• Xây dựng công thức - Nêu quy tắc dấu : Trong quang hình học, để tìm các công thức có tính chất tổng quát hơn, người ta thường dùng quy ước về dấu cho các đoạn thẳng và góc như sau: a N[r]
Trang 14.2 Khảo sát sự khúc xạ qua một mặt cầu Xây dựng công thức
- Xác định vị trí ảnh
- Tính tiêu cự
- Công thức Newton
- Tính độ phóng đại
- Bất biến Lagrange-Helmholtz
• Định nghĩa mặt cầu khúc xạ :
Mặt cầu khúc xạ là dạng quan trọng nhất trong tất cả các mặt giới hạn của thấu kính Sự khúc xạ ánh sáng qua mặt cầu là hiện tượng cơ bản dẫn đến sự tạo ảnh của các hệ quang học
• Xây dựng công thức
- Nêu quy tắc dấu :
Trong quang hình học, để tìm các công thức có tính chất tổng quát hơn, người ta thường dùng quy ước về dấu cho các đoạn thẳng và góc như sau:
a) Nếu coi chiều dương là chiều truyền ánh sáng từ trái sang phải và chọn gốc tọa độ tại điểm O (đỉnh mặt cầu) thì độ dài của các đoạn thẳng được xem là dương nếu có chiều truyền trùng với chiều truyền ánh sáng; nếu ngược lại là âm
b) Độ cao của vật và ảnh được xem là dương, nếu chúng hướng lên phía trên; nếu chúng hướng xuống phía dưới là âm
c) Bán kính chính khúc của mặt cầu được xem là dương nếu tâm chính khúc ở bên phải mặt cầu;
là âm nếu tâm chính khúc ở bên trái mặt cầu
d) Độ dày của thấu kính và khoảng cách giữa hai mặt khúc xạ luôn luôn được xem là dương e) Góc giữa tia sáng và quang trục chính hay pháp tuyến của mặt khúc xạ được xem là dương nếu
ta quay quang trục hay pháp tuyến đến gặp tia sáng theo chiều kim đồng hồ; nếu theo chiều ngược lại là
âm
g) Một cách hình thức toán học, có thể coi sự phản xạ ánh sáng như sự khúc xạ nếu ta thay đổi dấu chiết suất n’ (n’ = - n)
• Xây dựng công thức xác định vị trí ảnh:
Giả sử mặt cầu khúc xạ EE’ có bán kính R ngăn cách hai
môi trường quang học đồng tính có chiết suất n (bên trái) và n’
(bên phải) Xét một tia sáng trong chùm tia gần trục phát ra từ
một nguồn điểm P nằm trên quang trục chính CO Chẳng hạn tia
PM Tia này đến gặp mặt cầu tại điểm M dưới góc tới i, khúc xạ
qua mặt cầu theo phương MP’ dưới góc khúc xạ i’, cắt quang
trục chính tại điểm P’
Ta hãy xác định tọa độ của điểm P’ là ảnh của điểm P đối với đỉnh O của mặt cầu
Đặt OP = s ; OP ' s = '; OC = R và góc (MCO) = ϕ Trên hình vẽ ghi các giá trị số học của các đoạn thẳng và góc
Theo định luật khúc xạ ánh sáng đối với tia gần trục, ta có:
Từ các tam giác PMC và P’MC, ta có:
(-i) = (-u) +ϕ hay i = u -ϕ (- i’)=ϕ- u’ hay i’ = u’ -ϕ
Trang 2Thay các giá trị của i và i’ vào (1), ta được:
Vẽ đường MH (MH = h) vuông góc với quang trục chính Một cách gần đúng, ta có:
s
HP= ,HP ' s= ' và HC=R
Các góc u, u’ vàϕ đều rất bé, nên:
s
h u s
h u u
−
=
−
=
− ) ( ) (
' ) ' ( ) ' (
s
h u u
và
R
h
tg== Thay các giá trị của u, u’ vàϕ vào (2) và đơn giản h, ta được:
−
=
−
R s
n R s
'
1 ' 1 1
Cuối cùng:
R
n n s
n s
'
'
(3) Các đại lượng s, s’ và R trong (3) đều là những độ dài đại số Biểu thức (3) là công thức cơ bản của mặt cầu khúc xạ
• Tiêu cự - Độ tụ của mặt cầu khúc xạ
Từ công thức (3) ta suy ra hai trường hợp đặc biệt:
a) Khi s = -∞, ta có:
R
n n n s
∞
−
' '
'
'
n n
R n
−
Như vậy, chùm tia song song với quang trục chính sau khi khúc xạ qua mặt cầu sẽ cắt quang trục
chính tại một điểm: cách mặt cầu một khoảng bằng f’ Khoảng cách OF'= f' được gọi là tiêu cự thứ hai
của mặt cầu khúc xạ
b) Khi s’ =∞, ta có:
R
n n s
n
∞
' '
n n
R n
−
−
= '
Khoảng cách OF = f được gọi là tiêu cự thứ nhất của mặt cầu
khúc xạ
Các điểm F, F’ được gọi là tiêu điểm chính thứ nhất và
thứ hai tương ứng
Dấu (-) ở biểu thức (5) chứng tỏ rằng tiêu điểm F ở bên trái
mặt cầu
Nếu chùm tia tới không song song với quang trục chính, mà song song với quang trục phụ nào đó,
thì điểm hội tụ của nó là tiêu điểm phụ.
Trang 3Đối với chùm tia gần trục, mặt chứa các tiêu điểm được gọi là tiêu diện, một cách gần đúng có thể
xem tiêu diện là mặt phẳng vuông góc với quang trục chính và đi qua tiêu điểm chính
Từ các biểu thức (4) và (5), ta rút ra hệ thức quan trọng sau đây:
n n
R n
f n
f
−
=
−
=
' '
'
(6) Nghĩa là tỉ số giữa tiêu cự và chiết xuất tương ứng là một đại lượng không đổi
Đại lượng có giá trị bằng nghịch đảo của (6) được gọi là độ tụ của mặt cầu khúc xạ tương ứng:
f
n f
n R
n n
−
=
=
−
=
'
' '
Độ tụ của mặt cầu khúc xạ đặc trưng cho khả năng của mặt cầu làm khúc xạ ánh sáng nhiều hay ít
• Định li Lagrange-Helmholtz:
Khảo sát sự tạo ảnh của một đoạn thẳng ngắn
A1B1vuông góc với quang trục chính của mặt cầu khúc
xạ có đỉnh O Giả thiết rằng, sự dựng ảnh cũng vuông
góc với quang trục chính
Gọi chiết suất của môi trường bên trái và bên
phải mặt cầu tương ứng là n1 và n2 ; độ cao của vật
A1B1= y1, của ảnh A2B2 = - y2 ; hoành độ của vật A1B1
là OA1 = - s1; của ảnh A2B2là OA2 = s2 Các góc – u1,
u2, i1, và i2đều rất bé (vì các tia gần trục)
Bây giờ ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng n1, y1, u1 và n2, y2, u2
Theo định luật khúc xạ, ta có:
1 2
2 1
2
1 sin
sin
n
n i
i i
Theo hình vẽ:
1
1 1
s
y i
−
= và
2
2 2
s
y
i = −
Từ đó:
2 1
1 2
2
1
y
y s
s i
i
Từ (8) và (9), ta có:
1 2
2 1
1
2
n
n y
y s
s
Mặt khác,
1 1
s
h u
−
=
2 2
s
h
u =
Từ đó:
1 2
2
1
s
s u
Thay các giá trị của s2/s1 từ (11) vào (10), ta được:
1 2
2 1
2
1
n
n y
y u
Nếu sau mặt cầu thứ nhất, ta đặt mặt cầu thứ hai đồng trục với mặt cầu trước, thì ảnh A2B2sẽ đóng vai trò vật đối với mặt cầu thứ hai và ảnh của nó cho bởi mặt cầu này sẽ là A3B3 có độ cao y3 Lặp lại lí
luận đã dùng ở trên để đi đến công thức (12), ta tìm được: n3.y3.u3 = n2.y2.u2
trong đó n3 là chiết suất của môi trường nằm sau mặt cầu thứ hai
Trang 4Một cách tổng quát, đối với một hệ quang học đồng trục gồm nhiều mặt cầu ngăn cách nhau bởi những môi trường đồng tính có chiết suất lần lượt là n1, n2, n3… ta có hệ thức:
n1.y1.u1 = n2.y2.u2 = n3.y3.u3 = … (13)
Hệ thức (13) có tên là định Lagrange-Helmholtz.
• Độ phóng đại dài
Tỉ số giữa độ cao của ảnh và độ cao của vật được gọi là độ phóng đại dài β (hay còn gọi là độ phóng đại ngang)
1
2
y
y
=
Theo định lí Lagrange-Helmholtz (13), ta có:
2 2
1 1
1
2
u n
u n y
=
hay
1 2
2 1
s n
s n
=
Bởi vì n1 và n2 là những đại lượng dương, nên dấu củaβ được xác định bởi tỉ số s2/s1
Nếu s1< 0 và s2 > 0, ta có ảnh thực và ngược chiều với vật
Nếu s1 và s2 cùng dấu, thìβ > 0, ta có ảnh ảo và cùng chiều với vật