Dap an va de thi khao sat mon toan 11 khoi A A1 lan11

+ Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi α Do α đi qua I và song song với SBD nên ta có cách dựng các đoạn giao tuyến Trong ABCD qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD tại M[r]

http://toanhocmuonmau.tk

SỞ GD & ĐT BẮC GIANG

Trường THPT Lạng Giang số 1

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1

NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn: Toán khối A, A1 – Lớp 11

Thời gian làm bài: 150 phút

-*** -

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y= − −x2 2x+3 có đồ thị là (P)

1) Tìm tập xác định, xét sự biến thiên, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị (P) của hàm số

2) Tìm m để đường thẳng (d) y= −mx+ +m 1 cắt đồ thị (P) của hàm số tại 2 điểm A, B phân biệt có hoành độ

1 2

x ,x thỏa mãn: x12+x22−6x x1 2=0

Câu II:(2 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình

1) 2cos x2 +3cos x−2cos x3 =4sin x sin x2 2)

2 (1)

 + + = −







Câu III:(1 điểm) Một cấp số cộng có công sai khác không và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5 ,số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 ,còn các số hạng thứ 3 bằng nhau Tìm các cấp số ấy

Câu IV:(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có AC = a, BD = b Tam giác SBD

là tam giác đều Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC Xác

định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) Tính diện tích thiết diện theo a, b, và x = AI

Câu V:(1 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: 3

5

a+ + =b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

B PHẦN DÀNH RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VIa:(2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1) Tìm toạ độ các đỉnh

A, B, C

2 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?

Câu VIIa:(1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau: 2

2

2 n

x x

−

  , biết rằng n là số nguyên dương

thỏa mãn: 2C1n+C n2=n2−20

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VIb:(2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P( 7;8)− và hai đường thẳng d1:2x+5y+ =3 0;

d x− y− = cắt nhau tại A Viết phương trình đường thẳng d đi qua P tạo với 3 d , 1 d thành tam giác cân 2

tại A và có diện tích bằng 29

2 .

2 Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, sao

cho trong các chữ số đó có mặt ít nhất một trong hai chữ số 0 và 1

Câu VIIb:(1 điểm) Tính T=C02001+3 C2 22001+3 C4 42001+ + 32000C20002001

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

- HẾT -

http://toanhocmuonmau.violet.vn

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

1

+ Tập xác định: D = R + a = -1 < 0 Hàm số đồng biến trên (−∞ −; 1) Hàm số nghịch biến trên (− +∞1; ) + Bảng biến thiên

+ Đồ thị: vẽ đúng dạng , đẹp

0.25

0.25 0.25 0,25

I

2

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm

+ đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) tại 2 điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt x ; x1 2

( )

2

0

6 2

m * m

∆

⇔ >

>



⇔

<



+ Với (*) theo Viet, ta có 1 2

1 2

2 2

x x m





= −



+ Khi đó

2 2

2

2 2

2 10

x x x x

m m

=



⇔

=



+ Kết hợp với điều kiện (*) ta có m = 10 là giá trị cần tìm

0.25

0.25

0.25

0.25

1

2cos x2 +3cos x−2cos x3 =4sin x sin x2

2 2

0 1 2

2 2 2 3 2 2 3

cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x

cos x cos x

π π

=





⇔

= −





= +











+ Kết luận:

0.25

0.5

0.25

II

2 + Điều kiện:

1 0

x y

≥





≥



0.25

http://toanhocmuonmau.tk

x y

y x

+ =





+ Trường hợp 1: x + y = 0 loại so với điều kiện + Trường hợp 2: x = 2y + 1 Thay vào phương trình (2) ta được

2

y

y

= −



=



So sánh điều kiện ta thấy y = 2 thỏa mãn Khi đó, x = 5

Kết luận:

0.25 0.25 0.25

III + Gọi cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 5, a, b

Khi đó cấp số nhân là: 5, a – 10, c

Ta có:

( )2

25

5

5

a

a

b

 =





+ =

⇔

=

=





Do cấp số cộng có công sai khác không nên 3 số cần tìm là: 5; 25; 45

0.25

0.5

0.25

IV + Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α)

Do (α) đi qua I và song song với (SBD) nên ta có cách dựng các đoạn giao tuyến Trong (ABCD) qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD tại M, N Trong (SCD) qua N kẻ NP song song với SD cắt SC tại P

Khi đó thiết diện là ∆MNP

* Tính diện tích thiết diện +Ta có SBD∆ ∼∆MNP nên ∆MNP là tam giác đều +

SBD

S

+ Vì I OC a x a

2

∈ ⇔ < <

MNP

SBD

=

2

− −  − 

=  =  = = 

 

 

a

x a

2< <

0.5

0.5

V Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

a+ b = a+ b ≤ + + + = + +

3 1 3

+ Dấu " = " xảy ra ⇔2a+3b=1

Tương tự ta có:

3 1 3

2b 3c ≥ b c

+ + + Dấu " = " xảy ra ⇔2b+3c=1

3

2c 3a ≥ c a

+ Dấu " = " xảy ra ⇔2c+3a=1

0.25

0,25

0,25 0,25

http://toanhocmuonmau.violet.vn

+ Với x, y,z>0ta có

9

x y z

+ +

Dấu " = " xảy ra ⇔ = =x y z

Do đó:

3

3

P

Vậy GTNN của P = 3 đạt được khi 1

5

a= = =b c

B PHẦN RIÊNG (3 điểm)

1 Theo chương trình chuẩn

1

Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y = x

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ :

x

y x

y

2

;

3



= −



Vì M là trung điểm của AC nên C 8 8;

3 3

Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: x

4

= +

( )

x y

x

y y

4

1 2

4

 + + =

∩ =  = + ⇔ = ⇒ −

0.25

0.25

0.25

0.25

VIa

2

Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: C154 = 1365

Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:

* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có C C C2 14 5 16 = 180

* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có C C C14 2 15 6 = 240

* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có C C C14 15 26 = 300

Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720

Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 = 645

0.25

0.5

0.25

VIIa Điều kiện: n 2, n N≥ ∈

( )

5 2

n n

n

n n

n

=

= −



Với n = 8 ta có

k k

Số hạng không chứa x ứng với 16 – 4k = 0 ⇔ k=4

Kết luận:

0.25

0.25 0.25 0.25

2 Theo chương trình nâng cao

VIb Ta có A(1; 1)− và d ⊥d

http://toanhocmuonmau.tk

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1, d2 là:

∆1: 7x+3y− =4 0 và ∆2: 3x−7y− =10 0 3

d tạo với d1, d2một tam giác vuông cân ⇒d3vuông góc với ∆1 hoặc ∆2.

⇒ Phương trình của d3có dạng: 7x+3y C+ =0 hay 3x−7y+C′ =0

Mặt khác, d3qua P( 7;8)− nên C = 25 ; C′ = 77 Suy ra : d3: 7x+3y+25=0 hay d3 :3x−7y+77=0

Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng 29

2 ⇒ cạnh huyền bằng 58

Suy ra độ dài đường cao A H = 58

2 = d A d( , 3) (d A d( , 3)lµ kho¶ng c¸ch tõ A tíi d3)

• Với d3 : 7x+3y+25=0 thì 3 58

( ; )

2

d A d = ( thích hợp)

• Với d3 : 3x−7y+77=0 thì 3 87

( ; )

58

d A d = ( loại ) KÕt luËn:…

0.25

0.25

0.25

0.25

2

* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:

−

10 10

A A = 9.9.8.7.6.5 = 136080

* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:

6 9

A = 9.8.7.6.5.4 = 60480

* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:

−

A A = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là:

136080 – 60480 – 53760 = 21840 số

0.25

0.25

0.25

0.25

VIIb

Ta có: (x + 1)2001 =

=

∑

2001

2001

k 0

(–x + 1)2001 =

=

−

∑

2001

2001

k 0

Cộng lại ta được:

(x + 1)2001 + (–x + 1)2001 =

Cho x = 3 ta được:

42001 – 22001 = 2( 0 + 2 2 + 4 4 + + 2000 2000)

⇒ 0 + 2 2 + 4 4 + + 2000 2000 = 2000 2001 −

Kết luận:

0.25

0.25

0.5