Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến

Lý do ch ọn đề tài Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân cấp cao đã được nghiên cứu từ lâu và ngày càng tìm được ứng dụng nhiều trong các lĩ

_

Tr ần Thái Diệu Hằng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS NGUY ỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS TS Nguy ễn Anh Tuấn, người đã tận tâm hướng dẫn và tạo điều kiện tối đa để tôi

có thể hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn

đã giành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành

luận văn này một cách hoàn chỉnh

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN -Sau Đại học cùng toàn

thể thầy cô khoa Toán-Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã

giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên

và hoàn thiện đề tài hơn

Xin chân thành cảm ơn

TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2009

MỞ ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân cấp cao đã được nghiên cứu từ lâu và ngày càng tìm được ứng

dụng nhiều trong các lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật Bắt đầu từ năm

1995 việc nghiên cứu và phát triển theo hướng này thực sự phát triển mạnh

với các kết quả tổng quát cho bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm

của các tác giả I Kiguradze và B Puza Các kết quả về bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến cũng được nghiên

cứu một cách rộng rãi Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên

cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng của các tác giả trên

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lý thuyết các bài toán biên cho hệ phương trình vi phân và hệ ph ương trình vi phân hàm

4 Ý ngh ĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Khi nghiên cứu các bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính và phi tuyến sẽ đạt được nhiều kết quả cụ thể cho bài toán biên

tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch

5 C ấu trúc luận văn

Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương

Chương 1: Bài toán biên t ổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

Nội dung chính của chương là nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính, áp dụng cho hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch

Chương 2: Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến

Chương này nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho

hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến và áp dụng cho hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch

L a

Chương 1 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH

q L I R và c0∈R n

Những trường hợp riêng của điều kiện (1.2) là:

Điều kiện ban đầu

dx t( ) P t x( ) ( ( ))t q t0( )

dt = τ + (1.5)

thỏa mãn một trong những điều kiện sau

x t( )=u t( ) với t∉I l x, ( )=c , 0 (1.6)

x t( )=u t( ) với t∉I x t, ( )0 =c (1.7) 0,

x t( )=u t( ) với t∉I x b, ( )−x a( )=c0 (1.8) Trong đó ∈ ( ; n n× ), 0∈ ( ; n), :τ →

với χI là hàm đặc trưng của I

1.2 H ệ phương trình vi phân hàm tuyến tính

1.2.1 Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Trước tiên xét hệ phương trình vi phân hàm thuần nhất tương ứng của bài toán (1.1), (1.2)

Trong suốt phần 1.2 ta giả thiết

(i) p C I R: ( ; n)→L I R( ; n) là toán tử tuyến tính và tồn tại một hàm khả

Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán thuần

nhất tương ứng (1.1 ),0 (1.2 )0 chỉ có nghiệm tầm thường

Chứng minh

Đặt B=C I R( ; n)×R n là không gian Banach chứa các phần tử u =( ; )x c

trong đó x∈C I R( ; n) và c∈R n với chuẩn

Từ (i)-(iii) và (1.15), f B: →B là toán tử tuyến tính compact

Thật vậy, từ (i)-(iii) và (1.15) ta có f là toán tử tuyến tính, liên tục Đặt

C I R Từ đó suy ra f là toán tử tuyến tính compact Do đó theo định lý

Fredholm điều kiện cần và đủ để (1.16) có nghiệm duy nhất là phương trình

( )

chỉ có nghiệm tầm thường Điều này tương đương với bài toán (1.1 ),0 (1.2 )0

chỉ có nghiệm tầm thường Ta có điều phải chứng minh 

Vì A không âm và điều kiện (1.18 ), ma trận E− A có ma trận nghịch đảo

1

(E− A)− không âm Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cuối với 1

(E− A)− ta được

(0) 1

x = (1.24) Nghiệm của (1.23) có dạng

với x là nghiệm bất kỳ của hệ (1.1 )0 với điều kiện đầu x t( )0 = 0

Khi đó bài toán (1.1), (1.3) có nghiệm duy nhất

1

L L

E−B p x ≤ Theo (1.25) thì r B( ) 1< nên m0( ) ≤0

p x Do đó x t( )= p m0( )( )x t ≡0 

Lưu ý

Trong điều kiện (1.25) ở hệ quả 1.5 dấu bằng không thể xảy ra Thật

vậy, với mọi ∈ n,

j i

b

C a

a b

C C

b

a b

C C

1.2.2 H ệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra

Trong mục này ta xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1),

(1.2) khi p là toán tử Volterra

Nếu : ( ; )p C I R n →L I R( ; n) là toán tử Volterra đối với t0∈ thì các bất I

đẳng thức sau đúng với mọi x∈C I R( ; n):

,

1( )( ) ( )

!

k t

k

t t t

C C

với điều kiện biên (1.2 )0 chỉ có nghiệm tầm thường Với mọi nghiệm x của

bài toán (1.1 )0 ,(1.2 )0 có bất đẳng thức sau :

Lấy x là nghiệm bất kỳ của bài toán (1.1 )0 , (1.2 ).0 Do (1.41), (1.2 )0

chỉ có nghiệm tầm thường nên theo định lý Lagrange ta có

Từ (1.43) và do ma trận A không suy bi0 ến nên bài toán (1.41), (1.2 )0

với ( )l x ≡x b( )−x a( ) chỉ có nghiệm tầm thường

Gọi G0 là ma trận Green của bài toán (1.41), (1.2 )0 với ( )l x ≡ x b( )−x a( ) Từ (1.43) , với bất kỳ q∈L I R( ; n) thì

Nên từ bất đẳng thức (1.44) suy ra bất đẳng thức (1.42) Do đó tất cả giả thiết

của định lý 1.11 đều thỏa mãn Hệ quả được chứng minh 

1.3 Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch

Như đã nói ở phần giới thiệu, bài toán (1.5), (1.6) có thể viết về dạng (1.1), (1.2) với toán tử p và hàm véc tơ q cho bởi các đẳng thức (1.10),(1.11)

và hàm τ0 cho bởi đẳng thức (1.9)

Do l C I R: ( ; )n →R n là toán tử tuyến tính liên tục Theo định lý Riesz,

tồn tại duy nhất ma trận hàm Λ:I →R n n× sao cho các thành phần của Λ có

với Λk, A k m, là các ma trận cho bởi các đẳng thức (1.49)-(1.51)

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất

Định lý 1.16

Giả sử có bất đẳng thức

( ( )τ t −t t)( −t0)≤0

thỏa hầu khắp nơi trên I

Khi đó bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu tồn tại các số tự nhiên khác không k và m thỏa bất đẳng thức (1.52) và (1.53) với

và bất đẳng thức

χ τI( ( ))t P t( ) ≤ Aτ′( )t 1/2

thỏa hầu khắp nơi trên I

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất

Ch ứng minh

Gọi x là một nghiệm của bài toán (1.1 ),0 (1.2 )0 với p là toán tử xác

t t

t

Kết hợp với (1.57) suy ra bất đẳng thức (1.42) Do đó tất cả giả thiết của định

lý 1.11 đều thỏa Định lý được chứng minh 

Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất

H ệ quả 1.22

Giả sử tồn tại ma trận hàm P0∈L I R( ; n n× ) sao cho đẳng thức (1.60)

thỏa với hầu hết , ∈s t I ,

và A∈R+n n× là ma trận thỏa (1.59)

Khi đó bài toán (1.5), (1.8) có nghiệm duy nhất

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN

tại và duy nhất nghiệm ω-tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân đối số lệch

dx t( ) f t x t x0( , ( ), ( ( )),1 t , (x m( ))),t

trong đó ( 1)

f R×R + →R thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa phương

và là ω-tuần hoàn theo đối số thứ nhất, tức là thỏa

(τk(t +ω τ)− k( )) /t ω (k = 1, , )m là các số nguyên (2.4)

2.2 Nghi ệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến

Trong suốt phần này :f Cω(R n)→ L Rω( n) được giả thiết là toán tử liên tục thỏa *

Vω β nếu nó liên tục và thỏa mãn ba điều kiện sau:

(i) ( ,.p x :C)ω(R n)→ L Rω( n) là toán tử tuyến tính với mỗi x∈Cω(R n)

cố định

(ii) Tồn tại một hàm : R Rα × + →R+ không giảm theo đối số thứ hai

iii) Với mỗi x∈Cω(R n) và ∈ ω( n),

q L R nghiệm ω-tuần hoàn y bất

kỳ của phương trình vi phân

Định lý 2.4

Giả sử tồn tại một số dương ρ0 và một toán tử n

p∈Vω sao cho với mọi (0,1),

λ∈ nghiệm ω-tuần hoàn bất kỳ của phương trình vi phân

Để chứng minh định lý này ta cần trang bị những kiến thức sau

ρρ

n

C n

l C I R ×C I R →R được gọi là nhất quán nếu:

(i) Với mỗi x∈C I R( ; n) cố định, toán tử ( , ): ( ; )p x C I R n →L I R( ; n) và ( ,.) : ( ; n) n

l x C I R →R là tuyến tính

(ii) Với mọi ,x y∈C I R( ; n) và với hầu hết t∈I ta có bất đẳng thức

p x y t( , )( ) ≤α(t x, C) y C, l x y( , ) ≤α0( )x C y C

Trong đó α0: R+ →R+ là hàm không giảm, α : I×R+ →R+ là hàm khả tích theo đối số thứ nhất và không giảm theo đối số thứ hai

(iii) Tồn tại một số dương β sao cho với mọi ∈ ( ; n), ( ;∈ n)

C

C C

(2.17) Khi đó γ∈L I R( ; ), γ0 < +∞ và với mỗi ∈ ( ; n),

p C ω R ×C ω R →L ω R là các toán tử liên tục Ngoài

ra, sự thu hẹp trên [0, ]ω đối với nghiệm ω-tuần hoàn của các phương trình (2.1) và (2.7) lần lượt là nghiệm của các phương trình vi phân tương ứng

( )x ω = x(0), (2.28)

và ngược lại, một sự mở rộng tuần hoàn đối với nghiệm bất kỳ của bài toán

(2.26), (2.28) (bài toán (2.27), (2.28)) là nghiệm ω-tuần hoàn của phương

trình (2.1) (phương trình (2.7)) Do đó, với mọi λ∈(0,1), nghiệm bất kỳ của

bài toán (2.27), (2.28) thỏa (2.8)

Mặt khác do n

p∈Vω và các đẳng thức (2.25) ta có cặp toán tử ( , )p l thỏa các điều kiện trong định nghĩa 2.5 Theo bổ đề 2 6 bài toán (2.26), (2.28) có

nghiệm Do đó bài toán (2.1) có nghiệm ω-tuần hoàn.

Nếu || ||x Cω> ρ0 Khi đó theo (2.31) và (2.32) ta có || ||x Cω<|| ||x Cω Vô lý

Nếu ||x||Cω≤ ρ0 Theo định lý 2.4 ta có điều phải chứng minh.

H ệ quả 2.8

Giả sử với mọi ∈ ω( n),

x C R hầu hết trên R có bất đẳng thức ( )( ) ( , )( ) ( , )

∫ là ma trận không suy biến với x∈C Rω( n) cố định bất kỳ

Ngoài ra giả sử tồn tại ma trận Avà B∈R+n n× sao cho

Khi đó bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm ω-tuần hoàn

ω ω

C C

C C

ϕ

với các hàm p R i: × →R R i ( =0,1)thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa

phương và là ω-tuần hoàn theo đối số thứ nhất, p2 :[0, ]ω × → liên tR R ục

Dễ thấy p thỏa điều kiện (i), (ii) của định nghĩa 2.2

Lấy x∈Cω( )R ,q∈Lω( )R và y là một nghiệm ω-tuần hoàn bất kỳ của phương trình

1 1

+

Do lấy x∈Cω( )R và q∈L R bω( ) ất kỳ nên p∈Vω1 1 3( +δδ) Hệ quả được

Khi đó bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm ω-tuần hoàn

Để chứng minh định lý này trước tiên ta lập một nghiệm ω-tuần

hoàn không âm c ủa bất phương trình vi phân

ω

σ ′ ≤ +γ (2.48) trong đó σ ∈ −{ 1,1}, p0∈L Rω( ), (., )γ ρ ∈L R vω( +) ới 0< < +∞ Nghiệm ρ

ω-tuần hoàn của (2.48) ta hiểu là một hàm ω-tuần hoàn, liên tục tuyệt đối

Khi đó mọi nghiệm ω-tuần hoàn không âm u của (2.48) thỏa mãn

Từ đó suy ra p V∈ ωn Theo định lý 2.4, để chứng minh định lý 2.10 ta chứng

minh rằng với mọi λ∈(0,1), nghiệm ω-tuần hoàn bất kỳ của phương trình vi

ω

σγ

Do đó theo định lý 2.10 bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm ω-tuần hoàn x

Ta còn phải chỉ ra nghiệm ω-tuần hoàn bất kỳ y của bài toán (2.1) sẽ trùng

σγγ

Suy ra u là một nghiệm ω-tuần hoàn không âm của (2.48)

Mặt khác từ (2.55) hàm γ1 thỏa (2.49), với ρ0= , theo bổ đề 2.11 ta suy ra 0( ) 0

u t ≡ Do đó ( ) ( ).x t ≡y t 

Lưu ý

Trong định lý 2.10 (định lý 2.12)) dấu bằng ở (2.47) ((2.55)) không thể

xảy ra Thật vậy, xem ví dụ sau :

có nghiệm x Khi đó

1

0 0

là ω-tuần hoàn theo đối số thứ nhất, thỏa mãn điều kiện Carathéodory địa

phương, và l C R i: ω( )→C Rω( ) (i=1, 2,, )n là các toán tử tuyến tính bị chặn

Vậy bất đẳng thức (2.61) đúng hầu hết trên tập (2.62) với x thỏa (2.63) Do đó

tất cả các giả thiết của định lý 2.13 đều thỏa Theo định lý 2.13 ta có (2.65) có

ít nhất một nghiệm ω-tuần hoàn 

2.3 Nghi ệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch

Trong suốt phần này, ( 1)

f R R× + →R được giả thiết là hàm véc tơ

thỏa điều kiện Carathéodory địa phương và điều kiện (2.3), với τk :R→R

(k = 1, , )m là các hàm đo được thỏa điều kiện (2.4)

Với mọi x∈Cω(R n) ta đặt

f x t( )( )= f t x t x0( , ( ), ( ( )),τ1 t , (x τm( )))t

Khi đó toán tử : ( )f C Rω n →L Rω( n) là liên tục

Từ hệ quả 2.8 ta có

đối số thứ nhất và thỏa điều kiện Carathéodory địa phương, 1

:R R m R

không giảm theo m + đối số cuối cùng và là 1 ω-tuần hoàn theo đối số thứ

nhất Hơn nữa giả sử tồn tại các ma trận A và B∈R+n n× sao cho

Trong đó 0 0

0

{ 1,1}, ( ), ( ) 0,

ω ω

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Luận văn đã trình bày các vấn đề cơ bản về lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Cụ thể là nghiên cứu tính

giải được, tính duy nhất nghiệm của nó Luận văn gồm hai chương

Chương 1 Chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối

với bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Các kết quả chính của chương là định lý 1.2, định lý 1.3 Đặc biệt đối với hệ phương trình

vi phân hàm với toán tử Volterra, luận văn đã xây dựng được điều kiện cần và

đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm với kết quả là định lý 1.10

Chương 2 Luận văn tiếp tục nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm nhưng mở rộng cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến với biên tuần hoàn với các kết quả chính là định lý 2.4, hệ quả 2.7, định lý 2.10, định lý 2.12, định lý 2.13

Qua đó chúng tôi đã áp dụng các kết quả đạt được cho hệ phương trình

vi phân hàm đối số lệch

Từ những vấn đề đưa ra trong luận văn, một câu hỏi đặt ra là các kết

quả trên còn đúng hay không cho phương trình vi phân hàm bậc cao hay bài toán biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm Hơn nữa đối với các bài toán trên chúng tôi còn chưa nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của nó do thời gian có hạn

Chính vì vậy thông qua các kết quả đã đạt được trong luận văn này, tác

giả mong muốn được mở rộng và tiếp tục nghiên cứu các vấn đề nêu trên Tác

giả rất mong sự góp ý và chỉ bảo của Quý Thầy Cô trong hội đồng

TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2009

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ti ếng Anh

1 G.H Hardy, J.E Littlewood and G Pólya (1934), Inequalities Cambridge

Univ Press, Cambridge

2 I Kiguradze (1988), Boundary value problems for systems of ordinary

differential equations J Soviet Math 43, No 2, 2259-2339

3 I Kiguradze (1997), Initial and boundary value problems for systems of

ordinary differential equations I.(Russian) Metsniereba, Tbilisi

4 I Kiguradze (1997), On periodic solutions of first order nonlinear

differential equations with deviating arguments Mem Differential

Equations Math Phys 10, 134-137

5 I Kiguradze and B Puza (1997), On periodic solutions of systems

of linear functional differential equations Arch Math 33, No 3,

197-212

6 I Kiguradze and B Puza (1997), On boundary value problems for

functional differential equations Mem Differential Equations Math

Phys 12, 106-113

7 I Kiguradze and B Puza (1997), On boundary value problems for

systems of linear functional differential equations Czechoslovak

Math J 47, No 2, 341-373

8 M.A Krasnosel’skij (1966), The theory of periodic solutions of

non-autonomous differential equations Math Surveys 21, 53-74

9 L.A Ljusternik and V.I Sobolev (1965), Elements of functional analysis

Nauka, Moscow