- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.. c Đồ thị: Giao với Ox tại..[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2
2 1
x y x
(C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Đường thẳng d1 có phương trình y x cắt (C) tại hai điểm A và B Đường thẳng d2 có phương trình y x m Tìm tất cả các giá trị của m để d2cắt (C) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho A, B, C, D
là bốn đỉnh của hình bình hành
Câu II (2,0 điểm).
1 Giải phương trình:
2
cos cos 1
2 1 sin sin cos
x
2 Giải phương trình:
x x x x x x
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn:
3 0
cos lim
x x
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA3a a0 ; SA
tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc
bằng 60o Tam giác ABC vuông tại B, ACB 300; G là trọng tâm của tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số x y z, , thuộc đoạn 0;2 và x y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của
A x y z xy yz zx
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2); các đường thẳng d x1: – 3 0 y và đường thẳng d x2: y– 9 0 Tìm tọa độ điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x4y 5 0;d2: 4x 3y 5 0 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng :x 6y 10 0 và tiếp xúc với d d1, 2.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức
3
x x
, biết n là số tự nhiên thỏa
mãn hệ thức n 46 2 454
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elíp (E):
2
4
x y
và điểm C2; 0 Hãy tìm tọa độ các điểm A,
B thuộc (E) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M1; 2 , N3; 4
và đường thẳng dcó phương trình – 3 0
x y Viết phương trình đường tròn đi qua M, N và tiếp xúc với d
Trang 2ngẫu nhiên 6 sản phẩm từ lô hàng đó Hãy tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN; KHỐI B
———————————
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
II ĐÁP ÁN:
I 1 1,0 điểm
TXĐ:
1 / 2
D
TCĐ:
1 2
x
; TCN:
1 2
y
0.25
x
Hàm số nghịch biến trên
1
; 2
và
1
2
0.25
BBT
2
y
1 2
1 2
0.25
c) Đồ thị:
Giao với Ox tại 2;0
0.25
Trang 3Giao với Oy tại 0;2
Đồ thị nhận giao điểm
1 1
;
2 2
I
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
2 1,0 điểm
d1 giao (C) tại 2 điểm A(-1;-1) , B(1;1) và AB 2 8 0.25
Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và (C) là
2
2
1
2 1
2
x
x m
0.25
d2 cắt (C) tại 2 điểm C, D khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm khác 1/ 2
1
2 0 2
m m
đúng m
0.25
(x x1, 2là nghiệm của (1))
ABCD là hình bình hành 2 2 1 2 2 1 2
0 / /
m
AB CD
2
0
2
m
m
KL: m 2.
0.25
II 1 1,0 điểm
Điều kiện: sinx cosx 0 x 4 k ,k (*).
Ta có: PT 1 sin x 1co xs 1 sin x 0 0.25
; 2
k
Kết hợp với điều kiện (*), suy ra phương trình đã cho có 2 họ nghiệm là
2
0.5
2 1,0 điểm
Đặt t 3x2 x 1 t23x2 x 1 (t 0)
Ta được phương trình
2( 2) 6 3 0
2 1
t
0.25
3
t ta được
2
1 97 6
1 97 6
x
x
0.25
Trang 42 1
t x ta được
2
2
1
2
0
3
x x
x
x
0.25
Vậy phương trình có nghiệm
III 1,0 điểm
3
2 3
2 0
sin
4
x x
x
x x
0.5
Gọi M là trung điểm của BC Ta có (SBG) ( SCG)SG
(SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) suy ra SG(ABC), SAG 600,
SG là chiều cao của chóp S.ABC.
0.25
.sin 3
a
;
os
2
a
(1)
ABC
vuông tại B có C 30o Đặt AB x x 0
suy ra
3 3,
2
x
0.25
2
x
;
x
(2)
Từ (1) và (2)suy ra
x
0.25
2 2
ABC
a
;
.
(đvtt) 0.25
Ta có x y z 2 x2y2z22xy yz zx
9
0.25
Trang 5Vậy nên 3 2 2 2 9
Không mất tính tổng quát, giả sử: x y z 3 x y z 3x x 1 x1; 2
Lại có: y2z2(y z )2 3 x2 x2y2z23 x2x2 2x2 6x9 0.25
( ) 2 6 9, 1; 2 '( ) 4 6, '( ) 0
2
(1) 5; (2) 5;
0.25
Suy ra x2y2z2 5, đẳng thức xảy ra khi
1
2 2
1 0
0 3
x
x x
y yz
z
x y z
x y z
Vậy A max 3 khi x2, y1, z0 hoặc các hoán vị của chúng
0.25
VI.a 1 1,0 điểm
Ta có:
B d B a a C d C b b
ABC vuông cân tại A 2 2
AB AC
2 10 4 16 0 (1)
2 8 2 20 48 (2)
Nhận thấy: a = 2 không là nghiệm của hệ trên.
0.25
Do đó 1 5 8
2
a b a
Thế vào (2) tìm được a 0 hoặc a 4 0.25 Với a 0 ta có b 4 Vậy B0; 3 và C4; 5.
Với a 4 ta có b 6 Vậy B4; 1
và C6; 3
0.25
2 1,0 điểm
Xét I a b ;
là tâm và R là bán kính đường tròn (C).
Do I a6b10 1
Đường tròn (C) tiếp xúc với
2 5
;
3 5
R
d d
R
0.25
Từ (1); (2); (3) suy ra 3 6 b104b5 4 6 b10 3b 5
0
22 35 21 35
70
22 35 21 35
43
b
0.25
Trang 6Từ (1) suy ra
10 43
a
và
7 43
R
0.25
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn:
;
2
:
C x y
0.25
VII.a 1,0 điểm
Từ hệ thức đã cho suy ra n 6
4
n
0.25
2
x
Hệ số của x4 tương ứng với 24 4 k 4 k 5
Vậy hệ số của x4 là 5 5 8 5
VI.b 1,0 điểm
0.25
Do CA CB AB suy ra A, B nằm trên đường tròn tâm C bán kính CA nên A, B đối
xứng nhau qua Ox
Giả sử A a b( ; ) B a( ; b) Do A, B thuộc (E) suy ra
2
4
a b
Tam giác ABC đều suy ra AB2 AC2 4b2 (a 2)2b2 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
2 2
1 (1)
a b
0.25
Do A C Vậy
A B
A B
2 1,0 điểm
Gọi E là trung điểm MN ta có E(2;-1) Gọi là đường trung trực của MN.
Suy ra có phương trình x 2 3 y1 0 x 3y 5 0.
0.25
Trang 7Gọi I là tâm đường tròn đi qua M, N thì I nằm trên .
Giả sử I t3 5;t
2
2
t
0.25
2
2t 12 18 0t t 3 Từ đó suy ra I 4; 3, bán kính R = IM=5 2. 0.25 Phương trình đường tròn x42y32 50
VII.b 1,0 điểm
Số phần tử của không gian mẫu C 126 924 (phần tử). 0.25 Xét trường hợp trong 6 sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm suy ra có C 104 210 cách và xác
xuất là
210
924 .
0.25
Vậy xác suất lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm từ lô hàng đó có không quá 1 phế phẩm là
210 714 17 1
924 924 22