Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với 5 điểm bất kỳ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta luôn tìm được 4 điểm là 4 đỉnh của một tứ giác lồi... Ta gọi đa giác trong các đa giác đó chứa[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH YÊN BÁI
KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM 2013 – VÒNG 2
Môn thi: TOÁN Ngày thi: 12/11/2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang )
Câu 1
(5
điểm)
Tìm một phương trình bậc 7 có các hệ số nguyên có nghiệm là
7 3 7 2
Đặt: x , x
2 3 thì
x x
1 2
do đó x1 và x2 là 2 nghiệm của PT: x2 x 1 0 0,5
Như vậy:
2
2
1 0
0
Đặt: Sn x1nxn2 , thì
o
1
2
2
0,5 0,5
S S S
Vậy PT cần tìm là: x6 7 42x584x3 42x13 0 0,5
Trang 1/ 6
Trang 2Câu 2
(5
điểm)
Cho dãy số: Un n
0xác định bởi công thức truy hồi:
o
n
U
U
2 1
10
2 Hãy chứng minh dãy Un n
0 có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó
Ta chứng minh:
n
o n
U U
2 2012
2012
n = 0:
o
2
Giả sử công thức đúng với n = k:
k
o k
U U
2 2012
2012
2012 2012 ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1
0,5
Thật vậy,
k
k
k
k
k
k
U
U
U
U
U
1
2
1
2 1
2 2
2 2
2
2012 2
2012 Công thức đúng với n = k + 1
0,5
0,5
Đặt
n n n
U V U
2012
o o
U
; U
2012 10 2012 2002 0 1
n
o n
n
U U
2 2012
1,0
Vì vậy:
n n
n
V
V
Trang 3Vậy lim Un 2012.
0,5
Câu 3
(4
điểm)
Cho tứ diện và sáu mặt phẳng sao cho mỗi mặt phẳng đi qua trung điểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện Chứng minh rằng sáu mặt phẳng
đó đồng quy tại một điểm
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD Khi đó G cũng là trung điểm đoạn MN nối
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Do đó O thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CD
0,5 0,5
Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với CD, song song với mặt phẳng trung trực
của CD
Hai mặt phẳng này cắt mp (OMN) theo 2 giao tuyến song song ON và MH
( H GO)
Ta thấy hai tam giác MGH và NGO bằng nhau ( g.c.g) nên OG = HG
Hay H là điểm đối xứng với O qua G
0,5 0,5
0,5
Lập luận tương tự, năm mặt phẳng còn lại cũng đi qua H
Trang 3/ 6
Trang 5Câu 4
(3
điểm)
Chứng minh rằng có vô hạn các cặp số nguyên dương (x; y) là nghiệm của một trong hai phương trình sau:
2 2
2 2
Ta thấy:
2 2
2 2
2 2
2 2
0,5
Giả sử ta đã có:
Trong đó ak 3; ah 4; b ,bk h 5
Khi đó:
0,5
0,5
Đặt: ak1 ak b ;bk k12akb ;ak h1ah b ;bh h1 2ah b h
Ta được:
0,5 0,5
Quá trình trên tiếp tục thực hiện ta nhận được vô hạn cặp
số nguyên dương (x; y) thỏa mãn bài toán (đpcm)
0,5
Câu 5
(3
điểm)
Cho 2013 điểm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng Có thể lập được nhiều nhất bao nhiêu tứ giác lồi có 4 đỉnh là 4 điểm
trong các điểm nêu trên sao cho mỗi điểm là đỉnh của nhiều nhất một tứ
giác
Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với 5 điểm bất kỳ trong đó không
có 3 điểm nào thẳng hàng ta luôn tìm được 4 điểm là 4 đỉnh của một tứ
giác lồi
Thật vậy, xét các tất cả các đa giác lồi có 3, 4, 5 đỉnh từ 5 điểm này Ta gọi đa giác trong các đa giác đó chứa cả 5 điểm là đa giác bao
0,5
Nếu đa giác bao là tứ giác thì bổ đề được chứng minh
Nếu đa giác bao là ngũ giác thì 4 điểm bất kỳ đều thỏa mãn
0,5
Nếu đa giác bao là tam giác ABC thì 2 điểm còn lại D và E nằm 0,5
Trang 5/ 6
Trang 6trong tam giác Đường thẳng DE sẽ cắt 2 cạnh của tam giác, giả sử là AB
và AC Khi đó 4 điểm B, C, D, E là 4 đỉnh của tứ giác lồi
Bổ đề được chứng minh
Trở lại bài toán:
Lấy 5 điểm bất kỳ trong 2013 điểm đã cho Theo bổ đề, có 4 điểm trong 5 điểm này là 4 đỉnh của một tứ giác lồi Lấy 5 điểm bất kỳ trong
2009 điểm còn lại (kể cả 1 điểm chưa sử dụng trong 5 điểm đã chọn) ta
lại có 1 tứ giác lồi lập được từ 4 điểm trong 5 điểm này…
Quá trình cứ tiếp tục cho đến khi chỉ còn 1 điểm
0,5
0,5
Vậy cả thảy có 503 tứ giác lồi mà mỗi điểm là đỉnh của nhiều
nhất một tứ giác lồi
0,5
Lưu ý:
Nếu thí sinh giải bằng các cách khác, lời giải chính xác thì vẫn cho điểm tối đa