Định nghĩa và ví dụ về không gian metric riêng
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập hợp khác rỗng, một metric riêng trên X là một hàm số p : X ×X −→ R + sao cho với mọi x, y, z ∈ X ta có
Khi đó, cặp (X, p) được gọi là một không gian metric riêng.
Cho X = R + và hàm số p: X × X −→ R + được xác định bởi p(x, y) = max{x, y} với mọi x, y ∈ X, thì (X, p) là một không gian metric riêng Hàm p thỏa mãn các điều kiện (P1), (P2), (P3) của định nghĩa không gian metric Để chứng minh p thỏa mãn điều kiện (P4), ta giả sử x 6 z mà không làm giảm tính tổng quát, từ đó có thể kết luận rằng p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y).
Bất đẳng thức cuối luôn thỏa mãn nên p thỏa mãn điều kiện (P4) Do đó (X, p) là một không gian metric riêng.
Ví dụ 1.1.3 Cho X = {[a, b] |a, b∈ R, a 6b} và p : X ×X −→ R + là hàm số cho bởi p([a, b],[c, d]) = max{b, d} −min{a, c} Dễ thấy p thỏa mãn các Điều kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa 1.1.1 Đặt x = [a, b], y = [c, d], z = [e, g].
Vì vai trò của x, z như nhau nên không giảm tính tổng quát, ta chỉ xét 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: a 6b < e 6g Ta có đánh giá p(x, z)6p(x, y) +p(y, z)−p(y, y)
Bất đẳng thức cuối thỏa mãn.
Tương tự như trường hợp 1, ta cũng có p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z)− p(y, y). Trường hợp 3: a 6e 6g 6 b Ta có đánh giá p(x, z)6p(x, y) +p(y, z)−p(y, y)
⇔ (max{b, d} −b) + (a−min{a, c}) + (max{d, g} −d) + (c−min{c, e})> 0.Bất đẳng thức cuối thỏa mãn Vậy p thỏa mãn Điều kiện (P4) nên p là một metric riêng trên X, hay (X, p) là một không gian metric riêng.
Một không gian metric luôn là một không gian metric riêng, với (X, p) là không gian metric thỏa mãn các điều kiện (P1), (P2), (P3) theo Định nghĩa 1.1.1 Theo tiên đề tam giác, ta có bất kỳ ba điểm x, y, z trong không gian đó, thì p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z).
Vậy (X, p) thỏa mãn Điều kiện (P4) nên nó là một không gian metric riêng.
Theo định nghĩa 1.1.1, nếu p(x, y) = 0 thì từ các điều kiện (P1) và (P2) có thể suy ra x = y Tuy nhiên, điều ngược lại không luôn đúng; tức là nếu x = y, p(x, y) không nhất thiết phải bằng 0 Ví dụ, trong Ví dụ 1.1.2, ta thấy p(x, x) = x không nhất thiết phải bằng 0.
3 Cho(X, p)là một không gian metric riêng Khi đó hàmp s : X×X −→ R + xác định bởi p s (x, y) = 2p(x, y)−p(x, x)−p(y, y) với mọi x, y ∈ X là một metric trên X Thật vậy, ta kiểm tra được
• p s (x, y) = 2p(x, y)−p(x, x)−p(y, y) = 2p(y, x)−p(y, y)−p(x, x) = p s (y, x). Mặt khác, ta có đánh giá p s (x, y) +p s (y, z) = [2p(x, y)−p(x, x)−p(y, y)] + [2p(y, z)−p(y, y)−p(z, z)]
Vậy p s thỏa mãn 3 tiên đề của metric nên p s là một metric trên X. Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, p) là một không gian metric riêng, x∈ X và ε > 0.
Ta gọi tập hợp B p (x, ε) ={y ∈ X |p(x, y)< p(x, x) +ε} là một p-hình cầu mở tâm tại x, bán kính ε.
Sự hội tụ trong không gian metric riêng
Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, p) là một không gian metric riêng Ta có các định nghĩa sau:
1 Một dãy {x n } trong X hội tụ về một điểm x ∈ X nếu và chỉ nếu n→∞lim p(x, x n ) =p(x, x); nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n>n 0 ta có
Ta gọi x là giới hạn của dãy {x n }, kí hiệu là x n → x.
Một dãy {x_n} trong không gian X được gọi là dãy Cauchy nếu giới hạn lim n,m→∞ p(x_n, x_m) tồn tại và có giá trị hữu hạn Cụ thể, điều này có nghĩa là lim n,m→∞ p(x_n, x_m) = a, với a là một số hữu hạn, khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n_0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n_0, ta luôn có p(x_n, x_m) < ε.
Không gian metric riêng đầy đủ (X, p) được định nghĩa là không gian trong đó mọi dãy Cauchy {x_n} hội tụ về một điểm x ∈ X Điều này có nghĩa là p(x, x) = lim n,m→∞ p(x_n, x_m), và với mọi ε > 0, tồn tại n_0 ∈ N sao cho với mọi n > n_0, điều kiện trên được thỏa mãn.
Mệnh đề 1.2.2 (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, khi đó các khẳng định sau là đúng:
(i) Nếu {x n } là một dãy hội tụ trong X thì {x n } là một dãy Cauchy.
(ii) Nếu {x n } là một dãy trong X hội tụ về x và y thì x = y.
(iii) Nếu {x n } và {y n } là các dãy trong X hội tụ lần lượt về x và y thì n→∞lim p(x n , y n ) =p(x, y).
(i) Giả sử {x n } là một dãy trong X hội tụ về x Khi đó p(x, x) = lim n→∞p(x, x m ) = lim n→∞p(x n , x n ).
Với n, m ∈ N ta có đánh giá p(x n , x m )6 p(x, x) +p(x, x m )−p(x, x), p(x, x)6 p(x, x n ) +p(x n , x m ) +p(x m , x)−p(x n , x n )−p(x m , x m ).
Trong các đánh giá trên, cho n, m→ ∞ ta được p(x, x)6 lim n,m→∞p(x n , x m )6p(x, x).
Suy ra lim n,m→∞p(x n , x m ) =p(x, x) hay {x n } là một dãy Cauchy trong X.
(ii) Giả sử {x n } là một dãy trong X hội tụ về x và y Từ Định nghĩa 1.2.1 ta có p(x, x) = lim n→∞p(x, x n ) = lim n→∞p(x n , x n ), p(y, y) = lim n→∞p(y, x n ) = lim n→∞p(x n , x n ).
Suy ra p(x, x) =p(y, y) Trong đánh giá p(x, y) 6p(x, x n ) +p(x n , y)−p(x n , x n ), cho n→ ∞ ta được p(x, y)6p(x, x) Tương tự, trong đánh giá p(x n , x n )6 p(x n , x) +p(x, y) +p(y, x n )−p(x, x)−p(y, y), cho cho n → ∞ ta được p(x, x) 6 p(x, y) Dẫn tới p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) hay x = y.
(iii) Giả sử {x n } và {y n } là các dãy trong X hội tụ lần lượt về x và y Từ Định nghĩa 1.2.1 ta có p(x, x) = lim n→∞p(x, x n ) = lim n→∞p(x n , x n ), p(y, y) = lim n→∞p(y, y n ) = lim n→∞p(y n , y n ).
Với mỗi n∈ N ta có đánh giá p(x n , y n )6p(x n , x) +p(x, y) +p(y, y n )−p(x, x)−p(y, y), p(x, y) 6p(x, x n ) +p(x n , y n ) +p(y n , y)−p(x n , x n )−p(y n , y n ).
Trong hai đánh giá trên, cho n→ ∞ và thu gọn ta có n→∞lim p(x n , y n ) 6p(x, y) và p(x, y) 6 lim n→∞p(x n , y n ).
Vậy lim n→∞p(x n , y n ) =p(x, y). Định lí 1.2.3 (xem [3]) Dãy {x n } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) nếu và chỉ nếu nó là một dãy Cauchy trong không gian metric (X, p s ).
Chứng minh Giả sử {x n } là một dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p), ta có p s (x n , x m ) =2p(x n , x m )−p(x n , x n )−p(x m , x m )
Chú ý rằng, do {x n } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) nên với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n, m∈ N mà n, m >n 0 ta có
2. Suy ra p s (x n , x m ) < ε nên {x n } là dãy Cauchy trong không gian metric (X, p s ).
Ngược lại, giả sử {x n } là một dãy Cauchy trong không gian metric(X, p s ). Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N, sao cho với mọi n, m > n 0 ta có p s (x n , x m )< ε Ta có đánh giá p(x n , x m )6 p(x n , x k ) +p(x k , x m )−p(x k , x k )
Suy ra rằng {x n } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) khi thỏa mãn điều kiện p(x n , x m )−p(x k , x l )6[(p(x n , x k )−p(x k , x k )] + [p(x l , x m )−p(x l , x l )]< ε Định lý 1.2.4 cho biết không gian metric riêng (X, p) là không gian metric đầy đủ nếu và chỉ nếu không gian metric (X, p s ) cũng là không gian đầy đủ.
Hơn nữa, lim n→∞p s (x n , x) = 0 nếu và chỉ nếu p(x, x) = lim n→∞p(x n , x) = lim n,m→∞p(x n , x m ).
Giả sử (X, p) là không gian metric riêng đầy đủ và {x n} là dãy Cauchy trong không gian metric (X, p s) Theo Định lý 1.2.4, dãy {x n} cũng là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) Do (X, p) là không gian đầy đủ, dãy {x n} hội tụ về một điểm x ∈ X, tức là p(x, x) = lim n→∞ p(x n, x) = lim n→∞ p(x n, x n).
Theo định nghĩa của p s ta có p s (x n , x) = 2p(x n , x)−p(x n , x n )−p(x, x) (1.1)
Trong Đẳng thức (1.1) cho n → ∞ ta nhận được lim n→∞p s (x n , x) = 0, hay dãy {x n } hội tụ về x trong không gian metric (X, p s ) Vậy (X, p s ) là không gian metric đầy đủ.
Giả sử (X, p s ) là không gian metric đầy đủ và {x n } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) Theo Định lí 1.2.3, dãy {x n } cũng là dãy Cauchy trong (X, p s ) Vì (X, p s ) là không gian đầy đủ, dãy {x n } sẽ hội tụ về một điểm x ∈ X, tức là lim n→∞ p s (x n , x) = 0 Điều này có nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n > n 0, ta có p s (x n , x) < ε dẫn đến |2p(x n , x) − p(x n , x n ) − p(x, x)| < ε.
Trong không gian metric riêng đầy đủ (X, p), một dãy {x n } hội tụ về x ∈ X khi ánh xạ f : X −→ X được coi là liên tục tại x ∈ X Cụ thể, f được gọi là liên tục nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f(B p (x, δ)) ⊆ B p (f(x), ε) Nếu f liên tục trên một tập A ⊆ X, thì f cũng sẽ là ánh xạ liên tục trên toàn bộ không gian X Theo định lý, nếu dãy {x n } hội tụ về x ∈ X, thì dãy {f(x n )} sẽ hội tụ về f(x).
Chứng minh Với mọi ε > 0, ta cần chỉ ra |p(f(x n ), f(x))−p(f(x), f(x))| < ε. Thật vậy, vì f liên tục tại x nên tồn tại δ > 0 sao cho f(B p (x, δ)) ⊂B p (f(x), ε).
Vì x n → x nên tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho |p(x n , x)−p(x, x)| < δ, tức là ta có x n ∈ B p (x, δ), với mọi n> n 0 Suy ra f(x n ) ∈ B p (f(x), ε), với mọi n> n 0 Điều này dẫn tới p(f(x n ), f(x))−p(f(x), f(x)) < ε.
Dãy {f(x n )} hội tụ về f(x) khi dãy {x n } trong không gian metric (X, p) được gọi là dãy 0-Cauchy, với điều kiện lim n,m→∞p(x n , x m ) = 0 Không gian metric (X, p) được xem là không gian 0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm x ∈ X, trong đó p(x, x) = 0.
1 Mọi dãy 0-Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) đều là dãy Cauchy. Tuy nhiên điều ngược lại không còn đúng, chẳng hạn xét X = {a, b} và hàm p cho bởi p(x, y)
. Khi đó, rõ ràng dãy {x n } cho bởi x n = a với mọi n ∈ Nlà dãy Cauchy hội tụ về a, nhưng không là dãy 0-Cauchy.
Mọi không gian metric riêng đầy đủ đều là không gian metric 0-đầy đủ, nhưng không phải ngược lại Một ví dụ là không gian metric (Q∩[0,∞), p), với Q là tập hợp các số hữu tỉ và metric riêng p được định nghĩa bởi p(x, y) = max{x, y} cho mọi x, y > 0; không gian này là metric riêng 0-đầy đủ nhưng không phải là không gian metric riêng đầy đủ Định lý 1.2.9 chỉ ra điều kiện cần và đủ để một không gian metric riêng (X, p) trở thành không gian metric là mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy 0-Cauchy.
Chứng minh Rõ ràng nếu (X, p)là không gian metric thì mọi dãy Cauchy trong
Mọi dãy trong X đều là dãy 0-Cauchy, và ngược lại, nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy 0-Cauchy, thì với mỗi a ∈ X, dãy {x_n} được xác định bởi x_n = a cho mọi n ∈ N là một dãy Cauchy trong X, do đó cũng là dãy 0-Cauchy Theo định nghĩa, khi n,m→∞, lim p(x_n, x_m) = p(a, a) = 0, tức là p(x, x) = 0 cho mọi x ∈ X Điều này dẫn đến kết luận rằng p(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y, và p(x, y) thỏa mãn bất đẳng thức tam giác p(x, y) ≤ p(x, z) + p(y, z) cho mọi x, y, z ∈ X Hơn nữa, ta cũng có p(x, y) = p(y, x) với mọi x, y ∈ X, từ đó khẳng định rằng (X, p) là một không gian metric.
Metric riêng Hausdorff
Kí hiệu CB p (X) đại diện cho tập hợp tất cả các tập con khác rỗng, đóng và bị chặn trong không gian metric riêng (X, p) Tính đóng của tập hợp này được xác định từ không gian (X, τ p), trong đó τ p là tôpô được sinh bởi p Tập con A được coi là bị chặn trong không gian (X, p) nếu tồn tại một điểm x 0 ∈ X và một số dương M > 0, sao cho mọi phần tử a ∈ A đều nằm trong bán kính p(x 0, M), tức là p(x 0, a) < p(a, a) + M cho tất cả a ∈ A.
A, B ∈ CB p (X) và x ∈ X, ta kí hiệu p(x, A) = inf a∈Ap(x, a), δ p (A, B) = sup a∈A p(a, B), δ p (B, A) = sup b∈B p(b, A),
Ta kiểm tra được rằng từ điều kiện p(x, A) = 0 suy ra p s (x, A) = 0, trong đó p s (x, A) = inf a∈Ap s (x, a).
Trong không gian metric riêng (X, p), cho A là một tập không rỗng, một phần tử a thuộc A nếu và chỉ nếu khoảng cách p(a, A) bằng p(a, a), trong đó A là bao đóng của A Vì A là tập đóng, ta có A = A Điều này dẫn đến a thuộc A khi và chỉ khi tồn tại một khoảng cách ε > 0 sao cho giao của B p(a, ε) và A không rỗng.
Tiếp theo, ta đi nghiên cứu một số tính chất quan trọng của ánh xạ δ p : CB p (X)×CB p (X)−→ [0,∞).
Mệnh đề 1.3.2 (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng Khi đó, với mọi A, B, C ∈ CB p (X), ta có
Chứng minh (i) Vì A là tập đóng nên A = A Theo Chú ý 1.3.1, tồn tại a ∈ A sao cho p(a, A) =p(a, a) Do vậy δ p (A, A) = sup a∈A p(a, A) = sup a∈A p(a, a).
(ii) Lấy a ∈ A, ta có p(a, a) 6p(a, b) với mọi b ∈ B Do đó p(a, a)6 p(a, B)6δ p (A, B).
(iii) Giả sử δ p (A, B) = 0, dẫn tới p(a, B) = 0 với mọi a ∈ A Từ (i) và (ii) suy ra p(a, a)6 δ p (A, B) = 0 với mọi a ∈ A Do đó p(a, a) = 0 hayp(a, B) =p(a, a) với mọi a ∈ A Theo Chú ý 1.3.1 ta có a ∈ B = B Vậy A⊆ B.
(iv) Lấy a ∈ A, b∈ B và c∈ C, ta có p(a, b)6p(a, c) +p(c, b)−p(c, c), suy ra p(a, B)6p(a, c) +p(c, B)−p(c, c), p(a, B) +p(c, c)6 p(a, c) +δ p (C, B).
Vì c là phần tử bất kì của C nên p(a, B) + inf c∈Cp(c, c)6p(a, C) +δ p (C, B).
Chú ý rằng, do a là phần tử bất kì của A nên ta nhận được δ p (A, B) 6δ p (A, C) +δ p (C, B)− inf c∈Cp(c, c).
Mệnh đề 1.3.3 (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng Khi đó, với mọi A, B, C ∈ CB p (X), ta có
Chứng minh Theo (ii) của Mệnh đề 1.3.2, ta có
Theo định nghĩa, ta có (H 2 ) Từ Tính chất (iv) trong Mệnh đề 1.3.2 ta có
6max δ p (A, C) +δ p (C, B)− inf c∈Cp(c, c), δ p (B, C) +δ p (C, A)− inf c∈Cp(c, c)
Mệnh đề 1.3.4 (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng Với
Chứng minh Giả sử H p (A, B) = 0, từ định nghĩa của H p suy ra δ p (A, B) = δ p (B, A) = 0.
Sử dụng (iii) trong Mệnh đề 1.3.2 ta được A⊆ B và A⊆ B Vậy A = B.
Theo Mệnh đề 1.3.5, điều ngược lại của Mệnh đề 1.3.4 không còn đúng nữa Cụ thể, khi xét tập X = [0,1] với metric riêng p: X×X −→ R + được xác định bởi p(x, y) = max{x, y}, chúng ta có thể chứng minh rằng H p (X, X) khác không Theo (i) của Mệnh đề 1.3.2, điều này được xác nhận.
Theo Mệnh đề 1.3.3 và Mệnh đề 1.3.4, ta gọi ánh xạ
H p : CB p (X)×CB p (X)−→ [0,+∞) là một metric riêng Hausdorff được sinh ra từ metric riêng p Mọi metric Hausdorff đều là metric riêng Hausdorff, nhưng điều ngược lại không đúng như đã chỉ ra trong Nhận xét 1.3.2.
Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng 20
Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn
Vào năm 1984, Wang đã giới thiệu khái niệm ánh xạ giãn và chứng minh một số định lý về điểm bất động của nó trong không gian metric riêng đầy đủ Đến năm 1992, Daffer đã mở rộng điều kiện "giãn" cho một cặp ánh xạ và chứng minh các định lý về điểm bất động chung cho hai ánh xạ giãn Định nghĩa ánh xạ giãn trong không gian metric riêng (X, p) yêu cầu tồn tại một số k > 1 sao cho khoảng cách giữa các điểm sau ánh xạ lớn hơn k lần khoảng cách ban đầu Hai ánh xạ f và g được gọi là giao hoán nếu thứ tự thực hiện chúng không ảnh hưởng đến kết quả.
1 Điểmx ∈ X được gọi là điểm trùng củaf và g nếu f x = gx.Giá trị y được gọi là giá trị trùng của f và g nếu tồn tại x ∈ X sao cho y = f x = gx.
2 Các ánh xạ f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại các điểm trùng của chúng, nghĩa là nếu với x ∈ X, f x= gx thì f gx = gf x.
3 Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của f và g nếu x = f x= gx.
Bổ đề 2.1.4 (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng và {x n } là một dãy trong X Nếu tồn tại một số k ∈ (0,1) sao cho p(x n+1 , x n )6kp(x n , x n−1 ), n= 1,2 (2.1) thì {x n } là một dãy Cauchy trong X.
Chứng minh Từ điều kiện (2.1), ta có đánh giá p(x n+1 , x n )6 kp(x n , xn−1)6 k 2 p(xn−1, xn−2)6 6k n p(x 1 , x 0 ).
Chú ý rằng max{p(x n , x n ), p(x n+1 , x n+1 )}6 p(x n , x n+1 ) nên suy ra max{p(x n , x n ), p(x n+1 , x n+1 )} 6k n p(x 1 , x 0 ).
Khi xét dãy {x n } trong không gian metric (X, p s ), ta có giới hạn lim n→∞p s (x n , x n+l ) = 0, điều này chứng tỏ {x n } là dãy Cauchy Theo Định lý 1.2.3, dãy {x n } cũng là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) Định lý 2.1.5 nêu rõ rằng trong không gian metric riêng đầy đủ (X, p) với ánh xạ T : X −→ X là toàn ánh, nếu tồn tại các hằng số a 1 , a 2 , a 3 > 0 và a 1 + a 2 + a 3 > 1 sao cho bất kỳ x, y ∈ X với x ≠ y đều thỏa mãn p(T x, T y) > a 1 p(x, y) + a 2 p(x, T x) + a 3 p(y, T y), thì T có ít nhất một điểm bất động Hơn nữa, nếu a 1 > 1, T sẽ có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh Lấyx 0 ∈ X.VìT là toàn ánh nên tồn tạix 1 ∈ X sao choT x 1 = x 0
Cứ tiếp tục như vậy, ta nhận được một dãy {x n } ∈ X sao cho xn−1 = T x n , n= 1,2
Nếu tồn tại chỉ số n 0 nào đó sao cho x n 0 −1 = x n 0 thì T x n 0 = x n 0 Suy ra x n 0 là điểm bất động của T Xét trường hợp x n−1 6= x n với mọi n = 1,2 Từ Điều kiện (2.2) ta có p(xn−1, x n ) =p(T x n , T x n+1 )
Trong bất đẳng thức trên, nếu a 1 +a 3 = 0 thì theo giả thiết suy ra a 2 > 1, điều này vô lý Suy ra a 1 +a 3 6= 0 và 1−a 2 > 0 Do đó, ta nhận được p(x n+1 , x n )6hp(xn−1, x n ), (2.3) trong đó h = a 1−a 2
1 +a 3 < 1 Theo Bổ đề 2.1.4, ta có {x n } là dãy Cauchy trong
X Mặt khác, do (X, p) là không gian đầy đủ nên theo Định lí 1.2.4, (X, p s ) là không gian đầy đủ và do đó dãy {x n } hội tụ trong không gian metric (X, p s ). Suy ra, tồn tại z ∈ X sao cho n→∞lim p s (x n , z) = 0.
Do tính chất toàn ánh của ánh xạ T, tồn tại u ∈ X sao cho z = T u Theo Định lí 1.2.5, ta có p(z, z) = lim n→∞p(x n , z) = lim n,m→∞p(x n , x m ).
Vì {x n } là dãy Cauchy trong không gian metric (X, p s ) nên n,m→∞lim p s (x n , x m ) = 0.
Mặt khác, do đánh giá max{p(x n , x n ), p(x n+1 , x n+1 )} 6p(x n , x n+1 )nên từ (2.3) ta có max{p(x n , x n ), p(x n+1 , x n+1 )} 6h n p(x 1 , x 0 ).
Do đó, lim n→∞p(x n , x n ) = 0 và theo định nghĩa của p s, ta có lim n,m→∞p(x n , x m ) = 0 Suy ra p(z, z) = lim n→∞p(x n , z) = lim n,m→∞p(x n , x m ) = 0 Để kết thúc chứng minh, ta sẽ chỉ ra rằng u = z Thật vậy, từ Điều kiện (2.2), ta có p(x n , z) = p(T x n+1 , T u) > a 1 p(x n+1 , u) + a 2 p(x n+1 , x n ) + a 3 p(u, T u).
Trong đánh giá trên, cho n → ∞ ta được 0 = p(z, z) >(a 1 +a 3 )p(u, z) Suy ra p(u, z) = 0 hay u = z = T u Vậy z là một điểm bất động của T.
Giả sử a 1 > 1 và T có hai điểm bất động là z, z ∗ Để kết thúc chứng minh, ta sẽ chỉ ra z = z ∗ Thật vậy, ta có p(z, z ∗ ) =p(T z, T z ∗ ) >a 1 p(z, z ∗ ) +a 2 p(z, T z) +a 3 p(z ∗ , T z ∗ )
Suy ra (1−a 1 )p(z, z ∗ ) > 0 Vì 1−a 1 < 0 nên p(z, z ∗ ) = 0 hay z = z ∗ Định lí được chứng minh.
Trong Định lí 2.1.5, chọn a 2 = a 3 = 0 và a 1 = λ ta được kết quả sau đây:
Hệ quả 2.1.6 (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng đầy đủ,
T : X −→ X là một toàn ánh Giả sử tồn tại một hằng số λ > 1 sao cho p(T x, T y)> λp(x, y), với mọi x, y ∈ X (2.4) Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh Trong Định lí 2.1.5, bằng cách đặt a 2 = a 3 = 0 và a 1 = λ, suy ra
T có một điểm bất động z ∈ X Giả sử, tồn tại một điểm w 6= z cũng là điểm bất động của T Từ Điều kiện (2.4) ta có p(z, w) =p(T z, T w)>λp(z, w).
Suy ra (1−λ)p(z, w) > 0, kéo theo p(z, w) = 0 hay z = w Vậy z là điểm bất động duy nhất của T.
Trong không gian metric riêng đầy đủ (X, p), nếu tồn tại một ánh xạ toàn ánh T: X −→ X cùng với một số nguyên dương n và một hằng số λ > 1, thỏa mãn điều kiện p(T^n x, T^n y) > λp(x, y) cho mọi x, y ∈ X, thì T sẽ có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh Theo Hệ quả 2.1.6, suy ra T n có duy nhất một điểm bất động z ∈ X Chú ý rằng T n (T z) = T(T n z) = T z nên T z cũng là điểm bất động của
T n Suy ra T z = z, hay z là điểm bất động của T Vậy điểm bất động của T cũng là điểm bất động của T n hay T có duy nhất một điểm bất động.
Hệ quả 2.1.8 (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng đầy đủ và
T : X −→ X là một toàn ánh liên tục Giả sử tồn tại một hằng số λ > 1 sao cho với mọi x, y ∈ X p(T x, T y)>λu, với u ∈ {p(x, y), p(x, T x), p(y, T y)} (2.6)Khi đó, T có một điểm bất động.
Chứng minh cho thấy dãy {x n } được xác định với xn−1 = T x n Không giảm tính tổng quát, giả sử xn−1 khác x n với n = 1, 2, Theo Điều kiện (2.6), ta có p(xn−1, x n ) = p(T x n , T x n+1 ) > λu n, trong đó u n = {p(x n , x n+1 ), p(x n , xn−1)} Hai khả năng sau sẽ được xem xét.
Nếuu n = p(x n , x n−1 )thì p(x n−1 , x n ) >λp(x n , x n−1 ),suy ra p(x n−1 , x n ) = 0 hay x n−1 = x n , mâu thuẫn.
Nếu n = p(x n , x n+1), thì p(xn−1, x n ) > λp(x n , x n+1) Theo Bổ đề 2.1.4, dãy {x n } là dãy Cauchy trong không gian X Vì (X, p) là không gian đầy đủ, nên dãy {x n } hội tụ về một điểm z ∈ X Hơn nữa, do T là toàn ánh liên tục, suy ra z là điểm bất động của T.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một định lý liên quan đến điểm bất động chung của hai ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric riêng Định lý 2.1.9 (xem [10]) nêu rõ rằng, cho không gian metric riêng (X, p) và các ánh xạ S, T: X −→ X thỏa mãn điều kiện T(X) ⊆ S(X), nếu tồn tại một hằng số λ > 1 sao cho khoảng cách p(Sx, Sy) lớn hơn λ lần khoảng cách p(Tx, Ty) với mọi x, y thuộc X, thì định lý này sẽ được áp dụng.
Khi đó, nếu một trong các không gian con T(X) hoặc S(X) là không gian đầy đủ thì S và T có duy nhất một điểm bất động chung trong X.
Chứng minh rằng, với bất kỳ x₀ ∈ X, do T(X) ⊆ S(X), ta có thể chọn x₁ sao cho y₁ = Sx₁ = T x₀ Trong trường hợp tổng quát, ta có thể chọn xₙ₊₁ sao cho yₙ₊₁ = Sxₙ₊₁ = T xₙ Theo Điều kiện (2.7), ta có p(yₙ₊₁, yₙ₊₂) = p(T xₙ, T xₙ₊₁) ≤ 1/λ p(Sxₙ, Sxₙ₊₁).
Theo Bổ đề 2.1.4, dãy {y n} là một dãy Cauchy Vì T(X) ⊆ S(X) và ít nhất một trong hai không gian con T(X) hoặc S(X) là không gian đầy đủ của X, nên (S(X), p s) cũng là không gian đầy đủ Do đó, dãy y n = T(xn−1) nằm trong S(X) và hội tụ trong không gian metric (S(X), p s) Kết quả là tồn tại z ∈ S(X) sao cho lim n→∞ p s (y n , z) = 0.
Khi đó, tồn tại u ∈ X sao cho Su = z Ta có p(Su, z) =p(z, z) = lim n→∞p(y n , z) = lim n,m→∞p(y n , y m ) (2.9)
Chú ý rằng, do {y n } là dãy Cauchy trong không gian metric (S(X), p s ) nên n,m→∞lim p s (y n , y m ) = 0 Mặt khác, từ đánh giá max{p(y n , y n ), p(y n+1 , y n+1 )} 6p(y n , y n+1 ), kết hợp với (2.8) ta có max{p(y n , y n ), p(y n+1 , y n+1 )} 6
Dẫn tới lim n→∞p(y n , y n ) = 0 Từ định nghĩa của p s ta có lim n,m→∞p(y n , y m ) = 0 Do vậy, từ (2.9) ta có p(Su, z) =p(z, z) = lim n→∞p(y n , z) = lim n,m→∞p(y n , y m ) = 0.
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra T u= z Thật vậy, từ (2.7) ta có p(T u, T x n )6 1 λp(Su, Sx n ).
Trong đánh giá trên, cho n→ ∞ ta nhận được p(T u, z)6 1 λp(Su, z) = 0.
Suy ra p(T u, z) = 0 hay T u= z Vậy T u= Su= z Hơn nữa, do S và T là các ánh xạ tương thích yếu nên ST u= T Su hay Sz = T z.
Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra z là điểm bất động chung của S và T Thật vậy, từ (2.7) suy ra p(Sz, Sx n )>λp(T z, T x n ).
Cho n → ∞ ta được p(Sz, z)> λp(T z, z) =λp(Sz, z) Suy ra p(Sz, z) = 0 hay
Giả sử tồn tại điểm bất động chung w khác z cho các toán tử S và T Theo định nghĩa, ta có Sw = Tw = w Từ đánh giá p(z, w) = p(Sz, Sw) > λp(Tz, Tw) = λp(z, w), suy ra p(z, w) = 0 hoặc z = w Do đó, z là điểm bất động chung duy nhất của S và T.
T Định lí được chứng minh.
Ta xét một ví dụ minh họa cho Định lí 2.1.9.
Ví dụ 2.1.10 Cho X = [0,1] và p là hàm số cho bởi p(x, y) = max{x, y} Khi đó, (X, p) là một không gian metric riêng đầy đủ Với mỗi x, y ∈ X, ta đặt
6. Thế thì T(X) ⊆ S(X) và S(X) là không gian con đầy đủ Hơn nữa, với mọi x ∈ [0,1], x >y ta có p(Sx, Sy) = maxnx
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm 6p(T x, T y) với điều kiện 1 < λ < 3 Đồng thời, S và T được xác định là các ánh xạ tương thích yếu tại x= 0, trong đó 0 là điểm bất động chung duy nhất Như vậy, tất cả các điều kiện của Định lý 2.1.9 đều được thỏa mãn.
Chú ý 2.1.11 Xét (X, p) là không gian metric riêng đầy đủ trong Ví dụ 2.1.10. Với mỗi x ∈ X, xét các ánh xạ S, T cho bởi
2. Khi đó, rõ ràng T(X)⊆ S(X) và S(X) là không gian con đầy đủ Hơn nữa, với mọi x∈ [0,1], x >y ta có p(Sx, Sy) = max{1−x,1−y} = 1−x > λp(T x, T y), với 1 < λ < 2 Mặt khác, ta kiểm tra được S1 = T1 = 0 nhưng ST1 = 1 và
2 Do đó S và T không là các ánh xạ tương thích yếu.
Ngoài việc yêu cầu S và T là các ánh xạ tương thích yếu, tất cả các điều kiện của Định lý 2.1.9 đều được thỏa mãn Tuy nhiên, S và T lại không có điểm bất động chung, điều này cho thấy tính tương thích yếu của S và T trong Định lý 2.1.9 là cần được xem xét kỹ lưỡng.
T là điều kiện rất quan trọng Nếu S và T không là các ánh xạ tương thích yếu thì định lí không còn đúng nữa.
Hệ quả 2.1.12 (xem [10]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng đầy đủ,
Trong không gian X, nếu S : X −→ X là một toàn ánh và T : X −→ X là một ánh xạ, và nếu S và T giao hoán với một hằng số λ > 1 thỏa mãn điều kiện p(Sx, Sy) > λp(Tx, Ty) cho mọi x, y ∈ X, thì S và T sẽ có duy nhất một điểm bất động chung trong X.
Định lí điểm bất động cho ánh xạ co đơn trị
Trong mục này, ta sử dụng các kí hiệu sau:
(1) Φ là lớp các hàm φ : R + −→ R + sao cho φ là hàm liên tục không giảm và thỏa mãn điều kiện φ(t)< t, đồng thời chuỗi
(2) Ψ là lớp các hàm ψ : R + −→ R + sao cho ψ nửa liên tục trên bên phải và thỏa mãn điều kiện ψ(t) < t với mọi t >0.
Cho A, B, S, T : X −→ X là các ánh xạ, ta kí hiệu
(3)M(x, y) = max p(Sx, T y), p(Ax, Sx), p(By, T y),1
Mệnh đề 2.2.1 (xem [4]) Ta có các tính chất sau:
(ii) Φ⊂Ψ. Định nghĩa 2.2.2 Cho (X, p) là một không gian metric riêng, một ánh xạ
T : X −→ X được gọi là chính quy tiệm cận tại điểm x ∈ X nếu n→∞lim p(T n x, T n+1 x) = 0, trong đó T n = T.T T
Nếu T chính quy tiệm cận tại mọi điểm x ∈ X thì ta nói T chính quy tiệm cận trên X.
Ví dụ 2.2.3 Cho X là một tập hợp khác rỗng, p : X ×X −→ R + là metric riêng cho bởi p(x, y) = max{x, y}, với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) là một không gian metric riêng Xét ánh xạ T : X −→ X cho bởi T x= x
2 Với mọi x ∈ X, ta có giới hạn sau n→∞lim p(T n x, T n+1 x) = lim n→∞p x
Vậy theo định nghĩa, T là ánh xạ chính quy tiệm cận tại mọi x ∈ X nênT chính quy tiệm cận trên X.
Ta mở rộng Định nghĩa 2.2.2 cho ba ánh xạ trong không gian metric riêng như sau: Định nghĩa 2.2.4 Cho (X, p) là một không gian metric riêng và các ánh xạ
S, T, f : X −→ X Cặp ánh xạ (S, T) được gọi là chính quy tiệm cận theo ánh xạ f tại điểm x 0 ∈ X nếu tồn tại một dãy {x n } trong X sao cho f x 2n+1 = Sx 2n , f x 2n+2 = T x 2n+1 , với mọi n ∈ N∪ {0} và lim n→∞p(f x n , f x n+1 ) = 0.
Ta mở rộng định nghĩa trên cho 4 ánh xạ trong không gian metric riêng như sau: Định nghĩa 2.2.5 Cho (X, p) là một không gian metric riêng và các ánh xạ
A, B, S, T : X −→ X Các ánh xạ A, B, S và T được gọi là chính quy tiệm cận tại điểm x 0 ∈ X nếu tồn tại các dãy {x n } và {y n } trong X sao cho y 2n = T x 2n+1 = Ax 2n , y 2n+1 = Sx 2n+2 = Bx 2n+1 , với mọi n ∈ N∪ {0} và lim n→∞p(y n , y n+1 ) = 0. Định lý 2.2.6 (xem [4]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng và các ánh xạ A, B, S, T : X −→ X thỏa mãn AX ⊆ T X, BX ⊆ SX, đồng thời p(Ax, By) 6φ(M(x, y)), với mọi x, y ∈ X trong đó φ ∈ Φ Nếu một trong AX, BX, T X và SX là tập con đóng trong không gian metric riêng (X, p) thì
(i) A và S có một điểm trùng;
(ii) B và T có một điểm trùng.
Hơn nữa, nếu các cặp (A, S) và (B, T) tương thích yếu thì A, B, S và T có duy nhất một điểm bất động chung.
Định lý 2.2.7 (xem [4]) đưa ra một kết quả tổng quát hơn cho Định lý 2.2.6, áp dụng cho không gian metric riêng (X, p) cùng với các ánh xạ A, B, S, T : X −→ X.
(ii) A, B, S và T chính quy tiệm cận tại x 0 ∈ X; p(Ax, By)6ψ(α(x, y)), (2.10) với mọi x, y ∈ X trong đó ψ ∈ Ψ.
Nếu một trong các AX, BX, T X và SX là các không gian con 0-đầy đủ của X thì
(a) A và S có một điểm trùng;
(b) B và T có một điểm trùng;
(c) A và S có một điểm bất động chung sao cho cặp (A, S) giao hoán với nhau tại điểm trùng đó;
(d) B và T có một điểm bất động chung sao cho cặp (B, T) giao hoán với nhau tại điểm trùng đó.
Hơn nữa, nếu các ánh xạ A, B, S và T có điểm bất động chung thì (c) và (d) đúng.
Chứng minh Lấy x 0 ∈ X sao cho A, B, S và T chính quy tiệm cận tại x 0 Vì
Trong không gian X, nếu AX ⊆ TX, sẽ tồn tại x1 ∈ X sao cho TX(x1) = AX(x0) Tương tự, với BX ⊆ SX, tồn tại x2 ∈ X sao cho SX(x2) = BX(x1) Tiếp tục quá trình này, chúng ta có hai dãy {xn} và {yn} trong X, được xác định bởi y2n = TX(x2n+1) = AX(x2n) và y2n+1 = SX(x2n+2) = BX(x2n+1) Vì các ánh xạ A, B, S và T là chính quy tiệm cận tại x0, nên lim n→∞ p(yn, yn+1) = 0.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy {y n} là dãy 0-Cauchy Giả sử ngược lại, tồn tại một số β > 0 và hai dãy số nguyên dương tăng {m k} và {n k} sao cho p(y 2m k , y 2n k +1) > β và p(y 2m k , y 2n k) < β, với điều kiện n 62m k < 2n k + 1 Từ đó, ta có thể đánh giá rằng p(y 2m k , y 2n k +1) ≤ p(y 2m k , y 2n k) + p(y 2n k , y 2n k +1) - p(y 2n k , y 2n k).
Do đó lim k→∞p(y 2m k , y 2n k +1 ) =β Từ (2.10) ta có p(y 2m k , y 2n k +1 ) =p(Ax 2m k , Bx 2n k +1 )
Vì ψ là hàm nửa liên tục trên bên phải nên suy ra β 6 lim k→∞supψ(α(x 2m k , x 2n k +1 )) 6 ψ(β), mâu thuẫn Do đó lim m,n→∞p(y n , y m ) = 0.
Giả sử SX là không gian con 0-đầy đủ của X Dãy con {y 2n} trong SX hội tụ về giới hạn z Đặt u = S^(-1)z, khi đó Su = z Đồng thời, dãy con {y 2n+1} cũng hội tụ về z, do đó theo (2.10), ta có p(Au, Bx 2n+1) ≤ ψ(α(u, x 2n+1)).
Vì ψ là hàm nửa liên tục trên bên phải nên cho k → ∞ ta nhận được p(Au, Su)6ψ(p(Au, Su)) < p(Au, Su).
Các bất đẳng thức chỉ xảy ra khi p(Au, Su) = 0, dẫn đến Au = Su = u, tức là u là điểm trùng của A và S Do AX ⊆ T X và z = Au ∈ T X, tồn tại v ∈ X sao cho Au = T v Theo (2.10), ta có p(Au, Bv) ≤ ψ(α(u, v)).
Suy ra p(Au, Bv)6ψ(p(Au, Bv)) < p(Au, Bv).
Các bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi p(Au, Bv) = 0 Do vậy T v = Au Bv suy ra v là điểm trùng của B và T.
Giả sử cặp (A, S) và (B, T) lần lượt giao hoán tại u và v, ta có
ASu = SAu, AAu = ASu = SAu = SSu,
Theo (2.10), suy ra p(AAu, Au) =p(AAu, Bv)
Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AAu = Au = SAu, tức là Au là điểm bất động chung của A và S Tương tự, Bv là điểm bất động chung của B và T Đặc biệt, vì Au = Bv, nên Au cũng là điểm bất động chung của A và B.
Khi T X là không gian con đầy đủ của X, điều cần chứng minh sẽ được xác nhận Tương tự, nếu AX hoặc BX là không gian con đầy đủ của X, điều này cũng có thể được chứng minh vì AX ⊆ T X và BX ⊆ S X.
Trong Định lí 2.2.7, khi A= B, S = T = id, ta nhận được kết quả mở rộng sau
Hệ quả 2.2.8 (xem [4]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, ánh xạ
A : X −→ X là chính quy tiệm cận thỏa mãn p(Ax, Ay) 6ψ(à p (x, y)), với mọi x, y ∈ X, trong đó ψ ∈ Ψ Khi đó, A có một điểm bất động.
Ta xét một số ví dụ minh họa cho các định lí trên.
Ví dụ 2.2.9 Cho tập X = {0,1,2} và metric riêng p(x, y) = max{x, y}, với mọi x, y ∈ X Khi đó, (X, p) là một không gian metric riêng 0-đầy đủ Xét các ánh xạ A, B, S, T : X −→ X cho bởi
Xét hai dãy {x n } và {y n } cho bởi x 0 = x n = 0, y 2n = T x 2n+1 = Ax 2n , y 2n+1 = Sx 2n+2 = Bx 2n+1 , trong đó n∈ N∪ {0} Khi đó, các ánh xạ A, B, S và T chính quy tiệm cận tại
0 Hơn nữa, ta có p(Ax, By) 6ψ(α(x, y)), với mọi x, y ∈ X trong đó α(x, y) =p(Sx, T y) +p(Ax, Sx) +p(By, Sy) và ϕ(t) = 3t
4 Do đó, các giả thiết của Định lí 2.2.7 được thỏa mãn và A, B, S, T có các điểm bất động là 0, 2 Mặt khác, ta có p(A1, B2)> φ(M(1,2)) với mọi φ Do đó, các ánh xạ A, B, S và T không thỏa mãn các điều kiện của Định lí 2.2.6.
Ví dụ 2.2.10 Cho X = [0,1] với metric riêng p(x, y) = max{x, y}, với mọi x, y ∈ X Khi đó, (X, p) là một không gian metric riêng 0-đầy đủ Xét các ánh xạ A, B, S, T : X −→ X cho bởi
Khi đó AX ⊆ T X và BX ⊆ SX Xét hàm ψ : R + −→ R + cho bởi ψ(t) = 3t
Ta sẽ chỉ ra rằng p(Ax, By)6ψ(α(x, y)), với mọi x, y ∈ X, trong đó α(x, y) = p(Sx, T y) +p(Ax, Sx) +p(By, Sy).
Thật vậy, lấy x, y ∈ X sao cho x >y, ta có p(Ax, By) =p
2x 2 , đồng thời α(x, y) = p(Sx, T y) +p(Ax, Sx) +p(By, Sy)
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra các ánh xạ A, B, S, T là chính quy tiệm cận Thật vậy, theo Định nghĩa 2.2.5, với mọi n∈ N∪ {0} ta có y 2n = T x 2n+1 = Ax 2n = (x 2n+1 ) 2 = 1
8(x 2n+1 ) 2 Giải hai phương trình trên ta nhận được x 2n+1 = 1
Với x 0 ∈ X đã cho, chúng ta có thể xây dựng dãy {x n } theo công thức (2.12) và dãy {y n } theo công thức (2.11) Chúng ta chứng minh rằng lim n→∞p(y n , y n+1 ) = 0 Hơn nữa, khi y = 0 và x > 0, ta có p(Ax, B0) = p.
2x 2 = M(x, y) > φ(M(x, y)), với mọi φ Vậy, các ánh xạ
A, B, S, T không thỏa mãn điều kiện của Định lí 2.2.6.
Ví dụ 2.2.11 Cho X = [0,1] và metric riêng p(x, y) = max{x, y}, với mọi x, y ∈ X Khi đó (X, p) là một không gian metric riêng 0-đầy đủ Xét ánh xạ T cho bởi
4t.Dễ thấy T là ánh xạ chính quy tiệm cận tại mọi điểm thuộc đoạn
, nhưng không chính quy tiệm cận tại bất kì điểm nào trên nửa đoạn
Ta sẽ chỉ ra p(Ax, By) 6ϕ(α(x, y)), với mọi x, y ∈ X, trong đó α(x, y) =p(x, y) +p(x, T x) +p(y, T y).
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau:
Vậy T thỏa mãn điều kiện (2.10) của Định lí 2.2.7.
Sự tồn tại nghiệm chung của các phương trình tích phân kiểu
Cho I = [0, K] ⊂ R là một đoạn đóng và bị chặn với K > 0 Xét các phương trình tích phân kiểu Volterra xác định như sau u(t) =g(t) + t
(2.13) trong đó t ∈ [0, K] và K i : [0, K] × [0, K] × R −→ R (i ∈ {1,2,3,4}) và g : R−→ R là các hàm liên tục.
Kí hiệu C(I,R) là tập hợp tất cả các các hàm thực liên tục xác định trên
I và T i : C(I,R)−→ C(I,R) là các ánh xạ xác định bởi:
Dễ thấy, u là nghiệm của (2.13) nếu và chỉ nếu u là điểm bất động chung của
Định lý 2.3.1 phát biểu rằng, dưới một số giả thiết nhất định, tồn tại điểm bất động chung cho các phép toán T_i, với i ∈ {1,2,3,4} Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh định lý này để xác nhận tính chính xác của nó.
(H1): Với mọi u ∈ C(I,R) tồn tại k 1 , k 2 ∈ C(I,R) sao cho
(H2): Với mọi t ∈ I, u ∈ C(I,R) thì T 1 T 4 u(t) =T 4 T 1 u(t) khi T 1 u(t) =T 4 u(t) và với mọi t ∈ I, u ∈ C(I,R), thì T 2 T 3 u(t) = T 3 T 2 u(t) khi T 2 u(t) =T 3 u(t).
(H3): Tồn tại một hàm liên tục h : I ×I −→ R + sao cho với mọi t, s ∈ I và u, v ∈ C(I,R)
(H4): Với các dãy {h n } và {k n } trong C(I,R) sao cho k 2n = T 3 h 2n = T 1 h 2n , k 2n+1 = T 4 h n = T 2 h 2n+1 , ta có lim n→∞|k n (t)−k n+1 t|= 0,∀t∈ I, n ∈ N∪ {0}.
Thế thì, các phương trình tích phân (2.13) có một nghiệm u ∗ ∈ C(I,R).
Chứng minh Với x ∈ X = C(I,R), ta định nghĩa
|x(t)|e −τ t , trong đó τ > 1 tùy ý Chú ý rằng (||.|| τ ) tương đương với chuẩn maximum và (X,||.|| τ ) là một không gian Banach Metric được sinh bởi chuẩn này xác định bởi d τ (x, y) = max t∈[0,K ]
|x(t)−y(t)|e −τ t , với mọi x, y ∈ X Bây giờ, ta sẽ chỉ ra X đóng kín với metric riêng cho bởi p τ (x, y)
d τ (x, y) nếu ||x|| τ ,||y|| τ 61 d τ (x, y) +τ trong trường hợp còn lại
Rõ ràng,(X, p τ ) là không gian metric riêng 0-đầy đủ nhưng không là không gian đầy đủ Thực tế, metric liên kết p s τ = 2p τ (x, y)−p τ (x, x)−p τ (y, y) cho bởi p s τ (x, y)
Nếu ||x|| τ và ||y|| τ nhỏ hơn hoặc bằng 1 hoặc lớn hơn 1, thì 2d τ (x, y) là không đầy đủ Rõ ràng, x ∗ ∈ X là nghiệm của phương trình (2.13) nếu và chỉ nếu x ∗ là điểm bất động chung của T i 0 s Theo Điều kiện (H1), điều này dẫn đến một kết luận quan trọng.
Theo Điều kiện (H2), các cặp (T 1 , T 4 ) và (T 2 , T 3 ) giao hoán Sử dụng Điều kiện (H3) và chuẩn maximum, các ánh xạ T i (i = 1,2,3,4) là chính quy tiệm cận trên (X, p τ ).
Điều kiện (2.10) được thỏa mãn khi u = v ∈ X Đối với u, v ∈ X với ||u|| τ ,||v|| τ ≤ 1, theo các Điều kiện (H3) và (H5), ta có kết quả xác định.
Vì ||u|| τ ,||v|| τ 61 nên suy ra với mọi u, v ∈ X và một vài giá trị t∈ [0, K] nào đó, ta có
Bây giờ, ta xét hàm ψ : [0,+∞) −→ [0,+∞) xác định bởi ψ(t) = 3t
Đặt A = T1, B = T2, T = T3 và S = T4, mọi giả thiết của Định lý 2.2.7 được thỏa mãn Do đó, A, B, S và T có điểm bất động chung u∗ ∈ C(I,R), tức là u∗ là nghiệm của (2.10) Định lý đã được chứng minh.
Trong luận văn này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau.
Không gian metric riêng là một khái niệm quan trọng trong toán học, được định nghĩa thông qua một hàm metric cho phép đo khoảng cách giữa các điểm Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá định nghĩa của không gian metric riêng, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể Ngoài ra, sự hội tụ trong không gian metric riêng sẽ được phân tích thông qua các định lý, mệnh đề và hệ quả liên quan Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu về tính chất Hausdorff của metric riêng và các đặc điểm cơ bản khác của không gian metric riêng, giúp người đọc nắm vững kiến thức nền tảng trong lĩnh vực này.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm quan trọng như ánh xạ giãn, ánh xạ có tính chất giao hoán, điểm trùng, giá trị trùng, và điểm bất động chung của ánh xạ giãn Đồng thời, chúng tôi sẽ phát biểu và trình bày lại cách chứng minh một số định lý cùng hệ quả liên quan đến điểm bất động cho ánh xạ giãn trong không gian metric riêng Bên cạnh đó, bài viết cũng sẽ đề cập đến một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ co đơn trị trong không gian metric riêng, nhằm cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về các khía cạnh này trong toán học.
Định lý điểm bất động trong không gian metric riêng chứng minh sự tồn tại nghiệm chung cho các phương trình tích phân kiểu Volterra Ứng dụng này cho thấy tầm quan trọng của định lý trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân, đồng thời khẳng định tính khả thi của nghiệm trong các điều kiện nhất định Việc áp dụng định lý này không chỉ mở ra hướng đi mới trong nghiên cứu mà còn nâng cao hiểu biết về các phương trình tích phân trong toán học.
Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các dạng khác của định lý điểm bất động, bao gồm ánh xạ không giãn và ánh xạ đa trị, nhằm mở rộng các kết quả cho luận văn.
[1] Hà Trần Phương (2012), Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
[2] Hoàng Tụy (2003),Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[3] Aydi H., Abbas M., Vetro C (2012), “Partial Hausdorff metric and Nadler’s fixed point theorem on partial metric spaces”,Topology and its Applications, 159(14), pp 3234–3242.
[4] ´Ciri´c L., Samet B., Aydi H., Vetro C (2011), “Common fixed points of gen- eralized contractions on partial metric spaces and an application”, Applied Mathematics and Computation, 218(6), pp 2398–2406.
[5] Daffer P Z (1992), “On expansive mappings”, Math Japonica, 37, pp 733– 735.
[6] Haghi R., Rezapour Sh., Shahzad N (2013), “Be careful on partial metric fixed point results”, Topology and its Applications 160(3), pp 450–454.
[7] Huang X., Zhu C., Wen X (2012), “Fixed point theorems for expanding mappings in partial metric spaces”,Analele Universitatii Ovidius Constanta- Seria Matematica, 20(1), pp 213–224.
[8] Matthews S G (1994), “Partial metric topology”, Annals of the New YorkAcademy of Sciences, 728(1), pp 183–197.