Các dạng bài tập - Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.. - Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng, giữa đ[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG TỐN HK2 LỚP 11 (NK 2012-2013)
A GIẢI TÍCH
I Lý Thuyết
- Giới hạn dãy số
- Giới hạn hàm số
- Hàm số liên tục
- Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm
- Các quy tắc tính đạo hàm
- Đạo hàm của các hàm số lượng giác
II Các dạng bài tập
- Tính giới hạn của dãy số
- Tính giới hạn hàm số
- Chứng minh phương trình cĩ nghiệm
- Xét tính liên tục của hàm số
- Các bài tốn tổng hợp về giới hạn
- Tính đạo hàm của hàm số, tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
- Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
- Các bài tốn tổng hợp về đạo hàm
* Bài Tập:
GIỚI HẠN:
* Giới hạn dãy số:
Bài 1: Tính các giới hạn sau: (Chia cho n cĩ số mũ cao nhất)
1)
2 2
lim
lim
n
3
lim
4
n
4)
4 2
lim
n
2 4
1 lim
n
lim
n n
2
1 2 6
3
n n
2
2
5
2 1
lim
9)
2 2
1 2
2 7 1
lim
n
n n
n
n n
11)
1 2
2 1 lim
2
n
n n
3 3 4 2
2 3
n n
n n n
1 1
lim
2
n
n n
2 3 2 lim 24
n n
n n
15)
5 6
2
5
3 2
lim
n n
n
5 4
2
n n
n n
1 lim
n n
18)
5 1 3 2
2 lim
2 2
3
n
n n
n
Trang 219)
lim
2
n n
20)
2 2
lim 2
lim
1
n n
22)
( 1)(2 1)
lim
(3 2)( 3)
2 2
2 lim
24)
lim ( 1)( 2)
Bài 2: Tính các giới hạn sau: (Sử dụng định lí 6 – SGK)
1)
1 3
lim
4 3
n
n
1
4.3 7 lim
2.5 7
n n
n n
lim
n n
n n
1
lim
1 5
n n n
5)
1 2.3 7
lim
5 2.7
n n
n n
1 2.3 6 lim
n n
n n
n
4 3 2
4 lim
n
n
n
5
3
7
5
2
3
lim
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
1)
2 2
lim
2 2
lim
2
3
1 lim
1
4)
2 2
lim
lim ( 1)( 2)
2
lim
Bài 4: Tính các giới hạn sau: (Liên quan tới dãy số)
2 1
lim
n
n
2
4 2
n n
n n
3)
2 3
2
1
2 2
2
n n
n
) 1 2 (
3 1
.
n n
n n
5)
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
1 2
lim
3
n
1.3 2.4 n n( 2)
2 1
3 3
3
n n
n
,
4
1
2 1
2 2 3 3
n
9)
1.2 2.3 n n( 1)
) 1 (
1
3 2
1 2 1
1 lim
n
) 2 2 ( 2
1
6 4
1 4 2
1 lim
n n
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
1) lim n22n n 1 2) lim n2 n n22 3)
3 n n3 n
lim 2 1
Trang 34) lim 1 n2 n43n1 5) lim n 2 n n 6)
1 lim
n n
7)
2 2
lim
3
1 lim
1
2
lim
B i 6 à :Tính các giới hạn sau: (Nhân lượng liên hợp)
1) lim 3n 1 2n 1 2) lim n1 n n 3) lim n2 n1 n
4) lim 2 2 1
7) lim 2 2 1
n
n
1 lim
10) limn n2 1 n
11) limn n2 5 n
12) lim n2 n3n
13) limn31 n3 14) lim an n 15) lim3 n2 n3 n
* Giới hạn hàm số:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau: ( Tính trực tiếp)
1)
0
1
lim
1
x
x
2 1
lim
1
x
x
1 5 lim
x
x
x
4) 1 4
1 lim
3
x
x
2 2
1 lim
1
x
x
2 1
lim
1
x
x
7) 1
8 3 lim
2
x
x
x
3 2 2
lim
1
x
x
3
1
x
x
x
lim 3
2
x
x
5
3 2 7
3 4
x
x
x
12)
3 2 4
2 3 2 lim
x x
x
Bài 2: Tìm các giới hạn sau: (Phân tích thành nhân tử)
1)
2
1
1 lim
x
x
4
1
1 lim
5 3 1
1 lim
1
x
x x
4)
3
lim
x
2 1
lim
(1 )
x
x
x x
4 3
2
7) 0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x
8)
2 1
lim
1
n x
x
4
2
16 lim
2
x
x
15 2
x x
1 lim
3
x
x
2 3
2 3
2
x x
x x x
x
2 9 3
2
3
x x
x
10 3 lim 2
2
x x
6 5
2
x x
x
4 4
lim 2
2 3
2
x x
x x x
x
1 lim
1
15 2 lim
2
3
x
x x
1 lim 2
4
x
x
Bài 3: Nhân lượng liên hợp (cĩ một căn bậc hai)
Trang 41) 2 .
3 5
lim
2
x
2 9 lim4
x
x
5 lim
5
1 5
3
lim
x
lim
x
x
x
1 lim
2
x x
x
1 1
lim
2 0
3 4
x
x
x
x x
x
x
1 2
1 lim
2 0
3 lim
3
x
x
x
2 3 lim
3
x x
2 2 lim
7 3
x
x x
2 2
lim
x
2 4
2 3
2
x x x
1 3 2
x x x
58 3
lim
3
x x
1
x
x
lim
4
x
x x
19)
2 0
lim
x
x
x
3 2 lim
3
x
3 3 1
1
x
x x
22)
2
0 2
1 1 lim
16 4
x
x
x
lim
x
x x
lim
x
x
2 4
lim3
x
x
1 1
lim 3
0
lim
3
x
x
Bài 4: Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai, bậc ba)
x x
x
5 5
lim
x x
x
1 1
lim
1 2 lim
x x
x
x x
x
x
1 3
1
lim
2
x x x
x
1 1
lim
2 0
2 4
2 3
2
x x x
x
2 4
2
3
3
x x x
x
8) 1
lim
1
x
x
1 2
3
x x x
x
Bài 5: Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba)
x x
x
3 0
8 1
2
2 4
2 3
3 2
x x x
7 5
3 2 3
x x
x
2 4
2
3
2 3
x x x
x
5 7 lim
2 3
x x
x x
x
3 0
5 8 4 3
x x
x
7 1 2
1
0
3 0
lim
x
x
9)
3 2 2
lim
x
10)
3 2 0
lim
x
x
11) 0
lim
x
x
12)
3 2
lim
13)
3
x 0
lim
x
14)
3
x 3
lim
x 3
3
x 1
lim
x 1
Bài 6: Nhân lượng liên hợp (cả tử và mẫu)
x
1 5
5
3
lim
4
2 lim
2
x
x x
x
3) lim 1
2
1
x
x x
x
1 lim
2
3
1
x
x
x
1 lim
4
3
x
x
2 4
lim
2
2 0
x
x
Trang 57) 3
5 2
7
lim
x
x
8) 644 3
8 lim
x
x
1 lim3
x
x
Bài 7:Tìm các giới hạn sau:
1)
2 2
1 lim
x
x
2
lim
2
x
x
2
lim
x
x
4)
2 2
lim
x
2 2
lim
x
1 lim
1
x
x x
7)
2 2
lim
5
x
2 2
lim
x
lim
x
x
Bài 8:Tìm các giới hạn sau:
1)
2
lim
x x x x
2
3
4) lim 33 3 1 2 2
5) lim 32 1 32 1
Bài 9:Tìm các giới hạn sau:
1) 2
15
lim
2
x
x
x
15 lim
2
x
x x
2 3
lim
3
x
x
4)
2
2
4 lim
2
x
x
x
2 lim
x
x
2 lim
x
x
Bài 10:Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a)
3
2
x khi x x
khi x
2
x khi x
x khi x
c)
2 3 4
8
2
x
x
2 2
1
1 2
x
Bài 11:Tìm giá trị của m để các hàm số sau cĩ giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a)
mx khi x
3
2 2
khi x
c)
0 3
khi x x
x x m khi x
* Hàm số liên tục:
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: (Dạng 1a)
1)
khi x
1
4
x
khi x
Trang 63)
2 3 2
x x x khi x
khi x
5)
( )
f x
x neu x
tại điểm x = 2 Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: (Dạng 1b)
a)
b)
c)
x x
6
( 3)
3
d)
2
Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: (Dạng 2)
1)
3 3
1 ( )
3
x
f x
khi x
3)
khi x
khi x
5)
3
neu x
neu x
2
2
2
1
khi x
7)
1
1
x
khi x
x khi x
Bài 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
1)
2
3)
( )
f x
5)
2
2
2
khi x
Trang 7Chứng minh tồn tại nghiệm của pt: (dạng 3)
Bài 5: Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm:
a) x5 3x 3 0 b) x5 x 1 0 c) x4x3 3x2 x 1 0 d) x5 3x 7 0
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt:
a) x3 3x 1 0 b) x36x29x 1 0 c) x5 5x 1 0
Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số: a) m x( 1) (3 x 2) 2 x 3 0 b) x4mx2 2mx 2 0 c)(1 m x2)( 1)3x2 x 3 0
Bài 8:Chứng minh rằng phương trình:
a) m x( 1) (3 x2 4)x4 3 0 luơn cĩ ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) (m21) –x4 x3–1 0 luơn cĩ ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng 1; 2 với mọi m.
c) x3mx21 0 luơn cĩ 1 nghiệm dương
d)x4 3x25 –6 0x cĩ nghiệm trong khoảng (1; 2)
e) 2x3 6x 1 0 có 3nghiệm trên khoảng ( - 2 ; 2 )
f) x5 5x34x 1 0 cĩ 5 nghiệm trên (–2; 2)
g) 2x3 6x 1 0 có ít nhất 2 nghiệm
ĐẠO HÀM
Bài 1:
1) Tìm đạo hàm
a)y2x3 3x25x1 b)
c) 3 2
4
d)y(3x2 x1)(4 5 ) x e)
1 2
x y
x
f)
1 3 (2 1)
4
x
x
g) ysin3 2x3 h) ycos2x g)
x
2) Tìm đạo hàm tại điểm x0
a)y4x3 x2 4x 3 tại x 0 1, b)
3 2
1
y
x
tại x 0 1
c)
2
3
4
x
x
tại x 0 2, d) 2 2
y x x tại x 0 2
e)
2
1 2
x
y
x
tại x 0 0 f)
1 (1 2 ) 1
x
x
tại x 0 3
g)
sin
x y
x
tại x 0 0 h) ycos2 2x 1 tan(2x1) cot(3 x1) tại x 0 0
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đị thị của hàm số
a)
4 2
x
y
x
và cĩ hệ số gĩc là
13 8
1
x
y
x
tại điểm cĩ tung độ bằng 2
c)
5 2
1 4
x
y
x
tại điểm cĩ hồnh độ bằng -3
d)
1 4
x
y
x
tại điểm
3 1;
5
A
Trang 8Bài 3:
1) Giải bất phương trỡnh:
a) f x '( ) 0 với f x( )x3 3x22
b) f x'( )g(1) với f x( )x3 3x22 và g x( ) 2 x21
2) Giải phương trỡnh:
a) y ' 0 với y3x3 4x2 4x1
b) y ' 0 với
2 2
1
y
3) Chứng minh cỏc hàm số sau cú đạo hàm khụng phụ thuộc x
a) ysin6xcos6x3sin cos2 x 2 x
b)
y x x x x x
B i 4: à Tính đạo h m của các h m sốà à
a) y = 2x5 – 3x4 + x3 –
1
2 x2 + 1 b) y=
1
2x4 –
4
3x3 +
1
4x2 + 3x – 2 ; c ) y=
2 1
x x
; d) y=
2
x
e) y=(3x–2)(x2+1) ; g/ y=
x
h) y= (x2 + 3x – 2)20 ; i/
3
;
k/
y
x ; l/ y = cos5(sin2x) ; m/
sin cos sin cos
y
; n/
3
4
B i 5: à a) Cho
2
Giải bất pt : f’(x) ≤ 0 b) Cho h m số y=à
1
x
Giải bất phơng trình y’ ≥ 0
B i à 6: Tính f '( ); '( )6 f 3
biết
( )
2
cosx
f x
cos x
.
B i 7: à CMR Nếu f(x) =
2 2
cos
1 sin
x x
thì :
( ) 3 '( ) 3
B i 8: à Cho h m số à : y=
tìm m để a) y’ l bình phà ơng của một nhị thức
b) y’ ≥ 0 x
B i 9: à Viết phơng trình tiếp tuyến với (C)
1
x y x
biết :
a) Tung độ tiếp điểm bằng
5
2
b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = – x + 3
c) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 4x + 4
d) Tiếp tuyến tạo với trục ho nh góc 45à 0
B i 10: à Lập pttt với (C):
4 2
-4 4 tại giao điểm của (C) với Ox.
B HèNH HỌC
I Lý thuyết
- Hai mặt phẳng song song
- Phộp chiếu song song
- Vector trong khụng gian
- Hai đường thẳng vuụng gúc
Trang 9- Đường thẳng vuông góc với mạt phẳng.
- Hai mặt phẳng vuông góc
- Khoảng cách
II Các dạng bài tập
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Xác định và tính khoảng cách giữa các đối tượng điểm, đường , mặt
- Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
* Bài Tập:
Dạng: Hai đường thẳng vuông góc.
Dạng: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
* Góc giữa đường và mặt:
* Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, đường thẳng vuông góc đường thẳng.
Trang 11Dạng: Hai mặt phẳng vuông góc
* Góc giữa hai mặt phẳng
Trang 12* Ứng dụng diện tích hình chiếu của đa giác:
* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường vuông góc với mặt
Trang 13Dạng: khoảng cách
* Các bài toán về khoảng cách:
Trang 14* Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Duyệt của BGH Duyệt của Tổ bộ môn Người soạn