Bài toán biên cho phương trình vi phân hàm với điều kiện biên dạng tích phân

L ỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc và chân thành nhất tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh vì sự tận tình giúp đỡ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI

PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI

TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nội dung của luận văn này do tôi thực hiện và có tham khảo các tài

liệu đã được trích dẫn rõ ràng Tôi không sao chép bất kì tài liệu nào khác Nếu sai sự

thật, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Võ Hữu Trung

L ỜI CÁM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc và chân thành nhất tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh vì sự

tận tình giúp đỡ và chỉ bảo của thầy đối với tôi trong thời gian làm luận văn

Tôi cũng xin gởi lời cám ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học

Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, và Phòng Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại trường

Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tôi hoàn thành luận văn này

một cách hoàn chỉnh nhất

Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành luận văn này

C t t và L t t( [ ]1, 2 ) lần lượt là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp

(n−1) trên đoạn [ ]t t và không gian các hàm th1, 2 ực khả tích Lebesgue trên đoạn

 Nếu ∈ n− 1,m

1/2 2 2

1 0

12

00

12

µk =

, µ0k =1

j (k =1, 2, ; j =1, ,k−1),

2 1 12

 Hàm s ố f :[ ]a b, × →A B th ỏa mãn điều kiện Carathéodory (A⊂R n, B⊂R) ; nghĩa là ∀ ∈x A, f(., ) : ,x [ ]a b →B là hàm đo được, f t( , ) :A→B là hàm s ố liên

t ục theo biến thứ hai (hầu khắp nơi trên [ ]a b, ) và v ới mỗi r>0, t ồn tại

M ỤC LỤC

L ỜI CAM ĐOAN i

L ỜI CÁM ƠN ii

CÁC KÍ HI ỆU iii

M ỤC LỤC vi

M Ở ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DẠNG TÍCH PHÂN 3

1.1 Gi ới thiệu bài toán 3

1.2 Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện biên d ạng (1.2) 3

1.3 Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện biên d ạng (1.3) 19

CHƯƠNG 2 NGHIỆM TIỆM CẬN PROPER VÀ NGHIỆM TRIỆT TIÊU T ẠI VÔ CỰC CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH 34

2.1 Gi ới thiệu bài toán 34

2.2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) với điều kiện biên d ạng (2.2), (2.3) 34

2.3 Định lí về sự tồn tại nghiệm tiệm cận proper, nghiệm triệt tiêu tại vô cực c ủa phương trình vi phân đối số lệch 47

K ẾT LUẬN 58

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 59

M Ở ĐẦU

Các phương trình vi phân hàm đã xuất hiện từ thế kỉ 18 như một công cụ toán

học cho những bài toán trong vật lí và hình học Tuy nhiên cho đến cuối thế kỉ 19 chúng mới chỉ được biết đến trong một vài áp dụng cụ thể và chưa được nghiên cứu

một cách hệ thống Đầu thế kỉ 20, sự quan tâm dành cho phương trình vi phân hàm tăng lên, đặc biệt là đối với các ứng dụng trong cơ khí, sinh học và kinh tế Ở thời điểm

đó, các nhà toán học đi theo hướng nghiên cứu này đã xây dựng nên các lý thuyết định tính cho phương trình vi phân hàm và phát triển những lý thuyết đó cho đến ngày nay Vào thập niên 1970, những phát kiến lớn trong việc xây dựng lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được đề xuất và nền tảng cho lý thuyết về bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được xây dựng Các công cụ về giải tích hàm và tôpô là những công cụ hiệu quả nhất để nghiên lĩnh vực này Tuy nhiên việc nghiên

cứu các bài toán biên cụ thể cho phương trình vi phân hàm mới chỉ thành công phần nào Vẫn còn nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu về phương trình vi phân hàm ngay

cả trong trường hợp phương trình là tuyến tính

Trong những năm gần đây, những nỗ lực nghiên cứu này đã thành công trong trường hợp của một số bài toán biên cho phương trình vi phân hàm Đặc biệt là trong các công trình của các tác giả I Kiguradze và D Chichua…, những điều kiện đảm bảo cho tính giải được và duy nhất nghiệm của một lớp rộng các bài toán biên cho phương trình vi phân hàm đã được phát hiện

Xuất phát từ những ghi nhận trên, chúng tôi chọn đề tài: “BÀI TOÁN BIÊN

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DẠNG TÍCH PHÂN” để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình Nội dung chính là trình bày lại các kết quả của các nhà toán học I Kiguradze và D Chichua trong tài liệu [6], [7] Luận văn này có 2 chương:

Chương 1: Bài toán biên cho phương trình vi phân hàm với điều kiện biên dạng tích phân

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm ( )n ( )= ( )( )

u t f u t với một trong hai điều kiện biên:

với một trong hai điều kiện biên (1) hoặc (2)

Ngoài ra, chúng tôi cũng xây dựng các điều kiện đủ để phương trình vi phân đối số

CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI

1.1 Gi ới thiệu bài toán

Cho n≥2, m là phần nguyên của

2

n

, c i∈R và : n−1→

f C L là hàm liên tục từ không gian các hàm khả vi liên tục cấp (n−1) trên R+ =[0;+∞) vào không gian các hàm khả

tích Lebesgue địa phương trên R+ Xét phương trình vi phân hàm sau

( )n ( )= ( )( )

Nghiệm của (1.1) là một hàm u R: + →R có đạo hàm liên tục tuyệt đối đến cấp (n−1)

và thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi trên R+ Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng các

điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm (1.1)

với một trong hai điều kiện biên

+∞

< +∞

∫ i i

t u t dt (i =0, ,m) (1.3)

Nội dung chính là trình bày lại các kết quả của các nhà toán học I Kiguradze và D

Chichua trong tài liệu [6]

1.2 Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện biên

y b s x y ds với x∈R+ (1.7)

Khi đó, bài toán (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm

Để chứng minh định lí trên, ta có định nghĩa và một số bổ đề sau

v là giá trị lớn nhất trong các giá trị lớn nhất của các hàm ( )j

( ) ( ) 1 ( )( ) 2( ) 2

* 0

1 0

b R R là hàm khả tích đối với biến thứ nhất, không

giảm đối với hai biến còn lại và

( )

2 0 0

1,8 ,

u t u t u s ds (i=m, ,n−1)

ta có

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1

0 ,8 1, r1 1 0

n i

i m I

+ −

b R R khả tích đối với biến thứ nhất, không giảm với hai biến còn lại và thỏa

(1.11) Khi đó tồn tại một số thực dương r sao cho với mọi hàm ∈ n− 1

u t r t với 0≤ ≤t k (i =0, ,m−1), (1.20)

2 0

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 1

1 0

1 1

2 0

2 2

i j i

n m n i

n j n n i j i j ij

i j i

t m

n i n n i i i

10

2 0

với l u0( )=0 khi n=2m và ( ) ( )( )2

0

1

02

,

= +t∫

với u là nghi0 ệm của phương trình thuần nhất (1.330) với điều kiện (1.34) và G là hàm

Green của bài toán (1.330), (1.340)

Theo nguyên lí Shauder trong [6], tính liên tục của 1( [ ] ) ( [ ] )

∫k m k

u (i =0, ,n−1) bị chặn đều và liên tục đồng bậc trên mỗi đoạn hữu hạn của R Theo + định lí Arzella-Ascoli thì tồn tại một dãy con

u (i=0, ,n−1) hội tụ đều trên mỗi đoạn hữu hạn

Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nhiều nhất một nghiệm

Để chứng minh định lí trên, ta có một số bổ đề sau:

( )( ) ( )

0i 0 =0 =0, , −1

0 0

11

µµ

i j i

t m

n i n n i i

i i

Từ nhận xét: ( )i ( )=0

h s nếu i≥1, ta có ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

⇒( )−1 n m− 1= − ( )

A w t ( ) ( ) ( )( )2 ( ) ( )( )2

Trường hợp n=2m+1 được chứng minh tương tự

Theo bổ đề 1.10, hàm w thỏa điều kiện (1.48), nên từ bất đẳng thức trên, ta có

1 0

n n

m

t a t dt i

n

t a t dt m

b R R khả tích đối với biến thứ nhất, không giảm đối với hai biến còn lại

và thỏa điều kiện (1.7) Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có ít nhất một nghiệm

Để chứng minh định lí trên, ta có một số bổ đề sau

b R R khả tích địa phương theo biến thứ

nhất, không giảm theo hai biến còn lại và thỏa (1.11) Khi đó tồn tại một số dương r

sao cho với mọi hàm ∈ n− 1

u C thỏa (1.18) và điều kiện sau với số tự nhiên k nào đó

( ) ( )

2 1

Sau đây, ta sẽ chứng minh u thỏa các điều kiện của bổ đề 1.12 trên [ ]0, k

Trước hết, ta sẽ xác định r0 sao cho

1+ − − − −

( ) ( )2 ( ) ( )2 ( )( )2 2

m j m j j

1

4 ,4

1, , 13

1 0

2 2 12

q L k Vì vậy mọi điều kiện của bổ đề 1.8 thỏa đối với bài toán (1.65), (1.39)

Vì vậy, bài toán này có ít nhất một nghiệm Lấy u k là nghiệm của bài toán này Do (1.49), (1.50), ta có

( )( ) ( ) ( ) ( ) 1

2 0

u (i=0, ,n−1) hội tụ đều trên mỗi đoạn hữu hạn của R+

và thỏa bất đẳng thức (1.52) Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nhiều nhất một nghiệm

Để chứng minh định lí trên, ta có các bổ đề sau

B ổ đề 1.15 (Bổ đề 4.4, trang 96, [4])

Nếu ∈ n− 1,m

u C thì

( )( )

1 2

δ +γ + − +∞ ≤

m m

δ +γ + − +∞ ≤

m m

CHƯƠNG 2 NGHIỆM TIỆM CẬN PROPER VÀ NGHIỆM

ĐỐI SỐ LỆCH

2.1 Gi ới thiệu bài toán

Cho n≥4, m là phần nguyên của

+∞

< +∞

∫ i i

t u t dt (i =0, ,m ) (2.3) Ngoài ra, chúng tôi cũng nêu các điều kiện đủ để phương trình

có nghiệm tiệm cận proper và nghiệm triệt tiêu tại vô cực

2.2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) với điều kiện biên dạng (2.2), (2.3)

m i i

m i i

: n− →

f C L liên tục do h thỏa điều kiện Carathéodory Mặt khác, bài

toán (2.1), (2.2) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình vi phân hàm

t

j i m

0

t m

( ) ( )( )

1 2

2 0

m

m j

2 2

2 2

0, 0

0 0

λ t

2 2

Mặt khác, vận dụng (2.15) cho ( )( ( ) )λ

i i

u t rồi thay vào (2.13), ta có

m

f u t b t u t u

Vậy (2.18) được chứng minh

Hơn nữa, hàm a1, a2 thỏa (2.10) và b thỏa

2 0

(i =0, ,m−1) và a0j:R+ →R( j =0, 1) thỏa

0 = 00 + 01 ≥0

a t a t a t với t >0 (2.23) Khi đó, bài toán (2.1), (2.2) có nhiều nhất một nghiệm

Giả sử ngoài các điều kiện (2.7), (2.20) – (2.23), ta cho thêm điều kiện

t t

Từ các bất đẳng thức trên, ta suy ra (2.30) thỏa

Lấy tích phân cận từ 0 đến t của (2.30) và vận dụng bổ đề 1.3 trong chương 1, ta có

n

với

Từ (2.7), ta có v 0,m = Vì vậy bài toán (2.1), (2.2) có nhiều nhất một nghiệm 0

Ta sẽ chứng minh nếu ngoài các điều kiện (2.7) và (2.20) – (2.23), ta có thêm điều

với a t( )=14l t( ) thỏa (2.8) Vì các điều kiện của định lí 1.1 thỏa nên (2.1), (2.2) có

ta sẽ chứng minh (2.11), (2.3) có nghiệm Khi đó, toán tử f : Cn− 1→ liên tục do h L

thỏa điều kiện Carathéodory Với mọi u C∈ n− 1,m thì từ (2.5) và (2.31) ta suy ra

0 0

0

*

3 2

t

m t

Vì tất cả các điều kiện của định lí 1.10 trong chương 1 thỏa nên (2.11), (2.3) có ít nhất

một nghiệm Suy ra bài toán (2.1), (2.3) có ít nhất một nghiệm 

Định lí 2.4

Giả sử trên R R m+ 1

+× , h thỏa các điều kiện (2.20) – (2.22), với a R1i : + → R+

(i=0, ,m− , 1) a0j :R+ →R(j =0, 1) là các hàm đo được sao cho tồn tại một số

(2.3) có nhiều nhất một nghiệm

Gọi u và u là hai nghiệm bất kì thuộc C n− 1,m và đặt v t( ) ( ) ( )=u t −u t Ta có

i m

Ta sẽ chứng minh nếu ngoài các điều kiện (2.20) – (2.22), (2.32), (2.34) và (2.41), ta

có thêm điều kiện (2.42) thì (2.1), (2.3) có nghiệm duy nhất

Không mất tính tổng quát, ta giả sử ( ) ( ) ( )1−ε a t0 >γ 1+t −n với ε là hằng số dương, thay vì (2.41) Từ (2.21) và (2.22), suy ra

h t

a t

a t

ε

= Hơn nữa, từ (2.42), ta suy ra (2.33) thỏa nên từ định lí 2.3,

ta suy ra (2.1), (2.3) có nghiệm và nghiệm này là duy nhất 

2.3 Định lí về sự tồn tại nghiệm tiệm cận proper, nghiệm triệt tiêu tại vô cực của phương trình vi phân đối số lệch

Định nghĩa 2.5

Lấy t0∈R+ Một hàm u:[t0,+∞ →) R được gọi là nghiệm của (2.4) nếu nó có đạo

hàm đến cấp n−1 liên tục tuyệt đối và nếu tồn tại một hàm : →u R R khả vi liên tục

Nghiệm u của (2.4) xác định trên [t0,+∞) được gọi là nghiệm proper nếu nó khác 0

trong mọi lân cận của +∞

2 2

với λ0∈[ ]0, 1 , a1:R+ → R+ là hàm đo được thỏa

3 1

và a R: + →R+ thỏa điều kiện (2.8)

Lấy t0>0 sao cho trên [ ] 1

m i i

Khi đó, toán tử 1

: n− →

f C L liên tục do h thỏa điều kiện Carathéodory Mặt khác, bài

toán (2.1), (2.2) có nghiệm khi và chỉ khi bài toán (2.11), (2.2) có nghiệm Ta sẽ sử

dụng định lí 1.1 trong chương 1 để chứng minh bài toán (2.11), (2.2) có nghiệm

2 2

0, 0

Hơn nữa, hàm a1, a2 thỏa (2.54) và b thỏa điều kiện (2.19)

Vì vậy, mọi điều kiện của định lí 1.1 trong chương 1 thỏa nên bài toán (2.11), (2.2) có nghiệm Suy ra bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm 

2 2

m t

Không mất tính tổng quát, giả sử ti( )t =t với ≤ ≤ 0 t t0(i=0, ,m−1)

Đặt

( ) ( )

ε tχ

neáu,

sgn neáu

m i i

và các số c c0, , ,1 c không đồng thời bằng 0, ta xét bài toán (2.1), (2.2) m−1

Do (2.46) – (2.48), (2.56), (2.57), ta có (2.50), (2.51), (2.52) thỏa với a t1( )=0 khi

Tuy vậy, do (2.4) có tính chất O nên từ (2.58) ta suy ra khi m chẵn thì u là nghiệm m

tiệm cận proper và khi m lẻ thì u là nghiệm tiệm cận proper thỏa (2.45) trên  + ∞t*, ).

( )

1 0

(m−1)- tham số triệt tiêu tại vô cực

Để chứng minh định lí trên, ta có bổ đề sau

với b0 : 0, t0 × R+ → R+ là hàm khả tích đối với biến thứ nhất và không giảm với hai

biến còn lại Khi đó, (2.1), (2.3) có ít nhất một nghiệm

ta sẽ chứng minh (2.11), (2.3) có nghiệm Trước hết, ta có chú ý rằng f : Cn− 1→ liên L

tục do h thỏa điều kiện Carathéodory Mặt khác, với mọi u C∈ n− 1,m, ta có

i

Hơn nữa, hàm b thỏa điều kiện (2.19) Vì tất cả các điều kiện của định lí 1.10 trong

chương 1 thỏa nên (2.11), (2.3) có ít nhất một nghiệm Suy ra bài toán (2.1), (2.3) có ít

n

m

λ λ

và (2.34) cũng thỏa Không mất tính tổng quát, giả sử rằng ti( )t =t khi 0≤ ≤t t0

(i =0, ,m−1)

1 2

neáu,

1 2

neáu,

sgn neáu

i i

( )−1 i ( )i ( ) ( )>0

u t u t khi t≥0(i=0, ,n−1)

Hơn nữa, khi m lẻ thì ( 1)( )

t Vì vậy, khi m chẵn thì với

các số c0, ,c m−1 không đồng thời bằng 0, phương trình (2.4) có ít nhất một nghiệm

tiệm cận proper triệt tiêu tại vô cực và khi m lẻ thì với các số c0, ,c m−2 không đồng

thời bằng 0, phương trình (2.4) có ít nhất một nghiệm tiệm cận proper triệt tiêu tại vô

Chương 2 Nghiệm tiệm cận proper và nghiệm triệt tiêu tại vô cực của phương trình vi phân đối số lệch

Chương này vận dụng các kết quả của chương 1 để chứng minh các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân đối số lệch (2.1) với một trong hai điều

kiện biên (2.1) hoặc (2.2) Các kết quả chính đã được trình bày trong các định lí 2.1, định lí 2.2, định lí 2.3, định lí 2.4 Ngoài ra, chúng tôi cũng nêu các điều kiện đủ để phương trình (2.4) có nghiệm tiệm cận proper và nghiệm triệt tiêu tại vô cực Các kết

quả chính đã được trình bày trong các định lí 2.10, định lí 2.12

Trong quá trình giải quyết những vấn đề trên, tôi cũng nhận thấy các kết quả đã được nêu có còn đúng hay không với các bài toán biên cho phương trình hàm bậc cao với điều kiện biên tuần hoàn, hai điểm, nhiều điểm…? Nếu có điều kiện tôi sẽ xem xét giải quyết các vấn đề này

Vì sự hiểu biết của bản thân còn hạn hẹp nên luận văn không tránh khỏi sự thiếu sót Tôi rất mong sự góp ý và chỉ bảo của quý thầy cô trong hội đồng để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cám ơn đến quý thầy, cô trong Hội đồng đã dành thời gian quý báu để đọc và phản biện cho tôi hoàn thành luận văn này