Tập lồi và hàm lồi trong không gian Euclid hữu hạn chiều
Một tập C ⊆ R n được xem là lồi nếu nó bao gồm tất cả các đoạn thẳng nối giữa hai điểm bất kỳ trong tập đó Điều này có nghĩa là tập C lồi khi và chỉ khi mọi đoạn thẳng giữa hai điểm thuộc C đều hoàn toàn nằm trong C.
Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (vectơ) x 1 , , x k nếu x k
Tương tự, x là tổ hợp aphin của các điểm (vectơ) x 1 , , x k nếu x k
Tập hợp của các tổ hợp aphin của x 1 , , x k thường được gọi là bao aphin của các điểm này.
Mệnh đề 1.1 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là tập C lồi khi và chỉ khi
Để chứng minh điều kiện cần, ta sử dụng phương pháp quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề đúng với k−1 điểm, nhiệm vụ còn lại là chứng minh cho trường hợp k điểm.
Giả sử x là tổ hợp lồi của k điểm x 1 , , x k ∈ C Tức là x k
Với λ ξ j > 0 với mọi j = 1, , k−1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm y : k−1
Một tập C được gọi là tập afine nếu nó chứa đường thẳng đi qua bất kỳ hai điểm nào của nó Điều này có nghĩa là nếu x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và x k đều thuộc C, thì x cũng thuộc C.
Tập aphin là một trường hợp đặc biệt của tập lồi, với các không gian con và siêu phẳng là những ví dụ điển hình Siêu phẳng trong không gian R^n được định nghĩa là một tập hợp các điểm có dạng nhất định.
{x∈ R n |a T x= α}, trong đó a∈ R n là một vectơ khác 0 và α ∈ R.
Vectơ a được biết đến như vectơ pháp tuyến của siêu phẳng, phân chia không gian thành hai nửa Nửa không gian được định nghĩa là tập hợp có dạng {x|a^T x ≥ α}, với a khác 0 và α thuộc R, là nửa không gian đóng, trong khi tập {x| a^T x > α} là nửa không gian mở Các điểm x0, x1, , xk trong Rn được gọi là độc lập affine nếu bao affine của chúng có thứ nguyên k Một tập hợp được gọi là lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.
Tập lồi đa diện được định nghĩa là tập hợp các nghiệm của một hệ thống hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của tập lồi đa diện được mô tả rõ ràng như sau:
Hoặc nếu ta ký hiệu A là ma trận có m hàng là các vectơ a j (j = 1, , m) và vectơ b T = (b1, , bm), thì hệ trên viết được là
Lưu ý rằng phương trình ha, x= bi có thể được diễn đạt tương đương bằng hai bất phương trình ha, xi ≤ b và h−a, xi ≤ b Do đó, tập nghiệm của một hệ thống các phương trình và bất phương trình hữu hạn sẽ tạo thành một tập lồi đa diện.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các tính chất quan trọng của tập lồi đa diện Theo định nghĩa, với tập hợp C không nhất thiết lồi và y là một vectơ bất kỳ, ta có thể xác định dC(y) bằng cách lấy infimum của khoảng cách ||x−y|| với x thuộc C.
Khoảng cách từ y đến tập hợp C được ký hiệu là dC(y) và được định nghĩa là ||π−y||, trong đó π là điểm thuộc C Khi đó, π được gọi là hình chiếu vuông góc của y trên C Theo định nghĩa, hình chiếu pC(y) của y trên C chính là nghiệm của bài toán tối ưu minx {1}.
2||x−y|| 2 |x ∈C} Vậy việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm cực tiểu của hàm toàn phương ||x−y|| 2 trên C.
Ta sẽ ký hiệu π = P C (y), hoặc đơn giản hơn là p(y) nếu không cần nhấn mạnh đến tập chiếu C Chú ý rằng, nếu C 6=, thì dC(y) hữu hạn, vì 0 ≤ dC(y) ≤ ||y −x|| với mọi x∈ C.
Cho C ⊆ R n , x 0 ∈C Nhớ lại là nón pháp tuyến (ngoài) của tập C tại x 0 là tập hợp
Mệnh đề 1.2 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng Khi đó:
(i) Với mọi y ∈ R n , π ∈ C hai tính chất sau là tương đương: a) π = P C (y), b) y−π ∈ N C (π).
(ii) Với mọi y ∈ R n , hình chiếu PC(y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
(iii) Nếu y /∈ C, thì hPC(y)−y, x−PC(y)i = 0 là siêu phẳng tựa của C tại PC(y) và tách hẳn y khỏi C, tức là hP C (y)−y, x−P C (y)i ≥ 0, ∀x∈ C, và hP C (y)−y, y−P C (y)i < 0.
(iv) Ánh xạ y ,→ PC(y) có các tính chất sau: a) ||P C (x)−P C (y)|| ≤ ||x−y|| ∀x,∀y ( tính không giãn); b) hPC(x)−PC(y)i, x−y ≥ ||PC(x)−PC(y)|| 2 ,(tính đồng bức). Chứng minh (i) Giả sử có a) Lấy x ∈C và λ ∈ (0,1) Đặt xλ := λx+ (1−λ)π.
Do x, π ∈ C và C lồi, nên x λ ∈ C Hơn nữa do π là hình chiếu của y, nên
||π−y|| 2 ≤ ||λ(x−π||+ (π−y)|| 2 Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho λ >0, ta có λ||x−π|| 2 + 2hx−π, π −yi ≥ 0. Điều này đúng với mọi x ∈ C và λ ∈ (0,1) Do đó khi cho λ tiến đến 0, ta được hπ−y, x−πi ≥ 0 ∀x∈ C.
Bây giờ giả sử có b) Với mọi x∈ C, có
Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz ta có:
Suy ra ||(y−π)|| ≤ ||y−x|| ∀x∈ C, và do đó π = p(y).
(ii) Do dC(y) = inf x∈C ||x−y||, nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (infimum), tồn tại một dãy x k ∈ C sao cho limk ||x k −y|| = d C (y) < +∞
Vậy dãy {x k } bị chặn, do đó nó có một dãy con {x kj } hội tụ đến một điểm π nào đó Do C đóng, nên π ∈ C Vậy
Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C.
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm π và π 1 đều là hình chiếu của y trên C, thì y −π ∈NC(π), y −π 1 ∈ NC(π 1 ).
Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra ||π−π 1 || ≤ 0, và do đó π = π 1 (iii) Do y−π ∈ N C (π), nên hπ−y, x−πi ≥ 0 ∀x∈ C.
Vậyhπ−y, xi = hπ−y, πi là một siêu phẳng tựa củaC tai π Siêu phẳng này tách y khỏi C vì y 6= π, nên hπ−y, y−πi = −||π−y|| 2 < 0.
(iv) Theo phần (ii) ánh xạ x ,→ p(x) xác định khắp nơi.
Do z−p(z) ∈ NC(p(z)) với mọi z, nên áp dụng với z = x và z = y, ta có: hx−p(x), p(y)−p(x)i ≤ 0 và hy−p(y), p(x)−p(y)i ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức lại sẽ được hp(y)−p(x), p(y)−p(x) +x−yi ≤ 0.
Từ đây và theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, suy ra
||p(x)−p(y)|| ≤ ||x−y||. Để chứng mnh tính đồng bức, áp dụng tính chất b của (i), lần lượt với p(x) và p(y), ta có hp(x)−x, p(x)−p(y)i ≤ 0. hy−p(y), p(x)−p(y)i ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức ta được hp(x)−p(y) +y−x, p(x)−p(y)i ≤ 0
Chuyển vế ta có hp(x)−p(y), x−yi ≥ ||p(x)−p(y)|| 2, đây chính là tính đồng bức cần được chứng minh Định nghĩa 1.8 cho biết một ánh xạ F: C −→ R n được gọi là đơn điệu trên C nếu hF(x)−F(y), x−yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C Ánh xạ F được xem là đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0 khi hF(x)−F(y), x−yi ≥ β||x−y|| 2 ∀x, y ∈ C Đối với tập lồi C ⊆ R n và hàm f: C ,→ R, ta ký hiệu domf := {x ∈ C | f(x) < +∞}.
Tập domf được gọi là miền hữu dụng của f Tập epif := {(x, à) ∈ CìR|f(x) ≤ à} được gọi là trên đồ thị của hàm f.
Bằng cách cho f(x) = +∞ nếu x /∈ C, ta có thể coi f được xác định trên toàn không gian và hiển nhiên là domf ={x∈ R n | f(x) < +∞} epif = {(x, à) ∈ R n | ìR|f(x)≤ à}
Do sẽ làm việc với hàm số nhận cả giá trị −∞ và +∞, ta có quy ước sau:
Nếu λ = 0,thì λf(x) = 0 với mọi x. Định nghĩa 1.9 Cho 6= C ⊆ R n lồi và f : C → R Ta nói f là hàm lồi trên C, nếu epif là một tập lồi trong R n+1
Ta sẽ chủ yếu làm việc với hàm f : R n → R ∪ {+∞} Trong trường hợp này, dễ thấy rằng định nghĩa trên tương đương với f(λx+ (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y) ∀x, y ∈C,∀ λ(0,1).
Hàm f : R n → R∪ {+∞} được gọi là lồi chặt trên C nếu f(λx+ (1−λ)y) < λf(x) + (1−λ)f(y) ∀x, y ∈C,∀ λ ∈ (0,1).
Hàm f : R n → R∪ {+∞} được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số η >0, nếu ∀x, y ∈ C,∀λ ∈ (0,1) có: f(λx+ (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y)− 1
2ηλ(1−λ)||x−y|| 2 Kiểm tra được rằng, f lồi mạnh trên C với hệ số η > 0 khi và chỉ khi hàm h(.) := f(.)− η
Bằng phương pháp quy nạp, có thể chứng minh rằng nếu hàm f có giá trị hữu hạn trên tập lồi C, thì với mọi số tự nhiên m và mọi x1, , xm thuộc C, thỏa mãn các điều kiện λ1 ≥ 0, , λm ≥ 0 và tổng Pm j=1λj = 1, thì f(m) cũng được đảm bảo.
Hàm f được gọi là một hàm lõm trên C, nếu −f lồi trên C.
Dưới đây là một điều kiện cần và đủ về hàm lồi, rất tiện ích trong nhiều trường hợp.
Mệnh đề 1.3 Một hàm f : C → R là lồi trên C khi và chỉ khi
Chứng minh Chứng minh điều kiện cần Giả sử f lồi Chọn x, y, α, β như đã nêu trong mệnh đề Chọn α 0 ∈ (f(x), α) và β 0 ∈ (f(y), β) Vậy (x, α 0 ) và (y, β 0 ) thuộc epif Do epif lồi, nên;
Chứng minh điều kiện đủ Chọn (x, à) và (y, ν) thuộc epif và λ ∈ (0,1). Thế thì với mọi ε > 0, ta có f(x)< à+ε, f(y)0, thì f lồi mạnh trên C với hệ số η.
Hàm f được gọi là chính thường nếu miền xác định của nó không rỗng và giá trị của f(x) luôn lớn hơn âm vô cùng với mọi x Một hàm f được xem là đóng khi tập giá trị cực tiểu của nó là một tập đóng trong không gian R n+1 Nếu f là một hàm lồi trên một tập lồi C, có thể mở rộng f lên toàn bộ không gian bằng cách định nghĩa hàm fe(x) như sau: fe(x) = f(x) nếu x thuộc C, và fe(x) = +∞ nếu x không thuộc C.
Hiển nhiênfe(x) =f(x) với∀x∈ C vàfe lồi trênR n Hơn nữa fe là chính thường khi và chỉ khi f chính thường Tương tự fe đóng khi và chỉ khi f đóng.
Chú ý rằng, nếu f là một hàm lồi trên R n thì domf là một tập lồi, vì domf chính là hình chiếu trên R n của epif, tức là: domf = {x|∃à ∈ R : (x, à)∈ epif}.
Sau đây là một số ví dụ về hàm lồi.
Ví dụ 1.1 1 Hàm aphin f(x) := a T x+ α, trong đó a ∈ R n , α ∈ R.
Hàm f được xác định là vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian, và khi α = 0, nó được coi là hàm tuyến tính Ngoài ra, C 6= là một tập hợp lồi.
2 Hàm chỉ Đặt δ C (x) :( 0, nếu x∈ C, +∞, nếu x ∈/ C.
Ta nói δ C là hàm chỉ của C Do C lồi nên δ C là một hàm lồi.
3 Hàm mặt cầu Cho S := {x ∈ R n | ||x|| = 1} là một mặt cầu và h :S → R+ là một hàm bất kỳ Định nghĩa hàm f như sau: f(x) :
Hàm này được gọi là hàm mặt cầu Dễ thấy rằng f là một hàm lồi trên R n , mặc dù h là một hàm không âm bất kỳ trên mặt cầu S.
4 Hàm tựa Hàm dưới đây được gọi là hàm tựa của C.
5 Hàm khoảng cách Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định nghĩa bởi d C (x) := min y∈C ||x−y||.
Hàm chuẩn được định nghĩa qua hai cách: f(x) = ||x||_1 = max_j |x_j| hoặc f(x) = ||x|| = (x_1^2 + + x_n^2)^{1/2} Định nghĩa 1.11 chỉ ra rằng cho hàm f: R^n → R ∪ {+∞} và một điểm x_0 ∈ R^n với f(x_0) < +∞, nếu tồn tại giới hạn lim_{λ↓0} (f(x_0 + λy) - f(x_0)) / λ với một vectơ y ∈ R^n, thì f được coi là có đạo hàm theo hướng y tại điểm x_0.
Ta sẽ ký hiệu giới hạn này là f 0 (x 0 , y).
Ví dụ sau đây cho thấy hàm f 0 (x, ) có thể không phải là hàm chính thường mặc dù f là hàm chính thường và x∈ domf Cho f(x) :
Ta thấy f là hàm lồi, chính thường, domf = (−∞,0) Dễ thấy rằng f 0 (0,−1) = −∞, f 0 (0,0) = 0, f 0 (0,1) = +∞.
Từ định nghĩa của hàm ξ ở trên, ta có f 0 (x 0 , y) = lim λ↓0 ξ(λ)−ξ(0) λ
Vậy f 0 (x 0 , y) chính là đạo hàm phải của ξ tại 0 nếu f 0 (x 0 , y) hữu hạn.
Một hàm f được gọi là thuần nhất dương (bậc 1) nếu thỏa mãn điều kiện f(tx) = tf(x) cho mọi t > 0 và mọi x trong miền xác định của nó Đồng thời, hàm f cũng được xem là dưới cộng tính khi có f(x+y) ≤ f(x) + f(y) cho mọi x, y trong miền xác định Một hàm được gọi là dưới tuyến tính khi nó vừa thuần nhất dương vừa dưới cộng tính Để khảo sát tính chất này, ta định nghĩa ϕ(λ) := f(x+λy)−f(x) λ.
Mệnh đề 1.4 Cho f : R n → R∪ {+∞} lồi Khi đó với mọi x ∈ domf và mọi y ∈ R n , ta có.
(i) ϕ là hàm đơn điệu không giảm trên (0,+∞);f 0 (x, y) tồn tại với mọi y ∈ R n và f 0 (x, y) := inf λ>0 f(x+λy)−f(x) λ
Một tiếp cận cân bằng tách cho mô hình Nash-
Một thuật toán giải mô hình Nash–Cournot có ràng buộc chung 22 1.Thuật toán
Chúng ta sẽ dùng các giả thiết sau cho thuật toán và sự hội tụ của nó sẽ được trình bày dưới đây.
(A1) Với mỗi x∈ K và f(x, x) = 0 và f(x, ) là lồi nửa liên tục dưới trên K.
(A2) ∂ 2 f(x, x) khác rỗng với mọi > 0 và x ∈ K và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của C, trong đó ∂ 2 f(x, x) kí hiệu là − dưới vi phân của hàm lồi f(x, ) có nghĩa là
Hàm f là giả đơn điệu trên K đối với mọi lời giải của bài toán (EP), tức là f(x, x ∗ ) ≤ 0 với ∀x ∈ K, x ∗ ∈ Sol(EP) Hơn nữa, hàm này còn thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu, với x ∗ ∈ Sol(EP) và y ∈ K, nếu f(x ∗ , y) = f(y, x ∗ ) = 0 thì y thuộc tập lời giải Sol(EP).
(A4) Với mọi x∈ K, f(., x) là nửa liên tục trên K.
Nhắc lại rằng toán tử gần kề của hàm g với tham số λ > 0 được định nghĩa bởi prox λg (u) := argmin{g(v) + 1 λ||vưu|| 2 : v ∈ H 2 } (P(u))
Với λ > 0 cố định, định nghĩa h(x) là 1/2 k(I − proxλgAxk^2 Theo điều kiện tối ưu, h(x) = 0 khi và chỉ khi Ax là lời giải của bài toán Hơn nữa, đạo hàm của h(x) được xác định là ∇h(x) = A*(I − proxλg)Ax, do đó h(x) = 0 khi và chỉ khi ∇h(x) = 0.
Chọn các tham số dươngδ, ξ và các dãy có{ak},{δk},{βk},{k},{ρk} thỏa mãn điều kiện
Tính gk ∈ ∂ 2 k f(xk, xk) và lấy αk = βk γ k trong đó γk = max{δk,||gk||}. Tính y k =P K (x k −α k g k ), tức là hy k −x k +α k g k , x−y k i ≥ 0,∀x∈ K.
Tính zk = PK(yk−àkA ∗ (I −proxλg)(Ay k )) Đặt xk+1 = akxk + (1−ak)zk.
Khi chọn k = 0, ta có xk = yk và h(xk) = 0, điều này cho thấy xk là nghiệm của bài toán Do đó, xk được gọi là ε-nghiệm nếu k ≤ và ||xk − yk|| ≤ ε, |h(xk)| ≤ ε Để chứng minh tính đúng đắn và sự hội tụ của thuật toán, chúng ta cần đến các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1 (Moudafi and Thakur 2014) Cho S là tập nghiệm của bài toán (SEO) và z ∈ S Nếu đạo hàm của h tại yk khác 0 thì ta có
Bổ đề 2.2 (Santos and Scheimberg 2011) Với mọi k thì các bất đẳng thức sau thỏa mãn
Bổ đề 2.3 (xem [4]) Cho z ∈ S Khi đó với mọi k sao cho ∇h(yk) 6= 0, ta có
||x k+1 −z|| 2 ≤ ||x k −z|| 2 −(1−a k )ρ k (4−ρ k ) h 2 (yk) k∇h(y k k 2 +2(1−ak)αkf(xk, z) +Ak, (9) và với mọi k sao cho ∇h(y k ) 6= 0, ta có
Trong bài toán SEO, công thức Ak = 2(1−ak)(αk k+β k 2 ) được sử dụng để mô tả quá trình hội tụ Định lý 2.1 khẳng định rằng, nếu bài toán có nghiệm và thỏa mãn các giả thiết (A1)–(A4), thì dãy xk được tạo ra bởi thuật toán sẽ hội tụ tới một nghiệm của bài toán SEO.
Ta sẽ sử dụng các bổ đề trong Mục 2.2 để chứng minh sự hội tụ của thuật toán.
Chứng minh Từ định nghĩa của x k+1 , theo Bổ đề 1.1 ta có
Xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu ∇h(y k 6= 0, theo Bổ đề 2.1, ta có
≤ ||x k −z|| 2 + 2hx k −y k , z−y k i. Trong thuật toán trên, từ cách xác định y k ta được hyk −xk +αkgk, x−yki ≥ 0,∀x∈ K.
Bằng cách lấy x =z, ta có hy k −x k +α k g k , z −y k i ≥ 0
Từ điều kiện gk ∈ ∂ 2 k f(xk, xk) ta có f(xk, z)−f(xk, xk) ≥ hgk, z−xki −k
Mặt khác theo Bổ đề 2.2(ii), ta lại có hα k g k , x k −y k i ≤ α k ||g k || ||x k −y k || ≤β k 2
||y k −z|| 2 ≤ ||x k −z|| 2 + 2αkf(xk, z) + 2αk k+ 2β k 2 (2.11) Kết hợp bất đẳng thức (2.11) cùng với (2.8) ta thu được
Trường hợp 2: Nếu ∇h(y k ) = 0 thì theo cách xác định x k+1 , ta có thể viết
||x k+1 −z|| 2 ≤ a k ||x k −z|| 2 + (1−a k )||y k −z|| 2 Bây giờ, bằng cách suy luận như Trường hợp 1 ta có
||xk+1−z|| 2 ≤ ||xk −z|| 2 + 2(1−ak)αkf(xk, z) +Ak, trong đó A k = 2(1−a k )(α k k + 2β k 2 ).
Chứng minh khẳng định 1 cho thấy ||xk−z|| 2 hội tụ với mọi z thuộc S Cụ thể, với z thuộc S và z nằm trong tập nghiệm Sol(EP), ta có f(xk, z) ≤ 0 do f là giả đơn điệu trên K.
||∇h(yk)|| 2 ≥ 0, Theo Bổ đề 2.3 ta có
Trong đó A k = 2(1−a k )(α k k +β k 2 ) Vì α k = β γ k k với γ k = max{δ k ,||g k ||}, nên +∞
Theo Bổ đề 1.3, dãy ||x k −z|| 2 hội tụ với mọi z ∈ S, dẫn đến x k bị chặn Do đó, theo Bổ đề 2.2, dãy {y k } cũng bị chặn Khẳng định 2 cho thấy limsup k→+∞ f(xk, z) = 0 với mọi z ∈ S.
Theo Bổ đề 2.3, với mọi k, ta có
Lấy tổng từ 1 đến vô cùng ta được
Mặt khác dùng giả thiết (A2) và tính bị chặn của dãy x k , ta thấy rằng dãy {||g k ||} cũng bị chặn Do đó, tồn tại một số L > δ thỏa mãn chuẩn
Do z là nghiệm và f là giả đơn điệu nên ta có −f(xk, z) ≥ 0 điều này cùng với 0 < a < ak < b < 1 kéo theo
Nhưng từ P∞ k=1 β k δ k = +∞ ta lại có limsup k→+∞ f(xk, z) = 0,∀z ∈S.
Khẳng định 3: Đối với mọi z ∈ S, nếu {x k j } là một dãy con của dãy {x k } thỏa mãn limsup k→+∞ f(xk, z) = lim j→+∞ f(xk j, z) và x ∗ là điểm hội tụ của x k, thì x ∗ là nghiệm của bài toán (EP).
Không làm mất tính tổng quát, chúng ta giả sử xk j hội tụ tới x ∗ khi j → ∞ Do f(., z) là nửa liên tục nên theo Khẳng định 2 ta được f(x ∗ , z) ≥ limsup j→+∞ f(xk j , z) = 0.
Từ giả thiết z ∈ S và tính chất giả đơn điệu của f, ta có f(x ∗ , z) ≤ 0, dẫn đến f(x ∗ , z) = 0 Điều này cho thấy rằng f(x ∗ , z) cũng phải là giả đơn điệu, và do đó f(x ∗ , z) = f(z, x ∗ ) = 0 Dựa trên điều kiện tiền đơn điệu (giả thiết (A3)), ta kết luận rằng x ∗ là nghiệm của bài toán (EP).
Khẳng định rằng mọi điểm tụ x̄ của dãy {xk} đều thỏa mãn x̄ ∈ K và Āx ∈ argming Giả sử x̄ là điểm tụ của dãy {xk} và {xk j} là dãy con của {xk} hội tụ tại x̄, từ đó suy ra x̄ ∈ K Hơn nữa, với điều kiện ||yk − xk|| ≤ βk và tổng P+∞ k=1 βk² hội tụ, ta có thể kết luận rằng lim k→+∞ ||yk − xk|| = 0.
Do đó, {yk} cũng hội tụ đến x.¯
Từ Bổ đề 2.3, nếu ∇h(y k ) 6= 0 thì
0 ≤ ||xk−z|| 2 − ||xk+1−z|| 2 +Ak. Đặt N1 :={k :∇h(yk 6= 0} và lấy tổng ta có
Kết hợp điều này với giả thiết ξ ≤ ρ k ≤ 4 − ξ (với mỗi ξ > 0) và
Hơn nữa, do ∇h là liên tục Lipschitz với hằng số ||A|| 2 , ta thấy rằng
||∇h(y k )|| 2 là bị chặn Vậy h(yk) −→ 0 khi k ∈ N1 và k −→ ∞ Lưu ý rằng h(y k ) = 0 với k /∈ N 1 Ta được k→+∞lim h(yk) = 0 (21)
Theo tính nửa liên tục và tính dương của h ta có
Do đó kéo theo Ax¯ là điểm bất động của toán tử gần kề của g Vậy, Ax¯ là điểm cực tiểu của g Định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.1 Ví dụ sau chứng tỏ rằng khi bài toán không có nghiệm thì dãy {xk} có thể không bị chặn.
Lấy H 1 = H 2 = R 2 , A là một toán tử đồng nhất;
Q x = (u, v) ∈R 2 | u ≥ 1, v ≥ v = 0 ; f(x, y) = iK(y)−iK(x), và g(x) = iQ(x), iK và iQ là các hàm chỉ của tập K và Q Tức là
Rõ ràng trong trường hợp này thì bài toán trở thành việc tìm một điểm trong tập S := K ∩Q.
Theo thuật toán, nếu ta chọn k ∈ N k = 0, βk = 1 k, δk = 1, ρk = 2, ak = 1
Trong bài viết này, ta xem xét hàm Dof(x, y) = i K (y)−i K (x) với điều kiện (0,0) ∈ ∂ 2 f(u, u) và mọi x = (u, u) ∈ K Tại mỗi bước lặp k, ta luôn chọn gk = (0,0), dẫn đến xk = yk cho mọi k Do K ∩ Q = ∅, ta có h k (y k ) 6= 0 Cần lưu ý rằng prox λ g (x) = P Q (x) với mọi λ > 0 Một phép tính đơn giản cho thấy rằng với yk = xk, ta có z k = P K (y k − à k (I − prox λ g )(y k )) = P K (P Q (x k )).
Chọn xk = (uk, vk), ta nhận thấy rằng lim k→+∞ uk = +∞ Theo định nghĩa, hình chiếu của xk trên Q là (uk, 0), trong khi hình chiếu của (uk, 0) trên K nằm trên biên của K.
(ak, a 1 k) là hình chiếu của (uk,0) trên K Khi đó ak là lời giải tối ưu của bài toán min a≥1 ϕ k (a), trong đó ϕ k (a) (u k −a) 2 + a 1 2 là một hàm lồi mạnh trên [1,+∞) Do u k ≥ 1,
Do zk = PK(uk,0) = (ak,1/ak) và xk+1 := (uk+1, vk+1) = 1/2(xk+zk), từ
Do uk ≥ 1 với mọi k, ta có thể khẳng định rằng limk→+∞uk = +∞.
2.2.2 Một mô hình thực tế
Trong phần này chúng ta xét một mô hình cân bằng và tối ưu dựa trên mô hình cân bằng Nash - Cournot trong thị trường điện.
Giả sử có n công ty sản xuất điện Công ty thứ i (i = 1,2, , n) có Ii nhà máy điện.
Tổng lượng điện sản xuất từ các nhà máy được tính bằng công thức P = Σ (x_j), trong đó x_j là lượng điện do công ty thứ i sản xuất Giá điện phụ thuộc vào tổng lượng điện của tất cả các công ty, được biểu diễn bằng p_i(s) = α - β_i * s, với s là tổng lượng điện sản xuất, α > 0 là giá trị cố định và β > 0 là hệ số giảm giá nhỏ.
Chi phí sản xuất cho công ty thứ i là P j∈I i cj(xj) Vậy lợi nhuận của công ty thứ i là f i (x) = p(s)(X j∈I i x j )−X j∈I i c j (x j )
(i = 1,2, , n) Mỗi công ty đều xác định xem mỗi nhà máy của mình cần sản xuất lượng điện là bao nhiêu để lợi nhuận là cao nhất Giả sử
Trong mô hình chiến lược của các công ty, tập chiến lược Kj = [0,100] ∀j cho thấy lợi nhuận của các công ty phụ thuộc lẫn nhau, dẫn đến việc cần tìm một phương án cân bằng mà mọi công ty đều chấp nhận, được gọi là phương án cân bằng Nash Một điểm x∗ ∈ K = K1 × K2 × × Kn được coi là điểm cân bằng nếu thỏa mãn điều kiện fi(x∗) ≥ fi(x∗[xi]) với mọi xi ∈ Ki và i = 1, 2, , n, trong đó x∗[xi] là vector nhận được từ x∗ khi thay thế tọa độ thứ i bằng xi.
X i=1 f i (x[y i ]) thì bài toán cân bằng Nash của mô hình có thể được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP) x ∗ ∈ K :f(x ∗ , x) ≥ 0 ∀x ∈K (EP)
Trong quá trình sản xuất điện, các nguyên vật liệu như than được sử dụng, với kí hiệu a l,j đại diện cho lượng nguyên vật liệu thứ l cần thiết cho việc sản xuất một đơn vị điện tại nhà máy thứ j Tổng lượng nguyên vật liệu cần thiết để sản xuất lượng điện x được ký hiệu là Ax Việc sử dụng nguyên vật liệu này có thể gây ô nhiễm môi trường, do đó, cần phải trả phí môi trường, được biểu diễn bằng g(Ax), là tổng phí môi trường cho lượng điện x Bài toán đặt ra là tìm điểm cân bằng Nash của mô hình nhằm giảm thiểu phí môi trường trong sản xuất điện, có thể được diễn đạt dưới dạng toán học như sau: Tìm x ∗ ∈K :f(x ∗ , x)≥ 0 ∀x ∈K và g(Ax ∗ ) ≤ g(Ax) ∀x ∈K.
Với p(s) = α−βs thì bài toán (SEP) được viết dưới dạng
Cj(xj) Sau khi biến đổi ta được bài toán
Trong ví dụ này, có hai công ty với công ty đầu tiên sở hữu ba nhà máy và công ty thứ hai chỉ có một nhà máy Điện năng tiêu thụ của công ty đầu tiên được ký hiệu là x1, x2, x3, trong khi điện của công ty thứ hai là x4 Giá điện được tính theo công thức p(x1 + x2 + x3 + x4) = α - 0,1(x1 + x2 + x3 + x4).
Chi phí công ty thứ nhất: C1(x1), C2(x2), C3(x3) Chi phí công ty thứ hai: C 4 (x 4 ).
Lợi nhuận của công ty thứ nhất: f 1 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = p(x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )(x 1 +x 2 +x 3 )−C 1 (x 1 )−C 2 (x 2 )−C 3 (x 3 ) Lợi nhuận của công ty thứ hai f2(x1, x2, x3, x4) = p(x1+x2+x3 +x4)x4 −C4(x4)