị hàm số Đồ thị nhằm giúp trực quan hóa tính cực trị của hàm số, hiểu rõ hơn tính chất cực trị hàm số, đồng thời nhìn vào đồ thị, học sinh có thể xác định được cực trị hàm số cũng như phân biệt cực đại (cực tiểu) với giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất)

Hệ thống biểu đạt đại số nhằm xét cực trị của hàm số thông qua quy tắc I và quy tắc

II được trình bày trong SGK12C

Từ Định nghĩa cực trị hàm số, Định lí 1 và Định lí 2, chúng tôi tổng kết lại khái

niệm của cực trị hàm số thông qua các hệ thống biểu đạt trong bảng sau

Bảng 1.2 Khái niệm cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt hàm số

(𝑎; 𝑏), ∀𝑥 ∈ (𝑥0− ℎ; 𝑥0+ℎ)

𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0)

𝑓(𝑥) xác định và liên tục trên (𝑎; 𝑏), ∀𝑥 ∈ (𝑥0− ℎ; 𝑥0+ℎ)

Khi đi qua điểm 𝑥0, đồ thì hàm số đổi chiều từ chiều đi xuống từ trái sang phải sang chiều đi lên từ trái sang phải

HTBĐ DL 6

(Bảng biến thiên)

𝑓(𝑥) xác định và liên tục trên (𝑎; 𝑏), x biến thiên qua 𝑥0 mà 𝑓′(𝑥) đổi dấu từ (+) sang (−)

𝑓(𝑥) xác định và liên tục trên (𝑎; 𝑏), x biến thiên qua 𝑥0 mà 𝑓′(𝑥) đổi dấu từ (−) sang (+)

HTBĐ số

(bảng số liệu)

𝑓(𝑥) xác định và liên tục trên (𝑎; 𝑏), Khi đi qua điểm 𝑥0, giá trị hàm số thay đổi từ tăng dần sang giảm dần

𝑓(𝑥) xác định và liên tục trên (𝑎; 𝑏), khi đi qua điểm 𝑥0, giá trị hàm số thay đổi từ giảm dần sang tăng dần

HTBĐ bằng lời 7 Trong lân cận của điểm 𝑥0,

giá trị của hàm số tại 𝑥0 là lớn nhất

Trong lân cận của điểm 𝑥0 , giá trị của hàm số tại 𝑥0 là lớn nhất

4 Phát biểu dựa vào Định lí 2 và Định nghĩa cực trị hàm số SGK12C

5 Phát biểu dựa vào Hoạt động 1, SGK12C, tr.13

6 Phát biểu dựa vào Định lí 1, SGK12C, tr 14

7 Phát biểu dựa vào Định nghĩa cực trị hàm số, SGK12C, tr.13

1.3.1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số trong sách Giải tích 12

Trong phần này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu các tổ chức toán học trong SGK12C, SGV12CB và SBT12C Từ đó thống kê các hệ thống biểu đạt hàm số được

đề cập trong các kiểu nhiệm vụ và ảnh hưởng của các hệ thống biểu đạt hàm số lên các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số

Các tổ chức toán học có liên quan

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑪𝑻: “Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙)”

Các kỹ thuật cho kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑪𝑻:

Chứng minh rằng hàm số 𝑦 = √|𝑥| không có đạo hàm tại 𝑥 = 0 nhưng vẫn

đạt cực tiểu tại điểm đó

 Kỹ thuật 𝝉𝑪𝑻ĐĐ: Sử dụng tính đơn điệu

B1: Tìm tập xác định D;

B2: Tính 𝑓′(𝑥) Nếu Tính 𝑓′(𝑥) > 0 (𝑓′(𝑥) < 0) ∀𝑥 ∈ 𝐷 thì hàm số không có cực trị

Công nghệ 𝜽𝑪𝑻ĐĐ – lý thuyết 𝚯𝑪𝑻ĐĐ: Định nghĩa cực trị hàm số trong HTBĐ DL ở bảng

Nhận xét: Trong ví dụ trên, hàm số được cho dưới dạng công thức, học sinh cần chuyển đổi từ công thức sang bảng biến thiên để kết luận cực trị của hàm số Đồ thị chỉ là công cụ để minh họa cho cực trị trìm được

 Kỹ thuật 𝝉𝑪𝑻𝑸𝑻𝟐 (sử dụng đạo hàm bậc hai)

Bảng 1.3.Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝐓𝐂𝐓

ở sách Giải tích 12 Chuẩn

Số lượng hàm số trong các bài tập

Kỹ thuật có chứa sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt

HTBĐ ĐS (CT)

Nhận xét: Các hàm số được cho trong các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 đều

được cho dưới dạng công thức (42 /42 bài tập) Có 1 hàm số được cho dưới dạng đồ thị đi kèm theo công thức (hoạt động 1), không có hàm số nào được cho bằng lời hoặc bảng biến thiên Điều này cho thấy hệ thống biểu đạt đại số được ưu tiên trong SGK12C Giải thích cho việc này, chúng tôi nhìn lại kỹ thuật giải cho kiểu nhiệm vụ này gồm: 𝜏𝐶𝑇Đ𝑁, 𝜏𝐶𝑇ĐĐ, 𝜏𝐶𝑇𝑄𝑇1, 𝜏𝐶𝑇𝑄𝑇2, công nghệ giải thích cho từng kỹ thuật chính là dựa vào định nghĩa cực trị hàm số và hai định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị Do

đó, để xét tính cực trị của hàm số, hàm số cần được cho bằng công thức một cách tường minh để học sinh có thể vận dụng định nghĩa cũng như các quy tắc tìm cực trị

hàm số Điều này cũng đáp ứng được yêu cầu đặt ra trong SGV12C “…biết vận dụng

các điều kiện đủ để hàm số có cực trị…” và nhận xét “…đối với nhiều hàm số thông dụng (như hàm đa thức, hàm lượng giác,…) sử dụng quy tắc II thuận tiện hơn quy tắc I…” Trong các kỹ thuật tìm cực trị hàm số, kỹ thuật 𝜏1Đ𝐻1 và 𝜏1Đ𝐻2 được sử dụng nhiều nhất Trong kỹ thuật 𝜏1Đ𝐻1 có sự chuyển đổi HTBĐ từ công thức sang bảng biến thiên, kỹ thuật này chiếm đa số (23/42 bài chiếm 54,8%) Từ đó thấy được BBT là công cụ được ưu tiên trong việc tìm cực trị hàm số Điều này đáp ứng được mục tiêu

của Chương trình giáo dục phổ thông môn toán năm 2018 đưa ra “Nhận biết được

tính đơn điệu, điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên…”

Như vậy nếu hàm số được cho trực tiếp bằng bảng biến thiên, việc tìm cực trị hàm số

sẽ trở nên đơn giản hơn Tuy nhiên, hàm số được cho bằng bảng biến thiên không

xuất hiện trong kiểu nhiệm vụ này Nguyên nhân của việc này là do “… bảng biến

thiên nói riêng không được sử dụng để xác định một hàm số ở chương trình trung học phổ thông Việt Nam ” (tham khảo Trần Lương Công Khanh, 2006), vì bảng biến

thiên không thể xác định chính xác một hàm số, mà chỉ có thể xác định được một lớp các hàm số Hệ thống biểu đạt đồ thị cũng như kỹ thuật 𝜏𝐶𝑇Đ𝑇 không được ưu tiên sử dụng trong cáchs cho hàm số và giải các bài tập tìm cực trị Đồng thời SGK12C không

hướng dẫn cho HS cách tìm cực trị hàm số từ đồ thị hàm số Như vậy việc tìm “…điểm

cực trị, giá trị cực trị của hàm số… thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số…” chưa được SGK12C áp dụng cho HS Từ những kết luận trên, chúng tôi đưa ra

một giải thuyết H1 trong việc tìm cực trị hàm số như sau:

H1: Đa số học sinh ưu tiên sử dụng công thức của hàm số trong việc tìm cực trị hàm

số hơn những cách biểu diễn khác

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑳𝑵𝑵𝑵_𝑲 : “Tìm GTLN_GTNN của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) trong khoảng (𝒂; 𝒃)”

Có 2 kỹ thuật cho kiểu nhiệm vụ này

SGV12C không đưa ra lời giải cho bài toán này, tuy nhiên việc sử dụng Kỹ thuật 𝜏2Đ𝑁 là kỹ thuật tối ưu cho bài tập này

Giải

Ta có: |𝑥| ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ Khi đó min

ℝ 𝑓(𝑥) = min

ℝ |𝑥| = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là y=0

Nhận xét: đối với kỹ thuật này, HS có thể tìm M (m) từ công thức của hàm số

thông qua một số tính chất đặc biệt Bên cạnh đó, từ đồ thị hàm số và bảng biến thiên,

HS cũng có thể tìm được M (m), tuy nhiên việc sử dụng đồ thị hàm số không được

B4: Dựa vào BBT kết luận GTLN, GTNN của hàm số trên(𝑎; 𝑏)

Công nghệ 𝜽𝑳𝑵𝑵𝑵_𝑲Đ𝑯 – lý thuyết 𝚯𝑳𝑵𝑵𝑵_𝑲Đ𝑯 : Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

Đối với kỹ thuật này, hàm số có thể được cho bằng HTBĐ ĐS hoặc HTBĐ DL

Nhận xét: Có thể dễ thấy rằng kỹ thuật sử dụng đạo hàm được ưu tiên hơn cả

trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑳𝑵𝑵𝑵_𝑲 (14/15 bài chiếm khoảng 93,3%), Vận

dụng kỹ thuật này trong việc tìm GTLN-GTNN, hàm số cần được cho bằng công thức một cách tường minh để học sinh vận dụng các bước để giải bài toán, đáp ứng yêu

cầu trong SGV12C “…Xác định được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

bằng đạo hàm trong những trường hợp đơn giản…” Trong kỹ thuật này có sự chuyển

đổi hệ thống biểu đạt từ công thức sang bảng biến thiên, sau đó dựa vào bảng biến

thiên để tìm GTLN-GTNN Vì vậy nếu hàm số cho bằng bảng biến thiên sẽ giúp việc tìm GTLN-GTNN của hàm số trở nên dễ dàng hơn, tuy nhiên hàm số được cho bằng bảng biến thiên cũng không xuất hiện trong kiểu nhiệm vụ này ở sách giải tích 12 chương trình chuẩn

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑳𝑵𝑵𝑵_Đ: “Tìm GTLN, GTNN của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) trong đoạn [𝒂; 𝒃]”

Đây là kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T2

Có 3 kỹ thuật cho kiểu nhiệm vụ này như sau

Nhận xét: Đối với việc sử dụng kỹ thuật 𝝉𝑳𝑵𝑵𝑵_Đ𝑸𝑻 , hàm số phải được cho bằng

công thức một cách tường minh, giúp học sinh vận dụng được công cụ đạo hàm để tìm GTLN và GTNN của hàm số

 Kỹ thuật 𝝉𝑳𝑵𝑵𝑵_ĐĐĐ (sử đụng đối với hàm số đơn điệu trên [𝒂; 𝒃])

B1: Xét tính đơn điệu của hàm số trên [𝑎; 𝑏]

B2: Nếu 𝑓(𝑥) đồng biến trên [𝑎; 𝑏] thì

min

[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), max

[𝑎;𝑏] 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) nếu 𝑓(𝑥) nghịch biến trên [𝑎; 𝑏] thì

Nhận xét: Đối với kỹ thuật này, học sinh có thể khảo sát tính đơn điệu của hàm

số được cho bằng công thức hoặc dựa vào bảng biến thiên của hàm số để đưa ra tính đơn điệu của hàm số

Bảng 1.5 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

HTBĐ HH (ĐT)

Nhận xét: Đối với các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ 𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_Đ, tất cả hàm số là

những hàm được cho sẵn công thức (16/16 hàm số), đồ thị và bảng biến thiên không được SGK12C sử dụng trong việc cho hàm số

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑩𝑳: Biện luận số cực trị của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙)(hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) là các hàm đa thức)

Đối với kiểu nhiệm vụ này, kỹ thuật để giải quyết như sau:

 Kỹ thuật 𝝉𝑩𝑳Đ𝑺

B1: Tính 𝑓′(𝑥)

B2: Giải và biện luận phương trình chứa tham số 𝑓′(𝑥) = 0 8

Số nghiệm của phương trình 𝑓′(𝑥) = 0 là số cực trị của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Công nghệ 𝜽𝑩𝑳Đ𝑺 – lý thuyết : Định nghĩa cực trị hàm số theo HTBĐ ĐSGK ở bẳng

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số

[…]

Giải a) Ta có 𝑦′ = −4𝑥3+ 4𝑚𝑥 = −4𝑥(𝑥2− 𝑚)

𝑚 ≤ 0: hàm số có 1 cực đại (tại x=0)

𝑚 > 0: hàm số có 2 cực đại (tại 𝑥 = ±√𝑚 ) và 1 cực tiểu (tại x=0)

Bảng 1.6 Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc

(CT)

HTBĐ HH

CT→BBT (ngầm ẩn CT→ĐT)

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑲𝑺: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙)

Kiểu nhiệm vụ này học sinh đã được học ở lớp 10, tuy nhiên chỉ giới hạn đối với hàm số bậc nhất và hàm số bậc 2 Trong chương trình lớp 12, khi được bổ sung thêm công cụ đạo hàm, quá trình khảo sát sự biến thiên của hàm số được tiến hành theo một trình tự nhất định và có hầu hết các tính chất của hàm số, trong đó có tính cực trị của hàm số Trong SGK12C, quy trình khảo khảo sát hàm số được thực hiện như sau:

1 Tập xác định: tìm tập xác định của hàm số

2 Sự biến thiên:

+ Xét chiều biến thiên của hàm số

Tính đạo hàm 𝑦′;

Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;

Xét dấu đạo hàm 𝑦′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả vừa tìm được vào bảng biến thiên)

3 Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị

Nhận xét: đối với kiểu nhiệm vụ này, SGV12C đã yêu cầu “Biết vận dụng sơ

đồ khảo sát hàm số để tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số cơ bản nhất trong chương trình Toán ở THPT….” ( tham khảo SGV12C tr.45) Vì vậy hàm số phải được

cho bằng công thức để học sinh thực hiện tính toán, xác định các tính chất của hàm

số (tính đơn điệu, tính cực trị, GTLN – GTNN, …)

 Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑻𝑺: Định giá trị của tham số m đề hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) có số cực

trị thỏa mãn điều kiện cho trước (𝒇(𝒙) là hàm đa thức)

Kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ này như sau:

 Kỹ thuật 𝝉𝑻𝑺đạ𝒊_𝒔ố:

B1: Tính 𝑦′ = 𝑓′(𝑥),

B2: Tìm m thỏa số cực trị, với số cực trị là số nghiệm của phương trình 𝑓′(𝑥)=0, hoặc

số giá trị 𝑥 làm cho 𝑓′(𝑥) không xác định

+ Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

Để sử dụng kỹ thuật này, hàm số cần được cho bằng công thức đại số một cách tường minh

b) 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2− 6𝑚𝑥 + 3(2𝑚 − 1)

Để hàm số có một cực đại và một cực tiểu thì phương trình 𝑓′(𝑥) = 0 có hai

nghiệm phân biệt⇔ (𝑚 − 1)2 > 0 ⇔ 𝑚 ≠ 1