Dạy học khái niệm dãy số nhìn từ quan điểm dạy học tích hợp

Chúng tôi giới hạn nghiên cứu trên đối tượng tri thức này và đặt câu hỏi xuất phát như sau: Với những ràng buộc của thể chế hiện hành đối với khái niệm dãy số, làm thế nào để dạy học p

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực

LỜI CẢM ƠN

Tôi trân trọng dành những dòng đầu tiên để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tôi về

mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này

Tôi cũng trân trọng gửi lời cảm ơn đến:

 PGS TS Lê Thị Hoài Châu, người đã truyền đạt cho chúng tôi những tri

thức về Thuyết nhân học trong Didactic, với sự nghiêm khắc nhưng đầy nhiệt

tình của cô, chúng tôi đã luôn nỗ lực trong học tập và nghiên cứu

 TS Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic cô còn dành một

buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tôi các kỹ năng cần thiết về tin học khi

trình bày một luận văn, xử lí hình ảnh,…

 PGS TS Lê Văn Tiến, TS Tăng Minh Dũng, TS Nguyễn Thị Nga

Mỗi thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp cho chúng tôi về những nội dung còn

mới mẻ của chuyên ngành Didactic Toán Từ đó, thầy cô đã truyền cho chúng tôi

niềm say mê, hứng thú đối với chuyên ngành này

 GS Hamid Chaachoua, GS.Annie Besot về những góp ý quý báu cho luận

văn

Và tôi cũng chân thành cảm ơn:

 UBND tỉnh Đồng Nai, Sở GD ĐT tỉnh Đồng Nai, Ban Giám Hiệu trường

THPT Nhơn Trạch đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi được tham gia khóa

học

 Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán- Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo

điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây

 Các bạn trong lớp cao học - Didactic toán khóa 25 về những chia sẻ, động

viên nhau để hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình, các

đồng nghiệp trong tổ Toán của tôi, mọi người đã tạo điều kiện tốt, giúp tôi yên tâm

hoàn thành khóa học

Nguy ễn Ngọc Thạch Lương

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan Mục lục Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU 1

C hương 1 NHỮNG ĐỊNH HƯỚNG CỦA NOOSPHÈRE VIỆT NAM CHO CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TRONG TƯƠNG LAI 6

1.1 Chuyển từ dạy học nội dung sang hình thành năng lực cho học sinh 6

1.2 Vị trí của môn toán trong xu hướng dạy học tiếp cận năng lực 8

1.3 Dạy học tích hợp 9

1.4 Kết luận chương 1 11

Chương 2 DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT 13

2.1 Phân tích Sách giáo khoa Mỹ 13

2.1.1 Phần bài học 13

2.1.2 Tóm tắt phần bài học của SGK Mỹ 24

2.2 Các tổ chức toán học trong SGK Mỹ 25

2.2.1 Kiểu nhiệm vụ T1: Tìm số hạng thứ k của dãy số khi đã biết công thức tính an theo n 26

2.2.2 Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm số hạng thứ k của dãy số khi biết công thức tính an bằng truy hồi 28

2.2.3 Kiểu nhiệm vụ T3: Tìm công thức tính an theo n khi biết được vài số hạng đầu của dãy 31

2.2.4 Kiểu nhiệm vụ T4: Tìm công thức tính an bằng truy hồi 32

2.2.5 Một số dạng bài tập khác 33

2.3 Dãy số trong Sách giáo khoa toán 11 (cơ bản) Việt Nam 35

2.3.1 Phần bài học 36

2.3.2 Tóm tắt phần bài học của SGK11CB và nhận xét 44

2.4 Các tổ chức toán học trong SGK11CB cơ bản Việt Nam .45

2.5 Kết luận 48

2.5.1 Phần bài học của SGKCB11 của Việt Nam 48

2.5.2 Phần bài tập của SGKCB11 của Việt Nam 48

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 51

3.1 Đối tượng thực nghiệm 51

3.2 Nội dung thực nghiệm 51

3.2.1 Thực nghiệm 1 .51

3.2.2 Thực nghiệm 2 53

3.3 Phân tích tiên nghiệm 55

3.3.1 Tổ chức thực nghiệm 55

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm thực nghiệm 1 56

3.3.3 Phân tích tiên nghiệm thực nghiệm 2 58

3.4 Phân tích hậu nghiệm 64

3.4.1 Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 1 64

3.4.2 Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 2 .70

3.5 Kết luận chương 3 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGK VN : Sách giáo khoa Việt Nam

SGK11CB : Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cơ bản

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Bảng so sánh một số tổ chức toán học của SGKCB11 và SGK Mỹ 49

Bảng 3.1 Thống kê các câu trả lời cá nhân của học sinh trong câu hỏi 1.1 64

Bảng 3.2 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh về dãy 1,2,3 trong câu hỏi 2.1 65

Bảng 3.3 Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1.2 65

Bảng 3.4 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh về dãy số 4 trong câu hỏi 2.1 66

Bảng 3.5 Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1.3 66

Bảng 3.6 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh về dãy số 5 trong câu hỏi 2.1 67

Bảng 3.7 Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1.4 67

Bảng 3.8 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong câu hỏi 1.4 68

Bảng 3.9 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong câu hỏi 2.3 68

Bảng 3.10 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 1 70

Bảng 3.11 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 2 71

Bảng 3.12 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 3 72

Bảng 3.13 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 4 73

Bảng 3.14 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 5 74

Bảng 3.15 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 6 75

Bảng 3.16 Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 7 76

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và các câu hỏi xuất phát

Dự định “đổi mới căn bản và toàn diện” giáo dục Việt Nam hứa hẹn sẽ mang

đến một cuộc cải cách giáo dục lớn Những bài viết của các thành viên “bộ phận thường trực đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông và bồi dưỡng nhà giáo, cán bộ quản lý cơ sở giáo dục” [16, tr.5] Của Bộ Giáo dục và Đào tạo lấy

mốc thời gian “sau 2015” để nói về thời điểm thực hiện sự đổi mới Tuy nhiên, thời điểm dự kiến bắt đầu áp dụng chương trình mới đến nay vẫn chưa xác định

Đối với việc xây dựng chương trình mới, các thành viên bộ phận thường trực

và các nhà nghiên cứu thuộc Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam sẽ giữ vai trò chủ

đạo Chúng tôi sẽ gọi họ là những nhà hoạch định chương trình mới và gọi tắt là

NHĐCT Vì vậy, phân tích những quan điểm của họ thể hiện qua các bài viết cho

những hội thảo tổ chức tại các trường Đại học Sư phạm Trọng điểm sẽ làm rõ những định hướng đổi mới giáo dục phổ thông nói chung và bộ môn Toán nói riêng

Chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông từ lớp 1 đến lớp 12 hiện hành được triển khai theo Nghị quyết số 40 của Quốc hội năm 2000 đã áp dụng trên phạm vi toàn quốc từ năm 2002 đến nay là 12 năm

Chương trình, sách giáo khoa hiện hành cơ bản đã làm xong nhiệm vụ của mình trong giai đoạn vừa qua; đáp ứng được những yêu cầu về đổi mới theo tinh thần Nghị quyết 40 của Quốc hội X Tuy nhiên, trước yêu cầu phát triển nguồn nhân lực chất lượng cao phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước; trước sự phát triển nhanh chóng của khoa học – công nghệ và khoa học giáo dục; trước những đòi hỏi hội nhập quốc tế, chương trình và sách giáo khoa hiện hành đã bộc lộ một số hạn chế, bất cập

Điều đó đòi hỏi phải xây dựng chương trình và biên soạn sách giáo khoa với những đổi mới căn bản, toàn diện về mục tiêu, nội dung, phương pháp và hình thức dạy học, thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng giáo dục và quản lý, thực hiện chương trình [16, tr.5]

Chúng tôi thấy rằng NHĐCT đề cao và chú trọng phát triển năng lực của học sinh, trong đó đề xuất ra phương án dạy học tích hợp trong chương trình, sách giáo khoa sau năm 2015 để phát triển năng lực của học sinh

Mục đích của dạy học tích hợp là để hình thành và phát triển năng lực học sinh Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có

tổ chức hợp lý các kiến thức, kỹ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh nhất định Phương pháp tạo ra năng lực

Làm cho quá trình học tập gần gũi với cuộc sống của các em Các chủ điểm được xây dựng từ những nội dung gắn liền với cuộc sống

Ghép được những kiến thức và kỹ năng có liên quan/ gần nhau của các môn học

Giảm số môn học và giảm tải cho học sinh

Có điều kiện hình thành và phát triển năng lực của học sinh [4, tr.25]

Từ đó, chúng tôi đã đặt ra những câu hỏi xuất phát sau đây:

Những quan điểm nào về dạy học tích hợp theo các NHĐCT được đề cập? Quan điểm nào có thể phù hợp với dạy học bộ môn Toán?

Khái niệm dãy số là một trong ba đối tượng cơ sở của giải tích (gồm số thực, dãy, hàm số) Ngoài ra, đối tượng này cũng xuất hiện như là một công cụ trong nhiều ngành khoa học khác nhau: vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế học Chúng tôi giới hạn nghiên cứu trên đối tượng tri thức này và đặt câu hỏi xuất phát như sau:

Với những ràng buộc của thể chế hiện hành đối với khái niệm dãy số, làm thế nào để dạy học phù hợp với quan điểm dạy học tích hợp của các NHĐCT?

2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan tới vấn đề nghiên cứu

Hiện nay, ở Việt Nam, các công trình nghiên cứu về khái niệm về dãy số không nhiều Đặc biệt là nghiên cứu dạy học theo quan điểm tích hợp Chúng tôi tìm được một công trình nghiên cứu có liên quan:

- Diệp Văn An Lạc (2011), một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy học ở trường THPT, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Tác giả đã trình bày nghiên cứu khái niệm cấp số nhân ở cấp độ đại học và phân tích mối quan hệ thể chế với các đối tượng cấp số nhân ở chương 2, chưa có vận dụng dạy học tích hợp

- Lê Minh Hải (2013), dãy số trong dạy học toán ở phổ thông, Luận văn thạc

sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.Tác giả đã nghiên cứu các tri thức bác học về khái niệm dãy số thông qua các giáo trình Toán ở bậc đại học để tìm hiểu cách trình bày khái niệm dãy số, các cách cho dãy số và các khái niệm liên quan Tác giả phân tích mối quan hệ thể chế đối với đối tượng dãy số và các tổ chức toán học có liên quan trong giáo trình toán THCS và THPT Tác giả phân tích mối tương quan giữa dãy số và hàm số trong chương 2 Chúng tôi nhận thấy tác giả chưa

đề cập đến quan điểm dạy học tích hợp

Từ những ghi nhận ban đầu như trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên

cứu cho luận văn thạc sĩ của mình là: “Dạy học khái niệm dãy số nhìn từ quan

điểm dạy học tích hợp”

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Để đạt được các mục tiêu nghiên cứu đã được đề ra, chúng tôi sẽ vận dụng các công cụ của lý thuyết sau:

- Các yếu tố lý thuyết về dạy học tích hợp được trình bày bởi các NHĐCT Chúng tôi sẽ trình bày trong chương 1, cơ sở lí luận của luận văn

- Thuyết nhân học trong didactic toán để phân tích các sách giáo khoa

- Lý thuyết tình huống để xây dựng và phân tích thực nghiệm

4 Mục tiêu nghiên cứu và các câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài: xây dựng một tình huống dạy học khái niệm dãy số thỏa mãn các ràng buộc của thể chế hiện hành và phù hợp với quan điểm về dạy học tích hợp của các NHĐCT

Từ mục tiêu này chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu sau:

CH1: Theo các NHĐCT, tại sao nên thực hiện dạy học tích hợp? dạy học tích hợp là gì và có những đặc trưng gì? Các hình thức dạy học tích hợp nào phù hợp với dạy học Toán?

CH2: Trong SGK toán Việt Nam hiện hành, dãy số được trình bày như thế nào nếu nhìn từ quan điểm tích hợp như các NHĐCT?

5 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp phân tích – tổng hợp:

- Phân tích quan điểm tích hợp của các NHĐCT Việt Nam, để trả lời cho các câu hỏi: dạy học tích hợp là gì, các kiểu tích hợp, các hình thức dạy học tích hợp nào phù hợp với dạy học Toán?

• Phương pháp phân tích – so sánh:

- Để làm rõ những đặc trưng của thể chế Việt Nam về việc dạy học khái niệm dãy số, chúng tôi sẽ phân tích so sánh SGK Việt Nam với một quyển sách giáo khoa nước khác Quyển sách được chọn là quyển:

James Stewart-Rothard Redline-Saleem Watson (2013), Precalculus Mathematics for Calculus (sixth edition), Cengage Learning

Phân tích so sánh này được thực hiện bằng công cụ của thuyết nhân học trong didactic liên quan đến CH2

• Phương pháp thực nghiệm

- Xây dựng và phân tích các tình huống dạy học bằng các công cụ của lí thuyết tình huống để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đặt ra sau khi phân tích thể chế

Chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

Hình 0.1 Sơ đồ phương pháp nghiên cứu

Phân tích quan điểm dạy học tích hợp của các NHĐCT

C hương 1

NHỮNG ĐỊNH HƯỚNG CỦA NOOSPHÈRE VIỆT NAM

CHO CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TRONG TƯƠNG LAI

Chương này đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu sau CH1: Theo các

NHĐCT, tại sao nên thực hiện dạy học tích hợp? Dạy học tích hợp là gì và có những đặc trưng gì? Các hình thức dạy học tích hợp nào phù hợp với dạy học

Toán?

1 1 Chuyển từ dạy học nội dung sang hình thành năng lực cho học sinh

Định hướng tổng quát của những nhà hoạch định chương trình mới là chuyển

từ việc dạy học những nội dung của tri thức môn học cụ thể sang hình thành các năng lực cho học sinh

Chuyển nền giáo dục chú trọng mục tiêu truyền thụ kiến thức một chiều hiện nay sang nền giáo dục chú trọng hình thành, phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất nguời học [16, tr.6]

Hòa chung với định hướng này, việc dạy học môn Toán cũng được yêu cầu thay đổi sao cho có thể phát triển năng lực của học sinh

Chương trình môn toán của trường phổ thông Việt Nam sau 2015 được xây dựng theo định hướng phát triển năng lực người học Những năng lực chung cần được hình thành và phát triển ở người Việt Nam trong giai đoạn tới bao gồm: năng lực tư duy, năng lực thu thập và chế biến thông tin, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tự học, năng lực tự quản lý bản thân (tất nhiên những năng lực này không hoàn toàn độc lập với nhau) Đây cần được xem là điểm xuất phát cho việc xác định mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học, cách thức đánh giá kết quả học tập môn toán trong trường phổ thông [9, tr.25]

Như vậy, một loạt thuật ngữ liên quan đến năng lực xuất hiện Câu hỏi đầu tiên: thế nào là năng lực?

Từ nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực, tác giả Đinh Quang Báo (2014) tóm lại như sau:

Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có

tổ chức hợp lý các kiến thức, kỹ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp

ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh (tình huống) nhất định [2, tr.38]

Tác giả cũng đề cập đến mối quan hệ giữa năng lực và kiến thức, kĩ năng (những thành tố cơ bản của mục tiêu dạy học hiện hành)

Ở Việt Nam, thuật ngữ “năng lực” có thể được hiểu theo các nội hàm khác nhau Theo một số quan điểm khá thống nhất thì năng lực được hiểu theo nghĩa

“competency”, nghĩa là: Sự tổng hợp tất cả các yếu tố kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác để thực hiện một loại công việc nào đó [2, tr.40] Như vậy, việc dạy học nhằm hình thành năng lực và đánh giá năng lực học sinh nhất thiết phải gắn với những tình huống có ý đồ sư phạm cụ thể Ngoài ra, tri

thức môn học được mô tả dưới dạng kiến thức và kĩ năng cũng cần phải được xác

định rõ

Các NHĐCT cũng cố gắng đưa ra các kiểu năng lực cần hình thành cho học sinh trong giáo dục phổ thông Tuy nhiên điều này đến nay vẫn chưa có sự thống nhất

Tham khảo những năng lực chung (hay năng lực cốt lõi) ở một số quốc gia nói

tiếng Anh, các tác giả Đinh Quang Báo và Lê Huy Hoàng (2014) cho rằng:

Việc xác định hệ thống các năng lực chung cho giáo dục phổ thông không giống nhau giữa các quốc gia do sự khác nhau về điều kiện kinh tế, chính trị, văn hoá, trình độ phát triển… Tuy nhiên, trong bối cảnh toàn cầu hoá và sự gia tăng của nền kinh tế tri thức, có một số năng lực thường được nhiều quốc gia

đề cập trong chương trình đào tạo như: năng lực sử dụng ngôn ngữ (literacy competency); năng lực tính toán (numeracy competency); năng lực tư duy sáng tạo và phản biện (creative and critical thinking competency); năng lực hợp tác (collaborative competency); năng lực giải quyết vấn đề (problem solving competency); và năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông (ICTs competency) [3, tr.13]

Chúng tôi sẽ chọn lựa các kiểu năng lực trong trích dẫn trên để tham chiếu cho nghiên cứu của mình và hiểu về chúng trong một tình huống dạy học xác định như sau:

- Năng lực ngôn ngữ : khả năng vận dụng một cách phù hợp ngôn ngữ mà đặc biệt là kí hiệu và thuật ngữ khoa học để trình bày ý kiến nhằm thuyết phục người khác và để soạn thảo câu trả lời cho tình huống đặt ra

- Năng lực tính toán : khả năng thực hiện nhanh và chính xác các phép tính, đặc biệt là các ước lượng cần thiết để giải quyết tình huống đã cho

- Năng lực tư duy sáng tạo và phản biện: khả năng đưa ra các phản biện và đề nghị cải thiện một cách hợp lí cho vấn đề đặt ra

- Năng lực hợp tác: khả năng phối hợp tốt với các thành vên trong nhóm để phân chia công việc và thống nhất nhằm đưa ra sản phẩm trả lời cho tình huống đặt ra

- Năng lực giải quyết vấn đề: khả năng giải quyết các vấn đề đặt ra trong tình huống

Lưu ý rằng: vấn đề là một bài toán chưa thể giải quyết ngay bằng quy trình mà chủ thể đang có, nó đòi hỏi chủ thể phải bổ sung hay tổ chức lại kiến thức của mình mới

có thể giải quyết bài toán

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông: khả năng sử dụng hợp lí và hiệu quả các công cụ của công nghệ như máy tính bỏ túi, thiết bị trình chiếu, các phần mềm máy tính phù hợp

Các NHĐCT cũng đồng ý rằng dù có thể gọi tên các năng lực một cách khác nhau, nhưng chúng thường không được thể hiện một cách độc lập mà đan xen với nhau Chẳng hạn, khi giải quyết một vấn đề đặt ra bằng phương pháp và kĩ thuật toán học thì chủ thể phải huy động các năng lực khác như: hợp tác để tìm cách giải quyết vấn đề, sử dụng ngôn ngữ hợp lí để phản biện ý kiến của người khác và đề nghị cải thiện, tính toán chính xác và sử dụng công nghệ để thực hiện các khảo sát hay đo lường

1 2 Vị trí của môn toán trong xu hướng dạy học tiếp cận năng lực

Ghi nhận đầu tiên của chúng tôi là việc dạy học Toán có thể góp phần hình thành tất cả các năng lực chung đã nêu, đặc biệt đối với việc phát triển ba năng lực : tính toán, tư duy sáng tạo và phản biện, giải quyết vấn đề

Ý kiến tích hợp các môn học hiện hành ở bậc trung học thành những môn học mới theo từng lĩnh vực được đề ra, chẳng hạn: bậc trung học cơ sở sẽ có môn khoa học tự nhiên tích hợp từ các môn Vật lý, Hóa học, Sinh học và Địa lí Tuy nhiên, đối với môn Toán, các nhà hoạch định chương trình mới vẫn đang thiên về ý kiến để môn học này riêng biệt như hiện tại Một phần lí do có thể được tìm thấy trong bài viết của tác giả Đỗ Đức Thái (2013)

Truyền thống của Việt Nam luôn coi môn toán là môn học chiếm vị trí quan trọng trong các môn học ở nhà trường phổ thông Toán học được xem là cần thiết không chỉ vì cung cấp nền tảng cho việc học các môn học khác hoặc là công cụ để giải quyết các vấn đề trong đời sống thực tế, mà còn bởi lẽ nó đóng góp nhiều nhất cho sự phát triển trí tuệ của mỗi cá nhân học sinh [15, tr.2] Vấn đề rèn luyện khả năng mô hình hóa toán học được đề cao cho chương trình Toán sau 2015, tác giả Trần Kiều (2013) gọi đó là “năng lực mô hình hóa toán học”

Năng lực mô hình hóa toán học từ các tình huống thực tiễn giả định hoặc tình huống thực trong cuộc sống Đây là năng lực cần phải được quan tâm nhiều hơn nữa đối với các trường phổ thông ở nước ta [9, tr.3]

Ta có thể xem năng lực mô hình hóa là một trường hợp đặc biệt của năng lực giải quyết vấn đề khi tình huống đặt ra có tính thực tiễn

Như vậy, môn Toán vẫn sẽ đứng độc lập nhưng được yêu cầu phải dạy học gắn với thực tiễn hơn Câu hỏi là làm thế nào để thực hiện điều này

Theo các NHĐCT, dạy học tích hợp là con đường để hình thành năng lực cho học sinh và hình thức dạy học này vẫn có thể thực hiện được cho môn Toán khi đứng độc lập trong chương trình mới

1 3 Dạy học tích hợp

Nguyễn Anh Dũng và nhóm nghiên cứu (2014) trình bày định nghĩa về dạy học tích hợp như sau:

Dạy học tích hợp là giáo viên tổ chức, hướng dẫn để học sinh biết huy động

tổng hợp kiến thức, kỹ năng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau nhằm giải quyết

có hiệu quả các nhiệm vụ học tập; thông qua nó hình thành những kiến thức kỹ

năng mới; phát triển được những năng lực cần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống [4, tr.25]

Theo các tác giả này, dạy học tích hợp đang được thực hiện phổ biến trên thế giới

Qua nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa của 17 nuớc và một số tài liệu do UNESCO tổng hợp cho thấy: xu hướng chung của các nước đều vận dụng quan điểm tích hợp vào xây dựng chương trình Ở tiểu học thường tích hợp ở mức

độ cao (tích hợp hoàn toàn) Sau đó giảm dần từ trung học cơ sở đến trung học phổ thông (tích hợp bộ phận) [4, tr.25]

Nhóm nghiên cứu trình bày các hình thức dạy học tích hợp:

Có bốn hình thức chính:

a) Tích hợp trong nội bộ môn học

Là môn học độc lập, một số nội dung của các phân môn trong môn học đó được tích hợp lại với nhau Ví dụ phân môn Hình, Lượng, Ðại trong môn Toán

có những nội dung đuợc tích hợp thành chủ đề tích hợp

b) Tích hợp đa môn

Các môn học vẫn độc lập, tuy nhiên có những chủ đề như Môi truờng, Sức

khoẻ sinh sản, Kỹ năng sống được lồng ghép vào các môn học sao cho phù hợp với đặc trưng của môn học đó

Xây dựng môn học mới với cách tiếp cận những vấn đề từ cuộc sống thực và

có ý nghĩa đối với học sinh mà không xuất phát từ các khoa học tương ứng với các môn học Ví dụ môn Khoa học có những chủ đề như Vật chất, Sự sống [4, tr.26-27]

Như vậy, nếu môn Toán vẫn đứng độc lập trong chương trình mới và với mong muốn dạy học gắn với thực tiễn, ta có thể tổ chức dạy học tích hợp phối hợp giữa hai quan điểm: tích hợp trong nội bộ môn học và tích hợp liên môn Khi đó,

cần thiết kế các tình huống tích hợp sao cho các kiến thức của nhiều phân môn của Toán được huy động

Tác giả Đinh Quang Báo (2014) nhấn mạnh về sự cần thiết phải có tình huống tích hợp cũng như phải xác định rõ kỹ năng và nội dung tri thức môn học trong việc hình thành năng lực

Năng lực = Kỹ năng × Nội dung × Tình huống tích hợp Như vậy, dựa vào bảng trên, giáo viên hay người soạn chương trình thiết kế các tình huống tích hợp, hoạt động huy động vận dụng kiến thức, kỹ năng từ các nguồn để giải quyết vấn đề có ý nghĩa [2, tr.40]

Trong trang trước của bài viết, tác giả Đinh Quang Báo (2014) đã đưa ra mẫu

về một bảng thể hiện mối liên hệ giữa kỹ năng và nội dung tri thức môn học như sau:

Mỗi môn học lập được ma trận quan hệ giữa hệ thống kỹ năng (KN) và nội dung (ND) kiến thức dưới dạng bảng như sau:

[2, tr.39]

Từ ý kiến của các tác giả đã phân tích, xu hướng đối với dạy học môn Toán của chương trình mới đó là tích hợp trong nội bộ môn học và tích hợp liên môn với tình huống tích hợp chứa các vấn đề “có ý nghĩa”:

- Hoặc các vấn đề của nội tại bộ môn Toán nhưng khi giải quyết có thể huy động kiến thức của nhiều phân môn khác nhau,

- Hoặc các vấn đề phỏng thực tiễn (hay từ thực tiễn)

Môn toán vẫn sẽ độc lập trong chương trình mới cho nên hình thức tích hợp phù hợp là tích hợp trong nội bộ môn và tích hợp các kiến thức liên môn (hay từ thực tiễn) Như vậy, giáo viên cần xây dựng mới hay áp dụng các tình huống dạy học đã có sao cho khi học sinh giải quyết chúng họ phải huy động nhiều chủ đề khác nhau của nội bộ môn toán hoặc các kiến thức của môn học khác ngoài toán

hoặc kiến thức thực tiễn

để hỗ trợ cho giáo viên trong việc triển khai dạy học mô hình hóa [11, tr.6] Dạy học bằng mô hình hóa là một hình thức dạy học tích hợp và hoàn toàn thỏa mãn quan điểm về tích hợp liên môn của NHĐCT Chúng tôi định hướng phân tích SGK Mỹ với các câu hỏi sau:

Trong SGK Mỹ đã chọn, khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào? Các nội dung về dãy số trong SGK được thể hiện như thế nào nếu nhìn từ quan điểm tích hợp? Có những tổ chức toán học nào liên quan đến khái niệm dãy số? Những tổ chức toán học này phù hợp với quan điểm dạy học tích hợp như thế nào?

2.1 Phân tích Sách giáo khoa Mỹ

2.1.1 Phần bài học

a Định nghĩa dãy số

Chúng tôi thấy rằng dãy số được đề cập nằm ở chương 12 – dãy số và chuỗi

số (SEQUENCES AND SERIES) trong sách giáo khoa “Precalculus” của Stewart

và các tác giả (2013) trang 783 sau khi đã học xong chương hàm số (chương 2)

Mở đầu phần bài học, dãy số được mô tả là một danh sách các số cùng với các ví dụ thực tế trong vật lý và kinh tế:

Dãy số là một danh sách các số được viết bởi một trật tự xác định Ví dụ chiều cao của một trái bóng đang nảy lên chạm đến sau một lần nảy thì gọi là dãy số

Dãy thứ tự này là một mẫu xác định, việc miêu tả mẫu đó cho phép chúng ta dự đoán được chiều cao của quả bóng đạt được sau bất kì nảy lên nào

Sự vô hạn của “danh sách” gắn với dãy số được nhấn mạnh và đặt vấn đề cho việc tìm cách mô tả danh sách vô hạn này:

Đại khái, một dãy số là một danh sách vô hạn các số Các số trong dãy thường được viết là a a a1, 2, 3, Các dấu chấm có nghĩa là danh sách còn tiếp tục mãi Một ví dụ đơn giản là dãy

Bạn có thể nghĩ một cách khác để mô tả mẫu hình trên, cụ thể là “bạn đi từ một

số đến số tiếp theo bằng cách thêm 5” Cách tự nhiên để mô tả dãy số như thế

này được viết bằng công thức truy hồi

1 5

n n

a =a − +

Bắt đầu với a1 = 5 Thử thay thế n=1, 2 ,3,… lần lượt vào công thức để thấy được chúng tạo ra các số trong dãy như thế nào Trong phần này chúng ta sẽ xem những cách khác nhau đã đề cập được sử dụng để mô tả dãy số cụ thể như thế nào? [17,tr.784]

Từ những ví dụ thực tế và mô tả đại số SGK chính thức định nghĩa dãy số thông qua khái niệm hàm số như sau:

Một dãy số là một hàm số f có miền xác định là tập hợp các số tự nhiên Các số hạng của dãy được xác định bằng giá trị của hàm số

Các nghĩa của dãy số được đề cập: một danh sách các số (thường là vô hạn

và có thể mô tả bằng công thức); một hàm số có tập xác định là các số tự nhiên Nhiều hiện tượng thực tế có thể được mô tả bằng dãy số như: chiều cao của quả bóng sau mỗi lần nảy, số tiền có trong một tài khoản ngân hàng mỗi tháng …

b Xác định công thức biểu diễn số hạng thứ n theo n

Công thức tìm số hạng thứ n của (a n ) theo n của một dãy số xuất hiện như một phương tiện để xác định một dãy số, nghĩa là xác định được danh sách các số

Đây là một ví dụ đơn giản về dãy:

Dãy số có thể viết như sau

Chú ý công thức an= 2n cho biết tất cả số hạng của dãy […] [17, tr.784-785] SGK cũng làm rõ mối liên hệ giữa công thức an theo n với định nghĩa dãy số bằng hàm số:

Một cách khác, có thể viết dãy số bằng cách sử dụng kí hiệu hàm số:

a(n) = 2n

Vì vậy a(1) =2, a(2) = 4, a(3) = 6 … [17, tr.784]

Việc tìm các số hạng của dãy từ công thức tổng quát cho trước được đặt ra:

=

( )12

n

Giải: Để tìm năm số hạng đầu, ta cần thay thế n = 1, 2, 3, 4 và 5 vào công thức

số hạng thứ n của dãy Để tìm số hạng thứ 100, ta sẽ thay n = 100 Chúng ta được

2 3 4 5 6

100101

(d) ( )12

n n

Kỹ thuật tìm ra một mối liên hệ giữa an với n từ những số hạng đầu tiên của

dãy được đề cập trong các ví dụ

là 1 đơn vị) vì vậy dãy số được cho bởi 4 số hạng đầu được cho bởi

2

n

n a

Bạn nên kiểm tra lại công thức xác định đúng với các số hạng đã cho [17, tr.786]

c Xác định dãy số bằng công thức truy hồi

Công thức truy hồi được giới thiệu như một cách để xác định dãy số khi không (hay khó) tìm được công thức trực tiếp để tính an theo n

Một vài dãy không xác định được bằng những công thức đơn giản như những

ví dụ trên Số hạng thứ n phụ thuộc vào một vài hoặc tất cả các số hạng đằng

trước nó Một dãy số định nghĩa theo cách này được gọi là truy hồi Dưới đây

Công thức định nghĩa dãy số này là truy hồi Nó cho phép ta tìm số hạng an thứ

n nếu biết trước số hạng đứng trước an-1 Như vậy, chúng ta có thể tìm được

số hạng thứ hai khi biết số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba từ số hạng thứ hai, số hạng thứ tư từ số hạng thứ ba, và tiếp tục như vậy Kể từ khi biết số hạng thứ nhất a1=1, chúng ta tiến hành như sau

Tìm 11 số hạng đầu của dãy truy hồi biết F1 =1,F2 = và 1 F n =F n−1+F n−2.”

Giải: Đề tìm F n chúng ta cần tìm hai số hạng đằng trước F n−1 và F n−2

Từ F F 1, 2 , chúng tôi tiến hành như sau

Một tờ báo toán học tên Fibonacci Quarterly đã dành toàn bộ thời gian để

nghiên cứu điều này

d Dãy số được biểu diễn bằng cách liệt kê và đồ thị

Ý nghĩa – dãy số là danh sách các số - được củng cố bằng cách liệt kê các số hạng của dãy Ngoài ra, hành vi của hàm số có thể được quan sát dễ dàng hơn thông qua biểu diễn đồ thị của nó:

Hình ảnh của một dãy số nhờ vẽ đồ thị các phần tử của nó thường rất hữu ích

Vì dãy số là một hàm số mà miền xác định của nó là các số tự nhiên, chúng ta

có thể vẽ đồ thị của nó trên mặt phẳng Đề-các Trong trường hợp này, đồ thị của dãy 1, , , , , , , , 1 1 1 1 1 1

được biểu diễn trong hình 1

[17, tr.785]

Như vậy, biểu diễn đồ thị của dãy cho phép trực quan hóa các số hạng của dãy này giảm

SGK Mỹ đưa ra một ví dụ tiếp theo về một dãy đan dấu để so sánh với dãy của hình 1

So sánh đồ thị trong hình 1 với đồ thị của dãy

Đặc trưng của đồ thị dãy số cũng được SGK này rút ra: “Đồ thị của mọi dãy

số bao gồm các điểm đơn độc nghĩa là không nối kết với nhau” [17, tr.785]

SGK đề cập đến máy tính cầm tay như một công cụ đề tìm các số hạng đầu tiên của dãy số, đồng thời có thể biểu diễn đồ thị dãy số

Máy tính đồ thị rất hữu ích trong việc phân tích dãy số Để làm việc với dãy số trên máy TI-83, chúng tôi để máy tính ở chế độ Seq (chế độ dãy) như hình 3(a) Nếu chúng ta nhập dãy số

1

n

n u n

=+ như ví dụ 1(c), chúng ta có thể sử dụng số hạng của dãy số được sử dụng lệnh TABLE thể hiện như hình 3(b) Chúng ta có thể vẽ đồ thị của dãy như trong hình 3(c)

[17, tr.786]

e Tổng riêng phần (Partial sums) của dãy

Định nghĩa khái niệm tổng riêng phần của dãy số được trình bày theo tiến trình “Đối tượng → công cụ” và đi theo con đường suy diễn

Đầu tiên SGK phát biểu tường minh định nghĩa khái niệm tổng riêng phần

Tính tổng riêng phần của một dãy

S là tổng riêng phần thứ nhất, S 2 là tổng riêng phần thứ hai, và như thế S n

gọi là tổng riêng phần thứ n Dãy S S S1, 2, 3, ,S n, được gọi là dãy các tổng riêng phần [17, tr.789]

Như vậy SGK quan tâm đến một dãy đặc biệt lập từ một dãy số a1, a2, a3, …., an,

… Đó là dãy S1, S2, …, Sn, … có tến gọi là dãy các tổng riêng phần

Ví d ụ 5: Tìm tổng riêng phần của dãy số

Tìm tổng riêng 4 số hạng đầu và tổng riêng n số hạng của dãy số cho bởi 1

2 4 4

1 1 1 7 + =

2 4 8 8

1 1 1 1 15 + + =

Chú ý rằng giá trị của mỗi tổng riêng phần, với mẫu số là lũy thừa của 2 và tử

số nhỏ hơn mẫu số 1 đơn vị Nói chung tổng riêng phần thứ n là:

1 2 3 4 5 1

n k k

1 )

Ví dụ về việc sử dụng kí hiệu Sigma để rút gọn các tổng cũng được trình bày

Ví dụ 8: Viết tổng dưới dạng ký hiệu Sigma

Viết các tổng sau dưới dạng ký hiệu Sigma

• Hàm số với miền xác định là tập các số tự nhiên

- Dãy số được biểu diễn bằng các cách sau:

• Liệt kê các số hạng (đi kèm hay không đi kèm) với biểu diễn đồ thị,

• Bằng công thức xác định an theo n,

• Bằng công thức truy hồi

- Một dãy số đặc biệt liên kết với một dãy số cho trước được quan tâm đó là dãy các tổng riêng phần Kí hiệu sigma xuất hiện như một công cụ rút gọn các tổng riêng phần

Chúng tôi nhắc lại quan điểm về dạy học tích hợp của các nhà định hướng chương trình mới Việt Nam:

Dạy học tích hợp là giáo viên tổ chức, hướng dẫn để học sinh biết huy động

tổng hợp kiến thức, kỹ năng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau nhằm giải quyết

có hiệu quả các nhiệm vụ học tập; thông qua nó hình thành những kiến thức kỹ năng mới; phát triển đuợc những năng lực cần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống [4, tr.25]

Chiếu theo quan điểm này thì phần bài học của SGK Mỹ không giới thiệu các khái niệm từ các tình huống có vấn đề, như vậy không gợi ý cách tổ chức dạy học tích hợp Tuy nhiên SGK đang phân tích chứa đựng những yếu tố cho phép tổ chức dạy học tích hợp Những yếu tố đó là:

- Xem xét đối tượng dãy số ở khía cạnh số và đồ thị

- Sử dụng máy tính bỏ túi để biểu diễn hay tìm các số hạng của dãy

- Giới thiệu một số hiện tượng thực tế liên quan đến dãy số, nhất là dãy Fibonacci

Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng dãy số để trả lời cho câu hỏi: có các tổ chức toán học nào liên quan đến khái niệm dãy số mà việc dạy học chúng thể hiện quan điểm tích hợp?

2.2 Các tổ chức toán học trong SGK Mỹ

Chúng tôi giới hạn chỉ mô hình hóa những tổ chức toán học có các nhiệm vụ thể hiện quan điểm tích hợp Nghĩa là những kiểu nhiệm vụ mà khi giải quyết chúng cần phải huy động nhiều kiến thức của phân môn khác nhau trong nội bộ môn toán

và (hay) huy động kiến thức của nhiều lĩnh vực khác ngoài toán

2.2.1 Kiểu nhiệm vụ T1: Tìm số hạng thứ k của dãy số khi đã biết công thức

Những bài toán thực tế ứng với kiểu nhiệm vụ này

71 Lãi suất kép: Julio gửi 2000 $ vào tài khoản tiết kiệm với lãi suất kép

2,4% mỗi năm Tổng số tiền sau n tháng được cho bởi dãy

0, 024

2000 1

12

n n

a) Tìm sáu số hạng đầu của dãy

b) Tìm tổng số tiền trong tài khoản sau 3 năm

72 Lãi su ất kép: Mỗi cuối tháng, Helen gửi 100$ vào tài khoản với lãi suất

kép 6% một năm Tổng số tiền lãi mà cô ấy đã tích lũy được sau n tháng được cho bởi dãy

1, 005 1100

0, 005

n n

a) Tìm 6 số hạng đầu của dãy

b) Tìm số tiền lãi cố ấy tích lũy được sau 5 của cô ấy năm [17, tr 793]

L ời giải của chúng tôi

73 Dân số của một thành phố Một thành phố được thành lập năm 2004 với

số dân là 35000 Dân số được kì vọng tăng với tỉ lệ 2% mỗi năm Dân số n năm sau 2004 được cho bởi dãy

Nhận xét về những bài toán thực tế ứng với kiểu T 1 :

- Để giải quyết các bài toán này, ngoài kiến thức toán học xoay quanh kiểu nhiệm vụ T1, các yếu tố kinh tế như lãi suất kép, tiền lãi, tỉ lệ tăng dân số … cần được huy động

- Câu hỏi a trong ba bài toán không phải là tình huống có vấn đề vì nó chỉ là

một nhiệm vụ tính toán thuần túy với công thức tính số hạng thứ n theo n đã

cho Tuy nhiên câu hỏi b trong từng tình huống, đòi hỏi học sinh phải kết nối

số hạng thứ k cụ thể của dãy số đã cho với câu hỏi thực tế đặt ra

2.2.2 Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm số hạng thứ k của dãy số khi biết công thức tính

a

a = − và a1 = − 8

15.an =2a n−1+ và 1 a1 = 1

16.

1

1 1

17 a n =a n−1+a n−2 và a1 =1,a2 = 2

18 a n =a n−1+a n−2+a n−3 và a1=a2 =a3 = [17, tr.792] 1

Kĩ thuật τ2.1: Tính k− 1số hạng đầu của dãy số: a a a1; 2; 3; ;a k−1

Thế vào công thức truy hồi tính a k

Ví dụ: Tìm 5 số hạng đầu của dãy truy hồi được xác định bởi

Vậy 5 số hạng đầu của dãy là: 3, 2, 0, -4, -12

Chúng tôi tìm thấy một kĩ thuật khác đề giải quyết kiểu nhiệm vụ này là sử dụng máy tính TI-83 mà kĩ thuật giải đã được trình bày trong phần lý thuyết của SGK Precalculus, chúng tôi trình bày lại kĩ thuật như sau:

Kĩ thuật τ2.2: Mở máy tính cầm tay TI-83

Nhập dữ liệu u1

Nhập dữ liệu công thức số hạng tổng quát u n

Nhập số k, để tìm số hạng thứ k

Yếu tố lí thuyết : Định nghĩa dãy số như một hàm số và cách xác định các số hạng

của dãy định nghĩa bằng truy hồi

Những bài toán thực tế ứng với kiểu nhiệm vụ này

74 Tr ả một món nợ Margarita mượn chú của cô ấy 10000 $ và đồng ý trả

góp mỗi tháng là 200 $ Chú của cô tính lãi suất là 0,5% mỗi tháng trên số tiền

nợ còn lại

a) Chứng tỏ rằng số tiền nợ An còn lại sau n tháng được cho bằng truy hồi với

L ời giải của chúng tôi

a) Sau tháng thứ nhất, cô ấy đã trả 200 $ và còn nợ lại A1 = 1,005.10000 - 200

b) Hỏi có bao nhiêu con cá trong hồ sau 12 tháng [17, tr.794]

Bài này có thể giải tương tự bài 74 nên chúng tôi không trình bày lời giải của mình

Nhận xét về những bài toán thực tế ứng với kiểu T 2 :

Các kiến thức ngoài toán học liên quan đến lĩnh vực kinh tế và nuôi trồng Ở câu a trong mỗi bài toán SGK yêu cầu giải thích sự phù hợp của các công thức truy hồi đã cho

2.2.3 Kiểu nhiệm vụ T3: Tìm công thức tính a n theo n khi biết được vài số hạng đầu của dãy

Ví dụ: 25-32 Tìm số hạng thứ n của dãy số khi biết vài số hạng đầu của dãy

- Xem xét mẫu hình các số đã cho có gì đặc biệt

- Dự đoán một công thức của a n theo n

- Thử lại xem công thức này có thỏa các số hạng đầu tiên đã cho không Nếu thỏa, chấp nhận công thức an Nếu không, tìm một công thức tính an theo n khác

Yếu tố lí thuyết:

- Định nghĩa dãy số như một danh sách các số

- Ngoài ra, cần các nhiệm vụ được cho phải tôn trọng một quy tắc hợp đồng: tồn tại duy nhất một công thức an “ dễ thấy” thỏa các số hạng đã cho

Bài toán thực tế ứng với kiểu nhiệm vụ này

76 Giá nhà Giá nhà trung bình ở Orange County tăng 6% mỗi năm Trong năm 2002, giá trung bình một ngôi nhà là 240000$ Gọi P là giá nhà trung n năm thứ n sau năm 2002

a) Tìm công thức của dãy P n

b) Tìm giá nhà trung bình vào năm 2010 [17, tr.794]

Chúng tôi d ự kiến lời giải như sau:

a) Các công thức có thể xuất hiện sau khi quan sát một số trường hợp đầu tiên 240000(1 0, 06)n

n

2.2.4 Kiểu nhiệm vụ T4: Tìm công thức tính a n bằng truy hồi

Những nhiệm vụ thuộc kiểu này chỉ xuất hiện trong các bài toán thực tế:

77 Tăng lương Một nhân viên mới bán hàng được hứa hẹn làm việc với mức

lương $30000 một năm và được tăng $2000 mỗi năm Gọi S là ti n ền lương của anh ấy sau n năm làm việc

a) Tìm một công thức truy hồi của S n

b) Tìm lương của người đó sau khi anh ta làm việc được 5 năm [17, tr 794]

L ời giải dự kiến của chúng tôi

Ngoài ra còn 2 bài toán thực tế mà chúng tôi sẽ không đưa ra lời giải như sau:

78 Nồng độ của một dung dịch Một nhà sinh vật học đang cố gắng tìm nồng

độ muối tối ưu nhằm làm tăng trưởng một số loài động vật thân mềm Cô ta bắt đầu với dung dịch có 4g/L muối và tăng nồng độ 10% mỗi ngày Gọi C0 là nồng độ muối ban đầu và Cn là nồng độ muối sau n ngày

(a) Tìm một công thức truy hồi xác định Cn

(b) Tìm nồng độ muối sau 8 ngày [17, tr.794]