chuyen de bat dang thuc 1

Néi dung PhÇn më ®Çu Nội dung chuyên đề C¸c kiÕn thøc cÇn lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghiã Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng[r]

Chuyờn đề ấ đẳ b t ng th c ứ

A M ở đầ :u

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn

về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố

của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Trong quá trình giảibài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phat triển đa dang và phong phúvì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả

Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ vớikiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống

Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phơng phápnhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽkhông biết bắt đầu từ đâu và đi theo hơng nào Do đó hầu hết học sinh không biết làmtoán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tậpkhác

Trong thực tế giảng dạy toán ở trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất

đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rấtquan trọngvà không thể thiếu đợc của ngời dạy toán ,thông qua đó rèn luyện

T duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phảicung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phơng pháp suy nghĩ ban đầu vềbất đẳng thức

Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục

đích giúp học sinh học tốt hơn

Danh m ụ c c ủa chuyờn đề

21 Tài liệu tham khảo

2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng

3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc

4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu

+ A ❑2 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An  0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ |A|≥ 0 với ∀ A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

đúng với mọi x;y;zR

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z) 2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

=( x – y + z) ❑2 0 đúng với mọi x;y;zR

Vậy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

DÊu b»ng x¶y ra khi x+y=z

Dấu bằng xảy ra khi {m2 −n=0

⇔ (a −2 b)2+ (a− 2 c)2+ (a− 2 d)2+ (a− 2 c)2≥ 0

Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y

⇔ x2+y2+( √2 )2- 2√2 x+ 2√2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

⇒ (x-y- √2 )2 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

→ 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 → x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

+ ¿2n

¿

x12+x22+ ¿(a1x1+a2x2+ +a n x n)2

(a22 +a22+ +a n2).

¿

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c

vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: 1

b+c+

b

c +a+

c a+b ≥

3 2

4)Cho x 0 ,y 0 tháa m·n 2√x −√y=1 ;CMR: x+y 1

5

vÝ dô 3: Cho a>b>c>0 vµ a2

+b2 +c2 =1 chøng minh r»ng

c a+b

c a+b) = 1

3.

3

1 2

VËy a3

b+c+

b3a+c+

c3a+b ≥

vÝ dô 5: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã

⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c

⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)

=1-a-b-c-d+ad+bd+cd ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d

(§iÒu ph¶i chøng minh)

c

d

`

vÝ dô 1 :

Cho a,b,c,d > 0 Chøng minh r»ng

1< a

a+b+c+

b b+c +d+

c c+d+a+

MÆt kh¸c : a

a+b+c>

a a+b+c+d (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã

a a+b+c+d <

a a+b+c <

a+d a+b+c+d (3)

T¬ng tù ta cã

b

a+b+c+d<

b b+c +d<

b+a a+b+c+d (4)

céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã

1< a

a+b+c+

b b+c +d+

c c+d+a+

d ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a

c+

b d

gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : a

c

b

d Tõ :

a c

b

d ⇒ a

c ≤

a+b c+d ≤

b d a

d §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña a

1

22<1 −

1 2 1

32<

1

2−

1 3

u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0

Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng

Chứng minh rằng ab+bc+ca<a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)

2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

z ≥ 9 Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có

x+ y+ z ≥ 3 3

√xyz 1

2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0

CMR

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n0 ta thực hiện các bớc sau :

1 - Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 - kết luận BĐT đúng với mọi n>n0

Với n =2 ta có 1+1

4<2 −

1

2 (đúng)

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

Từ (1) và (2) ⇒ a2

+c2< 2 ac hay (a − c)2< 0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a2<4 b và c2<4 d có ít nhất một các bất đẳng thức sai

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

VËy cã mét vµ chØ mét trong ba sè x , y,z lín h¬n 1

PhÇn iii : c¸c bµi tËp n©ng cao

Ta cã hiÖu: a2

2+c2- ab- bc – ac = a2

4 +¿

a2

2+c2- ab- bc – ac = ( a2

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Iii / dùng bất đẳng thức phụ

⇒ 1+a2 >a 3

+b3 VËy a3+b3<1+a2b

1 a b c 2

b c c a a b

   (®pcm) V/ ph ¬ng ph¸p lµm tréi :

- NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A

- NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B

Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y ra khi 1  x 4

(2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2  x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2  x 3

VÝ dô 2 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của x4y4z4

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

Ta có S =1.  . 2 .

2 x y h a h a h   a xy

Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất  xy

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất

Ii/ dùng b.đ.t để giải ph ơng trình và hệ ph ơng trình

VËy x 2  x2  4y2 4y  3 2 khi x =1 vµ y

=-1 2

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ

1 1 2

x y

VÝ dô 4 : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau

2 2

x x x

x y

x y

y z z

x y z

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có x = 2

Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ :

0 0

x y

Tài liệu tham khảo

2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10

-nxb Đại học quốc gia hà nội – 1998

Tác giả : Phan Duy Khải

3 – toán bồi dỡng học sinh đại số 9

-nhà xuất bản hà nội

Tác giả : Vũ Hữu Bình – Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều

4 – sách giáo khoa đại số 8,9,10

-nxb giáo dục – 1998

5 – toán nâng cao đại số 279 bài toán chọn lọc

-nhà xuất bản trẻ – 1995

Tác giả : Võ Đại Mau

6 – Giáo trình đại số sơ cấp trờng đhsp i – hà nội