Tuyển tập đề thi vào lớp 10 THPT chuyên môn toán

a Chứng minh tứ giác OIM D nội tiếp được đường tròn... GọiM là điểm thuộc cạnh BC M không trùng với B và C, đường thẳng AM cắt đường tròn O tại điểm D khác A.. Đường tròn ngoại tiếp tam

Trang 2

Đề số 1 Đề thi vào 10, chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Vũng Tàu, Vòng 1, năm 2018 8

Đề số 2 Đề thi vào 10, chuyên Bắc Giang, tỉnh Bắc Giang, năm 2018 13

Đề số 3 Đề thi vào 10, chuyên Tiền Giang, tỉnh Tiền Giang, năm 2018 19

Đề số 4 Đề thi vào 10, chuyên Đại Học Vinh, tỉnh Nghệ An, năm 2018 27

Đề số 5 Đề thi vào 10, chuyên Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2018 32

Đề số 6 Đề thi vào 10, chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương, năm 2018 37

Đề số 7 Đề thi vào 10, chuyên Bình Phước, năm 2018 45

Đề số 8 Đề thi vào 10, chuyên Hùng Vương, tỉnh Phú Thọ, năm 2018 53

Đề số 9 Đề thi vào 10, chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, tỉnh Vĩnh Long, năm 2018 59

Đề số 10 Đề thi vào 10, chuyên Vĩnh Phúc, vòng 2 năm 2018-2019 65

Đề số 11 Đề thi vào 10, chuyên Thực hành Sư phạm, Hồ Chí Minh, năm 2018 71

Đề số 12 Đề thi vào 10, chuyên Thái Bình, năm 2018 78

Đề số 13 Đề thi vào 10, chuyên Thái Nguyên, tỉnh Thái Nguyên, năm 2018 85

Đề số 14 Đề thi vào 10, chuyên PTNK, Tp Hồ Chí Minh, vòng 2, năm 2018 91

Đề số 15 Đề thi vào 10, chuyên PTNK, Tp Hồ Chí Minh, vòng 1, năm 2018 96

Đề số 16 Đề thi vào 10, chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình, năm 2018 102

Đề số 17 Đề thi vào 10, chuyên Lương Văn Chánh, tỉnh Phú Yên, năm 2018 107

Đề số 18 Đề thi vào 10, chuyên Lương Thế Vinh, tỉnh Đồng Nai, năm 2018 112

Đề số 19 Đề thi vào 10, chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Quảng Trị, năm 2018 117

Đề số 20 124

Đề số 21 Đề thi vào 10, chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, năm 2018 129

Đề số 22 Đề thi vào 10, chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi, năm 2018 135

Đề số 23 Đề thi vào 10, chuyên Lê Hồng Phong, tỉnh Nam Định, vòng 1, năm

2018 140

Đề số 24 Đề thi vào 10, chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai, năm 2018 146

Đề số 25 Đề thi vào 10 chuyên, tỉnh Kiên Giang, năm 2018 150

Trang 3

Đề số 26 Đề thi vào 10, chuyên KHTN Hà Nội, vòng 2, năm 2018 155

Đề số 27 Đề thi vào 10, chuyên KHTN Hà Nội, vòng 1, năm 2018 160

Đề số 28 Đề thi vào 10, chuyên Toán, Tin tỉnh Hưng Yên, năm 2018 164

Đề số 29 Đề thi vào 10, chuyên Hoàng Văn Thụ, tỉnh Hòa Bình, năm 2018 169 Đề số 30 Đề thi vào 10 chuyên, Tp Hồ Chí Minh, năm 2018 174

Đề số 31 Đề thi vào 10 chuyên, Tp Hà Nội, năm 2018 179

Đề số 32 Đề thi vào 10, chuyên ĐHSP Hà Nội, vòng 2, năm 2018 185

Đề số 33 Đề thi vào 10, chuyên sư phạm Hà Nội, vòng 1, năm 2018 189

Đề số 34 Đề thi vào 10, chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bình Định, vòng 2, năm 2018194 Đề số 35 Đề thi vào 10, chuyên Bến Tre, tỉnh Bến Tre, năm 2018 200

Đề số 36 Đề thi vào 10, chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh, năm 2018 204

Đề số 37 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm 2009 - 2010 208

Đề số 38 Đề thi Chuyên Hà Nội năm 2008 211

Đề số 39 Đề thi Chuyên Hà Nội năm 2007 215

Đề số 40 Đề thi Chuyên Hà Nội năm 2005 - 2006, Vòng 1 218

Đề số 41 Đề thi chuyên Toán Tin, Sở Giáo dục Hà Nội năm 2005 V2 222

Đề số 42 Đề thi chuyên Toán Tin, Sở Giáo dục Hà Nội năm 2004 V2 226

Đề số 43 Đề thi Chuyên Hà Nội năm 2004 - 2005, Vòng 1 230

Đề số 44 Đề thi chuyên Toán - Tin AMS, Hà Nội vòng 2, năm 2003 234

Đề số 45 Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, năm 2003 - 2004 237

Đề số 46 Đề thi vào 10 chuyên Toán Hà Nội năm 2015 240

Đề số 51 Đề thi vào 10 chuyên Toán THPT Amsterdam Hà Nội năm 2012 263

Đề số 52 Đề thi vào 10 Chuyên KHTN Hà Nội năm 2015, vòng 2 267

Đề số 53 Đề thi vào 10 chuyên KHTN Hà Nội năm 2015, vòng 1 271

Trang 4

Đề số 64 Đề thi vào 10 chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2015, vòng 2 313

Đề số 66 Đề thi vào 10 Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2014, vòng 2 320

Đề số 75 Đề thi vào 10, Sở giáo dục Vĩnh Long, 2017 356

Đề số 76 Đề thi vào 10, trường THPT Năng Khiếu, 2017 361

Đề số 77 Đề thi vào 10, Chuyên Vĩnh Phúc Vòng 2, 2017 366

Đề số 79 Đề thi vào 10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng 2017 375

Đề số 80 Đề thi vào 10, Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận, 2017 380

Đề số 81 Đề thi vào 10, Sở Giáo Dục Hà Nội - Chuyên Tin, 2017 383

Đề số 82 Đề thi vào 10 Chuyên, Sở giáo dục Tiền Giang, 2017 387

Đề số 83 Đề thi vào 10, Chuyên THPT, TPHCM, 2017 391

Đề số 84 Đề thi vào 10, Chuyên Thái Nguyên 2017 394

Đề số 85 Đề thi vào 10, Chuyên Thái Bình - Vòng 1, 2017 400

Đề số 87 Đề thi vào 10, Chuyên đại học sư phạm Hà Nội - Vòng 2, 2017 410

Đề số 88 Đề thi vào 10, Trường THPT chuyên ĐHSP - Vòng 1, 2017 414

Đề số 89 Đề thi vào 10, Chuyên Toán, THPT Chuyên Quốc Học Huế Vòng 2, 2017 420

Đề số 90 Đề thi vào 10 THPT Chuyên Quốc Học Huế Vòng 1, 2017 425

Trang 5

Đề số 91 Đề thi vào 10 PTNK Hồ Chí Minh, 2017 429

Đề số 92 Đề thi vào 10, Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, 2017 434

Đề số 93 Đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, 2017 439

Đề số 94 Đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Tất Thành - Kon Tum, 2017 446

Đề số 95 Đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017 450

Đề số 96 Đề thi vào 10, Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai, 2017 453

Đề số 97 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu V2, 2017 458

Đề số 98 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu Vòng 1, 2017 462

Đề số 99 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, 2017 467

Đề số 100 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quí Đôn Ninh Thuận, 2017 470

Đề số 101 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng, 2017 473

Đề số 102 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định, vòng 1, 2017 478

Đề số 103 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Khiết, Quãng Ngãi 2017 481

Đề số 104 Đề thi vào 10, Chuyên LHP Nam Định vòng 2, 2017 486

Đề số 105 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định (Vòng 1), 2017 490 Đề số 106 Đề thi vào 10, Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa 2017 495

Đề số 107 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Lâm Đồng, 2017 500

Đề số 108 Đề thi vào 10, Chuyên KHTN, Hà Nội, V2, 2017 504

Đề số 109 Đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội vòng 1 , 2017 510

Đề số 110 Đề thi vào 10, Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang, 2017 513

Đề số 111 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hưng Yên, 2017 517

Đề số 112 Đề thi vào 10, Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, Vòng 2, 2017 522

Đề số 113 Đề thi vào 10, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ, Vòng 1, 2017 527

Đề số 114 Đề thi vào lớp 10, Chuyên Hùng Vương-Gia Lai, 2017 533

Đề số 115 Đề thi vào 10, Chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình, 2017 537

Đề số 116 Đề thi vào 10, Chuyên Hoàng Lê Kha, Tây Ninh, 2017 541

Đề số 117 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hà Tĩnh, 2017 545

Đề số 118 Đề thi vào chuyên Toán 10, Sở giáo dục Hà Nội, 2017 549

Đề số 119 Đề thi vào 10 chuyên Hạ Long, Sở giáo dục Quảng Ninh, 2017 554

Đề số 120 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Đồng Tháp, 2017 557

Đề số 121 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Đắk Lắk, 2017 562

Đề số 122 Đề thi vào 10, Chuyên Đại Học Vinh, Vòng 2, 2017 567

Đề số 123 Đề thi vào 10, Chuyên Đại Học Vinh, Vòng 1, 2017 570

Trang 6

Đề số 124 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Bình Dương, 2017 573

Đề số 125 Đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, Bắc Ninh, 2017 576

Đề số 126 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Bạc Liêu, 2017 581

Đề số 127 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Bắc Giang, 2017 587

Đề số 128 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục An Giang, 2017 592

Đề số 129 Đề thi vào 10, PTNK, TPHCM 2016 596

Đề số 130 Đề thi vào 10 Chuyên, Sở Giáo dục Vũng Tàu, Vòng 1, 2016 600

Đề số 131 Đề thi vào 10, Chuyên Vĩnh Phúc - V2, 2016 604

Đề số 132 Đề thi vào 10, Chuyên Vĩnh Phúc, vòng 1, 2016 608

Đề số 134 Đề thi vào 10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng 2016 617

Đề số 135 Đề thi vào 10, Chuyên Thái Nguyên 2016 622

Đề số 137 Đề thi vào 10 Chuyên, Sở Giáo dục Tây Ninh, 2016 630

Đề số 138 Đề thi vào 10, Chuyên ĐHSP HCM, Vòng 2, 2016 634

Đề số 139 Đề thi vào 10, Chuyên Toán Đại Học Sư Phạm Hà Nội vòng 2, 2016638 Đề số 140 Đề thi vào 10, Chuyên sư phạm Hà Nội - Vòng 1, 2016 642

Đề số 141 Đề thi vào 10 Chuyên, Sở Giáo dục Sơn La, 2016 646

Đề số 142 Đề thi vào 10, Chuyên Quốc Học Huế, vòng 2, năm 2016 650

Đề số 143 Đề thi vào 10, Sở giáo dục Quảng Bình, 2016 654

Đề số 144 Đề thi vào 10, Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, 2016 658

Đề số 145 Đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình, 2016 663

Đề số 146 Đề thi vào 10, Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai, 2016 667

Đề số 147 Đề thi vào lớp 10, Chuyên Long An, 2016 670

Đề số 148 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu, 2016 674

Đề số 149 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn Ninh Thuận, 2016 679

Đề số 150 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng, 2016 683

Đề số 151 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định, vòng 1, 2016 688

Đề số 152 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định vòng 2, 2016 692

Đề số 153 Đề thi vào 10, Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định (Vòng 1), 2016 695 Đề số 154 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Lào Cai, 2016 699

Đề số 155 Đề thi vào 10, Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, Vòng 2, 2016 704

Đề số 156 Đề thi vào 10, Chuyên Lam Sơn, 2016 - V1 708

Trang 7

Đề số 157 Đề thi vào 10 Chuyên, Sở Giáo dục Lâm Đồng, 2016 713

Đề số 158 Đề thi vào 10, Chuyên Kiên Giang, 2016, V2 718

Đề số 159 Đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội, V2, 2016 721

Đề số 160 Đề thi vào 10, Chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội, Vòng 1, năm 2016 724

Đề số 161 Đề thi vào 10, Chuyên Hưng Yên Vòng 2, 2016 729

Đề số 162 Đề thi vào 10, Sở giáo dục Hưng Yên, 2016 733

Đề số 163 Đề thi vào 10, Chuyên Hùng Vương, Sở giáo dục Phú Thọ, 2016 737 Đề số 164 Đề thi vào 10 chuyên Toán, vòng 2, Chuyên Hùng Vương Gia Lai, 2016 741

Đề số 165 Đề thi vào 10, THPT Chuyên Tp Hồ Chí Minh, 2016 746

Đề số 166 Đề thi vào 10, Sở giáo dục Hòa Bình, Chuyên Hoàng Văn Thụ 2016 751 Đề số 167 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hòa Bình, 2016 755

Đề số 168 Đề thi vào 10, Sở giáo dục Hậu Giang, 2016 759

Đề số 169 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hà Tĩnh, 2016 764

Đề số 170 Đề thi vào 10, Chuyên Hà Nội, 2016 768

Đề số 171 Đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, V2, 2016 773

Đề số 172 Đề thi vào 10, Chuyên Đồng Tháp, 2016 777

Đề số 173 Đề thi vào 10 Chuyên, Sở giáo dục Đăk Lăk, 2016 782

Đề số 174 Đề thi vào 10, chuyên đại học Vinh vòng 2, 2016 786

Đề số 175 Đề thi vào 10, Chuyên Bình Phước, 2016 790

Đề số 176 Đề thi vào 10, Chuyên Biên Hòa Hà Nam, năm học 2016-2017 795

Đề số 177 Đề thi vào 10, Chuyên Biên Hòa Hà Nam vòng 1, 2016 799

Đề số 178 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Bến Tre, 2016 802

Đề số 179 Thi vào 10 chuyên, Sở Giáo dục Bắc Ninh, 2016 808

Đề số 180 Đề thi vào 10 Chuyên, Sở giáo dục Bạc Liêu, 2016 812

Đề số 181 Đề thi vào 10, Chuyên Bắc Giang, 2016 816

Đề số 182 Đề thi vào 10, Chuyên Sư Phạm Hà Nội Vòng 2, 2015 821

Đề số 183 Đề thi vào 10, Chuyên ĐH Khoa học Tự nhiên, vòng 1, 2015 826

Đề số 184 Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hưng Yên, 2015 830

Đề số 185 Đề thi vào 10, Chuyên Đại Học Sư Phạm Hà Nội , 2014 834

Trang 8

TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN

7 +

√

7 − 2

5 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =

ß

−

√55

™

a) Tìm tất cả giá trị của hệ số a để hàm số y = ax + 2 đồng biến và đồ thị của hàm số

đi qua điểm A(1; 3).

Trang 10

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy ban đầu chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là 57 m và 30 m.

2

Câu 4 Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A Vẽ hai tiếp tuyến M C

và M D đến (O) (tiếp điểm C thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm D thuộc cung lớn AB).

a) Chứng minh tứ giác OIM D nội tiếp được đường tròn.

CD2.

Lời giải.

Trang 11

N

IE

H

a) Do I là trung điểm của dây cung AB của đường tròn (O) nên OI ⊥ AB ⇒ ’M IO =

90◦.

Lại có M D là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên M DO = 90’ ◦.

Tứ giác OIM D có ’M IO +M DO = 90’ ◦+ 90◦ = 180◦ nên nội tiếp được đường tròn b) Hai tam giác M AD và M BD có BM D’ chung và M DA =’ M BD’ (cùng chắn cung

⇒M ED =’ 1

2

Ä sđ˜AD +sđN B˜ ä= 1

2

Ä sđ˜AD +sđ˜N Aä= 1

2sđN D =˜ ÷M DN.

⇒ Tam giác M ED cân tại M ⇒ M E = M D.

Ta lại có M C = M D (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). ⇒ M E = M C ⇒ tam giác

M CE cân tại M.

d) Ta có M C = M D và OC = OD nên M O là đường trung trực của đoạn thẳng CD

⇒ M O ⊥ CD tại trung điểm H của CD.

Trang 12

3, đạt được khi a = b = 1

2.

Trang 13

ã (với x >0; x 6= 1).

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để A ≥ 1 +

√2018

√

2018 Lời giải.

x − 1)(√

x + 2) +

√x(√

x + 1)(1 −√

1 −√x

√

2018 .

Câu 2 Cho phương trình x2− (m + 1)x − 3 = 0 (1), với x là số ẩn, m là tham số Gọi

x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Đặt B = 3x

Trang 14

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}.

Câu 4 Giải hệ phương trình

16 − 3y = 2x2− 2x + y − 4

Lời giải.

Trang 15

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {(2; 4)}.

Câu 5 Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để 2018 + n2 là số chính phương Lời giải.

Giả sử n2+ 2018 là số chính phương, đặt n2+ 2018 = p2 (p là số tự nhiên lớn hơn 0).

Ta được n2− p2+ 2018 = 0 ⇔ n2− p2 = −2018 ⇔ (n − p)(n + p) = −2018 = (−1) · 2018 =(−2018) · 1 = (−1009) · 2 = (−2) · 1009

Trang 16

Theo trên ta có a · b = 2018 hay 2k · 2l = 2018 ⇔ 4 · k · l = 2018.

Vì k, l là số nguyên nên suy ra 2018 phải chia hết cho 4 (điều này vô lý, vì 2018 không chia hết cho 4).

Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn yêu cầu bài toán (đpcm).

Câu 6 Một đội bóng chuyển VTV cup 2018 Cứ hai đội trong giải đấu đó thi đấu với nhau đúng một trận Đội thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, đội thứ hai thắng x2

trận và thua y2 trận, , đội thứ mười thắng x10 trận và thua y10 trận Biết rằng trong một trận đấu bóng chuyền không có trận hòa Chứng minh rằng: x21+ x22+ · · · + x210 =

Suy ra điều phải chứng minh.

Câu 7 Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn (O) vớiAB < AC GọiM là điểm thuộc cạnh BC (M không trùng với B và C), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm

D khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác M CD cắt đường thẳng AC tại điểm E khác

C Đường tròn ngoại tiếp tam giác M BD cắt đường thẳng AB tại F khác B.

a) Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh hai tam giác ECD, F BD đồng dạng và ba điểm E, M, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.

Lời giải.

Trang 17

F

CM

EO

D

a) Xét 4AM E và 4ACD có

b

A chung và AM E =’ ACD’ (tứ giác M ECD nội tiếp).

Suy ra 4AM E v4ACD ⇒ AE

b) Ta có DEC =’ DM C’ (cùng chắn cung ˜CD).

Mà DM C =’ AM B’ (đối đỉnh) và AM B =’ BF D’ (tứ giác BM DF nội tiếp).

Suy ra DEC =’ BF D’ Chứng minh tương tự ta cũng có ’ECD =F BD’

Xét 4ECD và 4F BD có DEC =’ BF D’ và ECD =’ F BD’ (cmt)

Trang 18

BF E =BCE’ (vì cùng chắn cung BE˜ ) Hay ’AF E =’ACB . (0.9)

Từ (0.8) và (0.10) suy ra ’AF E =F Ac‘ Mà ’AF E và F Ac‘ ở vị trí so le trong Suy ra

Ac∥ EF.

Mặt khác Ac ⊥ AO (vì Ac là tiếp tuyến của đường tròn (O)) ⇒ AO ⊥ EF (đpcm).

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn điều

kiện BC2= 2BA · AC + 4AC2 Tính số đo góc ’ABC.

1

3 ⇒’ABC = 18◦ Vậy ’ABC = 18◦.

Câu 9 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x2+ y2+ z2 = 8 Tìm giá trị lớn nhất của

Trang 19

Trang 21

v = 3

√55

v = −3

√55

5 − 1

y = 3

√5

5 − 1

y = −3

√5

5 − 1;3

√5

5 − 1

ã và

Å

6√5

5 − 1; −3

√5

5 − 1

ã

Câu 4 Cho phương trình

Trang 22

2 Tìm tọa độ hai điểm A,

B trên (P ) sao cho A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) : y = −2x + 9

2 Lời giải.

ã ,(a 6= b)là hai điểm phân biệt trên(P ) GọiM

Å

a + b

2 ;

a2+ b28

b2

4 −a

24

⇔ y =

Å

a + b4

ã

+92

Å

a + b4

Trang 23

Chứng minh bài toán phụ: tích của 4 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 24.

Thật vậy, gọi tích bốn số tự nhiên liên tiếp là P

a) Trường hợp 1: một trong 4 số bằng 0 Ta có P = 0 nênP . 24.

b) Trường hợp 2: với 4 số đều khác 0.

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tai 2 số chẵn, một số chia hết cho 2 và một

số chia hết cho 4 Do đó P . 8.

Lại có, trong 4 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tai một số chia hết cho 3, nên P . 3.

Mà 8 và 3 là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, nên P . 24.

Áp dụng bài toán phụ, suy ra

a (a + 1) (a + 2) (a + 3) . 24.

Do đó

a4+ 6a3+ 11a2+ 30a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 24a . 24 ⇔ M . 24.

Câu 7 Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn tâm O Đường tròn tâm K đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F Gọi H là giao điểm của BF và CE.

a) Chứng minh tam giác AEF và tam giác ACB đồng dạng.

b) Gọi A0 là điểm đối xứng của A qua O Chứng minh AA0 vuông góc với EF.

c) Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (K) với M, N là các tiếp điểm Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Lời giải.

Trang 24

a) Chứng minh tam giác AEF và tam giác ACB đồng dạng.

Ta có tứ giác BEF C nội tiếp

K

b) Gọi A0 là điểm đối xứng của A qua O Chứng minh AA0 vuông góc với EF.

Do tứ giác ABA0C nội tiếp nên

FI

A0

c) Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (K) với M, N là các tiếp điểm Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.

Trang 25

CN

KD

Trang 27

ĐỀ SỐ 4

Câu 1 Cho phương trình x2− (2m + 3)x + 3m + 1 = 0, m là tham số.

a) Tìm tất cả các số thực m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x21+ x22− x1x2= 7

b) Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Trang 28

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm là x = 0, x = 1.

Câu 3 Giải hệ phương trình

2+

Å

y − 1y

Trang 29

Mặt khác a(n2+ n + 1) − n(an + 1) . an + 1 hay (a − n)n + a . an + 1. (3)

Do a ≥ 1 nên(a − 1)n + a > 0, do đó từ (3) suy ra(a − 1)n + a ≥ an + 1 hay a ≥ n + 1. (4)

Trang 30

a) Chứng minh rằng tam giác ABK là tam giác vuông.

b) Đường tròn tâm K bán kính KA cắt các đường tròn (O; R) và (O0; r) theo thứ tự tại M và N (M, N khác A) Chứng minh rằng ABM =’ ABN ’

c) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm C thuộc cung AM không chứa B (C khác A, M) Đường thẳng CA cắt đường tròn (O0; r) tại D Chứng minh rằng KC = KD.

Lời giải.

O0O

A

B K

M

N I

a) Gọi I là giao điểm của KA và OO0 Khi đó I là trung điểm của KA Mặt khác OO0

là trung trực của AB nênIA = IB Từ đó suy ra IB = IA = IK nên tam giác ABK

vuông tại B (đpcm).

b) Ta có KA = KM, OA = OM nên OK là trung trực của AM Do đó KO ⊥ AM

Vì KO ∥ AO0 nên ta suy ra M A ⊥ AO0 Do đó M A là tiếp tuyến của đường tròn

(O0)

Tương tự ta cũng có N A là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Suy ra M AB =’ AN B’ và N AB =’ AM B.’ Xét hai tam giác AM B và ABN suy ra

’

ABM =ABN ’

Trang 31

c) Gọi E, F là trung điểm của OA, AD và H là trung điểm EF.

Khi đó ta có OE, O0F cùng vuông góc với CD nên IH ⊥ CD Suy ra IE = IF Mặt khác KC = 2IE, KD = 2IF nên ta suy ra KC = KD.

O0O

A

B K

Vậy trong mọi trường hợp ta luôn chọn được 5 số có tổng chia hết cho 5.

Trang 32

⇒ x = 5 +

√418

Vậy tập nghiệm của phương trình S =

ß

1 −√33

8 ;

5 +√418

™ b) ĐKXĐ: x, y 6= 0; x, y 6= 2 Từ phương trình xy − x − y = −5 ⇔ (x − 1) (y − 1) = −4 Đặt

Trang 33

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (−1; 3), (3; −1).

Câu 3 Cho phương trình x2+ 2mx − 1 − 2m = 0 m là tham số Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m Tìm m để biểu thức P = 2x1x2+ 1

−4m − 14m2+ 2 + 1 − 1

= (2m − 1)

24m2+ 2 − 1 ≥ −1

Vậy GTNN của P bằng −1 khi m = 1

Trang 34

Câu 5 Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O /∈ AB). C là điểm di động trên đoạn AB (C không trùng với A, B và trung điểm của AB) Đường tròn tâm P đi qua điểm C và tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, đường tròn tâm Q đi qua C và tiếp xúc với đường tròn (O) tại B Các đường tròn (P ), (Q) cắt nhau tại điểm thứ hai là M Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại I.

a) Chứng minh M C là tia phân giác của góc AM B và các điểm A, M, O, B, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh khi điểm M thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M P Q

luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải.

B

OQ

PA

CM

IJ

a) Ta cóAI là tiếp tuyến chung của (P ) và (O);BI là tiếp tuyến chung của(Q)và (O)

và O, P, A thẳng hàng; O, Q, B thẳng hàng.

Trong đường tròn (P ) có AM C =’ BAI‘

Trong đường tròn (Q) có BM C =’ ABI‘

Trang 35

mà BAI =‘ ABI ⇒‘ AM C =’ BM C ⇒ M C’ là tia phân giác của AM B’

Ta có AIB +‘ BAI +‘ ABI = 180‘ 0 ⇒AIB +‘ AM B = 180’ 0 nên tứ giác AM BI nội tiếp Lại có OAI =‘ OBI = 90‘ 0 nên tứ giác AOBI nội tiếp.

Do đó các điểm A, M, O, B, I cùng thuộc một đường tròn đường kính OI.

b) Gọi J là trung điểm của OI.

Ta có ∆AM P cân nên M P O = 2’ M AO’

∆P M Q cân nên M QO = 2’ M BO’ mà M AO =’ M BO ⇒’ M P O = 2’ M QO’

suy ra tứ giác P M OQ nội tiếp.

Do đó đường tròn ngoại tiếp∆M P Q chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giácP M OQ Các điểm A, M, O, B, I cùng thuộc đường tròn đường kính OI nênJ M = J B, QM =

QB suy ra ∆J M Q = ∆J BQ ⇒J M Q =’ J BQ‘ mà ∆J OB cân ⇒J BQ =‘ J OQ‘ Do đó

’

J M Q =J OQ‘ hay tứ giác J M OQ nội tiếp Suy ra các điểm P, M, O, Q, I cùng thuộc một đường tròn Ta có O, I cố định nênJ O cố định Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp

∆M P Q luôn thuộc đường trung trực của đoạn J O cố định.

Câu 6 Cho a1 < a2 < a3 < < an < với (n ∈ N∗) là những số nguyên dương và không có hai số nào liên tiếp Đặt Sn = a1+ a2+ + an Chứng minh rằng luôn tồn tại

⇔ a2

n+1− 2(2n + 1)an+1+ (2n + 1)2 ≥ 0 ⇔ (an+1− 2n − 1)2 ≥ 0luôn đúng, do đó (∗)đúng.

Trang 37

Họ và tên thí sinh: Lớp:

= a + 1 −

[(a + 1)2− 2a] + a

2(a + 1)2

= a + 1 −

... 27

ĐỀ SỐ 4

Câu Cho phương trình x2−... class="page_container" data-page="32">

⇒ x = 5 +

√418

Vậy tập nghiệm phương trình S =... class="page_container" data-page="37">

Họ tên thí sinh: Lớp:

= a + −

[(a

Định dạng
Số trang	838
Dung lượng	4,05 MB