Giáo trình: Chương 8:Kiểm địn giả thuyết thống kê

Giáo trình: Chương 8:Kiểm địn giả thuyết thống kê

Chương 8

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

(Tests of Hypotheses)

Thông thường đối với tham số θ chưa biết của tập hợp chính ta có thể đưa ra nhiều giả thuyết về θ

Vấn đề đặt ra là làm thế nào kiểm định được giả thuyết nào thích hợp với các số liệu của mẫu quan sát được (x1, x2, …, xn )

8.1 NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

8.1.1 Giả thuyết thống kê ( Statistical Hypothesis)

Là một giả sử hay một phát biểu có thể đúng, có thể sai liên quan đến tham số của một hay nhiều tập hợp chính

8.1.2 Giả thuyết không (giả thuyết đơn) và giả thuyết ngược lại (đối thuyết)

(Null Hypothesis & Alternative Hypothesis)

Giả thuyết không: là sự giả sử mà ta muốn kiếm định thường được ký hiệu là Ho

Giả thuyết ngược lại: Việc bác bỏ giả thuyết không sẽ dẫn đến việc chấp nhận giả

thuyết ngược lại Giả thuyết ngược lại thường được ký hiệu là H1

Ví dụ

Kiếm định giả thuyết Ho: θ ≥ θo có thể θ = θo

Với H1: θ < θo

Kiếm định giả thuyết Ho: θ ≤ θo có thể θ = θo

Với H1: θ > θo

Kiếm định giả thuyết Ho: θ = θo

Với H1: θ ≠ θo

8.1.3 Các loại sai lầm trong việc kiểm định giả thuyết thống kê

Việc kiểm định giả thuyết thống kê có thể phạm phải 2 loại sai lầm

a) Sai lầm loại I (type I error)

Là loại sai lầm mà chúng ta phạm phải trong việc bác bỏ giả thuyết Ho khi Ho đúng Xác suất của việc bác bỏ Ho khi Ho đúng là xác suất của sai lầm loại I và được ký hiệu

là α

α = P ( bác bỏ Ho / Ho đúng) = P(type I error)

α : còn được gọi là mức ý nghĩa ( level of significance)

α = 0,05; 0,01 ; 0,001 …

b) Sai lầm II (type II error)

Là loai sai lầm mà chúng ta phạm phải khi không bác bỏ giả thuyết Ho khi Ho sai

Xác suất của việc không bác bỏ Ho khi Ho sai là xác suất của sai lầm loại II và được ký

hiệu là β

β = P (không bác bỏ Ho /Ho sai) = P(type II error)

Bản chất của Ho Quyết định về

giả thuyết không Ho

Không bác bỏ

(chấp nhận )

Quyết định đúng

Prob = 1- α

P (không bác bỏ Ho / Ho) = 1-α

Sai lầm loại II

Prob = β

Bác bỏ

Sai lầm loại I

Prob = α (α = mức ý nghĩa kiểm định)

Quyết định đúng

Prob = 1 - β (1 - β: năng lực kiểm định)

8.1.4 Miền bác bỏ và miền chấp nhận

( Rejection Region & Acceptance Region )

Tất cả các giá trị có thể có của các đại lượng thống kê trong kiểm định có thể chia làm 2

miền: miền bác bỏ và miền chấp nhận

™ Miền bác bỏ là miền chứa các giá trị làm cho giả thuyết Ho bị bác bỏ

™ Miền chấp nhận là miền chứa các giá trị giúp cho giả thuyết Ho không bị bác bỏ

Trong thực tế khi Ho không bị bác bỏ cùng nghĩa là nó được chấp nhận

Giá trị chia đôi hai miền được gọi là giá trị giới hạn (Critical value)

8.1.5 Kiểm định một đầu và kiểm định 2 đầu

(one – tailed test & two – tailed test)

a) Kiểm định một đầu

Khi giả thuyết ngược lại H1 có tính chất 1 phía (one – sided) thì việc kiểm định được gọi

là kiểm định 1 đầu

Ho: θ ≤ θo hay Ho: θ ≥ θo

H1: θ > θo H1: θ < θo

b) Kiểm định hai đầu:

Khi giả thuyết ngược lại H1 có tính chất 2 phía (two – sided) thì việc kiểm định được gọi

là kiểm định 2 đầu

Ho: θ = θo

H1: θ ≠ θo

8.2 CÁC BƯỚC CỦA VIỆC KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ:

Gồm 6 bước:

Bước 1: Thành lập giả thuyết Ho

Ví dụ:

Ho: θ = θo

Ho: θ ≤ θo

Ho: θ ≥ θo

Bước 2: Thành lập giả thuyết H1

Ví dụ:

H1: θ < θo

H1: θ > θo

H1: θ ≠ θo

Bước 3: Xác định mức ý nghĩa α

Bước 4: Chọn các tham số thống kê thích hợp cho việc kiếm định và xác định các miền

bác bỏ, miền chấp nhận và giá trị giới hạn

Bước 5: Tính toán các giá trị của các tham số thống kê trong việc kiểm định dựa trên số

hiệu của mẫu ngẫu nhiên

Bước 6: Ra quyết định: Nếu các giá trị tính toán rơi vào miền bác bỏ Ho thì ra quyết định

bác bỏ Ho Ngược lại sẽ chấp nhận Ho

8.3 KIỂM ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH µ CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ 2 ) KHI ĐÃ BIẾT σ 2

Cho ( x1, x2 , …, xn) là mẫu ngẫu nhiên cỡ n được lấy từ tập họp chính tuân theo phân phối chuẩn N (µ,σ2 ) trong đó σ2 đã biết

8.3.1 Trường hợp 1

Ho : µ = µo hay µ ≥ µo

H1 : µ < µo

Zα

Không bác bỏ H0

0

Bác bỏ H 0

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu Ztt =

n

X

/

0 σ

µ

−

< - Z α

8.3.2 Trường hợp 2:

Ho : µ = µo hay µ ≤ µo

H1 : µ > µo

Zα

Không bác bỏ H0

0

Bác bỏ H 0

α

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu Ztt =

n

X

/

0 σ

µ

− > Z α

8.3.3 Trường hợp 3:

Ho : µ=µ0

H1 : µ≠µ0

-Zα/2

Không bác bỏ H0

0

Bác bỏ H 0

Zα/2

Bác bỏ H 0

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu Ztt < -Zα/2 hoặc Ztt > Zα/2

Với : Ztt =

n

X

/

0 σ

µ

−

Thí dụ

Trong một nhà máy bánh kẹo, một máy tự động sản xuất ra các thanh sô cô la với trọng lượng qui định 250g Biết rằng trọng lượng các thanh sô cô la được sản xuất ra có phân

bố chuẩn N(µ,52) Trong một ngày bộ phân kiểm tra kỹ thuật chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 thanh sô cô la và tính trọng lượng trung bình của chúng được 244g Có thể khẳng

định máy tự động sản xuất ra các thanh sô cô la có trọng lượng nhỏ hơn qui định không? Với mức ý nghĩa α=0,05 kiểm định giả thuyết thống kê tương ứng

Giải

1/ Ho : µ = 250g

2/ H1 : µ < 250g

3/ α = 0,05

4/ Zα =Z0,05 = 16,45 ⇒ -Zα =-1,645

16 / 5

250 246 /

−

=

n

X

Z tt

σ

µ

=

2

σ 52 ⇒ σ = 5

n = 16 X = 244g , µ = 250g 0

6/ Ztt = -4,8 < -Z0,05 = -1,645

Ra quyết định: Bác bỏ giả thuyết Ho ở mức ý nghĩa 5% Nghĩa là: máy tự động sản xuất

sô cô la có trọng lượng nhỏ hơn qui định ⇒ Phải điều chỉnh lại máy

Thí dụ

Một máy khoan trong dây chuyền sản xuất dùng để khoan lỗ trên các bản thép Khi máy khoan hoạt động đúng chức năng thiết kế đường kính các lỗ khoan sẽ tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là 2 inches và độ lệch chuẩn là 0,06 inches Trong quá trình kiểm tra định kỳ xem máy khoan có hoạt động đúng hay không, người ta lấy đo ngẫu nhiên các

lỗ đã khoan Giả sử độ lệch chuẩn không thay đổi Mẫu ngẫu nhiên gồm 9 lỗ khoan cho ta đường kính trung bình của mẫu là 1,95 inches

Kiểm định giả thuyết Ho : số trung bình của tập hợp chính là 2 inches

Với H1 : số trung bình của tập hợp chính khác 2 inches

Trong quá trình kiểm định dùn α = 5%

Giải:

1/ Ho : µ = µ0 = 2

2/ H1 : µ ≠ 2

3/ α = 0,05

4/ Zα/2 = Z0,025 =1,96 ⇒ -Zα/2 =−1,96

5/ X = 1,95; µ0 =2; σ = 0,06; n = 9

9 / 06 , 0

2 95 , 1 /

−

=

n

X

Z tt

σ

µ

6/ Ta có : Ztt < -Zα/2 =−1,96

Ra quyết định : Bác bỏ giả thuyết Ho ở mức ý nghĩa 5% ⇒ Máy hoạt động không đúng chức năng thiết kế

8.4 KIỂM ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH µ CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ 2 ) KHI CHƯA BIẾT σ 2

Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ mẫu là n được lấy từ tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình là µ Gọi X và Sx là số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu, ta sẽ

có 3 trường hợp kiểm định µ với mức ý nghĩa α

8.4.1 Trường hợp 1:

Ho : µ = µo hay µ ≥ µo

H1 : µ < µo

Miền bác bỏ R : Bác bỏ Ho nếu tn-1 < tn-1,α

Với tn-1=

n

X

x/

0 σ

µ

−

, tn-1 tuân theo phân phối Student t với độ tự do n-1

8.4.2 Trường hợp 2:

Ho : µ = µo hay µ ≤ µo

H1 : µ > µo

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu tn-1 > tn-1,α

8.4.3 Trường hợp 3:

Ho : µ=µ0

H1 : µ≠µ0

Miền bác bỏ R: Bác bỏ Ho nếu tn-1 > tn-1,α/2

Hay tn-1 < - tn-1,α/2

t* n-1,α

Không bác bỏ H 0 Bác bỏ H 0

α

t* n-1,α

Không bác bỏ H 0

Bác bỏ H 0

α

t* n-1,α/2

Không bác bỏ H 0

-t* n-1,α/2

Thí dụ

Nhà quản lý các cửa hàng bán lẻ nhận thấy rằng số lượng hàng bán ra trung bình trong tháng 12 cao hơn 20% so với tháng 11 Theo dõi sổ sách của sáu cửa hàng (được chọn một cách ngẫu nhiên) nhà quản lý nhận thấy phần trăm độ tăng trung bình của lượng hàng bán ra tại 6 cửa hàng trong tháng 12 như sau:

19,2%; 18,4%; 19,8%; 20,2%; 20,4% và 19,0%

Giả sử phần trăm độ tăng trung bình của lượng hàng bán ra tại tất cả các cửa hàng trong

hệ thống bán lẻ tuân theo phân phối chuẩn

Kiểm định giả thuyết rằng phần trăm độ tăng trung bình của lượng hàng bán ra trong tháng 12 là 20% so với tháng 11 với α = 10%

Giải:

Giả thuyết: Ho : µ = µ0 = 20

H1 : µ ≠ 20

Ta có: α = 10% tn-1, α/2 = t5, 0.05 = 2,015

-tn-1, α/2 = -t5 , 0.05 = -2,015

Xác định X và Sx

5 , 19 6

117 n

X= ∑x i = =

Sx2 = 0,588 ⇒ Sx = 0,588 = 0,767

tn-1 =

n S

x

x/

0 µ

−

6 / 767 , 0

20 5 ,

19 − =−

Ra quyết định: tn-1, α/2 < tn-1 < tn-1, α/2

-2,015 < -1,597 < 2,015

⇒ Chấp nhận giả thuyết Ho (Những dữ kiện từ mẫu không đủ mạnh để bác bỏ Ho)

8.5 KIỂM ĐỊNH PHƯƠNG SAI CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN N(µ,σ 2 )

Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên cỡ mẫu là n được lấy ra từ tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn có phương sai là σ2 Gọi S2x là phương sai của mẫu, ta sẽ có 3 trường hợp kiểm định σ2 với mức ý nhĩa là α

8.5.1 Trường hợp 1:

Ho : σ2 = σ02 hay Ho : σ2 ≥ σ02

H1 : σ2 < σ02

R : Bác bỏ Ho nếu χ2

n-1 < χ2 n-1,1-α

0

2 2

1

) 1 (

σ

n

S

n−

=

n-1 tuân theo phân phối X2 với độ tự do n-1

8.5.2 Trường hợp 2:

Ho : σ2 = σ02 hay Ho : σ2 ≤ σ02

H1 : σ2 > σ02

R : Bác bỏ Ho nếu χ2

n-1 > χ2 n-1,α

8.5.3 Trường hợp 3:

Ho : σ2 = σ02

H1 : σ2 ≠ σ02

R : Bác bỏ Ho nếu χ2

n-1 > χ2 n-1,α/2 hay χ2

n-1 < χ2 n-1,1-α/2

Thí dụ

Để thỏa mãn tiêu chuẩn đã được ấn định trong hợp đồng là phương sai của hàm lượng chất bẩn trong các lò hàng hoá chất không được vượt quá 4% Lấy ngẫu nhiên 20 lô hàng

ta có phương sai của hàm lượng chất bẩn trong các lô hàng mẫu là 5,62%

Kiểm định giả thuyết phương sai của hàm lượng chất bẩn trong tất cả các lô hàng không quá 4% với α =10% Giả sử rằng tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn

Giải:

Giả thuyết: Ho : σ2 ≤ σ02 = 4

H1 : σ2 > 4

R : Bác bỏ Ho nếu χ2

n-1 >

Ta có: α = 0,1, n = 20 → χ2

n-1,α = χ2

19,0,1 = 27,20

S2

x = 5,62, n = 20, σ2

0 =4

χ2

4

62 , 5

* 19 )

1 (

2 0

2

=

=

−

σ

n

Ra quyết định: Vì χ2

n-1 =26,695 < χ2

n-1,α =27,20

⇒ Không bác bỏ Ho tại mức α =10%

8.6 KIỂM ĐỊNH GIÁ TRỊ TỶ SỐ P CỦA TẬP HỢP CHÍNH TRONG ĐIỀU KIỆN

CỠ MẪU LỚN:

Gọi P là tỉ số của số lần thành công trong tập hợp chính

f là tỉ số của số lần thành công trong n phép thử

Khi cỡ mẫu n lớn, thì biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

n / ) p 1 ( p

p f

−

−

=

∑ sẽ gần đúng có phân phối chuẩn hóa

Ta có 3 trường hợp p với mức ý nghĩa α

8.6.1 Trường hợp 1:

Ho : P = P0 hay Ho : P ≥ P0

H1 : P < P0

R : Bác bỏ Ho nếu Ztt < - Zα

Với

n p p

p f Z

/ ) 1 ( −

−

= , Z ∼ N (0,1)

8.6.2 Trường hợp 2:

Ho : P = P0 hay Ho : P ≤ P0

H1 : P > P0

R : Bác bỏ Ho nếu Z > Zα

8.6.3 Trường hợp 3:

Ho : P = P0

H1 : P ≠ P0

R : Bác bỏ Ho nếu Z > Zα/2 Hay Z < -Zα/2

Thí dụ

Lấy ý kiến 199 giảng viên về việc day học theo lối tín chỉ thì có 104 giảng viên đồng ý Kiếm định với mức về giả thuyết cho rằng có một nửa số giảng viên trong trường Bách khoa đồng ý dạy theo lối tín chỉ

Giải

Gọi P là tỉ lệ số giảng viên trường Đại học Bách Khoa đồng ý dạy theo lối tín chỉ

Giả thuyết: Ho : P = Po =0,5

H1 : P ≠ 0,5

Zα/2 = Z0,05 = 1,645 vì α = 10%

-Zα/2 = -Z0,05 = -1,645

n =199, Po = 0,5 ⇒ f = 0,523

199

104 =

65 , 0 199 / 50 , 0

* 50 , 0

50 , 0 523 , 0 /

) 1

0

−

−

=

n p p

p f Z

Ra quyết định: -Zα/2 < Z < Zα/2

-1,645 < 0,65 < 1,645

⇒ Không bác bỏ Ho

Thí dụ

Cũng ví dụ trên, kiếm định giả thuyết số giảng viên đồng ý hơn hoặc bằng một nửa số giảng viên trong trường

Giải:

Giả thuyết: Ho : P ≥ Po = 0,5

H1 : P < 0,5

Zα = Z0,1 = 1,28 ⇒ -Zα = -1,28

Ra quyết định: Z = 0,65 > -Zα = 1,28 ⇒ Không bác bỏ Ho

8.7 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI LÝ THUYẾT

8.7.1 Kiểm định tính phù hợp (A Goddness-of-Fit Test)

Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu là n Mỗi giá trị quan sát của mẫu ngẫu nhiên có thể xếp vào 1 trong K lớp Gọi số phần tư của lớp thứ i là Oi với i = 1,2, …,K

Trong việc kiểm định tính phù hợp ta có:

Ho : Xác suất để cho các giá trị quan sát rơi vào lớp thứ i = Pi (i =1,2, … k)

H1 : Xác suất để cho các giá trị quan sát rơi vào lớp thứ i ≠ Pi

R : Bác bỏ Ho nếu χ2

k-1 > χ2

k-1,α Với :

i

i i k i k

E

E

1

2 1

) ( −

=∑

=

− χ

Ei :Kỳ vọng của số phần tử trong lớp thứ i Với giả thuyết Ho ta có:

Ei = n*Pi

χ2

k-1 tuân theo phân phối χ2 với độ tự do là k-1

Ví dụ

Một công ty chất đốt dựa vào kinh nghiệm trong quá khứ cho rằng đến cuối mùa đông sẽ

có 80% lượng khách hàng trả đầy đủ tiền ngay 10% trả chậm 1 tháng, 6% trả chậm 2 tháng và 4% trả châm hơn 2 tháng Đến cuối mùa đông để kiểm định lại điều này, Cty lấy ngẫu nhiên mẫu gồm 400 khách hàng và nhận thấy có 287 khách hàng trả ngay, 49 trả chậm 1 tháng, 30 trả chậm 2 tháng và 34 trả chậm hơn 2 tháng Hỏi những kinh nhiệm trong quá khứ có thể áp dựng cho mùa đông năm nay không? Kiểm định với mức ý nghĩa 5%

Giải

Ho : Xác suất lượng khách hàng trả tiền ở mùa đông hiện tại phù hợp với các số liệu trong quá khứ Nghĩa là xác suất tương ứng với 4 loại khách hàng là:

P1 = 0,8, P2 = 0,1, P3 = 0,06, P4 = 0,04

H1 : P1 ≠ 0,8, P2 ≠ 0,1, P3 ≠ 0,06, P4 ≠ 0,04

α = 0,05 , k = 4 ⇒ χ2

k-1,α = χ2

3,0,05 = 7,81

Dưới giả thuyết Ho, kỳ vọng số khách hàng trong mỗi loại từ tổng số 400 khách hàng:

E1 = 400 * 0,8 = 320

E2 = 400 * 0,1 = 40

E3 = 400 * 0,06 = 24

E4 = 400 * 0,04 = 16

Ta có:

Số khách hàng dựa vào mẫu quan

Kỳ vọng của số khách hàng trong

χ2

k-1 =

i

2 i i 4

1

) E O ( −

∑

=

=

16

) 16 34 ( 24

) 24 30 ( 40

) 40 49 ( 320

) 320 287

χ2

k-1 =227,187

Ra quyết định: Vì χ2

k-1 > χ2

k-1,α

⇒ Bác bỏ Ho Nghĩa là không thể áp dụng kinh nghiệm trong quá khứ vào năm nay Số

lượng khách hàng trả chậm trong năm nay nhiều hơn các năm trước

8.7.2 Kiểm định giả thuyết về qui luật phân phối lý thuyết

Trong việc kiểm định giả thuyết tính phù hợp của số liệu quan sát với qui luật phân phối

lý thuyết ta có:

Ho : Số liệu quan sát tuân theo qui luật phân phối lý thuyết

H1 : Số liệu quan sát không tuân theo qui luật phân phối lý thuyết

Cách tìm miền bác bỏ R bằng kiểm định χ 2

9 Chia n số liệu quan sát ra làm K khoảng

9 Gọi Oi là số phần tử của mẫu quan sát nằm trong khoảng i (i=1,2, …, K)

9 Gọi Ei là kỳ vọng của số phần tư nằm trong khoảng i (Ei được tính dựa vào qui luật

phân phối lý thuyết)

Ei = n Pi Pi = xác suất để cho các phần tử nằm trong khoảng i

9 Tính χ2

χ2

k-1 =

i

2 i i 4 1

) E O ( −

∑

=

χ2 gần đúng tuân theo phân phối Chi Squared với độ tự do là ν, ν = k -r -1

r : số tham số cần phải ước lượng

Với phân phối chuẩn r = 2

Với phân phối Poisson r = 1

9 Tìm miền bác bỏ R

Nếu χ2 > χ2

ν,α ta bác bỏ giả thuyết Ho Nghĩa là số liệu quan sát không tuân theo qui luật phân phối lý thuyết đã định → Đi tìm qui luật phân phối lý thuyết khác

Ví dụ : Kiểm định phân phối chuẩn

Để đo lường chất lượng của 1 lô sản phẩm, người ta lấy ra đo 200 chi tiết và cho kết quả như sau:

Các lớp Số chi tiết quan sát được Oi

54,795 54,80 54,805

54,805 54,81 54,815

54,815 54,82 54,825

54,825 54,83 54,835

54,835 54,84 54,845

54,845 54,85 54,855

54,855 54,86 54,865

54,865 54,87 54,875

6

14

33

47

45

33

15

7

n = 200 Vấn đề đặt ra là các số liệu quan sát được có tuân theo phân phối chuẩn không? Giải:

Giả thuyết: Ho : Các số liệu quan sát tuân theo phân phối chuẩn

H1 : Các số liệu quan sát không tuân theo phân phối chuẩn Tính Ei

Ei = n * pI

Với Pi = P(xi < x < xi+1) = ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

<

<

σ

µ σ

Z

x P

Ở đây lấy µ = X =54,835 (số trung bình của mẫu)

σ = Sx = 0,016 (độ lệch của mẫu)

Ví dụ: Tính P1 , E1

P1 = P (54,795 < X < 54,805) = P (

016 , 0

835 , 54 805 , 54 016

, 0

835 , 54 795 ,

<

<

−

= P (-2,5 < Z <-1,88)

= 0,4938 – 0,4699

P1= 0,0239 ⇒ E1 = n P1 = 200 * 0,0239 =4,78

Tính tương tự cho các lớp khác ta có