Bài toán dựng hình và thuật toán ở trường trung học cơ sở trường hợp bài toán tiếp tuyến với đường tròn

Các bài toán d!ng hình c trình bày trong SGK Tóan ch ng trình THCS .... Phân tích apriori các bài toán:.... Phân tích a posteriori ..... Cho góc xOy khác góc bMt... Tình hu=ng 8a vào Knh

TR NG H P BÀI TOÁN TI P TUY N V I NG TRÒN

0= 0= 0= 0= ! ) ! ) ! ) ! ) ' ) % ' ) % ' ) % ' ) % '&( '&( '&( '&(

0 '&(4 @ 4 4 4 4 ) ' & ) ' & ) ' & ) ' & % ! % ! % ! % !

6 = )& = )& = )& = )& ! ! ! ! 3

# # ' ' ' ' ' ' ' '

1

M C L C trang

L i c m n

Danh m c các ch vi t t t

M c l c .1

M U .2

1 do n i câu i xu t t 2

2 c ch nghiên c u 3

3 m vi thuy t tham chi u 4

4 nh y i câu i nghiên c u 6

5 Ph ng p nghiên c u và c u trúc lu n v n 6

CH NG 1:M I QUAN H TH CH V I I T NG BÀI TÓAN D NG HÌNH .9

1.1 Giai an 1: l p 6 và l p 7 9

1.1.1 V các phép d!ng hình c b"n 9

1.1.2 V các bài toán d!ng hình c b"n 10

1.1.3 Các bài tóan v# hình 14

1.1.4 K t lu n giai an 1 18

1.2 Giai an 2: l p 8 và l p 9 20

1.2.1 L p 8: Xây d!ng lý thuy t v «bài toán d!ng hình» 20

1.2.2 $%c i&m c'a «bài toán d!ng hình» ( l p 9 28

1.2.3 Các bài toán d!ng hình )c trình bày trong SGK Tóan ch ng trình THCS 32

1.2.4 K t lu n giai an 2: 36

1.3 K t lu n chung 37

1.4 V n d!ng ti p tuy n c'a *ng tròn 39

1.4.1 Ph+n lý thuy t 39

1.4.2 Các t, ch c tóan h c )c xây d!ng g-n v i i t )ng bài tóan d!ng ti p tuy n c'a *ng tròn 43

1.4.3 V các bài t p g-n li n v i s o 54

1.4.4 K t lu n 57

CH NG 2: NGHIÊN C U TH C NGHI M 59

2.1 M c ích th!c nghi/m 59

2.2 Gi i thi/u các bài toán th!c nghi/m dành cho h c sinh 60

2.3 Phân tích apriori các bài toán: 65

2.3.1 Các bi n didactic: 65

2.3.2 Các chi n l )c có th&: 67

2.4 Phân tích a posteriori 72

2.5 K t lu n 82

K T LU N .84

TÀI LI U THAM KH O 86

PH L C .88

M U

1 do n !i "!câu #i xu$t % &t

Trong 0 n c, nh c m1t b1 môn r t 2 3, r t tr!c quan g-n li n v i

*i s.ng ng 45 y Tuy nhiên vi/c c t p nghiên c u b1 môn 4 y không "i m1t công vi/c d6 7 ng

n ng l!c 9 trong cu1c s.ng

Thông qua i 0 n d!ng nh @ t tri&n t duy logic 59p ph+n 'ng c t tri&n tri tr c nh c, t tri&n t (ng t )ng không gian cho c sinh D c i 0 n d!ng nh nhEm 'ng c t tri&n nhFng =<n ng sG 7 ng nh o c 7 ng #

nh, bi t # nh, ki n thi t nh & v n 7 ng trong *i s.ng

D nh t+m quan ng 'a vi/c d!ng nh trong 0 n c nh trên mà trong

ch ng nh THCS « i 0 n d!ng nh» luôn xu t hi/n trong @ i b1 Hch1 Ki n th c

v i 0 n d!ng nh h+u nh không th& thi u, 49 I 9 th& 5B"m 4 Jho%c %t n%ng (tKng 0 i Hch @ thôi Nh v y 9 th& 49i i 0 n d!ng nh i 0 n truy n th.ng trong ch ng nh SGK Vi/t Nam H+u h t ( c b1 Hch, tr c tiên d!ng nh i

t )ng 5B"ng 7 y, sau 9 49 59p ph+n 4 o c p 1 công trong vi/c c nh c

Tuy v y vai 8 'a 49 d *ng nh 45 y ng =Lm quan ng so v i c i t )ng tri th c = c Th!c t d y-h c >ng th*i tham = "o i ki n 'a c 5Bo viên c p II, chúng tôi th y rEng: d!ng nh m1t 0 i 0 n = 9, 49 I ch h)p v i HS = 5Bi,

c cu1c thi HS gi i 8ng Huy/n, 8ng Inh, ch HS i = 9 n-m )c 0 i i 0 n

1 Tr c "i ch giáo d c (tr c 1986) Sau "i ch giáo d c (tK 1986 n 1994) M ch Inh (tK 1994 n 2002) Hi/n nay (tK 2002)

3

4y H n nFa, c GV Ang 49i thêm: Vi/c c nh c 'a HS y u, vi/c # nh thôi

Ang = 9 kh n i v i

N i nh n OLt trên làm n"y sinh trong chúng tôi m1t s câu h i: Bài tóan d!ng hình

và thu t tóan d!ng hình )c a vào ch ng trình THCS nh th nào? Bài tóan nào )c các tác gi" l!a ch n cho HS? P9 9 %c tr ng c "n 4 o? NhFng ng bu1c 'a h/th.ng 7 y c cu1c s.ng "nh h (ng nh th 4 o n GV HS v = i ni/m d!ng nh? Trong quá trình tìm câu tr" l*i cho các câu h i trên ã t o i u ki/n 2c Qy

2ng tôi nghiên c u v n d!ng nh và thu t tóan d!ng hình trong ch ng trình THCS nói chung và bài tóan d!ng ti p tuy n c'a *ng tròn nói riêng

2 ' c ch nghiên c(u

c ch chung 'a lu n v n 4 y m câu " l*i cho m1t s trong c câu i )c %t ra ( ph+n trên D th& nhFng câu i c u nh nên @ c ch nghiên c u 'a 2ng tôi 9 th& )c nh y nh sau:

1 R i 0 n d!ng h nh và thu t tóan d!ng hình S )c Ch ng nh Mch 5Bo khoa 0 n THCS xây d!ng nh th 4 o? D c %c tr ng 'a 2ng? Yêu c+u c'a nó i

v i HS?

2 $âu nhFng i u ki/n ng bu1c 'a th& ch lên vi/c 7 y- c i 0 n d!ng

nh, c th& là bài toán d!ng ti p tuy n c'a *ng tròn?

3 Khái ni/m ti p tuy n c'a *ng tròn )c ch ng trình và SGK xây d!ng nh

th nào? D c t, ch c 0 n c 4 o )c xây d!ng xung quanh i 0 n d!ng ti p tuy n c'a *ng tròn?

4 Vai trò c'a s o trong vi/c gi"i bài toán d!ng hình?

D c câu i ( ph+n trên u liên quan t i th& ch 7 y c ( tr *ng THCS, do 9

& "l*i t.t c câu i 4 y, 2ng ta c+n sG 7 ng thuy t nhân 'ng c (m.i quan h/th& ch , quan h/ nhân) m thuy t tham chi u H n th , & m ra 5B" thuy t nghiên

c u c ng xG 'a HS Ang nh 'a GV i v i BTDH )c nh y trong ch ng

nh, 2ng tôi Ang "i sG 7 ng thêm = i ni/m h)p >ng didactic 'a thuy t nh hu.ng

Sau ây, 2ng tôi xin nêu 9m t-t n1i dung 'a hai thuy t @ 2ng tôi H# tham chi u

3 ) * m vi +,thuy t tham chi u

3.1 H-p ng didactic:

H p ng didactic liên quan t i m t i t ng d y - c, s! mô nh 9a c

quy n l)i 45 ?a ng+m Qn 'a 5Bo viên Ang nh 'a HS i v i i t )ng 9 P9m1t t p h)p nhFng quy t-c (th *ng không )c t bi&u t *ng minh) phân chia

n ch ch nhi/m 'a mTi nh viên, c sinh 5Bo viên, v m1t tri th c )c 5B"ng 7 y

U i ni/m h p ng didactic cho Lp ta “5B"i @S” c ng xG 'a 5Bo viên

c sinh, m ra 45 ?a c 0 t 1ng @ ti n nh, tK 9 9 th& 5B"i ch m1t ch

V ng nh O c nhFng s! ki/n quan Ht )c trong l p c $& th y )c hi/u ng 'a h)p >ng didactic ta 9 th& m nh sau:

• o ra m1t s! bi n 0 n trong h/ th.ng 5B"ng 7 y, sao cho c9 th& %t nhFng

nh viên ' ch.t (5Bo viên, c sinh) trong m1t nh hu.ng = c – )c 5 i nh

hu ng v h p ng

• Phân ch c nh ph+n 'a h/ th.ng 5B"ng 7 y ang t>n i, bEng ch:

+ Nghiên c u câu " l*i 'a c sinh trong khi c

+ Phân ch c nh 5B c sinh trong vi/c sG 7 ng tri th c

+ Phân ch nhFng i t p )c 5B"i ho%c )c u tiên h n trong c SGK

$%c bi/t ta 9 th& nh n ra m1t s y u t 'a h)p >ng didactic %c Wcho tri th c bEng ch nghiên c u nhFng tiêu h)p th c 9a vi/c sG 7 ng tri th c, b(i vi/c sG

7ng 9 không I )c qui 3nh b(i c v n "n hay b(i 3nh 45 ?a 'a tri th c @ 8n thu1c t nh hu.ng sG 7 ng tri th c, o nhFng c 3nh )c nh nh (trên c s(

@ c tiêu didactic) trong :; nh 5B"ng 7 y

5 Vi/c nghiên c u c qui t-c 'a h)p >ng didactic c+n thi t, , & chuQn 3 cho

t ng lai, 5Bo viên "i xem OLt n :; kh @ h)p >ng hi/n nh 7 ng th& hi/n th!c t 'a 49 vXh)p >ng nguyên t-c ' o & 9 s! ti n tri&n mong )i

Ph+n 4 y 2ng tôi Imô " m1t ch ng-n 5 n hai = i ni/m @ 2ng tôi c+n tham chi u & m c y u t cho Lp " l*i nhFng câu i S %t ra

• Quan h0 th1 ch , quan h0 &nhân:

Quan h a th ch I v i tri th c O, R(I, O), t p h)p c c 1ng qua i @ th& ch I

9 v i tri th c O P9 cho bi t O xu t hi/n ( âu, nh th 4 o, t>n i ra sao, 9 vai 85, trong O

Quan h nhân X v i tri th c O, R(X, O), t p h)p c c 1ng qua i @ nhân X

9v i tri th c O P9 cho bi t X 45 ?5, hi&u th 4 o v O, 9 th& thao c O ra sao Vi/c c t p 'a nhân X v i t )ng tri th c O nh :; nh thi t l p hay i u

Inh quan h/ R(X, O) Hi&n nhiên, i v i m1t tri th c O, quan h/ 'a th& ch I, @nhân X m1t nh ph+n, luôn luôn & i d u n trong quan h/ R(X, O) Mu.n nghiên

c u R(X, O), ta c+n %t 49 trong R(I, O)

Theo Chavallard, mTi praxeologie m1t b1 g>m 4 nh ph+n [T,τ ,θ ,Θ], trong 9:

T m1t ki&u nhi/m , τ =<thu t cho Lp 5B"i quy t T, θ công ngh/ 5B"i ch cho =<thu t τ , Θ thuy t 5B"i ch cho θ M1t praxeologie @ c nh ph+n u mang "n ch t 0 n c )c 5 i m1t t, ch c 0 n c

Bosch.M Chevallard.Y (1999) 49i V: “M.i quan h/ th& ch v i m1t i t )ng, i

v i m1t 3 th& ch O c 3nh, )c 3nh nh bi n ,i b(i m1t t p h)p nhFng nhi/m

@ nhân chi m 3 4y "i th!c hi/n, nh* o nhFng =<thu t O c 3nh D nh vi/c th!c hi/n nhFng nhi/m = c nhau @ nhân "i m trong su.t cu1c *i @ nh trong nhFng th& ch = c nhau, ( 9 49 m1t ' th& (l+n l )t hay >ng th*i), dZn t i

m 4"y sinh m.i quan h/ nhân 'a 49 v i i t )ng 49i trên”

Do 9, vi/c phân ch c t, ch c 0 n c liên quan n i t )ng tri th c O cho

Lp ta ch rVm.i quan h/ R(I, O) 'a th& ch I i v i O, tK 9 hi&u )c quan h/ @nhân X (chi m m1t 3 4o 9 trong I - 5Bo viên hay c sinh ch[ng n) duy i

v i O

Vi/c IV c t, ch c 0 n c liên quan t i O Ang 5B2p ta O c 3nh m1t s quy t-c 'a h)p >ng didactic: mTi nhân 9 quy n m 5, không 9 quy n m 5, 9 th&

sG 7 ng O nh th 4 o ch[ng n $& m nhFng y u t cho Lp " l*i nhFng câu i

4y 2ng tôi %t @ nh trong khuôn kh, 'a thuy t nhân ng c 'a Chevallard

i ni m h p ng didactic

4 456 nh 7!y +*i câu #i nghiên c(u

V i m vi thuy t S n, 2ng t1i nh y i d i ây nhFng câu i @vi/c m ki m m1t s y u t cho Lp " l*i 2ng ng tâm nghiên c u 'a lu n v n

4y

1 R i 0 n d!ng nh và thu t tóan d!ng hình S )c ch ng nh Hch 5Bo khoa 0 n THCS xây d!ng nh th 4 o? D c %c tr ng 'a 2ng? Yêu c+u c'a nó i

v i HS?

2 $âu nhFng i u ki/n ng bu1c 'a th& ch lên vi/c 7 y- c i 0 n d!ng

nh, c th& là bài toán d!ng ti p tuy n c'a *ng tròn?

3 Khái ni/m ti p tuy n c'a *ng tròn )c ch ng trình và SGK xây d!ng nh

th nào? D c t, ch c 0 n c 4 o )c xây d!ng xung quanh i 0 n d!ng ti p tuy n c'a *ng tròn?

4 Vai trò c'a s o trong vi/c gi"i bài toán d!ng hình?

5 Ph8 ng % &p nghiên c(u và c$u trúc lu9n v:n

5.1 Ph8 ng pháp nghiên c(u

7 Trong ph m vi lý thuy t tham chi u ã l!a ch n, & tr" l*i cho các câu h i ã ra chúng tôi s# ti n hành nhFng nghiên c u sau:

Nghiên c u ch ng nh SGK 0 n THCS (tK l p 6 n l p9):

M c ích c'a nghiên c u này là nhEm & m Vm.i quan h/ th& ch v i i t )ng

i 0 n d!ng nh, %c bi/t m c ng bu1c 'a m.i quan h/ 4 y

C th& nghiên c u này v ch rõ: quá trình a bài toán d!ng hình và thu t tóan d!ng hình vào ch ng trình THCS? «Bài toán d!ng hình» chính th c xu t hi/n vào lúc nào? Trình bày ra sao? $%c tr ng c'a các ki&u bài tóan )c l a ch n? Các quy t-c (t *ng minh hay ng+m Qn) v sG d ng công c và hình v# trong quá trìng gi"i «bài toán d!ng hình»?

Trên c s( ó chúng tôi i sâu vào tr *ng h)p bài tóan d ng ti p tuy n c a ng tròn nh là m1t minh h a cho ph+n nghiên c u chung

TK ó, chúng tôi hình thành nên các gi" thuy t nghiên c u

Các nghiên c u này )c trình bày trong ch ng 2 c'a lu n v n

Xây d!ng nh hu.ng th!c nghi/m cho Lp m câu t " l*i cho c câu i S %t

ra hay & h)p th c c 5B" thuy t nghiên c u Ph+n nghiên c u th!c nghi/m này )c trình bày trong ch ng 3 c'a lu n v n

ki&m ch ng nh h)p th c 'a c h)p >ng ho%c 5B" thuy t @ 2ng tôi S ra

K t lu9n, 2ng tôi 9m t-t nhFng k t :;" nghiên c u t )c ( các ch ng

tr c nêu lên h ng m( ra tK lu n v n 4 y

5.3 M@t s= thu9t ng trong lu9n v:n

Trong lu n v n, 2ng tôi sG 7 ng c thu t ngF nh nh c, nh , nh,

d ng nh theo c 45 ?a sau ây:

5.3.3 Thu9t ng “"B 6nh” "!thu9t ng “d?ng 6nh”:

«Ch ng nh 7Wng thu t ngF “ nh” & Ivi/c # c nh nh c bEng b t

= 7ng 5 (th c th[ng, th c chia = 0"ng, compa, êke, th c o 59c v.v ho%c #

c bEng tay, 8n thu t ngF “d ng nh” & Ivi/c # bEng hai 7 ng : th c compa» ([14, tr.6])

Q1: Bài tóan d!ng hình ã )c ch ng trình và SGK Tóan b c THCS xây d!ng

nh th nào? Các %c tr ng c'a chúng? Yêu c+u c'a nó i v i HS?

Q2: Khái ni/m ti p tuy n c'a *ng tròn )c ch ng trình và SGK xây d!ng

nh th nào? Các t, ch c tóan h c nào )c xây d!ng xung quanh các bài tóan liên quan

n khái ni/m ti p tuy n c'a *ng tròn?

Q3: NhFng i u ki/n và ràng bu1c nào c'a th& ch trên vi/c d y-h c bài tóan d!ng hình, c th& là bài tóan d!ng ti p tuy n c'a *ng tròn?

Q4: S o có vai trò nh th nào trong vi/c gi"i bài tóan d!ng hình?

TK ó cho phép chúng tôi hi&u )c quan ni/m c'a HS v vi/c gi"i BTDH

Chúng tôi s# ti n hành m1t phân tích t,ng quát ch ng trình và SGK Tóan tK l p 6

n l p 9 nhEm tìm ki m câu tr" l*i cho các câu h i Q1, Q4 và m1t ph+n c'a Q3

Sau ó & tr" l*i cho câu h i Q2 và ph+n còn l i c'a Q3, chúng tôi ti n hành phân tích m1t i t )ng c th& ó là «ti p tuy n c'a *ng tròn»

1.1 GIAI OCN 1: L P 6 VÀ L P 7

1.1.1 VD CÁC PHÉP D NG HÌNH C B N

«Các phép d ng hình c b n là:

- D ng c ng th ng i qua hai i m phân bi t (tiên ! v! cái th c)

- D ng c ng tròn bi t tâm và bán kính c a nó (tiên ! v! cái compa)

- Giao i m (n u có) c a hai ng là d ng c.» ( [14, tr.116])

Chúng tôi th y các phép d ng c b n này )c các tác gi" gi i thi/u thông qua

(4) D!ng tia phân 5Bc 'a m1t 59c cho tr c

(5) Qua 1 i&m cho tr c, d!ng *ng th[ng vuông 59c v i m1t *ng th[ng cho

Sau ây chúng tôi trình bày l i các tình hu.ng a vào các bài tóan d ng hình c

b n mà chúng tôi tìm th y trong SGK Toán các l p 6, 7 tr c khi thu t ngF «d!ng hình»

chính th c xu t hi/n

?ng m@t o*n thEng có @ dài bFng an thEng cho tr8>c

Ta 9 th& xem nh hu.ng +u tiên này )c các tác gi" trình bày thông qua " G

2, [2, tr.122]:

2: Cho " n th ng AB ( nh) #$y "n th ng CD sao cho CD =AB

ch : % tia Cy b&t Khi 'ta $bi t ()t C a " n th ng CD Ta ()t D nh

sau:

- *+t compa sao cho m t (,i - n /ng v i ()t A, (,i kia /ng v i ()t B a " n

D?ng m@t tam giác khi bi t @ dài ba c*nh c/a nó

nh hu.ng th 2 9 th& 49i t i 7 [3, tr.94]

: % m t tam 67c ABC bi t 3 nh BC=4cm, AB=3cm, AC=2cm

ch :

-% " n th ng BC=4cm

-% cung 8n tâm B, 9 n :nh 3cm

-% cung 8n tâm C, 9 n :nh 2cm

-L&y m t giao i m a 2 cung trên, 6 i giao i m ' 5A

-% " n th ng AB, AC, ta 'tam 67c ABC

Chúng tôi cho rEng v 7 4 y 9 th& xem i 0 n th 2 @ c sinh g%p v d!ng

nh 49 9 7Wng th c th[ng 9 ch compa SGK nh y = V ng, ng *i ta S7Wng tK " ch " (cho " 7 trên kia), t c Ixem ây i 0 n # nh thôi,

không 7nh 5 t i d!ng nh " Tuy v y, theo SGV «% tam 67c bi t ;5i 3 nh

i n d ng nh u tiên s ng th c compa Yêu c<u c sinh s=;>ng 5nh

o c công >-5y Yêu c<u c sinh d ng ng nh t : tr c m t nh - ? c

@nh Anh th 3 a tam 67c, ;/ng compa» ([11, tr.70]) Các tác gi" Scoi ây i

0n d!ng nh +u tiên, I 9 i u ch a 49i ra cho c sinh thôi Qua ch nh y 'a SGK Ang nh SGV, cho Lp n 0 n rEng: ây thao c 0 n +u 'a các nhà

biên s an ch ng trình và SGK cho i 0 n d!ng nh M%t = c, qua l u d ng )ng

.nh t 'a SGV 2ng tôi Ang nh n th y m1t t duy thu t 0 n Shi/n di/n trong yêu c+u 'a i 0 n d!ng nh m1t cách ng+m Qn (( ây tuân ' thu t 0 n d!ng tam 5Bc bi t ba nh) T c " c sinh d ng nh )ng nh t "

?ng tia phân giác c/a m@t góc

Tình hu.ng này )c các tác gi" gi i thi/u ( bài t p 20 [4, tr.115]

20 Cho 6'c xOy, (1) cung 8n tâm O, cung -5y cBt

Ox, Oy theo th t 1A, B (2), (3) c cung 8n tâm

A 5 tâm B ' /ng 9 n :nh sao cho )ng cBt nhau C

i m C n3m trong 6'c xOy (4) n i O v i C (h73)

Ch ng minh r3ng OC 5tia phân 67c a 6'c xOy

: 95i " n -5y cho ta ch ;/ng th c 5compa 1 "B tia phân 67c a 1 6'c"

Ngay sau 9, 9 i t p yêu c+u 7Wng th c compa # c tia phân 5Bc 'a c 59c m1t tam 5Bc

?ng m@t góc có s= o bFng m@t góc cho tr8>c

Tình hu.ng này )c gi i thi/u thông qua bài t p 22 [4

22 Cho 6'c xOy 5tia Am.(h74a)

% cung 8n tâm O 9 n :nh r, cung -5y

cBt Ox, Oy theo th t 1 B, C % cung

.8n tâm A 9 n :nh r, cung -5y cBt tia

Am 1D (h74b)

% cung 8n tâm D ' 9 n :nh b3ng

BC, cung -5y cBt cung 8n tâm A 9 n

:nh r 1E (h74c)

Ch ng minh r3ng: DAE = xOy

: 95i " n -5y cho ta ch ;/ng

th c 5compa 1 "B m t 6'c b3ng m t

6'c cho tr c

1.1.2.5 ?ng 8 ng trung tr?c và trung i1m c/a m@t an thEng

Bài tóan này )c gi i thi/u ( m c 3, 7 [5, tr.76]

13

3 ng d ng

Ta H th1 "B ng trung tr c a MN b3ng th c 5compa nh

sau:

- L&y M 5m tâm cung 8n 9 n :nh l n h n ½ MN, sau 'l&y N

5m tâm cung 8n ' /ng 9 n :nh 'sao cho hai cung 8n

Bài tóan !ng hình này )c chúng tôi tìm th y ( bài t p 51 [5, tr.77]

51 Cho ng th ng d 5 i m P không n3m trên d # nh

46 minh a cho & ch d?ng ng th ng i qua i m P 5

* : Gm thêm m t & ch d?ng n0a (b3ng th c 5compa)

M@t vài nh9n xét tI các bài toán trên:

- Thu t ngF 7Wng trong c i 0 n trên không th.ng nh t, 2c " nh", 2c

"d ng" Ph"i ch ng vào th*i i&m này thì ng *i ta không c+n ph"i phân bi/t các thu t

ngF y Chúng tôi cho rEng i u ó v sau s# gây nh+m lZn v m%t khái ni/m c'a các thu t ngF

- Trong 7 bài toán d!ng hình c b"n trên, l p 6 )c a vào 2 bài xem nh là m1t ng d ng c'a các d ng c th c th[ng và compa Ph+n còn l i )c trình bày hoàn toàn trong SGK l p 7

- H+u h t c i t p nêu ra u 9 7 ng bài nêu ch m1t i t )ng hình

h c (b c #, th m 8n nh s., nh bài 20, [4, tr.115]; bài 51, [5, tr.77]), sau ó

yêu c+u c sinh ch ng minh cách v# y th a mãn các nh ch t c'a i t )ng ó TK

ây 2ng tôi cho rEng 9 s! ng+m Qn v a các nhà biên so n ( vi/c tr nh y c

i 0 n 4 y ( 7 ng nêu b c # (@ sau 4 y tr( nh b c ch d!ng), yêu c+u c sinh ch ng minh (sau 4 y b c ch ng minh trong i 0 n d!ng nh) Chúng tôi cho rEng, vi/c nêu th th! các thao tác & d!ng (hay v#) m1t i t )ng hình h c b c +u hình thành nên m1t t duy thu t tóan d!ng hình: v# theo m1t trình t!

• Hình c v b3ng d>ng c> nào c,ng có giá tr@ nh nhau

Không nên hi u r3ng v hình là ph i dùng th c và compa Càng không nên hi u sai cho r3ng chA có hình c v b3ng th c và compa m i chính xác

• … » ([12, tr.87])

«GV không áp +t HS ph i s= d>ng công c> nào v và ph i v theo trình t nào, chA yêu c<u v cHn thIn, v h p lí (càng ít thao tác càng t t).» ([12, tr.88])

V i quan ni/m trên, các tác gi" ã a vào SGK các bài tóan v# m1t s .i t )ng

trong bài tóan d ng hình c b n mà chúng tôi ã trình bày ( trên không ph"i bEng b1

d ng c th c th ng và compa nhEm gi i thi/u công d ng c'a m1t s d ng c v# hình

khác (th c chia v ch, th c hai l , th c o góc, êke)

15

1.1.3.1 VB trung i1m c/a m@t an thEng có @ dài cho tr8>c

: *" n th ng AB ' ;5i 5 cm #$y trung i m M a an th ng &y

Gi i:

Ta ': MA+MB=AB

MA=MB

Suy ra: MA=MB=AB/2=5/2=2,5 cm

VIy, trên tia AB i m M sao cho AM=2,5 cm

[2, tr.124]

Nh9n xét: Công c sG d ng ( ây chI là th c th ng có chia v ch

1.1.3.2 VB tia phân giác c/a m@t góc cho tr8>c

Chúng tôi tìm th y trong các SGK các ví d và bài t p v vi/c v# tia phân giác c'a m1t góc chI v i m1t d ng c

: % tia phân gi c Oz a 6'c xOy 's o 64 0

ta có OM là tia phân giác c a góc xOy

Hãy ch ng minh tia OM c v nh vIy úng là tia phân giác c a góc xOy ([5, tr.70])

34 Cho góc xOy khác góc bMt Trên tia Ox l&y hai i m A, B, trên tia Oy l&y hai i m C,

D sao cho OA=OC; OB=OD G i I là giao i m c a hai o n th ng AD và BC Ch ng

O

x

y

M a

b

Hình 31

và m t chi c th c th#ng có chia kh$ang

Làm th nào v c tia phân giác c a góc này?

17

1.1.3.4 VB m@t 8 ng thEng qua m@t i1m nFm ngòai m@t 8 ng thEng cho

tr8>c và song song v>i 8 ng thEng $y

?2 Cho ng th ng a 5 i m A n3m -6"5i ng th ng a #$y ng th ng b

i qua A 5song song v i a ([4, tr.90])

Nh9n xét: CAng nh m c trên, ( ây các tác gi" mu.n gi i thi/u cho HS cách dùng

êke và th c th ng ho%c chI dùng êke & v# hai *ng th[ng song song

1.1.3.5 VB tam giác bi t 2 c*nh và góc xen gi a; bi t m@t c*nh và 2 góc k

Bài tóan: V tam giác ABC bi t AB=2cm, BC=3cm, B=700

Gi i: (h.78)

- V góc xBy =700

- Trên tia Bx l&y i m A sao cho BA=2cm

- Trên tia By l&y i m C sao cho BC=3cm

- V an th ng AC, ta c tam giác ABC

x 2

Hình 78

v các tia Bx, Cy sao cho CBx=60 ,0 BCy=400

- Hai tia trên cBt nhau t i A, ta c tam giác ABC

Hình 92

Nh9n xét: TK cách trình bày trên, chúng tôi th y các công c mà các tác gi" dùng &

v# hình ( ây là th c có chia v ch và th c o góc Tuy nhiên, vi/c sG d ng các công

c trên có m1t s h n ch Ch[ng h n vi/c dùng th c có chia v ch s# không th& v# trung i&m c'a m1t an th[ng b t k\ (v i s o th p phân, vô t]) cAng nh dùng th c o góc không th& v# m1t góc có s o không nguyên cho tr c m1t cách “ chính xác” Ph"i

ch ng vì lý do trên mà t t c" các bài tóan )c các tác gi" l!a ch n u có các s o nguyên? $i u này v sau có )c b"o "m khi mà HS )c h c «d!ng hình» v i công c

là th c kL (không chia v ch) và compa?

1.1.3.6 M@t s= nh9n xét tI các bài toán v hình c% b&n ã 8-c trình bày

Công c & v# hình là các d ng c thông th *ng và r t ph, bi n i v i HS: th c

o góc, êke, th c hai l!, th c có chia v ch Chúng tôi %c bi/t l u ý: i v i HS thì

th c th[ng có chia v ch nh SGK ã sG d ng có th& óng thêm m1t ph+n vai trò c'a êke trong vi/c sG d ng góc vuông Và các lo i th c vKa k& trên d? nhiên cAng có công d ng

k^ m1t *ng th[ng nh th c th[ng không chia v ch

Vi/c sG d ng các công c này & v# hình r t thu n l)i: trong cùng m1t i t )ng thì

các thao tác trong v hình ít h n và n gi"n h n và so v i d ng hình v i b1 công c

19

Nh Sphân ch ( ph+n trên, ( các l p 6, l p 7 n1i dung i 0 n d!ng nh

0n 0 n ch a nh y, nh ng các tác gi" ã t o nhFng c s( ban +u, nhFng b c chuQn 3 & nh y i 0 n d!ng nh Sxu t hi/n Nh Sth y, 7 v “ # 0 n th[ng bEng 0 n th[ng cho tr c” ([2, tr.122]) 7 v “ # tam 5Bc bi t 3 nh” 9th& xem hai i 0 n d!ng nh +u tiên @ HS g%p V i 7 # 0 n th[ng công compa, 0 n th[ng không 9 s o, t i 7 # tam 5Bc 9 s o cm, 49 )c

#b(i compa th c kh-c ch Hi&n nhiên, 2c 4 y I nêu ra ch d!ng @ thôi

Ti p theo khi @ ch ng nh nh y c ki n th c: trung i&m, tia phân 5Bc,

*ng th[ng qua m1t i&m vuông v i m1t *ng th[ng cho tr c, *ng th[ng qua m1t i&m song song v i m1t *ng th[ng cho tr c 9xu t hi/n nhFng 95i " n

nh c 9 n Công & th!c hi/n nhFng i 0 n 4 y : Th c khBc ch, th c hai l!, êke, th c o góc Hch I nêu ch # Cho t i 2c 4 y Ang ch a có s! phân bi/t giFa các thu t ngF «d!ng» và «v#»

DAng trong giai 0 n l p 7, thu t tóan d!ng hình )c hình thành m1t cách rõ nét thông qua 0 t i t p ( 7 ng: i nêu ch d ng m1t i t )ng hình h c sau ó yêu

2 h n, nh HS t o )c nh nh 'c, không s( o, b1 công th c không

)ch compa NhFng i 0 n 4 y n u ta ,i thu t ngF “ #” sang “ d!ng” H# 9 95i toán d ng nh, @ nh d!ng )c i nh nh c

Qua phân ch, ta th y ( l p 6 và l p 7 9 th& 5 i giai )n ng m *n i v i i

0n d!ng nh, giai 0 n 4 y t nhi u Ang o m1t c s( ban +u & HS sau 4 y 9 th&

ti p thu thuy t d!ng nh t.t h n Y H# m quen tr c v i nhFng 95i " n nh c

9n, m quen c công d!ng nh, bi t )c cách v# m1t s .i t )ng hình h c theo m1t nh t! # nh nh t 3nh

Chúng tôi cho rEng vi/c các tác gi" nêu cách v hay trình t v# các i t )ng hình

h c ( th*i i&m này ngòai vi/c gi i thi/u cho HS cách v# các i t )ng c'a bài toán d!ng hình c b"n còn là m1t s! chuQn b3 và b c +u hình thành cho HS m1t t duy thu t tóan d!ng hình: v# có th t! Do 9, giai 0 n 4 y 9 vai 8quan ng trong vi/c

7y d!ng nh ( tr *ng THCS

Trong giai o n này, bài toán v# hình chi m u th v hi/u qu" cAng nh vi/c sG

d ng công c Chúng tôi cho rEng, chính i u này s# gây m1t khó kh n cho quá trình

d y-h c d!ng hình sau này khi mà chI )c sG d ng hai công c & d!ng hình là th c

kL và compa

1.2 GIAI OCN 2: L P 8 VÀ L P 9

1.2.1 L P 8: XÂY D NG LÝ THUY T VD «BÀI TOÁN D NG HÌNH»

D!ng hình chính th c xu t hi/n ( ch ng trình Toán 8 Lí thuy t v d!ng hình (

tr *ng THCS )c các tác gi" trình bày khá g n, chI trong m1t bài « 5.D?ng hình bFng th8>c và compa – D?ng hình thang.» [6, tr.81] Chúng tôi s# ti n hành phân tích bài

h c này & làm rõ yêu c+u c'a th& ch .i v i GV và HS trong quá trình d y-h c bài toán d!ng hình

1.2.1.1 Tình hu=ng 8a vào Knh nghLa «bài toán d?ng hình»

Thông qua m c 1- 5, [6, tr.81] các nhà vi t SGK ã gi i thi/u bài tóan d ng hình cùng v i các tác d ng c'a th c và compa nh sau:

« Ta $bi t nh b3ng nhi!u ;>ng >: th c (th c th ng), compa, êke, th c o

6'c, … Ta ?Nt c 95i " n nh (5 As=;>ng 2 ;>ng > 5th c 5compa, )ng

c 6 i 5 c i n d ng nh

V i th c, ta ' th :

- % c 1 ng th ng khi bi t 2 i m a -'

- % c 1 " n th ng khi bi t 2 <u ()t a -'

- % c 1 tia khi bi t g c 51 i m a tia

V i compa, ta ' th c m t ng 8n khi bi t tâm 59 n :nh a -' »

Nh v y, theo 3nh ngh?a trên thì v i th c thì HS s# không th&:

- $o 1 dài m1t an th[ng

- $o 1 l n c'a m1t góc

Trong th!c t thì sao? Chúng tôi xin nêu ra m1t s tình hu.ng có liên quan n vi/c

sG d ng th c trong vi/c gi"i BTDH & xem trong th!c t thì th c là gì?

29 ([6, tr.83]):D ng tam 67c ABC vuông HS làm th nào &:

- D!ng an BC=4cm mà không dùng

th c chia v ch

Ph"i ch ng, ( ây các tác gi" mu.n HS

th!c hi/n ba BTDH c b n 2 (1), (2), (5) Tuy nhiên chúng tôi không tìm th y trong SGK an th[ng th& hi/n 1 dài 4cm, cAng

nh hình bi&u di6n góc 650 $i u 4 y 8n g%p i ( nhi u i 0 n

60 0 , sau ' d ng tia phân 67c a 6'c 60 0

$.i v i bài này thì các tác gi" không dùng th c o góc & t o góc 300

V y n u HS dùng th c o góc & gi"i

bài tóan này thì sao?

Nh v y chúng tôi th y rEng khi nh y thuy t thì SGK cho rEng th c th#ng, nh ng khi p 7 ng th!c t i không n n th c th#ng Ph"i ch ng v

vi/c sG d ng b1 công c & d!ng hình, t>n t i m1t quy t-c ng+m Qn «Khi gMp ki1u nhi0m " d?ng NHc Hs= o Mc bi0t 6sOG ng b@công th8>c thEng v!compa

P!khi ki1u nhi0m " Q!y tr; !nh RSthu9t /a ki1u nhi0m " R &c 6 Hth1 sO

G ng th8>c o góc.»?

9m i, th c @ SGK 49i th c có chia kh$ang ho%c th c o góc V y

d!ng nh @ SGK nh y, không 8n d!ng nh theo 45 ?a Euclid nFa (t c không theo b1 công Euclid) N ây Ang i u = c bi/t r t c "n i v i d!ng

nh 'a 4 0n c D c 4 vi t Hch 9 3nh nh y +y ' v i 0 n d!ng

2 Xem m c 1.1.2, trang 10

x

A

h nh ( ph+n thuy t Th nh ng o ph+n i t p có l# « /h p nOng c tIp

a a s HS» ([14, tr.6]) nên "i sG 7 ng nhFng công th c chia ch, th c o góc @ không gi i thi/u t *ng minh cho HS Nh v y, SGK nh y vi/c ti p c n i

0n d!ng nh d!a trên ph ng di/n s o, n 3 7 i Và có th& nói rEng, tính úng -n c'a vi/c d!ng hình m1t ph+n )c d!a trên kích th c c'a hình v# kèm theo

compa, T! Hth1 k t h-p thêm v>i th8>c o NHc hoMc th8>c có chia kh#ang

1.2.1.2 H0 th=ng l*i các bài tóan d ng hình c% b&n:

Trong m c 2- 5 ([6, tr.81]) ng *i ta ã h/ th.ng l i các BTDH ã )c gi i thi/u

rãi rác trong ph+n lý thuy t và bài t p ( l p 6 và l p 7 «C nh c l p 6 5 nh c l p

7, v i th c 5compa, ta $bi t ch 67i c 95i " n d ng nh sau:

(1) a) D ng m t " n th ng b3ng m t an th ng cho tr c (h 46a)

(2) b) D ng m t g'c b3ng m t 6'c cho tr c (h 46b)

(3) c) D ng ng trung tr c a m t " n th ng cho tr c, d ng trung i m a

m t " n th ng cho tr c (h 46c)

(4) d) D ng tia phân 67c a m t 6'c cho tr c (h 47a)

(5) e) Qua 1 i m cho tr c, d ng ng th ng vuông 6'c v i m t ng th ng cho tr c (h 47b)

(6) g) Qua 1 i m n3m -6"5i 1 ng th ng cho tr c, d ng ng th ng song song v i m t ng th ng cho tr c (h 47c)

23 (7) h) D ng tam 67c bi t 3 nh, ho+c bi t 2 nh 56'c xen gi0a, ho+c bi t 1

nh 52 6'c k! (d a 5o c 95i " n a) 5b) )

Ta c s= ;>ng c 95i " n d ng nh trên 67i c 95i " n d ng nh

c.»

Nh9n xét:

Qu" th t chúng tôi ã tìm th y h+u h t các tình hu.ng a vào các BTDH c b n

trên trong SGK l p 6, l p 7 và chúng tôi cAng ã trình bày ( ph+n tr c3 Và d? nhiên là lúc y thu t ngF «d!ng hình» ch a )c chính th c xu t hi/n, và ó chI là nhFng bài

tóan v# hình mà thôi Riêng v 95i " n d ng nh c 9 n (6) 2ng tôi không th y 49)c nh y ( âu " Tuy nhiên HS tKng # 49v i êke 5th c th ng4 Nh ng theo

hình 47c thì ó không ph"i là s! mong )i c'a các tác gi"

D 2ng tôi cho rEng c 4 H0 n Hch c p %t v m%t thu t ngF «d!ng» khi

kh[ng 3nh «1 nh c l p 6 5 nh c l p 7, v i th c 5compa, ta $bi t ch 67i

c i n d ng nh sau…» Ch ng nh ch a 7 y i 0 n d!ng nh @ sao "o

$bi t ch 67i c 95i " n d ng nh? DAng c+n nh-c i khi SGK nh y c i

0n d!ng hình c b"n @ 2ng tôi ã trình bày ( các m c tr c5 nhFng nhà vi t

sách 9nh-c 5Bo viên rEng:«Trong ch ng -5y (ch ng I, nh c 7, tIp 1) ch a ; y

c sinh nh b3ng th c 5compa E7o viên không p +t HS i s=;>ng công >

-5o 5 i theo nh t -5o, Ayêu c<u HS cHn thIn, h p : ( 5ng :t thao

c 5ng t t )» ([12, tr.88]) (CQn th n mang 45 ?a v s o ch không nh ch t nh c) Nh v y c 4 H0 n Hch Snh-c 5Bo viên rEng 9không nhFng i d!ng

3 Xem m c 1.1.2, trang 10

4 Xem m c 1.1.3.3, trang 16

5 Xem m c 1.1.2, trang 10 và m c 1.1.3, trang 14

nh, I # nh thôi TK 9ch-c ch-n HS Ang ch[ng 9 n t )ng 5 v c c i 0 n

4y ( 49nh bao i # nh = c) Nên ch ng, giáo viên ph"i d y l i các bài t p này, trong khi h chI có 1 ti t thuy t 1 ti t i t p cho 5? Theo h ng dZn c'a các tác

gi" thì «GV nên cho HS ôn tIp m>c 2 1 nhà.» ([14, tr.113]) $i u 4 y li/u 9 mang i

hi/u :;" không? Chúng tôi nghi ng* kh" n ng th!c hành d!ng các BTDH c b n trên

c'a HS

Nh v y, @ c 4 y 4 n chung, ng *i ta I nêu i tên 'a nhFng i 0 n d!ng

nh (@ tr c kia )c 5 i # nh) V y theo 2ng tôi, giai 0 n tr c l p 8 (giai

0n ng+m Qn) vô Wng quan ng, 7WrEng giai 0 n 4 y « i 0 n d!ng nh» ch a nêu tên, ch a c 3nh 45 ?a, nh ng n1i m 'a = i ni/m c'a nó S )c th& hi/n

0n thi/n d+n D9 th& 49i rEng trong nh hu.ng nh y 4 y, c nhà vi t ch ng trình

và SGK m m1t công vi/c n gi"n, 9 thay tên, ,i

Nh n OLt cu.i Wng cho @ c 4 y c 95i " n d ng nh c b n không 9 s o,

Trong 3nh nghiã trên ây, chúng tôi chú ý n hai yêu c+u là th t! và hFu h n – Nêu rõ th t! c'a các phép d!ng hình c b"n, t là nêu lên trình t! c'a vi/c th!c hi/n các phép d!ng hình c b"n, c+n ti n hành cái nào tr c, cái nào sau,

b c nào k ti p b c nào & cho phép chúng ta tK các y u t ã cho (các an th[ng, các góc) có th& i d+n n )c hình c+n d!ng theo m1t quy trình ch%t ch#, khoa h c

25 – Yêu c+u v hFu h n là r t quan tr ng vì n u sau m1t s hFu h n, dù là r t

l n, các phép d!ng hình c b"n mà ta không k t thúc )c vi/c d!ng hình thì hình c'a ta ph"i coi là không d!ng )c

Tr( l i v i khái ni/m thu t tóan: «ThuIt tóan là m t dãy sBp th t các quy tBc c<n th c hi n trên m t s h0u h n các d0 li u và m b o r3ng sau m t s h0u h n b c

s t c m t k t qu nào ó.» ([25]) Nh v y b"n ch t khái ni/m gi i BTDH )c

nêu ( trên chính là thuIt tóan d ng hình Có th& nói rEng, bEng cách a «bài tóan d!ng

hình» vào ch ng trình và SGK, các tác gi" mu.n góp ph+n vào vi/c hình thành cho HS

m1t t duy thuIt tóan

H n nFa, tK chI dZn trên, chúng tôi có th& th y rEng vi/c gi"i bài toán d!ng hình

g>m hai ph+n chính là Cách d ng và Ch ng minh $i u này cAng )c kh[ng 3nh trong

m c tiêu c'a bài h c: «Qua bài này, HS c+n: Bi t dùng th c và compa & d!ng

hình….và bi t trình bày hai ph+n Cách d ng và Ch ng minh » ([14, tr.112]) «Trên

b ng, GV chA ghi ph<n Cách d ng và Ch ng minh HS chA trình bày hai ph<n Cách d ng

và Ch ng minh.»([14, tr.115])

«N i dung c a ph<n Cách d ng: Nêu th t tQng b c d ng hình, ng th i th

hi n các nét d ng trên hình v » ([14, tr.115])

Nh v y, trong ph+n Cách d ng ph"i "m b"o hai yêu c+u:

YC1: Nêu th t! tKng b c vi/c áp d ng các phép d ng hình c b n và các bài toán d ng hình c b n

YC2: Hình v# ph"i th& hi/n )c các nét d!ng tKng b c )c nêu

Sau ây 2ng tôi nêu i ví d d!ng nh thang )c trình bày trong SGK:

« : D ng nh thang ABCD bi t y AB = 3cm, y CD = 4cm, nh bên AD=2cm, = 70 0

+,&i: (h.48)

a) Phân :ch:

E7 s= $d ng c nh thang ABCD Pa ($n yêu c<u a ! 95i Tam 67c ACD d ng c bi t 2 nh 56'c xen gi0a *i m B i Pa ($n 2 i!u ki n:

- B n3m trên ng th ng i qua A 5song song v i CD

- B ch A m t " ng 3 cm nên n3m trên ng 8n tâm A 9 n :nh 3 cm

Chúng tôi không tìm th y trên hình v# các nét d!ng th& hi/n các b c d!ng th

nh t “ D ng tam 67c ACD ' =70 0 , DC=4cm, DA=2cm” và th hai “ D ng tia

Ax song song v i DC (tia Ax 5 i m C n3m trong /ng m t n=a m+t ph ng b AD)” Mà trên hình v# chI th& hi/n )c b c d!ng th ba “ D ng i m B trên tia

Ax sao cho AB = 3cm” So sánh v i yêu c+u mà SGV ã nêu thì ph+n này SGK không áp ng )c YC2:«th hi n các nét d ng trên hình v » Chúng tôi cho

rEng i u này v sau s# làm cho HS c g-ng t o )c m1t hình phù h)p bEng các

27 k< thu t cùng v i các công c quen thu1c ch không h[n chI bEng b1 công c Euclid (th c và compa )

Y c sinh “ D ng tia Ax song song v i DC” nh th 4 o? Ch ng nh 9

nhFng công ngh/ 4 o 9 th& hT tr) cho vi/c d!ng hai *ng th[ng song song @

HS 9 th& sG 7 ng? D 2ng tôi nh n th y 9 công ngh/ v 59c >ng 3 nh thuy t Scung c p (@ c g, nh # 47c, [6, tr.82]) Nh v y công ngh/ 4 y S

5B2p cho vi/c d!ng hai *ng th[ng song song trong ki&u nhi/m d!ng nh thang

• V ph+n Ch ng minh:

D *ng nh ch ng minh ( i 0 n d!ng nh SGK m i I n 5B"n là thông

o i vi/c S m và I ra rEng nh d!ng )c a s o 'a i

Chúng tôi cho rEng SGV không quan tâm l-m t i b c 4 y ( 9 i ghi,

Ch ng minh, 9 i không) D i @ quan tâm b c ch d!ng B(i l#, trong

t t " c i 0 n d!ng nh ( l p 8 và l p 9 'a ch ng nh 2002, h+u h t các bài SGV I nêu ra J ch d ng, không 49i 5 n b c Ch ng minh ho%c ghi

“ HS t! ch ng minh” D 2ng ta 9 th& hi&u rEng c nhà vi t SGK không 0 n

0n b c Ch ng minh, nh ng Ang cho th y không nh 5B cao b c 4 y trong i 0 n d!ng nh Các tác gi" ngh? gì khi HS vi t “Theo các b c d ng ta

nh $a -.n yêu c u i n” ?

• V ph+n Bi n luIn:

V i k t lu n “ ta luôn d ng c 1 nh thang Pa ($n i!u ki n ! 95i” mà

không có vi/c gi"i thích t i sao nh v y, li/u 9 “ m "nh” HS ( c i 0 n d!ng

nh = c cho 7WrEng b c bi/n lu n không "i s! quan tâm 'a th& ch «v! bài tóan d ng hình, 1 THCS không yêu c<u HS bi n luIn s nghi m hình»? ([17, tr.101])

H n nFa, «các bài tIp trong SGK !u cho dài o n th ng và s o góc b3ng s c> th không ph i xét nhi!u tr ng h p SGK chA gi i thi u m t bài (bài 34) có hai hình tho mãn ! bài HS làm quen v i tr ng h p hình tho mãn ! bài không ph i là m t.» ([14, tr.114]) và yêu c+u «Trên b ng, GV chA ghi

ph<n Cách d ng và Ch ng minh Trong bài làm, HS chA c<n trình bày hai ph<n Cách d ng và Ch ng minh » ([14, tr.115])

Nh v y, V i cách trình bày cùng v i các yêu c+u c'a ch ng trình v ph+n bi/n lu n, HS s# cho rEng bài toán d!ng hình luôn có duy nh t m1t nghi/m hình

mà không c+n ph"i gi"i thích gì thêm

• V b1 công c )c sG d ng: V i các hình v# th& hi/n 1 dài và góc cho tr c thì hòan tòan có th& sG d ng b1 công c Euclid & gi"i bài tóan này Tuy nhiên,

nh ã phân tích ( ph+n tr c6 thì i u này v sau không )c "m b"o: d ng c

k t h-p thêm v>i các d ng c khác (th8>c o NHc, th8>c có chia kh#ang, …)

• V s o: «các bài tIp trong SGK !u cho dài o n th ng và s o góc b3ng s c> th … » ([14, tr.114]) ChI có 4/12 bài toán d!ng hình )c cho ( d ng

t,ng quát $%c bi/t, các s o )c cho u mang giá tr3 nguyên Và i u này s#

t o i u ki/n cho HS không tuân th' vi/c sG d ng các công c & d!ng hình (trong quá trình d!ng HS s# sG d ng các công c ngòai th c k^ và compa) Nh v y t i th*i i&m này, HS d!ng hình v i c s o, hình d!ng )c mang tính v t ch t Chúng tôi cho rEng i u này làm cho s o có m1t "nh h (ng nh t 3nh n HS trong quá trình d y-h c «bài toán d!ng hình» Hình v# ph"i có kích th c úng

v i s o c'a bài cho

1.2.2 WC I M CXA «BÀI TÓAN D NG HÌNH» L P 9

Chúng tôi không tìm th y trong SGK cAng nh SGV l p 9 m1t 3nh ngh?a hay m1t yêu c+u nào khác v i «bài tóan d!ng hình» mà các tác gi" ã trình bày trong ch ng trình và SGK Tóan 8 Nh v y có ngh?a là t i th*i i&m này, v m%t lý thuy t thì v n gi"i «bài tóan d!ng hình» vZn không có gì khác so v i tr c ó V th!c t thì sao? Quan i&m c'a các tác gi" v gi"i «bài tóan d!ng hình» vào lúc này có thay ,i không? $& làm

rõ v n này chúng tôi nghiên c u các bài t p trong SGK )c SGV gi"i mZu

6 Xem m c 1.2.1.1, trang 20

29

• V b1 công c dùng & d!ng hình: Chúng ta bi t rEng s! khác nhau giFa «v# hình» và «d!ng hình» chính là ( b1 công c dùng & th!c hi/n Th nh ng ( th*i i&m này thì các tác gi" ã không có s! phân bi/t giFa b1 công c dùng & «v#» và b1 công c dùng & «d!ng» CAng nh v m%t sG d ng thu t ngF Ch[ng h n:

$& làm rõ h n v b1 công c chúng tôi xét ti p m1t bài t p )c SGV l u ý nh

là m1t bài mZu v bài tóan «d!ng» cung ch a góc:

46 ([9, tr.86]): D ng m t cung ch a góc 55 0 trên an th ng AB=3cm

Gi i: (h.39) ([17, tr.102])

Trình t d ng nh sau:

- D ng an th ng AB=3cm (dùng th c có chia khPang)

- D ng xAB=550(dùng th c o góc và th c th ng)

- D ng tia Ay vuông góc v i Ax (dùng Êke)

- D ng ng trung tr c d c a an th ng AB ( dùng th c có chia khPang và êke) G i

O là giao i m c a d và Ay

- D ng ng tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta có AmB là cung ch a góc 55 0 d ng trên an th ng AB

$.i chi u v i 3nh ngh?a «bài tóan d ng hình» 7 cùng v i chI dZn «nên dành

th i gi HS d ng c cung ch a góc b3ng th c và compa ( bài t0p 46 SGK)»([17, tr.100]) và n1i dung ph+n “ Cách v cung ch a góc αααα” c'a [9, tr.86] thì m%c dù dùng

thu t ngF «d!ng» nh ng vi/c làm c'a các tác gi" th!c ch t chính là “ V m t cung ch a

7 Xem m c 1.2.1.1, trang 20

góc 55 0 trên an th ng AB=3cm” Các công c )c sG d ng ( ây là tòan b1 nhFng

d ng c h c t p ph, bi n c'a HS

Chúng tôi có th& thông c"m )c v i vi/c sG d ng th c có chia khPang và th c

o góc & “ D ng an th ng AB=3cm” và “ D ng xAB=550” Vi/c các tác gi" dùng

th c có chia khPang và êke & “ D ng tia Ay vuông góc v i Ax” và “ D ng ng trung

tr c d c a an th ng AB” cho phép cho chúng tôi nghi ng* rEng ph"i ch ng, ( th*i i&m

này các tác gi" chú tr ng n hi/u qu" t o hình? Quan i&m v thu t tóan thì không thay ,i, nh ng v b1 công c th!c hi/n thì có thay ,i v i m c ích là làm sao nhanh chóng

có )c m1t hình th a mãn yêu c+u bài tóan

- D ng cung ch a góc 40 0 trên 'an th#ng BC

- D ng ng th ng xy song song v i BC và cách BC m t khPang 4cm, c> th nh sau: + Trên ng trung tr c d c a o n th ng BC l&y o n KK’=4cm (dùng th c có chia khPang mm) D ng ng th ng xy vuông góc v i d t i K’ (dùng êke)

- G i giao i m c a xy và cung ch a góc là A và A’ Khi ó tam giác ABC ho+c A’BC thPa mãn yêu c<u bài tóan

CAng nh ( bài 46, các tác gi" ã dùng th c có chia khPang mm và êke & th!c hi/n “ D ng ng th ng xy song song v i BC và cách BC m t khPang 4cm”

Xét ba BTDH có trong “M@t s= ki1m tra tham kh o” ([17, tr.127-133])

BC là 3cm ( 3)

Lúc này các nhà biên s an ã không có s! phân bi/t các thu t ngF «d!ng» và

«v#» trong khi trình bài n1i dung ph+n Cách d ng khi gi"i «bài toán d!ng hình»

V i m c tiêu «HS c<n bi t d ng cung ch a góc và bi t áp d>ng cung ch a góc vào các bài tóan d ng hình» ([17, tr.99]), “ D ng cung ch a góc αααα 0 trên 'an th#ng cho tr c” )c các tác gi" xem nh là m1t bài toán d ng hình c b n, vi/c gi"i nó

)c gi i thi/u thông qua bài t0p 46 SGK Mà theo cách gi"i c'a các tác gi" thì th!c ch t bài t0p 46 này chính là bài tóan «v# hình» ch không ph"i «d!ng hình»

V hình v# thì d? nhiên là không th& hi/n )c +y ' «các nét d ng» theo úng ngh?a «d!ng» c'a nó mà chI là các nét v nhEm ch ng t s! t>n t i c'a hình c+n d!ng

• V s o: không có s! khác bi/t so v i ( l p 8, a s các bài toán d!ng hình

u g-n v i các s o c th& có giá tr3 nh thu1c t p h)p s nguyên

K T LU N:

D!ng nh ( l p 9 vZn 3 ng bu1c b(i s o, t c không ti n tri&n 5 v ki n

th c d!ng nh, I 9 i u t tri&n ki&u nhi/m d!ng nh @ thôi TK ó chúng tôi nghi ng* rEng, ph"i ch ng cho t i th*i i&m này thì tính úng -n hay không c'a vi/c d!ng ph"i )c "m b"o b(i hai y u t.: m1t là bEng kích th c c'a hình v#, hai là bEng các bi/n minh v hình hình h c )c bi&u bi6n bEng hình v#?

M%c dWHS S t tri&n suy lu n t.t h n tr c nh ng «bài toán d!ng hình» Ang I 9 hai ph+n Cách d ng và Ch ng minh, «không yêu c<u HS bi n luIn s nghi m

hình» ([17, tr.101]) Và bài toán d!ng hình ( ây không còn mang nhFng %c tr ng ràng

bu1c v b1 công c )c sG d ng D ng c dùng & th!c hi/n d!ng hình không chI là

th c và compa mà g>m: th c th ng, th c có chia khPang, th c o góc, êke và

compa H n nFa các tác gi" không có s! phân bi/t rõ ràng các thu t ngF «d!ng» và «v#»

Bài toán d!ng hình không khác gì bài tóan v# hình $.i chi u v i quan ni m v! v hình 8

thì ( ây bài tóan d?ng hình chính là bài tóan vB hình có th( t?.

1.2.3 CÁC DCNG BÀI TOÁN D NG HÌNH C TRÌNH BÀY TRONG

_ ây chúng tôi s# nêu ra các d ng BTDH )c các tác gi" l!a ch n & trình bày trong SGK Tóan THCS tK khi «bài toán d!ng hình» )c chính th c xu t hi/n9 cùng v i các %c tr ng v b1 công c )c SGK và SGV sG d ng cAng nh các %c tr ng g-n v i

Th c

th ng (không chia khPang) (2)

Th c

có chia khPang (3)

Th c

o góc (4)

Êk e (5)

33 dài m1t nh, s o 59c

giá tr3

nh

T2ng quát

(1)+(3)+(4)+(5) :7

ChI có 5/20 BTDH mà d ng c sG d ng chI compa và th c th ng [(1)+(2)] Các

BTDH còn l i u có s! tham gia c'a các d ng c v# hình khác vào quá trình

d!ng hình: th c chia khPang, êke, th c o góc Chúng tôi cho rEng, ( th*i i&m

này, m%c dù «d!ng hình» và các %c tr ng c'a nó v b1 công c )c sG d ng ã

)c gi i thi/u m1t cách +y ' nh ng có l# do tính hi/u qu" (v th*i gian quy

3nh, v s! ti p thu c'a HS, ) các tác gi" ã cho phép GV và HS )c sG d ng t t

c" các công c v# hình dùng & d!ng hình $ n lúc này «bài toán d!ng hình» chI

còn l i %c tr ng v m%t thu t tóan là v có th t

Có 13/20 BTDH g-n v i các s o c th&, n v3 dài cm Trong ó có 11 bài g-n

v i giá tr3 nguyên và nh Có l# v i m c ích là t o i u ki/n cho HS d!ng hình

theo “ kích th c ã ghi” ([15, tr.86]) $& rõ h n v ý ngh?a c'a các s o )c

cho trong các BTDH )c nêu ( trên, chúng tôi xét ví d sau (khi mà bài tóan có

* V# các an th[ng AB, DB, AB, AD )c t giác ABCD th a mãn i u ki/n

Có th& th y rEng v i cách trình bày nh trên thì rõ ràng ây chính là cách d ng t

giác ABCD v i các kích th c )c cho Th nh ng t i sao các tác gi" không yêu c+u

HS d ng hình mà chI yêu c+u v hình? Ph"i ch ng là vì s o )c cho quá l n (BC=20cm, CD=25cm)? $i u này góp ph+n cho phép chúng tôi ngh? rEng tính úng -n

c'a «bài toán d!ng hình» ph"i )c d!a tên hai y u t là kích th c c'a hình v# và cách

d ng

V m%t rèn luy/n t duy thu t tóan:ngòai vi/c a vào các BTDH, các tác gi" còn

a vào các bài tóan v l i m t hình cho sSn và nêu cách v nhEm rèn luy/n cho HS

bi/t c hình v#, hi&u hình v#, phân tích & th y nhFng m.i quan h/ trong hình v#

ó V l i m t hình cho sSn là m1t nhi/m v quen thu1c trong h at 1ng v i hình v#

c'a HS ( các c p h c, nh t là ( b c ti&u h c _ b c THCS thì m c 1 )c nâng cao h n, hình )c cho ph c t p h n qua ó cho HS quen d+n v i thuIt tóan Ch[ng h n nh các bài tóan sau:Bài 42 [3, tr.93]; Bài 4 [6, tr.67]; Bài 70, [9, tr.95]; Bài 71 [9, tr.96]; Bài 83 [9, tr.99]; Bài 84 [9, tr.99]

1.2.4 K T LU N GIAI OCN 2:

D 2ng tôi 5 i giai 0 n 4 y giai 3*n t8 ng minh 'a i 0 n d!ng nh (

tr *ng THCS B(i vì trong giai 0 n 4 y, i 0 n d!ng nh S )c 7 y cho HS qua

i: “ D ng nh b3ng th c 5compa – D ng nh thang” P n chung SGK Ang S

5B"i ch )c th 4 o i 0 n d!ng nh, công trong i 0 n d!ng nh, =Cm theo

9 m1t 7 minh a-D ng nh thang Sang l p 9, i 0 n d!ng nh 9 m1t ph+n

4 vai 8công trong vi/c 7 y c nh c

V yêu c+u c'a ch ng trình khi gi"i BTDH:

- D ng c d!ng hình: «ChA s= d>ng th c kL th ng và compa» Nh ng th!c t các tác gi" không hoàn toàn là sG d ng b1 công c Euclid mà có b, sung th c chia

v ch và th c o góc ôi khi còn sG d ng c" êke & d!ng hình

- Thu t ngF )c dùng: Các nhà vi t sách không th.ng nh t trong vi/c sG d ng thu t ngF «d!ng» và «v#» khi trình bày n1i dung c'a vi/c gi"i bài toán d!ng hình