Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ouphamixay Sonevilay BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: P

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Ouphamixay Sonevilay

BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính” do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, không sao chép của bất cứ ai

Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu

từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, Ngày 20 tháng 5 năm 2019

Học viên thực hiện

OUPHAMIXAY SONEVILAY

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành bài luận này Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trình học cao học

Xin được gửi lời cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Khoa học Công nghệ và Phòng Sau đại học, Phòng Tổ chức - Hành chính, Phòng Kế hoạch - Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Và cũng cảm ơn các bạn Học viên K27 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều

về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn

Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới Quý thầy cô, anh chị và các bạn!

Học viên thực hiện

OUPHAMIXAY SONEVILAY

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Các kí hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 3

1.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho hệ phương trình vi phân phi tuyến 3

1.2 Xấp xỉ nghiệm của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân phi tuyến 14

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 23

2.1 Giới thiệu bài toán 23

2.2 Tập hợp 1 , 2 , , n U   23

2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 30

2.4 Hệ phương trình vi phân phi tuyến 38

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

 Ma trận hàm X t xik t m n gọi là liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối, khả tích, khả vi trên I nếu tất cả các hàm xik t ,i 1,2, ,m k 1,2, ,n. 

 

1

L I

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay việc nghiên cứu các dao động trong khoa học công nghệ đưa đến việc giải quyết các phương trình vi phân là rất phổ biến Với một hệ thống dao động người ta nghiên cứu thêm các tác động bên ngoài lên nó với một chu

kì nhất định Từ đó con người có thể mô tả nhiều hiện tượng trong tự nhiên bởi

hệ các phương trình thường không “autonomous” và phụ thuộc vào chu kì thời gian

Ví dụ một dao động tuyến tính hoặc phi tuyến tính có thể được tác động bởi một ngoại lực tuần hoàn, hệ thống động lực giúp điều kiện tối ưu động cơ máy móc Và một câu hỏi quan trọng được đặt ra là: dao động này có tính tuần hoàn tương ứng với lực tác động hay không? Câu hỏi này có nguồn gốc từ các vấn đề cơ học cổ điển và cơ học thiên thể và sau đó là ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực điện hạt nhân

Ngày nay các phương trình vi phân tuần hoàn đóng vai trò quan trọng trong các vấn đề sinh học, dân số, cũng như các bài toán về kinh tế Vì vậy tôi

chọn đề tài “Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến”

để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Ý nghĩa của luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khi nghiên cứu về bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến

3 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tuần hoàn cho

hệ phương trình vi phân phi tuyến, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến

4 Nội dung của luận văn

Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân phi tuyến

Trong chương này, chúng ta xây dựng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính Hơn nữa, ta còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này

Chương 2: Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến

Mục đích của chương hai là áp dụng các kết quả của chương một để xây dựng các điều kiện đủ, các tiêu chuẩn hiệu quả cho việc tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính Đồng thời cũng chỉ ra các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm tuần hoàn không âm cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính

Do thời gian có hạn nên luận văn còn chưa đề cập đến tính xấp xỉ nghiệm của nghiệm tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Chương 1 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

1.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho hệ phương trình vi phân phi tuyến

Trong chương này chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán phi tuyến :

 

 

,0

dx

f t x dt

Trước hết chúng ta chứng minh bổ đề sau:

chỉ có nghiệm tầm thường với mọi AS

2 Tồn tại hàm số L a b R  , ,  sao cho với mọi AS ta có:

AS ta có:

Do đó theo bổ đề Azela_Ascoli dãy B k t k1

 chứa dãy con hội tụ tới

Vì vậy theo giả thiết 3 của bổ đề 1.1 suy ra AS.

Mặt khác theo (1.5) ta có thể coi dãy x k a k1 hội tụ Vì vậy từ (1.6) – (1.8) và định lý 1.1. 5 (xem trong  2 ) ta được:

   

lim k

k x t x t

  đều trên  a b, (1.9) Trong đó x t  là nghiệm của bài toán

 

  0

dx

A t x dt

Ma trận hàm P a b: , R n R n n gọi là thỏa mãn điều kiện Opilia đối

chỉ có nghiệm tầm thường với mọi AL a b R  , , n n  thỏa điều kiện

tồn tại dãy  y k k1C a b R  , ; n sao cho:

 :C a b R  , ; nR n là toán tử tuyến tính liên tục;

 0:C a b R  , ; nRn là toán tử liên tục thuần nhất dương;

 Ma trận hàm P thỏa điều kiện Opilia đối với cặp  ; 0; 1:R Rn

  ; 0; 1:R Rnlà toán tử liên tục và K a b  , R R;  là hàm

không giảm theo biến thứ 2 thỏa điều kiện:

P t y t x dt

Thật vậy, từ (1.15) và (1.19) suy ra:

Và theo định lí 1.1.2 trong  6 thì w là toán tử liên tục

Sau đây ta chứng minh w có điểm bất động

Thật vậy, từ (1.19) lấy tích phân 2 vế ta được:

nên theo định lí điểm bất động Schauder tồn tại x U sao cho w x x

Khi đó x t  là nghiệm của bài toán:

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm

Chứng minh

Gọi S là tập các ma trận A L a b R   , ; n n  sao cho A thỏa điều kiện

(1.23) và g x    x  0 x , x C a b R  , ; n Khi đó S g, thỏa các điều kiện của bổ đề 1.1 Vì vậy tồn tại hằng số 0 0 thỏa (1.15) Theo (1.14) tồn tại

Vì P t1  thỏa điều kiện Opilia đối với cặp  , 0 nên theo định lí 1.3 bài toán (1.24), (1.2) có nghiệm Giả sử x t  là nghiệm của bài toán này

Từ định lý 1.5 ta dễ dàng chứng minh được hệ quả 1.6 và định lý 1.7

 

0 , ; n n , , ; n n

P L a b R  QL a b R

Ngoài ra giả sử bài toán (1.27) chỉ có nghiệm tầm thường

Khi đó, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

1.2 Xấp xỉ nghiệm của bài toán biên cho hệ phương trình vi phân phi tuyến

Trong mục này ta nghiên cứu sự xấp xỉ nghiệm của bài toán biên phi tuyến tính

 

 

,0

dx

f t x dt

là hàm không giảm theo biến thứ hai và w ,0 t 0 với a t b

Giả sử x0 là nghiệm của bài toán (1.28), (1.29) và r 0 Ta có các định nghĩa:

Định nghĩa 1.8

0

x được gọi là nghiệm cô lập trong bán kính r nếu

Tồn tại PK  a b, R R n; n n ,qK  a b, R R n; n, toán tử tuyến tính liên tục

 

:C a b R, ; n R n, toán tử liên tục thuần nhất dương 0:C a b R  , ; nRn

và toán tử liên tục :C a b R  , ; nR n sao cho:

P t x x q t x dt

không có nghiệm nào khác 0

x d

 đều trên  a b, D (1.38) Khi đó:

0 0

x d

  đều trên  a b, Sau đây ta chứng minh định lý 1.11

Vì 0

x cô lập trong bán kính r nên tồn tại P q, , , 0, , ,  thỏa các điều kiện trong định nghĩa 1.8

Do bài toán (1.28), (1.29) không là 0

(x r, ) xấp xỉ được nên theo định nghĩa 1.9 tồn tại  0,r , wM  a b, R R, ,mK  a b, R R n, n và dãy các toán tử liên tục m:C a b R  , ; nR n sao cho nếu:

,

t

m a

x d

m

 và m t x, m t y, w ,t xy  (1.40) với

m

m

dx

f t x t x dt

Theo định lý 1.3 và định nghĩa 1.8 bài toán (1.42), (1.43) có nghiệm, giả

sử x m( )t là nghiệm của bài toán này Ngoài ra với cách đặt  và  như trên thì

0

( , )t x D x r( , )

  và ( )x U x r( , )0 nên các bất đẳng thức (1.40), (1.41) được thực hiện Vì vậy theo giả thiết phản chứng ta có:

Ngoài ra với cách đặt S g, trong chứng minh của định lý 1.3 với P là ma

trận Opilia đối với cặp  , 0 thì S g, thỏa bổ đề 1.1 nên tồn tại số 0  0 sao cho:

và ( ) ( ) ( )

m m

m m

dx

P t x x q t x t y t dt

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

2.1 Giới thiệu bài toán

Trong chương này chúng ta sẽ xây dựng một số điền kiện đủ cho việc tồn

tại  - nghiệm tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tính sau:

và chỉ ra phương pháp xây dựng các nghiệm này

Cho  0, hàm f R R i :  n  i1,2, ,n gọi là  - tuần hoàn theo biến

n n

và hạn chế của chúng trên  0,  n thuộc lớp K  0,  n,R

Ta cũng ký hiệu L là tập hợp các hàm  tuần hoàn p R: R sao cho hạn

chế của nó trên đoạn  0, thuộc lớp L  0, , 

1, 2, ,2

i i

chỉ có nghiệm tầm thường và hàm Green của nó biểu diễn dưới dạng

 

i i i ii

g t   g p t  i n . (2.11) Trong đó g là toán tử được định nghĩa trong (2.3)

Giả sử ngược lại điều kiện (2.7) không được thực hiện, khi đó bài toán

ik k k

Bổ đề 2.5

Giả sử p ikL i k, 1,2, ,n, p ik t 0,  t , và thỏa (2.6), ngoài

ra, giả sử giá trị riêng của ma trận  n, 1

Do đó điều kiện (2.5) được thực hiện Bổ đề được chứng minh

Bổ đề 2.6

Giả sử  n, 1

ik i k

P p  là ma trận hằng và p ik 0, ik Khi đó điều kiện cần và đủ để điều kiện (2.5) được thực hiện là phần thực của

các giá trị riêng của P là âm

Đủ: Giả sử phần thực của các giá trị của ma trận P là âm Ta chứng minh

(2.5) được thực hiện Khi đó (2.15), (2.16) được thực hiện Mặt khác ta có:

Do đó theo bổ đề 2.5, thì điều kiện (2.5) được thực hiện

ik k k

ik k k

Khi đó

 1 1

Từ đó do (2.21) ta được y t 0 Do đó điều kiện (2.5) được thực hiện

Ngược lại giả sử điều kiện (2.5) xảy ra, ta cần chứng minh bất đẳng thức (2.21)

xảy ra, và do đó hệ (2.18) là ổn định tiệm cận Thật vậy giả sử ngược lại

 1 1

r Theo bổ đề 2.2 thì bất đẳng thức (2.6) được thực hiện, và do đó

 0 1

r  Bởi vậy tồn tại   0,1 sao cho

r  Giả sử C n - một véc tơ riêng của ma trận Y   ứng với giá trị riêng có

là  - nghiệm tuần hoàn, không âm khác không của hệ (2.4), nhưng điều này

mâu thuẫn với (2.5) Bổ đề được chứng minh

2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính        

1

n i

ik k i k

ik k i

   và điều kiện (2.5) được thực hiện Khi đó hệ (2.22) có duy nhất một

nghiệm  - tuần hoàn    n1

i i

không phụ thuộc với m

Chứng minh: Giả sử t và i 0i i1,2, ,n là các số và các hàm số cho bởi các đẳng thức (2.8), (2.9)

Nhận xét:

Trong định lý 2.9 điều kiện (2.5) là điều kiện tiên quyết cho sự tồn tại nghiệm của hệ (2.22) Thật vậy chúng ta sẽ chỉ ra dưới đây, nếu

a L i k  n sao cho hệ (2.22) không có  - nghiệm tuần hoàn

Do (2.30) nên hệ (2.4) có một nghiệm không âm, khác không    n1

y t  Đặt:

Do đó theo nhận xét 1.2 trong  6 tồn tại các hàm b iL i1,2, ,n sao cho

hệ (2.22) không có  - nghiệm tuần hoàn không âm Mặt khác hiển nhiên các hàm số a ik t thỏa bất đẳng thức (2.29)

với ik có môđun bé hơn 1

2) p ik t  p ik const i k, 1,2, ,n và phần thực của các giá trị riêng của

ma trận  n, 1

ik i k

p  là không âm

Khi đó theo bổ đề 5.1 trong  6 và bổ đề (2.4) tìm được số thực dương r sao

cho với mọi nghiệm không âm  n1

Vì vậy theo hệ quả 2.1 trong [6] bài toán (2.37), (2.3), (2.38) có nghiệm  n1

           

1 0

Nếu các điều kiện (2.5), (2.31), (2.33) thỏa thì hệ (2.22) co duy nhất một

 - nghiệm tuần hoàn không âm

2.4 Hệ phương trình vi phân phi tuyến

i i

x  Do (2.2), ta thác triển tuần hoàn nghiệm  n1

i i

x  lên trên toàn

Đó chính là  - nghiệm tuần hoàn của hệ (2.1) Định lý được chứng minh

Từ điều kiện (2.2) và định lý 4.1 trong  6 , ta dễ dàng nhận được kết quả sau:

Định lý 2.14

Hệ (2.1) có ít nhất một  - nghiệm tuần hoàn khi và chỉ khi tồn tại

p  thỏa điều kiện (2.5)

Khi đó hệ (2.1) có ít nhất một  - nghiệm tuần hoàn

b) Với mỗi  x0i i n1C  0, ; ntồn tại duy nhất một dãy

 x im i n1C  0, , n m1, 2, ,n sao cho với mỗi m và

j i

p  thỏa điều kiện (2.5) Khi đó hệ (2.1)

có ít nhất một  - nghiệm tuần hoàn

Giả sử ngược lại khi đó tồn tại số i1,2, ,n và t1 0, ,t2 0,

sao cho x t i 1 x t i 2 và x t i 0, t1 t t2, nhưng điều này không thế xảy ra

KẾT LUẬN

Nội dung chính của luận văn bao gồm 2 chương

Trong chương 1, chúng ta xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân phi tuyến (1.1), (1.2) Thông qua các khái niệm ma trận Olipia ta thiết lập được các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của các bài toán (1.1), (1.2) Kết quả chính là các định lý 1.3, 1.4, 1.5

Trong phần tiếp theo của chương chúng ta cần xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán (1.1), (1.2), và kết quả chính ta được là định lý 1.11

Trong chương 2, thông qua hệ phương trình tuyến tính tuần hoàn, ta xây dựng được các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) và kết quả chính là các định lý 2.13, 2.14, 2.15.2.16

Tuy nhiên do điều kiện thời gian và trình độ còn hạn chế nên tôi vẫn còn chưa xem xét được tính xấp xỉ của bài toán này

Do thời gian làm luận văn ngắn và còn có sự hạn chế về ngôn ngữ, nên luận văn không tránh khỏi sai sót đáng tiếc, mong các thầy cô thông cảm và chỉ bảo giúp Xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã giành thời gian quý báu để đọc luận văn Xin cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hartman P., Ordinary differential equations John Wiley & Sons, Inc.,

NewYork-London-Sydney, 1964

[2] Kantorovitch L V., Akilov L V., Functional Analysis (Russian) Nauka,

Moscow,1984

[3] Kiguradze I., On the Cauchy problem for singular systems of ordinary

differential equations (Russian) Differentsial’nye Urav 1 (1965), No 10.,

1271-1291

[4] Kiguradze I., some singular boundary value problems for ordinary

differential equations (Russian) Tbilisi University Press, Tbilisi, 1975

[5] Kiguradze I., On the periodic solutions of systems of nonautonomous

ordinary differential equations (Russian) Mat Zametki 39 (1986), No 4,

562-575

[6] Kiguradze I., Boundary value problems for systems of ordinary differential

equations (Russian) Current problems in mathematics Newest results, vol

30, 3-103, VINI’TI, Moscow, 1987

[7] Kiguradze I., On the singular Cauchy problem for systems of linear

ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Uravneniya 32

(1996), 215-223

[8] Kiguradze I., On the correctness of Cauchy problem for the linear

differential system on an infinite interval Georgian Math J 3 (1996),

475-484

[9] Kiguradze T., some boundary value problems for systems of linear

differential equations of hyperbolic type Mem Diff Equations Math

Phys 5 (1995), 1-113