Bất đẳng thức tích phân thuộc loại ostrowski cho hàm khả vi cấp hai

Dương Bửu Lộc BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN THUỘC LOẠI OSTROWSKI CHO HÀM KHẢ VI CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC... Dương Bửu Lộc BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN THUỘC LOẠI OSTROWSKI CHO HÀM KHẢ V

Dương Bửu Lộc

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN THUỘC LOẠI OSTROWSKI CHO

HÀM KHẢ VI CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Dương Bửu Lộc

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN THUỘC LOẠI OSTROWSKI CHO

HÀM KHẢ VI CẤP HAI

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 1.01.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học :

TS.Nguyễn Thành Long

Khoa Toán - tin học, Đại học Khoa học tự nhiên TP.HCM

LỜI CẢM ƠN

L ời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Tiến Sỹ Nguyễn Thành Long,

ng ười Thầy đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn

thành lu ận văn cũng như trong học tập

Xin trân tr ọng cảm ơn Phó giáo sư Tiến sỹ Lê Hoàn Hoá cùng Tiến sỹ

Tr ần Minh Thuyết đã đọc và góp ý cho luận văn

Xin trân tr ọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc khoa Toán-Tin học hai

tr ường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa

đạt kiến thức và kinh nghiệm quí báu cho tôi trong suốt ba năm học tập

Xin trân tr ọng cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại Học

l ợi cho tôi hoàn tất chương trình học tập và thực hiện luận văn này

Xin chân thành c ảm ơn các bạn lớp Cao học Giải Tích khóa 13,

tr ường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, các bạn đồng nghiệp đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian qua

Dương Bửu Lộc

MỤC LỤC

Chương 1 Phần tổng quan 1

Chương 2 Một dạng thay đổi nhỏ của bất đẳng thức Ostrowski 5

Chương 3 Sự hội tụ của công thức cầu phương tổng quát 15

Chương 4 Một số bất đẳng thức tích phân đặc biệt 21

Chương 5 Công thức cầu phương hỗn hợp 29

Phần kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

Phần phụ lục 48

Năm 1938, Ostrowski [9] đã thu được một đánh giá cho giá trị tuyệt đối của hiệu số của một hàm với giá trị trung bình tích phân của nó trên một khoảng hữu hạn Đánh giá này được phát biểu như sau

b a

không th ể thay thế nó bằng một số nhỏ hơn

Dragomir và Wang [2] đã ứng dụng bất đẳng thức Ostrowski (1.1) để đánh giá xấp xỉ tích phân, nghiên cứu các đại lượng trung bình đặc biệt và nới rộng (1.1) cho những hàm có đạo hàm thuộc Lp[3] và thuộc L1[4]

Dragomir [5] cũng đã tổng quát bất đẳng thức Ostrowski cho k điểm x x1, 2,

3, , k

Định lý 1.2 Cho Ik : a = x0 < x1 < < xk = b là m ột phép phân hoạch

trên đoạn [ , ] a b và αi( i = 0, , k + 1) là “k + 2” điểm sao cho α0 = a ,

1 0

i i i i

1 2

k i i

Định lý 1.3 Cho hàm số f :[ , ] a b →
liên t ục trên [ , ] a b , có đạo hàm đến

c ấp hai trên [ , ] a b và f // ∈ L∞[ , ] a b Khi đó ta có bất đẳng thức tích phân:

2

b a

1[ , ]

L a b , L a bp[ , ], L a b∞[ , ] Đồng thời cũng áp dụng chúng vào một số công thức xấp xỉ tích phân

Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau đây:

- Chương 1 là phần giới thiệu tổng quan về các bất đẳng thức thuộc loại Ostrowski cùng với một số các kết quả trước đây có liên quan, đồng thời giới thiệu bố cục của luận văn

- Chương 2 chủ yếu khảo sát một dạng thay đổi nhỏ của bất đẳng thức Ostrowski Công cụ sử dụng chủ yếu là phép chứng minh qui nạp và một số công thức trong phép tính vi tích phân

- Chương 3 nhằm trình bày một số các áp dụng vào việc nghiên cứu sự hội tụ của công thức cầu phương tổng quát và đánh giá các sai số này thông qua các bất đẳng thức được trình bày trong chương trước

- Chương 4 khảo sát một số bất đẳng thức tích phân đặc biệt

- Chương 5 nghiên cứu một số công thức cầu phương hỗn hợp

- Sau đó là phần kết luận và tài liệu tham khảo

Cuối cùng luận văn cũng dành một phần phụ lục để trình bày rõ lại chứng minh bất đẳng thức Ostrowski so với chứng minh trong công trình gốc của Ostrowski và một chứng minh khác đơn giản hơn cũng được trình bày Cũng trong phụ lục này, chúng tôi nhắc lại một chút về khái niệm hàm số liên tục tuyệt đối và một số công thức tích phân số đặc biệt

CHƯƠNG 2 MỘT DẠNG THAY ĐỔI NHỎ CỦA BẤT ĐẲNG

THỨC OSTROWSKI

Định lý chính được phát biểu như sau:

Định lý 2.1 Cho Ik : a = x0 < x1 < < xk−1 < xk = b là m ột phân hoạch

2 ( )

1

2 1

α α

Ở đây hi = xi+1 − xi Do đó

1 // // 2 // 2

Kết hợp điều này với (2.2) ta thu được bất đẳng thức (2.1i)

Trong trường hợp thứ hai, xét f // ∈ L a bp[ , ] Sử dụng bất đẳng thức Hölder,

1

max

k q

i i

q i

q p

i a

q

− +

1

2

i i

x k

2 2

1 1 1 0, , 1

1 0, , 1

1 max

2 2

α = và α3 = b Khi đó chia (2.1) bởi ( b − a ) ta thu được kết quả (1.3)

Hệ quả 2.1 Cho Ik : a = x0 < x1 < < xk−1 < xk = b là m ột phân hoạch

c ủa đoạn [ , ] a b N ếu f là m ột hàm như trên, nếu đặt

8

b a

(2.4ii)

1/

1

2 1 //

1/

0 // 1/ 2 1/

1 ( )

q i

q p

i q q

2

k k k

Thay (2.5) và (2.6) vào (2.1) ta có kết quả (2.4)

Trong thực tế ta thường dùng phân hoạch đều và có hệ quả sau đây:

1 1

2

k i

2

k i

CHƯƠNG 3

SỰ HỘI TỤ CỦA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG TỔNG

QUÁT

Mục đích của chương này là nhằm trình bày một số các áp dụng vào việc

nghiên cứu sự hội tụ của công thức cầu phương tổng quát và đánh giá các sai

số này thông qua các bất đẳng thức được trình bày ở trong chương trước

Cho ∆n : a = x0( )n < x1( )n < < xn( )n−1 < xn( )n = b là một dãy các phân hoạch

trên đoạn [ , ] a b và xét dãy công thức tích phân

f t dt

∫

Định lý 3.1 Cho f :[ , ] a b →
là m ột hàm số liên tục trên đoạn [ , ] a b

N ếu các trọng cầu phương w( )j n th ỏa điều kiện

n

j n

và

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

suy ra

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1

0

n n

Khi đó ta thu được hệ quả sau:

Hệ quả 3.1 Cho f :[ , ] a b →
là hàm s ố liên tục tuyệt đối trên đoạn[ , ] a b

N ếu các trọng cầu phương w( )j n th ỏa mãn điều kiện

( )2 1

//

1 2

1

q p

1

1 2

f n

CHƯƠNG 4 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Trong phần này chúng ta ứng dụng kết quả phần trước để đưa ra một số bất đẳng thức đặc biệt và mở rộng một số kết quả cổ điển như: bất đẳng thức hình chữ nhật, bất đẳng thức hình thang, bất đẳng thức Ostrowski, bất đẳng thức trung điểm và bất đẳng thức Simpson

Định lý 4.1 Cho f :[ , ] a b →
là hàm s ố liên tục tuyệt đối trên [ , ] a b và

Chứng minh Từ định lý 2.1, ta chọn x0 = a, α0 = a, x1 = b,α2 = b,

1 [ , ] a b

α = α ∈ Do đó v h ( ) = max( / h ii = 0, , k − 1) = − b a và suy ra bất đẳng thức (4.1)

Chú ý 4.1

(a) Nếu trong (4.1) thay α = b, thì ta thu được “bất đẳng thức hình chữ nhật

trái” (xem phụ lục III trang 55)

(4.2)

2 /

1 2

// //

1

2 // //

1 1

3 // //

1 2

// //

1

2 // //

1 1

α = + , thì từ (4.1) ta thu được đánh giá tốt nhất,

một “bất đẳng thức hình thang” (xem phụ lục III trang 56)

1 2

// //

1

2 // //

1 1

Kết quả sau đây dẫn đến một bất đẳng thức tích phân khác có nhiều ứng dụng

Định lý 4.2 Cho f :[ , ] a b → R là m ột hàm số liên tục tuyệt đối trên đoạn

/ 1

Hệ quả 4.1 Cho f là hàm s ố như trên và x1∈ [ , ] a b Th ế thì ta có bất đẳng

th ức tích phân Ostrowski cho hàm số có đạo hàm cấp hai:

Chứng minh Bằng cách chọn α1 = a , α2 = b và thay vào (4.5) cho chúng

ta kết quả (4.6) Kết quả (4.6) trước đây đã được chứng minh bởi Cerone, Dragomir và Roumeliotis trong [1]

Bây giờ bất đẳng thức cầu phương Simpson có thể được mở rộng như sau:

p

q q

[ , ], 1

2 / /

f b

1 1

CHƯƠNG 5 CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG HỖN HỢP

Xét phân hoạch trên đoạn [ , ] a b được cho bởi

1 //

1

2 1 //

1 0 2

n q

i q n i i

f

k f

Chứng minh Xét thành phần thứ hai trong bất đẳng thức (5.5) và áp dụng hệ

quả 2.2 trên đoạn [ , x xi i+1] ( i = 0, , n − 1) sao cho

1 2

2

//

1 2

( )

i i

i

x q

0

8

i i

x n

1

1 1

1 2

//

1 0 2

1

( )

i i

q i

i x q

q i

1 1

2 1 // 0

n q q i

p i

− +

Ph ần dư R ( ∆ , ) f th ỏa mãn đánh giá

n q

p q

i q n i i

Việc chứng minh hệ quả được suy ra trực tiếp từ định lý 5.1 (k = 2)

Áp dụng định lý 5.1 một lần nữa (k = 3), ta có hệ quả sau:

Hệ quả 5.2 Nếu f và ∆n được định nghĩa như trên, khi đó ta có

n q

p q

i q n i i

1

1 0

2 1 2 1

1 1

1 //

1

2 1 //

1 0

n

i i i i i

n i i

i q i

2 1 2 1 //

1 1

1

i i

Lấy tổng theo i từ 0 đến n − 1, dùng bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức Hölder, ta thu được

1

2 1 2 1 //

1 1

2 1 2 1

1 1

i i i i i

nên (5.11) có thể viết lại như sau

R ( , ξ ∆n, ) f

1 //

1

2 1 1

f

h q

− +

Do đó, hai dòng cuối này suy ra phần hai của bất đẳng thức (5.10) Phần một

và ba của (5.10) được chứng minh một cách tương tự Như vậy định lý 5.2 đã được chứng minh

Hệ quả sau đây được suy ra từ định lý 5.2, chứa một số đánh giá bậc cao của công thức cầu phương đặc biệt

Hệ quả 5.3 Cho f và ∆n được định nghĩa như trên Khi đó ta có các đánh

giá sau đây:

(i) ‘Công thức hình chữ nhật trái bậc cao’ (ξi = xi+1)

1

/ 0

2 1 //

1 0

1

1 1

n q

p q

i q n i i

1

2 1 //

1 0

1

1 1

n q

p q

i q n i i

1

3 //

0 //

(1) (1) (2) 1

0

1 //

2 1 (2)

n i i

p

i i i i i i i

2 1 //

0

1 // 2 //

1 1

p i

i n

i i

− +

b n

i i i i R n i

1

2 1 2 1

1 1

0

1 //

1

2 1 1

n i i

i q

n q q i i q

Chú ý 5.1 Nếu trong (5.12) chọn trung điểm 1

2

i i i

1

2 1 //

1 0

1

1 1

n

p q

i q n i i

Hệ quả sau là kết quả của định lý 5.3

(5.14)

1

/ 0

0 //

1

0 //

1

1 1

n

i i

Chú ý 5.2 Nếu trong (5.14) chọn trung điểm 1

2

i i i

q q n q

i n

i i

i i i

6

n

i i

f

x q

1 //

1

2 1 1

f

h q

− +

0

1 2

n i i

−

=

Cuối cùng ta có chú ý sau trong việc liên hệ đến hệ quả 5.6

Chú ý 5.3 Nếu trong hệ quả 5.6, ta chọn (1) 3 1

4

i i i

1

2 1 //

1 0

1

1 1

n q

p q

i q n i i

KẾT LUẬN

Ngày nay việc nghiên cứu bất đẳng thức Ostrowski vẫn được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và rất nhiều kết quả mới được công bố (xem trong các tài liệu tham khảo gần đây)

Qua luận văn này, tác giả đã thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc, có hệ thống Tác giả cũng học tập được nhiều phương pháp nghiên cứu một vấn đề dưới nhiều khía cạnh đã được đọc Tuy nhiên, với sự hiểu biết hạn chế của tác giả cũng như thời gian ngắn của khóa học, luận văn chỉ trình bày được những nội dung trên Tác giả rất mong

sự đóng góp và chỉ bảo của Quý Thầy, Cô trong Hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Cerone, P., Dragomir, S.S and Roumeliotis, J., An inequality of Ostrowski

type for mappings whose second derivatives belong to L 1 (a,b) and application, East Asian J Math., 15 (1) (1999), 1-9

[2] Dragomir, S S and Wang, S., Application Ostrowski’s inequality to the

estimation of error bounds for some special means and for some numerical quadrature rules, Appl Math Lett., 11 (1998), 105-109

[3] Dragomir, S S., Wang, S., A new inequality of Ostrowski type in L p -norm,

Indian J of Math., 40 (3) (1998), 299-304

[4] Dragomir, S S and Wang, S., A new inequality of Ostrowski type in L 1 norm and applications to some special means and to some numerical quadrature rules, Tamkang J of Math., 28 (1997), 239-244

-[5] Dragomir, S S., A generalization of Ostrowski’s integral inegality for

mappings whose derivatives belong to L 1 [a,b] and applications in numerical integration, J.KSIAM Math, 5 (2) (2001), 117-136

[6] Dragomir, S S., A generalization of Ostrowski’s integral inegality for

mappings whose derivatives belong to L 1 [a,b] and applications in numerical integration, J Comp Anal Appl., 3 (4) (2001)

[7] Dragomir, S S., A generalization of Ostrowski’s integral inequality for

mappings whose derivatives belong to L p [a,b] and applications in numerical integration, J Math Anal Appl., 255 (2001), 605-626

[8] A Sofo, S S Dragomir, A perturbed version of the Ostrowski inequality

for twice differnentiable mappings, Turk J Math., 25 (2001) , 379-412

[9] A.Ostrowski, Uber die absolutabweichung einer differeniierbaren

funktion von ihrem integralmittelwert, Comment Math Helv 10 (1938),

226-227

[10] W Rudin, Real and complex analysis, Mc Graw-Hill Inter., Editions,

1987

[11] Doãn Tam Hòe, Toán học tính toán, Nhà xuất bản giáo dục, 2005,

101-104

PHỤ LỤC I

BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI

Trong một bài báo [9] Comment Math Helv 10 (1938), p.226-227, A

Ostrowski đã chứng minh một bất đẳng thức sau đây:

(I.2)

2 1

/

0 1 0

( ) 0, ( ) 1, (0,1)

với mọi hàm g :[0,1] →
thỏa các điều kiện (I.5) Ta sẽ chứng minh rằng 1

1 0 2

PHỤ LỤC II

HÀM LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI

Tính chất liên tục tuyệt đối của một hàm xác định trên một đoạn đã được sử dụng trong suốt luận văn này

Định nghĩa II.1 Một hàm f :[ , ] a b →
được gọi là liên tục tuyệt đối trên

Định lý II.1 Giả sử f :[ , ] a b →
liên t ục và không giảm Khi đó hai điều

ki ện sau tương đương:

i) f :[ , ] a b →
liên t ục tuyệt đối

ii) f kh ả vi hầu hết trên [ , ] a b , f / ∈ L a b1[ , ] và

( ) ( ) /( ) ( )

x

a

Chứng minh định lý II.1 có thể tìm thấy trong [10, W Rudin, p.146-147]

Định lý II.2 Giả sử f :[ , ] a b →
liên t ục tuyệt đối Định nghĩa

trong đó sup lấy trên tất cả N và tất cả cách chọn { } ti sao cho:

a = t0 < t1 < < tN = x

Khi đó các hàm F F , + f F , − f là không gi ảm và liên tục tuyệt đối trên

[ , ] a b

Chú thích II.1 Nếu F b ( ) < ∞ thì ta nói f có biến phân bị chặn trên [ , ] a b

Giá trị F b ( ) được gọi là biến phân toàn phần của f trên [ , ] a b

Chứng minh định lý II.2 có thể tìm thấy trong [10, W Rudin, p.148]

Định lý II.3 Giả sử f :[ , ] a b →
liên t ục tuyệt đối, khi đó f kh ả vi hầu

PHỤ LỤC III

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG ĐẶC BIỆT

Việc tính tích phân xác định của một hàm f trên [a,b] bằng cách lấy tổng trên, tổng dưới hay ngay cả việc tính giới hạn của tổng Riemann trong những trường hợp đơn giản nhất là rất khó khăn Trong thực tế ta thường có nhu cầu tính giá trị của tích phân trong khi biểu thức dưới dấu tích phân lại không có

nguyên hàm sơ cấp, do đó, người ta cần tính gần đúng tích phân này Ngay cả

khi biểu thức dưới dấu tích phân có nguyên hàm sơ cấp thì để cho đơn giản

mà vẫn có độ chính xác thích hợp chúng ta cũng tính gần đúng Dưới đây sẽ

giới thiệu một số công thức tính gần đúng tích phân xác định

III.1 Công thức hình chữ nhật trái, công thức hình chữ nhật phải

Ta chia đoạn [ , ] a b thành n phần bằng nhau với các điểm chia xi = + a ih

công thức mang tên: Công thức “hình chữ nhật trái”, “hình chữ nhật phải”,

lần lượt cho bởi

III.2 Công thức hình thang

Vẫn chia đoạn [ , ] a b và các ký hiệu như trên, ta có thể xấp xỉ tích phân

III.3 Công thức Simpson (hay công thức parabol)

Ta chia đoạn [ , ] a b thành 2n phần bằng nhau với các điểm chia xi = + a ih

∫ bằng công thức gọi tên là công thức

Simpson hay công thức parabol như sau:

Chú ý III.1 Các phương pháp hình thang, parabol và cả phương pháp hình

chữ nhật là những trường hợp riêng của phương pháp Newton-Cotes Nội dung của phương pháp Newton-Cotes là : Để tính tích phân hàm f x ( ) trên đoạn [ , ] a b , ta thay f x ( ) bằng đa thức nội suy bậc không quá n ứng với các nút nội suy xi ( i = 0,1, , ) n rồi tính tích phân Phương pháp hình chữ nhật, hình thang, parabol ứng với n = 0,1, 2 Người ta chứng minh được rằng nếu chia đoạn [ , ] a b thành n m × đoạn nhỏ và dùng đa thức nội suy bậc n để tính tích phân, thì sai số sẽ tỉ lệ nghịch với lũy thừa của số đoạn chia n m ×với bậc n + 1 nếu n là số lẻ, với bậc n + 2 nếu n là số chẵn Như vậy nếu dùng đa thức nội suy bậc ba để tính tích phân thì cấp chính xác cũng chỉ bằng phương pháp parabol và trên thực tế, thường chỉ dùng phương pháp parabol (xem [11])