TỔNG QUAN VỀ BỘ LỌC SỐ
Giới thiệu về bộc lọc số
Tín hiệu là đại diện vật lý của thông tin, được mô tả bằng hàm của một hoặc nhiều biến độc lập trong toán học Tín hiệu được phân chia thành hai loại chính: tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục được xác định tại mọi thời điểm trong khoảng thời gian tồn tại của nó, bao gồm tín hiệu tương tự và tín hiệu lượng tử hóa Ngược lại, tín hiệu rời rạc chỉ được xác định tại các thời điểm cụ thể, bao gồm tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số.
Tín hiệu số và tín hiệu tương tự đều có thể được biểu diễn thông qua hàm tần số, tạo thành phổ tần số của tín hiệu Phổ tần số này đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả ý nghĩa của các tần số liên quan đến tín hiệu.
Lọc tín hiệu là quá trình biến điệu, phục hồi hoặc xử lý phổ tần số của tín hiệu theo các chỉ tiêu nhất định Trong quá trình này, các thành phần tần số có thể được khuếch đại, suy giảm, tách ra hoặc loại bỏ Mục tiêu chính của bộ lọc là chỉ cho phép tín hiệu có ích đi qua, đồng thời loại bỏ những tín hiệu nhiễu do xâm nhập hoặc phát sinh trong quá trình xử lý.
Bộ lọc số là hệ thống sử dụng để xử lý và lọc các tín hiệu rời rạc, với nguyên lý hoạt động được minh họa trong sơ đồ hình 1.1.
Hình 1.1: Sơ đồ khối của hệ thống lọc số
Tín hiệu vào x(t) được lấy mẫu với tần số Ts, tạo ra tín hiệu rời rạc x(nTs), sau đó được chuyển đổi qua bộ biến đổi tương tự số ADC Trong bộ ADC, mỗi mẫu được lượng tử hóa và chuyển thành mã nhị phân, với độ dài mã càng lớn thì độ chính xác của phép lấy mẫu càng cao Dãy mẫu đã mã hóa này sau đó được đưa vào bộ lọc số DF.
Các từ mã được tính toán và xử lý thông qua thuật toán lọc, dẫn đến việc xuất hiện các từ số mới ở đầu ra của bộ lọc số DF Tín hiệu số đã được lọc y(n) này sẽ được lưu trữ và xử lý trên máy tính, hoặc được chuyển qua bộ biến đổi số sang tương tự DAC (Digital to Analog Converter) Cuối cùng, tín hiệu sẽ được lọc bởi mạch lọc thông thấp để khôi phục lại tín hiệu tương tự y(t).
Tín hiệu vào chịu ảnh hưởng từ nhiều yếu tố khác nhau, với bản chất của tín hiệu tự nhiên là tín hiệu tương tự Như hình 1.1 đã chỉ ra, tín hiệu tương tự được chuyển đổi thành tín hiệu số để tiến hành phân tích và xử lý, trước khi được tái tạo lại thành tín hiệu tương tự Vì vậy, việc xác định mối quan hệ hài hòa và đồng nhất giữa tín hiệu số và tín hiệu tương tự trong hệ thống lọc là rất quan trọng.
Các loại bộ lọc số
Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn FIR (Finite Impulse Response):
Phương trình sai phân của bộ lọc số FIR:
Bộ lọc số FIR có đặc điểm là đáp ứng ra y(n) chỉ phụ thuộc vào tín hiệu kích thích tại thời điểm hiện tại và quá khứ, do đó nó còn được gọi là bộ lọc số không đệ quy.
Có thể biểu diễn bộ lọc FIR dưới dạng:
Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài vô hạn IIR (Infinite Impulse Response) Phương trình sai phân của bộ lọc số IIR:
Bộ lọc số IIR có đặc điểm là đáp ứng ra y(n) phụ thuộc không chỉ vào tín hiệu kích thích hiện tại và quá khứ, mà còn vào đáp ứng ra ở các thời điểm trước đó Do đó, bộ lọc này còn được gọi là bộ lọc số đệ quy Bộ lọc số IIR có thể được biểu diễn dưới dạng cụ thể.
Các chỉ tiêu thiết kế của bộ lọc số
Ta đã biết các bộ lọc số lý tưởng không thể thực hiện được về mặt vật lý vì h(n) không nhân quả và có chiều dài vô hạn
Với bộ lọc số thực tế đáp ứng biên độ thỏa mãn: jω p p jω s
(1.6) Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp thực tế được thể hiện ở hình sau:
Hình 1.2: Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp
Các bộ lọc số thực tế được đặc trưng bởi các tham số kỹ thuật trong miền tần số liên tục ω có 4 tham số chính là [1]:
- δ p : độ gợn sóng ở dải thông;
- δ s : độ gợn sóng ở dải chắn;
- ω p : tần số giới hạn (biên tần) dải thông;
- ω s : tần số giới hạn (biên tần) dải chắn;
- Ngoài ra còn có tham số phụ là: Δω ω s ω p bề rộng dải quá độ
Để thiết kế bộ lọc hiệu quả, cần tối ưu hóa các độ gợn sóng dải thông và dải chắn ở mức thấp (khoảng vài %), đồng thời tần số giới hạn dải thông và dải chắn phải càng gần nhau càng tốt để bề rộng dải quá độ hẹp Tuy nhiên, thực tế cho thấy các tham số này thường có mối quan hệ nghịch nhau, tạo ra thách thức trong quá trình thiết kế.
4 Đối với bộ lọc số thông cao, thông dải và chắn dải cũng có các tham số kỹ thuật tương ứng
Nguyên tắc thiết kế bộ lọc số dựa vào hàm đáp ứng tần số, yêu cầu về độ gọn sóng, độ rộng dải quá độ và độ suy giảm trong dải chắn Phương pháp thiết kế sẽ được sử dụng để tính toán các hệ số h(n).
Khi thiết kế các bộ lọc số cần đáp ứng các yêu cầu chính sau đây:
1 Tính các hệ số đáp ứng xung h(n): Các mẫu đáp ứng tần số của bộ lọc sao cho đường đặc tuyến tần số nhận được gần với đường đặc tuyến lý tưởng, nghĩa là tối ưu hoá các hệ số
2 Xây dựng cấu trúc hàm truyền đạt H(z) sao cho thời gian là nhanh nhất mà không bị méo pha, méo biên độ, nghĩa là đảm bảo tính tái xây dựng hoàn chỉnh.
Tổng hợp bộ lọc số IIR
Phương pháp chuyển đổi từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số sẽ được trình bày, bắt đầu bằng việc xác định hàm truyền đạt H a (s) trong miền tương tự trước khi thực hiện phép biến đổi sang miền số để tổng hợp bộ lọc số IIR.
Ta có thể mô tả bộ lọc tương tự bằng hàm hệ thống của nó như sau:
(1.7) Ở đây {α k } và {β k } là các hệ số lọc, hoặc bằng đáp ứng xung liên quan với
H a (s) thông qua biến đổi Laplace: st
Bộ lọc tương tự có hàm hệ thống hữu tỷ H a (s) cũng có thể được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: k r
5 Ở đây x(t) là tín hiệu vào và y(t) tín hiệu ra của bộ lọc
Một trong ba đặc trưng của bộ lọc tương tự là khả năng chuyển đổi sang miền số khác nhau Hệ thống tuyến tính bất biến với hàm hệ thống H a (s) được coi là ổn định khi tất cả các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng s (s: biến số phức, s=σ +jΩ) Nếu phép biến đổi thành công, nó sẽ sở hữu các tính chất nhất định.
1 Trục jΩ trong mặt phẳng s sẽ ánh xạ lên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng z Như vậy sẽ có quan hệ trực tiếp giữa hai biến tần số trong hai miền
2 Nửa trái của mặt phẳng s sẽ ánh xạ vào phía trong đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng z Như vậy một bộ lọc tương tự ổn định sẽ được biến đổi thành bộ lọc số ổn định
Bộ lọc IIR ổn định không thể có pha tuyến tính, vì để đạt được pha tuyến tính, hàm hệ thống của bộ lọc cần phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
H(z) = ±z - H(z - N) thể hiện rằng z - N biểu thị độ trễ N đơn vị thời gian Bộ lọc sẽ có các điểm cực ánh xạ gương bên ngoài đường tròn đơn vị tương ứng với mỗi điểm cực trong đường tròn này, dẫn đến việc bộ lọc trở nên không ổn định Do đó, một bộ lọc IIR nhân quả và ổn định không thể sở hữu pha tuyến tính Đặc điểm nổi bật của bộ lọc IIR là chiều dài đáp ứng xung L[h(n)] = ∞.
Có 4 phương pháp để chuyển từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số tương đương là [2]:
- Phương pháp bất biến xung;
- Phương pháp biển đổi song tuyến;
- Phương pháp tương đương vi phân;
- Phương pháp biến đổi z tương ứng
Với điều kiện đã tổng hợp được H a (s) Để tìm được hàm truyền đạt tương tự
H a (s), người ta có 3 phương pháp tổng hợp là [2]:
1.4.2 Phương pháp bất biến xung
Trong phương pháp bất biến xung, mục tiêu là tổng hợp bộ lọc IIR có đáp ứng xung đơn vị h(n) tương ứng với phiên bản lấy mẫu của đáp ứng xung bộ lọc tương tự Điều này có nghĩa là h(n) tương đương với h(nT), với n = 0, 1, 2, và T là khoảng lấy mẫu Bộ lọc số với đáp ứng xung đơn vị h(n) tương đương với h a (nT) sẽ có đáp ứng tần số dựa trên đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự H a (F).
Bộ lọc số với đáp ứng tần số H(e jω) sẽ có đặc tuyến đáp ứng tần số tương ứng với bộ lọc tương tự nếu khoảng lấy mẫu được chọn đủ nhỏ để tránh hiện tượng alias Tuy nhiên, phương pháp bất biến xung không phù hợp với bộ lọc thông cao do sự lẫn phổ trong quá trình xử lý lấy mẫu.
Để hiểu sự ánh xạ giữa mặt phẳng z và mặt phẳng s thông qua quá trình lấy mẫu, chúng ta sử dụng công thức tổng quát hoá (1.13) để thiết lập mối liên hệ giữa biến đổi z của h(n) và biến đổi Laplace của h a (t) Mối quan hệ này được diễn đạt bằng công thức: st a z e k.
Khi đặt s = jΩ, biểu thức (1.14) trở thành (1.13), với thừa số j trong H a (ω) bị loại bỏ Đặc tính của ánh xạ z = e^(sT) có thể được hiểu qua việc thay thế s = σ + jΩ và biểu diễn biến phức z theo tọa độ cực z = re^(jω) Với sự thay thế này, (1.16) chuyển thành (1.17): jT = re^(jω)e^(σT).
Rõ ràng, ta có: re T và T (1.18)
Khi σ < 0, điều này cho thấy rằng 0 < r < 1, trong khi σ > 0 chỉ ra rằng r > 1 Khi σ = 0, ta có r = 1 Do đó, nửa trái mặt phẳng s được ánh xạ vào trong đường tròn đơn vị thuộc z, trong khi nửa phải mặt phẳng s được ánh xạ thành các điểm ngoài đường tròn đơn vị thuộc z Đây là một trong những tính chất có lợi của ánh xạ đang được xem xét.
Như đã chỉ ở trên, trục jΩ cũng được ánh xạ lên đường tròn đơn vị trong z
Sự ánh xạ giữa tần số Ω và ω không phải là một - một, vì ω chỉ xác định duy nhất trong khoảng (−π, π) Điều này có nghĩa là khoảng tần số −π/T ≤ Ω ≤ π/T tương ứng với −π ≤ ω ≤ π Bên cạnh đó, khoảng tần số π/T ≤ Ω ≤ 3π/T cũng ánh xạ vào khoảng −π ≤ ω ≤ π Tổng quát, khoảng (2k −1)π/T ≤ Ω ≤ (2k +1)π/T, với k là số nguyên, cũng có sự ánh xạ tương tự Do đó, ánh xạ từ tần số Ω sang ω trong miền tần số là nhiều - một, phản ánh ảnh hưởng của sự chồng phổ khi lấy mẫu Hình 1.3 minh họa sự ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z.
Hình 1.3: Sự ánh xạ ze sT của khoảng 2π/T (với σ < 0) trong mặt phẳng s lên các điểm trong đường tròn đơn vị thuộc mặt phẳng z
Để khám phá ảnh hưởng của phương pháp bất biến xung đến đặc tuyến bộ lọc, chúng ta cần biểu diễn hàm hệ thống của bộ lọc tương tự dưới dạng phân thức tối giản Giả sử rằng các cực của bộ lọc tương tự là phân biệt, chúng ta có thể diễn đạt như sau:
(1.19) Ở đây {spk} là các cực của bộ lọc tương tự và {Ak} là các hệ số của khai triển phân thức Bởi vậy: pk
Nếu lấy mẫu h a (t) một cách tuần hoàn tại t = nT , ta có: pk
Thay (1.21) vào, hàm hệ thống bộ lọc số IIR sẽ là:
Tổng phía trong của (1.22) là hội tụ, vì spk 0 sao cho với ts> r+1 được thỏa mãn trong phương trình (2.14), hệ thống được mô tả bởi phương trình (2.17) sẽ có một phân hệ cân bằng nội bậc r Từ đó, chúng ta có thể phát triển một mô hình bậc r hoặc mô hình giảm bậc, mô hình này vẫn đáp ứng điều kiện cân bằng nội và được thể hiện qua các phương trình trong (2.17) Ở đây, Ar là ma trận khối kích thước (r x r) nằm ở phía trên bên trái của A*, Br chứa các hàng từ 1 đến r của B*, và Cr gồm các cột từ 1 đến r của C* Do A là một ma trận ổn định, nên Ar cũng sẽ giữ tính ổn định.
Theo phương pháp cân bằng nội, mô hình giảm bậc được xây dựng bằng cách loại bỏ các trạng thái ít khả năng điều khiển và quan sát Kết quả là các biến trạng thái của mô hình giảm bậc gần giống với r biến trạng thái đầu tiên của phương trình So sánh giữa phương pháp cân bằng ma trận và phương pháp ghép hợp cho thấy mô hình giảm bậc từ phương pháp ghép hợp có thể tiện lợi như phương pháp cân bằng nội, đặc biệt khi các trị riêng của mô hình gốc có tính trội Phân tích sai số trong trường hợp xấu của phương pháp cân bằng nội chỉ ra rằng, khi mô hình gốc được cân bằng nội toàn bậc, việc tính toán các giá trị giới hạn của sai số trở nên đơn giản hơn.
Năm 1989, Prakash và Rao đã giới thiệu phiên bản điều chỉnh của phương pháp cân bằng nội của Moore, trong đó mô hình giảm bậc được xác định bằng cách gần đúng trạng thái của các phân hệ yếu xung quanh trục tần số bằng 0 Phương pháp này giúp giảm sai số mô phỏng ở tần số thấp, cải thiện độ chính xác của các kết quả.
Một vài ví dụ về giảm bậc theo phương pháp cân bằng nội
Mục đích của bài viết là minh họa các bước tính toán theo phương pháp cân bằng nội đồng và đánh giá sai số của mô hình giảm bậc trong miền tần số thông qua ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Cho một mô hình hệ động học tuyến tính bậc 5 được mô tả trong không gian trạng thái: x C y u B x A x
(2.18) có các tham số như sau:
Chuyển sang cấu trúc dạng hàm truyền ta có:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 5 Định thức của A5 là det(A5) = -1.024
Các giá trị riêng của A5 là: -2.8302;
Như vậy A5 là ma trận ổn định, hệ (2.18) điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Kết quả giảm bậc được cho trong bảng sau:
Bảng 2.1: Tham số của các hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.1: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink
Hình 2.2: Đáp ứng bước nhảy hệ gốc và các hệ giảm bậc
Hình 2.3: Đặc tính tần số hệ gốc và hệ giảm bậc
Từ kết quả mô phỏng của các ví dụ cho ta các nhận xét như sau:
Phương pháp cân bằng nội được thực hiện đơn giản và do ma trận hệ gốc A5 ổn định, tất cả các ma trận Ar cũng sẽ ổn định, dẫn đến việc các hệ giảm bậc đều giữ được tính ổn định.
Đặc tính bước nhảy của hệ giảm bậc thấp hơn hệ gốc 1 bậc, và trong trường hợp hệ gốc bậc 5, hệ giảm bậc sẽ thấp hơn 2 bậc, vẫn bám sát đặc tính của hệ gốc Do đó, hệ giảm bậc này có thể được sử dụng thay thế cho hệ gốc trong thiết kế hệ thống điều khiển.
Đặc tính bước nhảy của các hệ giảm bậc thấp hơn hệ gốc từ 2 bậc trở lên, và đặc biệt là trong trường hợp hệ gốc bậc 5 thì hệ giảm bậc thấp hơn 3 bậc, có sự khác biệt lớn so với đặc tính của hệ gốc Do đó, việc sử dụng các hệ này để thay thế hệ gốc trong thiết kế hệ thống điều khiển là không nên.
- Phân tích và so sánh đặc tính hệ gốc và các hệ giảm bậc trong miền tần số thấy rằng:
Trong miền tần số thấp, đặc tính biên tần của các hệ giảm bậc trùng khít với hệ gốc Khi bậc của hệ giảm bậc càng giảm, miền tần mà đặc tính biên tần thể hiện cũng sẽ thay đổi.
Trong miền tần số cao, sai lệch giữa hệ gốc và hệ giảm bậc ngày càng tăng, đặc biệt khi tần số tăng lên Các hệ giảm bậc có bậc nhỏ hơn sẽ có sai lệch lớn hơn so với hệ gốc Do đó, có thể sử dụng các hệ giảm bậc thấp hơn một bậc so với hệ gốc (trừ hệ bậc 5 có thể giảm 2 bậc) trong miền tần số thấp Tuy nhiên, để áp dụng các hệ giảm bậc trong miền tần số cao, cần nghiên cứu thêm để điều chỉnh phương pháp nhằm giảm thiểu sai lệch giữa các hệ này và hệ gốc.
Đặc tính pha tần của các hệ giảm bậc lệch pha 360 độ so với hệ gốc Ở miền tần thấp, đặc tính của hệ giảm bậc gần như song song với hệ gốc Tuy nhiên, khi tăng tần số, đặc tính pha tần giữa các hệ giảm bậc và hệ gốc bắt đầu xuất hiện sai lệch, và sai lệch này càng gia tăng khi tần số tăng lên.
Như vậy: Trong miền tần số thì các hệ giảm bậc có bậc thấp hơn hệ gốc 1 bậc
Hệ gốc bậc 5 đến 2 bậc có khả năng thay thế hệ gốc trong miền tần thấp Tuy nhiên, để áp dụng hiệu quả trong miền tần cao, cần thực hiện thêm các nghiên cứu nhằm giảm thiểu sai lệch giữa các hệ giảm bậc và hệ gốc.
Ví dụ 2: Cho một mô hình hệ động học tuyến tính bậc bốn được mô tả trong không gian trạng thái: x C y u B x A x
Ta có các tham số như sau:
Chuyển sang cấu trúc dạng hàm truyền ta có hàm truyền hệ bậc bốn có dạng sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 4
Ta có định thức A4 là det(A4) = 150
Các giá trị riêng của A4 là: -1;
Như vậy A4 là ma trận ổn định, hệ (2.20) điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Kết quả giảm bậc được cho trong bảng sau:
Bảng 2.2: Tham số của các hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Bậc của hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.4: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink
Hình 2.5: Đáp ứng bước nhảy hệ gốc và các hệ giảm bậc
Hình 2.6: Đặc tính tần số hệ gốc và các hệ giảm bậc
Ví dụ 3: Giả thiết là đối tượng của hệ thống được mô hình hóa với các thông số được mô tả bằng mô hình toán học như sau:
Chuyển mô hình đối tượng sang dạng không gian trạng thái
có các tham số như sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 3 Định thức của A3 là det(A3) = -740.5568
Các giá trị riêng của A3 là: -33.3318 + 0.3847i;
Như vậy A3 là ma trận ổn định, hệ điều khiển được và quan sát được
Hệ thống gốc trong hệ cân bằng nội là:
Kết quả giảm bậc được cho trong bảng sau:
Bảng 2.3: Mô hình không gian trạng thái và mô hình hàm truyền của các hệ giảm bậc
Bậc của hệ giảm bậc
Tham số hệ giảm bậc trong mô hình không gian trạng thái
Mô hình hàm truyền của hệ giảm bậc
Hình 2.7: Sơ đồ mô phỏng hệ gốc và các hệ giảm bậc trong Simulink Đánh giá chất lượng quá độ của hệ giảm bậc
Sau khi tìm ra mô hình giảm bậc, để đánh giá chất lượng quá độ, ta sử dụng MATLAB/SIMULINK và vẽ các đáp ứng h(t) như hình 2.8
Hình 2.8: Đáp ứng h(t) hệ gốc và các hệ giảm bậc
Kết quả mô phỏng cho thấy đáp ứng h(t) của hệ giảm bậc 2 trùng khít với hệ gốc, trong khi hệ giảm bậc 1 có sự sai khác so với hệ gốc Để đánh giá chất lượng của hệ giảm bậc trong miền tần số, chúng ta khảo sát đặc tính biên tần của hệ gốc và các hệ đã giảm bậc, với kết quả được trình bày trong hình 2.9.
Hình 2.9: Đặc tính biên tần hệ gốc và hệ giảm bậc
Kết quả cho thấy rằng trong miền tần số thấp, A(ω) của hệ gốc và các hệ giảm bậc có sự khác biệt rất nhỏ Tuy nhiên, sai số A(ω) sẽ gia tăng khi tần số tăng.
Kết luận chương
Trong chương này, tác giả trình bày cơ sở toán học cho phương pháp cắt giảm cân bằng trong hệ tuyến tính Phương pháp được giải thích qua các bước cụ thể, bao gồm phân tích các thành phần và cách tính toán Qua đó, chúng ta xác định được các giá trị và thành phần chính trong mô hình, giúp nhận diện mô hình giảm bậc, sẽ được xem xét chi tiết trong chương 3.
ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ IIR
Thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự Butterworth
Để thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự thông thường người ta sử dụng hai phương pháp đó là:
Phương pháp chuyển đổi từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số là một kỹ thuật phổ biến, trong đó đầu tiên chúng ta thiết kế bộ lọc tương tự và sau đó áp dụng các phương pháp chuyển đổi gần đúng giữa miền tương tự và miền số để tạo ra bộ lọc số.
Phương pháp tối ưu hóa thứ hai sử dụng máy tính điện tử để tìm ra các thủ tục tối ưu hóa Các phương pháp này nhằm mục đích giảm thiểu sai số trong việc xấp xỉ các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc thiết kế bằng cách sử dụng một bộ lọc khác đáp ứng các tiêu chuẩn gần đúng Tuy nhiên, phương pháp này ít được áp dụng trong thực tế.
Trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự Butterworth, sử dụng kiến thức từ chương 1 Cụ thể, chúng ta sẽ tiến hành thiết kế bộ lọc số dựa trên các đặc điểm của bộ lọc tương tự Butterworth.
Để thiết kế bộ lọc số thông thấp từ bộ lọc tương tự thông thấp Butterworth, các chỉ tiêu kỹ thuật cần được xác định rõ ràng Cụ thể, tần số cắt ωp được đặt là 0.25π (rad), tần số ngắt ωs là 0.4π (rad), độ rớt tại tần số cắt Rp là 1 (dB) và độ rớt tại tần số ngắt As là 40 (dB) Phương pháp biến đổi song tuyến sẽ được áp dụng để thực hiện thiết kế này.
Các bước thiết kế như sau:
- Bước 1: Xác định các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số
Theo đề bài ta có các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số như sau:
+ Tần số giới hạn dải thông: ωp = 0.25π (rad)
+ Tần số giới hạn dải chắn: ωs = 0.4 π (rad)
+ Độ gợn dải thông: Rp = 1 (dB)
+ Độ suy hao giải chắn: As = 40 (dB)
Bước 2: Xác định lại các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc tương tự dựa trên các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số tương ứng, sử dụng phương pháp biến đổi song tuyến.
Chuẩn hóa bằng tần số lấy mẫu F s ta được:
- Bước 3: Tổng hợp bộ lọc Butterworth
+ Xác định bậc của bộ lọc:
Ta có bậc của bộ lọc được tính theo công thức sau:
+ Xác định H 0 và các điểm cực của H(s):
- Bước 4: Tìm hàm truyền H(z) của bộ lọc số
Khi áp dụng phương pháp biến đổi song tuyến, các tần số của bộ lọc được chuẩn hóa theo tần số lấy mẫu, giúp đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong quá trình xử lý tín hiệu.
Chuẩn hóa bởi F s ta được:
Thay vào H(s) ở trên ta tìm được hàm H(z):
Sau khi biến đổi ta thu được hàm H(z) như sau:
Ứng dụng thuật toán giảm bậc mô hình thiết kế bộ lọc số IIR
Xét một bộ lọc số IIR pha tuyến tính bậc thứ n được định nghĩa trong miền n:
Khi sử dụng thuật toán giảm bậc mô hình đề xuất, phương pháp cân bằng nội kết hợp với kỹ thuật biến đổi tuyến tính (z = s + 1) được áp dụng để xác định hàm truyền trong miền s.
Xét bộ lọc số IIR với hàm truyền dưới dạng H(z) sau:
Thực hiện áp dụng kỹ thuật biến đổi tuyến tính (thay z = s + 1 vào hàm truyền H(z)), khi đó hàm truyền H(z) sẽ trở thành H(s):
Áp dụng kiến thức từ chương 2, chúng ta sẽ thực hiện giảm bậc hàm truyền H(s) bằng phương pháp cân bằng nội Để thực hiện việc giảm bậc H(s), bước đầu tiên là chuyển đổi hệ thống từ dạng hàm truyền sang mô tả trong không gian trạng thái.
Với các tham số A10, B10, C10 và D như sau:
Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống gốc bậc 10 Định thức của A10 là det(A10) = 0.0172
Các giá trị riêng của A10 là: -0.2792 + 0.6278i;
Như vậy A10 là ma trận ổn định, hệ điều khiển được và quan sát được Để thực hiện giảm bậc với H(s) chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính toán các Gramian điều khiển được Wc, Gramian quan sát được
Wo từ 2 phương trình Lyapunov:
A T Wo + WoA = -C T C Thực hiện tính toán ta thu được được kết quả sau:
- Bước 2: Xác định ma trận trực giao Vc và ma trận đường chéo c sao cho:
(Vc) T WcVc = (c) 2 Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 3: Xác định ma trận trực giao P và ma trận đường chéo với:
P T WP = Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 4: Xác định ma trận T không suy biến thỏa mãn: c c
Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
- Bước 5: Xác định các ma trận A*, B*, C* và D* sao cho:
Thực hiện tính toán ta có kết quả sau:
D* e Sau khi tiến hành giảm bậc hàm H(s) ta thu được kết quả như bảng sau:
Bảng 3.1: Kết quả giảm bậc hàm truyền H(s) theo thuật toán cân bằng nội
s Đánh giá sai số giảm bậc theo chuẩn H ∞ ta được kết quả như bảng sau:
Bảng 3.2: Sai số giữa hàm truyền gốc với các hàm giảm bậc
Bậc Sai số hệ gốc và hệ giảm bậc
1 0.5171 Để đánh giá kết quả giảm bậc, ta tiến hành mô phỏng đặc tính pha, biên tần của hệ gốc và các hệ giảm bậc như hình 3.1
Hình 3.1: Đặc tính biên tần, pha của hệ gốc và hệ giảm bậc
Kết quả mô phỏng cho thấy đặc tính biên tần và pha của hệ giảm bậc 7 và 6 tương đồng với hệ gốc, trong khi các hệ giảm bậc khác có sự sai khác rõ rệt Vì vậy, hàm truyền của hệ giảm bậc 7 và 6 có thể được sử dụng để thay thế cho hàm truyền của hệ gốc.
Sai số của hệ gốc và hệ giảm bậc 7, 6 lần lượt là: 1.4303e-006, 2.9136e-005 Đáp ứng đối với yêu cầu của chuẩn H ∞
Kết luận chương
Trong chương này, tác giả trình bày quy trình tính toán và thiết kế bộ lọc số dựa trên bộ lọc tương tự Butterworth Phương pháp cân bằng nội được áp dụng để giảm bậc mô hình, cho phép so sánh đặc tuyến tần số và pha giữa hệ gốc và hệ đã giảm bậc Kết quả tính toán và mô phỏng cho thấy, với các bài toán tổng hợp, bộ lọc số IIR có thể được thiết kế với bậc thấp hơn so với bậc ban đầu nhờ vào thuật toán cân bằng nội này.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Luận văn đã nghiên cứu được một số vấn đề sau:
Nghiên cứu lý thuyết cơ bản về bộ lọc số và các yêu cầu kỹ thuật trong thiết kế bộ lọc số là rất quan trọng Bài viết trình bày các phương pháp tổng hợp bộ lọc IIR từ bộ lọc tương tự, đồng thời đưa ra các bước cụ thể để tính toán thiết kế bộ lọc số IIR.
Nghiên cứu lý thuyết về thuật toán giảm bậc mô hình thông qua phương pháp cân bằng nội là rất quan trọng Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương pháp cân bằng nội của Moore, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa để làm rõ các bước tính toán khi áp dụng phương pháp này Việc áp dụng phương pháp cân bằng nội không chỉ giúp tối ưu hóa mô hình mà còn nâng cao hiệu quả trong các ứng dụng thực tiễn.
Ứng dụng giảm bậc mô hình theo phương pháp cân bằng nội, được đề xuất bởi Moore, đã được áp dụng vào bài toán thiết kế bộ lọc số IIR Kết quả mô phỏng cho thấy hiệu quả của phương pháp này thông qua một bài toán cụ thể.
Quá trình đánh giá kết quả mô phỏng cho thấy phương pháp giảm bậc mô hình có thể áp dụng hiệu quả trong thiết kế bộ lọc số Ví dụ cho thấy hệ bậc thấp có thể thay thế hệ bậc cao mà vẫn duy trì được các đặc tính cần thiết của hệ gốc Mặc dù chất lượng của hệ giảm bậc có giảm so với hệ gốc, nhưng mức độ giảm này là chấp nhận được khi xem xét các sai số giới hạn cho phép Điều này rất hữu ích cho việc thiết kế hệ thống và nâng cao hiệu quả tính toán, đảm bảo thời gian thực trong xử lý tín hiệu.
- Cần nghiên cứu thêm một số phương pháp giảm bậc mô hình khác để so sánh với phương pháp cân bằng nội
- Xây dựng mô hình bộ lọc IIR thực tế đánh giá các kết quả thực tế và mô phỏng