Kiến thức cơ bản về lý thuyết Nevanlinna
Hàm Nevanlinna được định nghĩa cho một hàm f xác định trên mặt phẳng phức C, với D ⊂ C là một miền Hàm f được coi là chỉnh hình tại điểm z0 ∈ C nếu tồn tại một lân cận U của z0 sao cho giá trị của f(z) tiến đến vô cùng.
Hàm f(z) được coi là chỉnh hình trên miền D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm z thuộc D Nếu hàm f(z) chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng phức C, nó được gọi là hàm nguyên Điểm z₀ được xác định là 0-điểm cấp m (m ≥ 0) của hàm f(z) nếu trong lân cận của z₀, hàm f(z) có dạng f(z) = (z - z₀)ᵐ.h(z), trong đó h(z) chỉnh hình gần z₀ và h(z₀) khác 0 Ngoài ra, z₀ cũng được xem là cực điểm cấp m của hàm f(z) nếu nó là 0-điểm cấp m của hàm này.
Với hàm phân hình f, ta kí hiệu : ord f (z 0 )
m nếu z 0 là 0−điểm cấp m của f(z)
Hàm số f(z) được gọi là hàm phân hình trong miền D ⊂ C nếu nó chỉnh hình trong miền D, ngoại trừ tại một số điểm bất thường được gọi là cực điểm Khi f(z) là hàm phân hình trên toàn bộ C, chúng ta có thể đơn giản gọi nó là hàm phân hình.
Nhận xét: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì trong mỗi lân cận củaz ∈ D hàmf(z) biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình.
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng Nevan- linna của một hàm phân hình.
Với mỗi số thực dương x ∈ R ∗ + , kí hiệu log + x logx nếu x ≤1
Như vậy: log + x = max{logx,0}, logx = log + x = log + 1 x. Cho f : C → C là một hàm phân hình, với mỗi số thực R >0, ta có
Z 2π 0 log + | 1 f(Re iϕ )|dϕ. Định nghĩa 1.1.5 Hàm m(r, f) = 1
Z 2π 0 log + |f(Re iϕ )|dϕ được gọi là hàm xấp xỉ của hàm phân hình f.
Kí hiệu n(r, f) là số cực điểm kể cả bội của hàm f(z) trong đĩa
{|z| < t} và n(0, f) = lim t→0n(t, f) Khi đó, nếu f(0) 6= ∞ ta có
X v=1 log|R b v |,trong đób v , v = 1,2, , N là các cực điểm của hàm f trong đĩa{|z| < R}.
Thật vậy, bằng phương pháp tích phân từng phần ta có
Do hàm f chỉ có hữu hạn cực điểm trong {|z| ≤ R}, hàm n(t, f) chỉ nhận một số hữu hạn giá trị nguyên không âm và tăng theo t Gọi các số thực không âm r 0, r 1, , r n sao cho 0 = r 0 < r 1 < < r n−1 < r n = R Trên mỗi hình vành khăn {r j < |z| ≤ r j+1}, hàm n(t, f) không đổi.
|b v |. Định nghĩa 1.1.6 Hàm N(R, f) = P N v=1 log |b R v | được gọi là hàm đếm (còn gọi là hàm đếm tại các cực điểm) của hàm f. Định nghĩa 1.1.7 Hàm
T(R, f) =m(R, f) +N(R, f) gọi là hàm đặc trưng của f.
Các hàm đặc trưng T(R, f), hàm xấp xỉ m(R, f) và hàm đếm N(R, f) là những hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, còn được gọi là các hàm Nevanlinna Định lý 1.1.8 khẳng định rằng đối với các hàm phân hình f1, f2, , fp, có những mối quan hệ quan trọng giữa chúng.
Tiếp theo ta đề cập đến một số hàm đếm mở rộng thường dùng trong chứng minh các định lý về xác định duy nhất hàm phân hình.
Cho hàm phân hình f và r > 0, kí hiệu nk(r, f) là số cực điểm bội cắt cụt bởi k trong Dr của f Các cực điểm bội l lớn hơn k chỉ được tính k lần trong tổng nk(r, f).
N k (r, f) Z r 0 n k (r, f)−n k (0, f) t dt+n k (0, f) logr được họi là hàm đếm bội cắt cụt bởi k, trong đó nk(0, f) = lim r→0nk(r, f), số k trong n k (r, f) được gọi là chỉ số bội cắt cụt.
Cho a ∈ C ∪ {∞}, kí hiệu n(r, f −a 1 ) là các số không điểm kể cả bội, n(r, f −a 1 ) là số các không điểm phân biệt của f −a trong D r
Cho a ∈ C∪ {∞}, kí hiệu n k) (r,1/(f −a)) là số các không điểm kể cả bội, n k) (r,1/(f −a)) là số các không điểm phân biệt của f −a trong
D r với bội không vượt quá k, n (k (r,1/(f −a)) là số các không điểm kể cả bội, n (k (r,1/(f −a)) là số các không điểm phân biệt của f −a trong
D r với bội ít nhất bằng k Đặt:
N (k (r, 1 f −a) Z r 0 n (k (t, f −a 1 )−n (k (0, f −a 1 ) t dt+n (k (0, 1 f −a) logr, trong đó: n k) (0, 1 f −a) = lim t→0n k) (t, 1 f −a), n k) (0, 1 f −a) = lim t→0n k) (t, 1 f −a), n (k (0, 1 f −a) = lim t→0n (k (t, 1 f −a), n (k (0, 1 f −a) = lim t→0n (k (t, 1 f −a).
1.1.2 Hai định lí cơ bản Định lí cơ bản thứ nhất
Bổ đề 1.1.9 Giả sử f(z) là hàm phân hình và mọi a ∈ C ta có:
Chứng minh Đặt f = (f −a) +a = f 1 + f 2 với f 1 = f −a, f 2 = a Ta có:
Bổ đề đã được chứng minh với Định lý 1.1.10, hay còn gọi là Định lý cơ bản thứ nhất Giả sử f(z) là một hàm phân hình trong hình tròn {|z| ≤ R} với R > 0 và a là một số phức tùy ý Khi đó, ta có m(R, 1 f −a) + N(R, 1 f −a) = T(R, f) − log|f(0) − a| + ε(a, R), trong đó |ε(a, R)| ≤ log + |a| + log 2.
Định lý cơ bản thứ hai (Định lý 1.1.11) liên quan đến hàm phân hình f(z) khác hằng số trong miền {|z| ≤ r}, với các số phức phân biệt a1, , aq (q ≥ 2) và điều kiện |aν - aμ| ≥ δ, δ > 0 Theo đó, ta có bất đẳng thức m(r, f) + q, trong đó T(R, f) được xác định bởi công thức T(R, f) - log|f(0) - a| + {T(R, f - a) - T(R, f)} = ε(a, R), và mối quan hệ T(R, f - a) - T(R, f) = ε(a, R) được chứng minh.
= o(T(r, f) + logr). Định lý 1.1.12 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f(z) là hàm phân hình trong miền {|z| ≤r} và a 1 , , a q ;q ≥ 2 là các số phức phân biệt Khi đó ta có:
N(r, a j )−N 0 (r, 1 f 0 ) +S(r, f) trong đó S(r, f) =o(T(r, f)) khi r → ∞, với r nằm ngoài một tập có độ đo hữu hạn Định nghĩa N1(r, f) =N(r, f 1 0) + 2N(r, f)−N(r, f 0), trong đó N0(r, f 1 0) là hàm đếm các 0−điểm của f mà không phải là 0−điểm của f −aj với j = 1, , q Chứng minh được thực hiện theo bất đẳng thức cơ bản: m(r, f) + q.
Cộng đại lượng N(r, f) +P q j=1 N(r, aj) vào hai vế ta được
Vì N(r, f 0 ) =N(r, f) +N(r, f) Suy ra ta có:
Thật vậy, giả sử b là nghiệm bội k > 1 của phương trình f = a j , j 1, , q thì b là nghiệm bội (k−1) của phương trình f 0 = 0.
Với mỗi b bội k > 1 thì đại lượng log |b| r được tính k lần trong
Vậy log |b| r được tính đúng một lần trong hiệu P q j=1 N(r, a j )−N(r, f 1 ).
Chú ý rằng công thức N(r, f 1 0) được xác định bởi P b log |b| r + P b 0 log |b r 0 |, trong đó b là nghiệm của phương trình f = a j với j = 1, , q, và b 0 là nghiệm của phương trình f 0 = 0 nhưng không phải là nghiệm của phương trình f = a j Kết hợp các công thức này, ta có thể rút ra kết quả quan trọng.
N(r, a j )−N 0 (r, 1 f 0 ) +S(r, f). Định lí được chứng minh.
Giả sử f(z) là hàm phân hình trên C và a ∈ C∪ {∞}, k là một số nguyên dương Ta kí hiệu δ(a;f) = lim inf r→∞ m(r, f −a 1 )
Số khuyết δ(a;f) là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết số, trong khi δ_k(a;f) thể hiện số khuyết bội cắt cụt bởi một số nguyên dương k của f tại a Ngoài ra, Θ(a;f) đại diện cho số khuyết không kể bội, và θ(a;f) xác định bậc của bội của số khuyết.
1 Nếuf(z) = avô nghiệm thì N(r, f −a 1 ) = 0 với mọir suy ra δ(a;f) 1 Chẳng hạn f(z) = e z thì δ(0;f) = 1.
2 Nếu N(r, f −a 1 ) = o(T(r, f)) thì δ(a;f) = 1 Như vậy số khuyết bằng
1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó.
3 Với hàm phân hình f và a ∈ C, ta có
Định lý 1.1.14 chỉ ra rằng với hàm phân hình f khác hằng trên C, tập hợp các giá trị a mà Θ(a;f) > 0 là đếm được, đồng thời khẳng định tính chất của số khuyết, hay còn gọi là Bổ đề quan hệ số khuyết, trong khoảng 0 ≤ δ(a;f) ≤ δ k (a;f) ≤ Θ(a;f) ≤ 1.
(δ(a;f) + θ(a;f)) ≤ X a∈ C ∪{∞} Θ(a;f) ≤ 2. Định nghĩa 1.1.15 Cho f là một hàm phân hình trên C Một phần tử a ∈ C∪ {∞} được gọi là giá trị bỏ được Picard (viết tắt là e.v.P.) của f nếu a 6∈ f(C).
Nếu a là một điểm bỏ được Picard, thì N(r, f − a1) = 0, dẫn đến δ(a; f) = 1 Do đó, một hàm nguyên chỉ có duy nhất một giá trị bỏ được Picard là ∞ Theo Định lý Picard, nếu f là hàm phân hình trên C và không nhận ba giá trị a1, a2, a3 thuộc C∪ {∞}, thì f phải là hàm hằng.
Chứng minh Nếu f không nhận giá trị a thì phương trình f(z) = a vô nghiệm Điều này kéo theo N(r, f −a 1 ) = 0 Suy ra Θ (a;f) = 1.
Từ Bổ đề về quan hệ số khuyết, nếu f khác hằng số thì chỉ tồn tại không quá hai giá trị a ∈ C∪ {∞} sao cho Θ(a;f) = 1.
Vấn đề duy nhất với điều kiện của đa thức đạo hàm 19
Trường hợp hàm nguyên
Năm 1990, H X Yi đã chứng minh Định lý 2.1.1, trong đó cho hai hàm nguyên f và g khác hàm hằng cùng với số nguyên không âm k Nếu f và g chung nhau giá trị 0 tại điểm CM, và f(k) cùng g(k) chung nhau giá trị 1 tại điểm CM, đồng thời δ(0, f) > 1/2, thì ta có f ≡ g, trừ khi f(k) * g(k) ≡ 1.
Năm 2015, J T Li và P Li đã mở rộng kết quả trên của H X Yi.
Cụ thể, với h là một hàm phân hình, kí hiệu
P(h) = h (k) +a1h (k−1) +ã ã ã+ak−1h 0 +akh, trong đó a j , j = 1, , k là các số phức và k là một số nguyên dương. Nhận xét f = 1 2 e −2z và g = e −2z , khi đó f và g chung nhau giá trị 0
CM, f 00 + 2f 0 và g 00 + 2g 0 chung nhau giá trị 1 CM và δ(0, f) > 1 2 nhưng f 6= g và (f 00 + 2f 0 )(g 00 + 2g 0 ) 6= 1 Điều này chỉ ra rằng, trong Định lí 2.1.1, không thể thay các hàm f (k) và g (k) bởi P(f) và P(g).
Các kết quả được chứng minh bởi J T Li và P Li trong năm 2015 Định lý 2.1.2 cho rằng nếu f và g là hai hàm nguyên không hằng và chúng cùng chia sẻ giá trị 0 CM, thì P(f) và P(g) cũng sẽ cùng chia sẻ giá trị.
1 IM và δ(0, f) > 4 5 Nếu λ(f) 6= 1 thì f ≡ g trừ khi P(f).P(g) ≡1.
Chứng minh Ta chia ra làm hai trường hợp.
Trường hợp 1: Giả sử P(f), P(g) 6≡c,c là một hằng số phức hữu hạn.
Do f và g chung nhau giá trị 0 CM, P(f) và P(g) chung nhau giá trị 1
IM và theo kết quả của Milloux ta có:
Theo Bổ đề 1.2.1 ta có:
Cho F = P(f), G= P(g) và H được xác định bởi (1.8), khi đó F và G chung nhau giá trị 1 IM Nếu H 6≡ 0 thì từ Bổ đề 1.2.11 ta có:
Thay (2.5) vào (2.4), ta suy ra :
G) +S(r, F) + S(r, G) (2.6) Theo Bổ để 1.2.2 và (2.6) ta có:
Chú ý rằng f và g chung nhau giá trị 0 CM, từ (2.3) và (2.7) ta có
T(r, f) ≤ 5N(r, f 1 ) +S(r, f), mâu thuẫn với điều kiện δ(0, f) > 4 5 Như vậy H ≡ 0 Giải phương trình này ta nhận được:
CG+D (AD −BC 6= 0), (2.8) trong đó A, B, C và D là các hằng số phức hữu hạn Tiếp theo chúng ta xét ba trường hợp nhỏ.
Trường hợp 1.1: Giả sử rằng AC 6= 0, từ (2.8) chúng ta biết rằng C A là một giá trị Picard của F Từ định lí cơ bản thứ hai của Nevanlinna ta có:
T(r, P(f)) ≤T(r, P(f))−T(r, f) +N(r, 1 f) +S(r, f), nghĩa là T(r, f) ≤N(r, 1 f ) +S(r, f), mâu thuẫn với điều kiệnδ(0, f) > 4 5 Trường hợp 1.2: Giả sử rằng A 6= 0 và C = 0, khi đó F = A D G+ D B Nếu B 6= 0 thì N(r, F − 1 B
) = N(r, G 1 ) Theo định lí cơ bản thứ hai của Nevanlinna ta có:
Từ Bổ đề 1.2.11 và (2.10) ta có được:
T(r, f) ≤ N(r, 1 f) + N(r, 1 g) + S(r, f) = 2N(r, 1 f) + S(r, f), mâu thuẫn với điều kiện δ(0, f) > 4 5, dẫn đến B = 0, tức là F = D A G Nếu 1 là giá trị Picard của F, thì D A = 1; ngược lại, nếu D A là giá trị Picard khác 1, điều này mâu thuẫn với định lý [11], từ đó suy ra F ≡ G Nếu 1 không phải là giá trị Picard của F, tồn tại số phức z 0 sao cho F(z 0 ) = G(z 0 ) = 1, do đó D A = 1, kết luận F ≡ G Trong trường hợp 1.3, giả sử A = 0 và C ≠ 0, chứng minh tương tự như trường hợp 1.2 cho thấy F.G ≡ 1.
Kết luận: Ta biết rằng F ≡ G trừ khi F.G≡ 1 Nếu F.G ≡1 , tức là
P(f).P(g) ≡ 1, thì kết quả của Định lý 2.1.2 là đúng Nếu P(f−g) ≡0, giải phương trình này (từ [1,4]) ta có: f −g m
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình X j=1 pj(z)e α j z, với m là số nguyên dương và α j là các hằng số phức phân biệt Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu λ(f) không bằng 1, thì hàm f sẽ tương đương với hàm g Quá trình chứng minh sẽ được chia thành hai trường hợp khác nhau.
Trường hợp I: Giả sử rằng λ(f) < 1 Từ (2.1) và (2.2), ta biết rằng λ(f) = λ(g) Từ f và g chung nhau giá trị 0 CM, ta có f g = e h(z) , với h(z) là một hàm số nguyên Khi đó: λ(e h(z) ) = λ(f g) ≤max λ(f), λ(1 g)
Trong trường hợp đầu tiên, nếu e h(z) ≡ c0 với c0 là hằng số phức hữu hạn, thì suy ra f ≡ c0g và do đó P(f) ≡ c0P(g) Vì P(f) ≡ P(g) nên c0 phải bằng 1, dẫn đến kết luận f ≡ g Trong trường hợp thứ hai, nếu λ(f) > 1, theo định lý Weierstrass, ta có f(z) = π(z)e l1(z) và g(z) = π(z)e l2(z), trong đó π(z) là hàm không điểm của f và g, còn l1(z) và l2(z) là các hàm nguyên.
Nếu l 1 ≡ l 2 thì f ≡ g Nếu l 1 6≡ l 2 thì λ(π) = τ(f) là số mũ hội tụ của các không điểm của f(z) và τ(f) ≤ τ(f −g) ≤ λ(f −g) , từ (2.12) ta có: λ(π) ≤λ(f −g) =λ( m
Vì λ(f) = λ(g) > 1 và f −g = (e l 1 −l 2 −1)g, ta nhận được λ(e l 1 (z) ) > 1, λ(e l 2 (z) ) > 1vàλ(e l 1 (z)−l 2 (z) ) > 1 Từπ(z)e l 1 (z) −π(z)e l 2 (z) = P m j=1 p j (z)e α j z và Bổ đề 1.2.5 ta có được P m j=1 p j (z)e α j z ≡ 0 và π(z) ≡ 0 Khi đó f(z) ≡0, mâu thuẫn giả thiết.
Trường hợp 2: Giả sử rằng P(f) ≡ c với c là một hằng số phức hữu hạn.
Hàm f được định nghĩa là f ≡ c 1 + P m j=1 q j (z)e β j z, với c 1 là các hằng số phức hữu hạn, q j là các đa thức và β j là các hằng số phức hữu hạn phân biệt, đồng thời λ(f) < 1 Do đó, f có thể được biểu diễn dưới dạng f ≡ c 1 + P m j=1 q j (z), cho thấy rằng f là một đa thức Giả sử bậc của f là n.
T (r,f) = 0 < 4 5 , điều này mâu thuẫn. Định lý được chứng minh.
Theo định lý 2.1.3, nếu f và g là hai hàm nguyên khác hằng và chúng chung nhau giá trị 0 CM, thì P(f) và P(g) cũng chung nhau giá trị.
1 CM và δ(0, f) > 1 2 Nếu λ(f) 6= 1 thì f ≡ g trừ khi P(f).P(g) ≡1.
Chú ý, trong các định lý trên có thể xảy ra trường hợp P(f).P(g) ≡1 và f 6= g Ta xem ví dụ sau:
Ví dụ 2.1.4 f = e z , g = e −z và P(h) = h (3) −h (2) −h (1) Khi đó f và g chung nhau giá trị 0 CM, P(f) = −e z và P(g) =−e −z chung nhau giá trị 1 CM P(f).P(g) ≡ 1.
Trường hợp hàm phân hình
Với một hàm phân hình h, hàm
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đa thức đạo hàm bậc d được tạo ra bởi hàm h, ký hiệu là P(f) và P(g) cho hai hàm phân hình khác hằng f và g Các hệ số ak thuộc tập S(h) và các số nguyên không âm lkj được xác định trong công thức (2.13) Năm 2017, Lahiri và Pal đã chứng minh Định lý 2.2.1, trong đó a(z) là một phần tử thuộc giao của S(f) và S(g), với điều kiện a(z) không bằng 0 hoặc vô cực Nếu P(f) và P(g) chia sẻ một hàm nhỏ a(z), điều này có ý nghĩa quan trọng trong nghiên cứu các tính chất của các hàm phân hình này.
Chứng minh Cho F = P (f) a và G= P (g) a Khi đó F và G chung nhau giá trị 1 IM và từ Bổ đề 1.2.12 ta có:
Kết hợp N(r,0;F) +N (2 (r,0;F) ≤ N(r,0;F), (2.15), (2.16) và (2.17) ta có được:
Từ Bổ đề 1.2.3 và (2.18) ta nhận được:
Và hơn nữa dT(r, f) ≤dN(r,0;f) + 2N(r,∞;f) +dN(r,0;g) + (Q+ 2)N(r,∞;g)
Từ Bổ đề 1.2.3 ta lại có:
N L (r,1;G) ≤dN(r,0;g) + (Q+ 1)N(r,∞;g) +S(r, g) (2.21) Kết hợp (2.19), (2.20) và (2.21) ta có:
Cộng vế với vế của (2.22) và (2.23) ta nhận được:
+ 4Q+ 7 d N(r,∞;g) +S(r, f) +S(r, g), điều này mâu thuẫn với giả thiết.
F −1 +B, với A(6= 0) và B là hằng số Khi đó:
Trường hợp 1: Cho B 6= 0,−1 Từ (2.25) ta có N(r, B+1 B ;G) N(r,∞;F) Từ định lí cơ bản thứ hai và Bổ đề 1.2.12 ta nhận được:
Nếu A−B −1 6= 0 từ (2.24) ta có N(r, B+1−A B+1 ;F) = N(r,0;G) Từ định lí cơ bản thứ hai và Bổ để 1.2.12 ta nhận được:
Suy ra dT(r, f) ≤dN(r,0;f) +dN(r,0;g) +N(r,∞;f)
Kết hợp (2.26) và (2.27) ta có:
Vì thế A−B −1 = 0 và từ (2.24) ta có:
BF + 1 Ở đó N(r,0;F + B 1 ) = N(r,∞;G) Từ định lí cơ bản thứ hai và Bổ đề 1.2.12 ta có:
Suy ra dT(r, f) ≤ dN(r,0;f) +N(r,∞;f) +N(r,∞;g) +S(r, f) (2.28) Kết hợp (2.26) và (2.29) ta có:
+ 2 dN(r,∞;g) +S(r, f) + S(r, g), điều này mâu thuẫn.
Trường hợp 2: Ta giả sử rằng B = 0, từ (2.24) và (2.25) ta có :
Chứng minh tương tự trường hợp 1 ta đi đến điều mâu thuẫn Vì thế
Trường hợp 3: Giả sử B = −1, từ (2.24) và (2.25) ta có:
A+ 1;G) = N(r,0;F). Chứng minh tương tự trường hợp 1 ta đi đến điều mâu thuẫn Do đó
A+ 1 = 0 và P(f).P(g) ≡a 2 Định lý được chứng minh.
Nhận xét Nếu P(f) và P(g) chung nhau hàm nhỏ a = a(z) CM, thì (2.14) có thể được thay thế bởi công thức sau min
Định lý 2.2.2 nêu rằng, cho hai hàm phân hình khác hằng f và g, với a(z) (khác 0 và vô cực) thuộc S(f) ∩ S(g) Nếu P(f) và P(g) là các đa thức đạo hàm khác hằng được xác định theo công thức (2.13), và f cùng g chia sẻ một giá trị nhất định.
0 CM và ∞ IM, P(f) và P(g) chung nhau hàm nhỏ a = a(z) IM và
Chứng minh Cho F = P (f) a và G= P (g) a Khi đó F và G chung nhau giá trị 1 IM và từ Bổ đề 1.2.12 và Bổ đề 1.2.7 ta nhận được: dT(r, f) ≤ N(r,∞;f) + N(r,1;F) +dN(r,0;f) +S(r, f)
Từ (2.29) và (2.30) ta có được S(r, f) = S(r, g).
Chứng minh tương tự Định lý 2.2.1 ta được điều phải chứng minh. Định lý 2.2.3 ([8]) Cho f và g là hai hàm nguyên khác hằng, a(z)(6≡
0,∞) ∈ S(f) ∩ S(g) P(f) và P(g) là các đa thức đạo hàm khác hằng được xác định bởi (2.13) Nếu f và g chung nhau giá trị 0 CM, P(f) và
P(g) chung nhau hàm nhỏ a = a(z) CM và δ(0;f) > 1 2 , thì P(f) ≡ P(g) hoặc P(f).P(g) ≡ a 2
Nhận xét P(f) và P(g) chung nhau hàm nhỏ a = a(z) IM, khi đó điều kiện δ(0;f) > 1 2 của định lí trên được thay thế bởi điều kiện δ(0;f) > 4 5
Hệ quả 2.2.4 ([8]) Xét hai hàm phân hình f và g khác hằng Giả sử rằng α(f(k))^n và α(g(k))^n có chung giá trị 1 IM, với α(6= 0) là một hằng số và k, n là các số nguyên dương Nếu min
> 4kn+ 4n+ 7 n thì α 2 (f (k) g (k) ) n ≡ 1 hoặc f ≡ ωg, ω n = 1 Nếu f(z 0 ) = g(z 0 ) 6= 0, z 0 ∈ C thì ω = 1.
Theo Định lý 2.2.1, ta có thể kết luận rằng α²(f(k)g(k))ⁿ ≡ 1 hoặc (f(k))ⁿ ≡ (g(k))ⁿ Giả sử (f(k))ⁿ ≡ (g(k))ⁿ, điều này dẫn đến f(k) = ωg(k), với ωⁿ = 1 Sau khi tích hợp k lần, ta có f = ωg + p, trong đó p là một đa thức bậc k - 1 Dựa trên giả thiết, f và g là các hàm phân hình siêu việt, và nếu p ≠ 0.
Từ Bổ đề 1.2.4 ta có:
Kết hợp (2.31) và (2.32), ta có được
+ N(r,∞;g) +S(r, f) +S(r, g), điều này mâu thuẫn giả thiết Do đó p ≡ 0 và f ≡ ωg Nếu f(z 0 ) g(z 0 ) 6= 0, z 0 ∈ C Khi đó ω = 1, do đó f ≡ g.
Hệ quả được chứng minh
Hệ quả 2.2.5 ([8]) Cho f và g là hai hàm nguyên khác hằng, P(f) và
P(g) là các đa thức đạo hàm khác hằng được xác định bởi (2.13) Giả sử rằng f và g chung nhau giá trị 0 CM, P(f) và P(g) chung nhau giá trị
1 CM Nếu δ(0;f) > 1 2 thì f ≡ g hoặc P(f).P(g) ≡ 1 khi đó các điều sau là tương đương:
(a) f có hữu hạn các không điểm
(b) f có vô hạn các không điểm và f là hàm tối thiểu.
Chứng minh Từ Định lí 2.2.3 ta có P(f) ≡ P(g) hoặc P(f).P(g) ≡ 1. Cho P(f) ≡ P(g) sao cho P(g −f) ≡ 0 Khi đó f −g m
X j=1 p j (z)e α j z , (2.33) với m(≤k) là các số nguyên dương, α j là các hằng số phức phân biệt và p j (z) là các đa thức khác không.
Từ f và g chung nhau giá trị 0 CM, ta đặt g = f.e h , h là một hàm nguyên Cho e h 6≡ 1 Từ (2.33) ta nhận được: f Pm j=1p j (z)e α j z e h −1
Dof là hàm nguyên, ta thấy rằngN(r,0;e h −1) ≤ N(r,0;P m j=1 p j (z)e α j z ) và từ định lí cơ bản thứ hai ta có được:
Nếu h là một hàm số siêu việt hoặc đa thức bậc ≥ 2, ta có T(r, e^h) = S(r, e^h), dẫn đến mâu thuẫn Do đó, h chỉ có thể là đa thức bậc tối đa 1 Giả sử h là hàm hằng, ta có P(f) ≡ P(g) ≡ e^h P(f) và e^h ≡ 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Nếu h(z) = az + b (với a ≠ 0) và b là hằng số, thì f có dạng Pm j=1 p_j(z) e^(α_j z) e^(az+b) - 1.
Từ kết quả cơ bản của Milloux [2,Định lí3.2, p.57] ta có được
Vì f và g có bậc là hữu hạn Từ (2.35) và (2.36) ta thấy rằng ρ(f) ρ(g) Do đó ρ(e az+b ) = ρ(g f) ≤ max{ρ(f), ρ(g)} < 1, điều này là không thể vì a 6= 0.
Trường hợp 2: ρ(f) = 1 Ta xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 2.1 f có hữu hạn các không điểm Đặt f(z) = q(z)e cz+d , q(z) là một đa thức đạo hàm Khi đó g(z) =q(z)e(a+c)z+(b+d) và vì vậy P(f) ≡ P(g), tức là q1(z)e cz+d = q2(z)e(a+c)z+(b+d)
. với q1, q2 là cá đa thức đạo hàm Tức là q2(z)e az+b = q1(z) Điều này là không thể vì a 6= 0.
Trường hợp 2.2 f có vô hạn các không điểm và f là hàm tối thiểu. Đặt
Hj(z) =−p j (z)e α j z f ,1≤ j ≤m, Hm+1(z) =e az+b Khi đó f P m j=1 p j (z)e αj z e az+b −1 , tức là m+1
Một trong những α j là không điểm, giả sử là α 1 Khi đó H 1 6≡ 0 và (2.37) tương đương với m+1
Và như vậy lim inf r→∞
Vì f là hàm tối thiểu, ta nhận được lim inf r→∞
Vì thế cho j = 1,2, , m ta nhận được: lim sup r→∞
N(r,∞;H j ) < {λ+o(1)}T(r, H k ), với k = 2,3, , m+ 1, λ(0 < λ < 1) là một hằng số phù hợp Vì thế từ
Bổ đề 1.2.7 ta có được H 1 (z) ≡ 1, điều này là không thể vì ρ(f) = 1.
Vì vậy α j 6= 0, j = 1,2, , m Chứng minh tương tự như trên ta nhận được H m+1 (z) ≡ 1, điều này mâu thuẫn với giả thiết e h 6≡ 1.
Hệ quả được chứng minh
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số nội dung chính sau đây:
1 Giới thiệu một số kiến thức về cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna: Các hàm Nevanlinna và tính chất, hai định lý cơ bản, quan hệ số khuyết và định lý Picard; chứng minh lại một số các kết quả cần thiết cho việc chứng minh các kết quả trong Chương 2.
2 Phát biểu và chứng minh lại một số điều kiện đại số về vấn đề duy nhất trong hai trường hợp : hàm nguyên và hàm phân hình, trong đó có các điều kiện của đa thức đạo hàm Cụ thể: Định lý 2.1.2 về vấn đề duy nhất cho hàm nguyên, Định lý2.2.1cho hàm phân hình.
[1] Milloux H (1940), Les fonction meromorphes et leurs derivees, Her- mann et Cie, Paris.
[2] Chen A., Wang X., and Zhang G (2010), Unicity of meromorphic function sharing one small function with its derivative, Int J Math. Sci, Article Id 507454, 11 pages.
[3] Hayman W K (1964), Meromorphic Functions, The Clarendon Press, Oxford.
[4] Hua X H (1990), A unicity theorem for entire function, Bull Lon- don Math Soc 22, no 5, 456-462.
[5] Hinchliffe J D (2002), On a result of Chuang related to Hayman’s alternative, Comput Meth-ods Funct Theory 2, no 1, 293-297.
[6] Lahiri I (1997), Uniqueness of meromorphic functions as governed by their differential poly-nomials, Yokohama Math J 44, no 2, 147-156.
[7] Lahiri I (1998), Differential polynomials and uniqueness of mero- morphic functions, Yokohama Math J 45, no 1, 31-38.
[8] Lahiri I and Pal B (2017), Uniqueness of meromorphic function with their homogeneous and linear differential polynomial sharing a small function, Bull Korean Math Soc 54, No 3, pp 852-838.