Một số dạng của định lý ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất

Líi cam oanTæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îngd¨n cõa GS.TSKH H Huy Kho¡i v TS Vô Ho i An... Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring cõa c¡c

PH„M NGÅC HOA

MËT SÈ D„NG CÕA ÀNH LÞ RITT V€ ÙNG DÖNG V€O V‡N — DUY NH‡T

LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

THI NGUY–N - 2018

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

PH„M NGÅC HOA

MËT SÈ D„NG CÕA ÀNH LÞ RITT V€ ÙNG DÖNG V€O V‡N — DUY NH‡T

Ng nh: To¡n Gi£i t½chM¢ sè: 9 46 01 02

LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: 1 TS Vô Ho i An

2 GS TSKH H  Huy Kho¡i

THI NGUY–N - 2018

Líi cam oan

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îngd¨n cõa GS.TSKH H  Huy Kho¡i v  TS Vô Ho i An C¡c k¸t qu£ vi¸tchung vîi t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v oluªn ¡n C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trongb§t ký cæng tr¼nh khoa håc cõa ai kh¡c

T¡c gi£

Ph¤m Ngåc Hoa

Líi c£m ìn

Luªn ¡n ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh t¤i khoa To¡n thuëc tr÷íng

¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v nghi¶m kh­c cõa GS TSKH H  Huy Kho¡i v  TS Vô Ho i An C¡c th¦y

¢ truy·n cho t¡c gi£ ki¸n thùc, kinh nghi»m håc tªp v  sü say m¶ nghi¶ncùu khoa håc Vîi t§m láng tri ¥n s¥u s­c, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìnch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t èi vîi hai th¦y

T¡c gi£ xin c£m ìn Ban Gi¡m èc ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban  o t¤o

¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m- ¤i håcTh¡i Nguy¶n, c¡c Pháng Ban chùc n«ng, Pháng  o t¤o, Ban chõ nhi»mkhoa To¡n còng to n thº gi¡o vi¶n trong khoa, °c bi»t l  tê Gi£i t½ch ¢t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶ncùu v  ho n th nh luªn ¡n

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng Cao ¯ng H£iD÷ìng, Pháng Ban chùc n«ng, Pháng  o t¤o, c¡c gi£ng vi¶n trong Khoa

Tü Nhi¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nhhåc tªp nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn ¡n

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ, b¤n b± trong c¡c Seminart¤i Bë mæn To¡n Gi£i t½ch v  To¡n ùng döng Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m-

¤i håc Th¡i Nguy¶n, Tr÷íng ¤i håc Th«ng Long v  Tr÷íng Cao ¯ngH£i D÷ìng ¢ luæn gióp ï, ëng vi¶n t¡c gi£ trong nghi¶n cùu khoa håc.T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh,

°c bi»t l  chçng còng hai con trai, nhúng ng÷íi ¢ chàu nhi·u khâ kh«n,v§t v£ v  d nh h¸t t¼nh c£m y¶u th÷ìng, ëng vi¶n, chia s´, kh½ch l» ºt¡c gi£ ho n th nh ÷ñc luªn ¡n

T¡c gi£

Ph¤m Ngåc Hoa

Möc löc

Líi cam oan i

Líi c£m ìn ii

Möc löc iii

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 9

1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 9

1.2 Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring cõa c¡c h m ph¥n h¼nh 13

1.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 20

Ch÷ìng 2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 38

2.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 39

2.2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 44

2.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 54

Ch÷ìng 3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 66

3.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ 67

3.2 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 79

3.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n v  a thùc sai ph¥n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet 85

K¸t luªn v  ki¸n nghà 93

Danh möc cæng tr¼nh 94

T i li»u tham kh£o 95

Danh möc c¡c kþ hi»u, c¡c chú vi¸t t­t

(bi-unique range set for meromorphic functions)

• Ef(S): nghàch £nh cõa tªp S qua h m f, câ t½nh bëi

• Ef(S): nghàch £nh cõa tªp S qua h m f, khæng t½nh bëi

• M(K) : tr÷íng c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n K

for entire functions)

set for meromorphic functions)

Mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

ành lþ cì b£n cõa lþ thuy¸t sè ph¡t biºu r¬ng måi sè nguy¶n n ≥ 2

·u biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng t½ch c¡c sè nguy¶n tè câ d¤ng

1 pmk

ð â c¡c thøa sè nguy¶n tè p1, , pk æi mët ph¥n bi»t v  c¡c sè mô t÷ìng

ng÷íi ¦u ti¶n t÷ìng tü ành lþ n y èi vîi c¡c a thùc

º mæ t£ k¸t qu£ cõa Ritt, ta k½ hi»u M(C) (t÷ìng ùng, A(C)) l  tªpc¡c h m ph¥n h¼nh (nguy¶n) tr¶n C v  k½ hi»u L(C) l  tªp c¡c a thùc bªc

1 °t E, F l  c¡c tªp con kh¡c réng cõa M(C), khi â mët h m ph¥n

vi¸t th nh nh¥n tû F (z) = ϕ1 ◦ ϕ2(z) vîi ϕ1(z) ∈ E v  ϕ2(z) ∈ F ·uk²o theo ho°c ϕ1 l  tuy¸n t½nh ho°c ϕ2 l  tuy¸n t½nh N«m 1922, Ritt [46]

¢ chùng minh ành lþ sau

ành lþ A (ành lþ thù nh§t cõa Ritt) Cho F l  tªp con kh¡créng cõa C[z] \ L(C) N¸u mët a thùc F (z) câ hai c¡ch ph¥n t½ch kh¡cnhau th nh c¡c a thùc khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n F × F:

F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs,

n¸u khæng t½nh ¸n thù tü xu§t hi»n cõa chóng

Công trong [46], Ritt ¢ chùng minh ành lþ sau

ành lþ B (ành lþ thù hai cõa Ritt) Gi£ sû r¬ng ϕ, α, ψ, β ∈

Khi â tçn t¤i c¡c h m tuy¸n t½nh lj ∈ C[x] sao cho (l1 ◦ ϕ ◦ l2, l2−1 ◦ α ◦

l3, l1 ◦ ψ ◦ l2, l−14 ◦ β ◦ l3) câ mët trong c¡c d¤ng

(Fn, Fm, Fm, Fn) ho°c

Tr¶n ph÷ìng di»n gi£i t½ch, ta th§y r¬ng ành lþ thù hai cõa Ritt mæt£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ϕ(α) = ψ(β), ð â ϕ, α, ψ, β l  c¡c athùc v  bªc cõa c¡c a thùc l  nguy¶n tè còng nhau Rã r ng ph÷ìngtr¼nh a thùc ÷ñc Ritt nghi¶n cùu l  tr÷íng hñp ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh

Ph÷ìng tr¼nh h m P (f ) = Q(g) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði nhi·u t¡c gi£nh÷ T¤ Thà Ho i An-Nguy¹n Thà Ngåc Di»p [4], H.Fujimoto [20], H  HuyKho¡i-C.C.Yang [34], F.Pakovich [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51],

º þ r¬ng, ph÷ìng tr¼nh h m li¶n quan mªt thi¸t ¸n v§n · x¡c ànhduy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh-mët ùng döng cõa lþ thuy¸t ph¥n bègi¡ trà V§n · x¡c ành duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu l¦n ¦u ti¶n bðiR.Nevanlinna N«m 1926, R.Nevanlinna ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng: Vîihai h m ph¥n h¼nh f v  g tr¶n m°t ph¯ng phùc C, n¸u chóng câ chungnhau £nh ng÷ñc (khæng t½nh bëi) cõa 5 iºm ph¥n bi»t th¼ f = g (ành

lþ 5 iºm) v  n¸u chóng câ chung nhau £nh ng÷ñc (câ t½nh bëi) cõa 4

iºm ph¥n bi»t th¼ g = af + b

iºm, v§n · duy nh§t ¢ ÷ñc nghi¶n cùu li¶n töc vîi hai h÷îng nghi¶ncùu chõ y¸u v  ¢ câ r§t nhi·u k¸t qu£ s¥u s­c cõa G.Dethloff, é ùcTh¡i, M Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, H  Huy Kho¡i, H  HuyKho¡i-Vô Ho i An, H  Huy Kho¡i-Vô Ho i An-L¶ Quang Ninh, T¤ Thà

Ho i An, T¤ Thà Ho i An-H  Tr¦n Ph÷ìng, L.Lahiri, Tr¦n V«n T§n, S¾

ùc Quang, A.Escassut, H.Fujimoto,

Ti¸p theo, sü nghi¶n cùu ÷ñc mð rëng sang mët nh¡nh cõa lþ thuy¸tx¡c ành duy nh§t â l  xem x²t tªp x¡c ành duy nh§t cõa c¡c a thùc viph¥n V  ng÷íi ¦u ti¶n khði x÷îng cho h÷îng nghi¶n cùu n y l  Hayman.N«m 1967, Hayman ¢ chùng minh mët k¸t qu£ nêi ti¸ng r¬ng mët h mph¥n h¼nh f tr¶n tr÷íng sè phùc C khæng nhªn gi¡ trà 0 v  ¤o h m bªc k

cõa f, vîi k l  sè nguy¶n d÷ìng, khæng nhªn gi¡ trà 1 th¼ f l  h m h¬ng.Hayman công ÷a ra gi£ thuy¸t sau.

Gi£ thuy¸t Hayman [22] N¸u mët h m nguy¶n f thäa m¢n i·u

h m h¬ng

Gi£ thuy¸t n y ¢ ÷ñc ch½nh Hayman kiºm tra vîi n > 1 v  ÷ñcClunie kiºm tra vîi n ≥ 1 C¡c k¸t qu£ n y v  c¡c v§n · li¶n quan ¢h¼nh th nh mët h÷îng nghi¶n cùu ÷ñc gåi l  sü lüa chån cõa Hayman.Cæng tr¼nh quan trång thóc ©y h÷îng nghi¶n cùu n y thuëc v· Yang-Hua[51], hai æng ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh v 

ìn thùc vi ph¥n cõa nâ câ d¤ng fnf0 Hai æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng,vîi f v  g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng, n l  sè nguy¶n, n ≥ 11 n¸u

fnf0 v  gng0 còng nhªn gi¡ trà phùc a t½nh c£ bëi th¼ ho°c f, g sai kh¡cnhau mët c«n bªc n + 1 cõa ìn và, ho°c f, g ÷ñc t½nh theo c¡c cængthùc cõa h m mô vîi c¡c h» sè thäa m¢n mët i·u ki»n n o â Tø â,c¡c k¸t qu£ ti¸p theo ¢ nhªn ÷ñc düa tr¶n xem x²t c¡c a thùc vi ph¥n

câ d¤ng [fn(afm + b)](k), [fn(f − 1)m](k) (xem Zhang v  Lin [53]), v  câd¤ng (f )(0)P0(f ) (xem K Boussaf- A Escassut- J Ojeda[12])

N«m 1997, thay v¼ nghi¶n cùu c¡c ¤o h m bªc n, I Lahiri [35] ¢nghi¶n cùu c¡c tr÷íng hñp têng qu¡t hìn cõa c¡c a thùc vi ph¥n khængtuy¸n t½nh cõa c¡c h m ph¥n h¼nh nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi Theo h÷îngnghi¶n cùu n y, n«m 2002 C Y Fang v  M L Fang [18] ¢ chùng minhr¬ng, n¸u n ≥ 13, v  èi vîi hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v  g, m 

cuèi nhúng n«m cõa thªp k n y, v§n · nhªn gi¡ trà công ÷ñc xem x²t

èi vîi a thùc sai ph¥n cõa c¡c h m nguy¶n v  c¡c h m ph¥n h¼nh Laine

v  Yang [36] ¢ nghi¶n cùu v§n · ph¥n bè gi¡ trà cõa t½ch sai ph¥n èi vîic¡c h m nguy¶n X C.-Qi, L.-Z Yang v  K Liu [45] xem x²t c¡c t½ch saiph¥n v  vi ph¥n câ d¤ng f (z)(n)f (z + c), v  ¢ ch¿ ra i·u ki»n º f = tg,vîi f v  g l  hai h m nguy¶n si¶u vi»t câ bªc húu h¤n

N«m 2008, xu§t ph¡t tø ành lþ thù hai cõa Ritt, F.Packovich [43] câ

þ t÷ðng x²t £nh ng÷ñc cõa hai tªp compact èi vîi hai a thùc Æng ¢t¼m ÷ñc i·u ki»n cho hai a thùc f1, f2 v  hai tªp compact K1, K2 thäa

F.Pakovich nâi tr¶n chóng tæi câ nhªn x²t

Nhªn x²t ành lþ thù hai cõa Ritt câ thº ÷ñc xem l  k¸t qu£ ¦u

ti¶n v· v§n · x¡c ành h m tø ph÷ìng tr¼nh h m P (f ) = Q(g), tø âsinh ra c¡c k¸t qu£ cho V§n · x¡c ành a thùc thæng qua i·u ki»n £nhng÷ñc cõa tªp hñp iºm.

Tø nhªn x²t n y v  c¡c k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh h m (xem [4], [34],[44]) n¶u tr¶n, v§n · nghi¶n cùu ÷ñc °t ra tü nhi¶n nh÷ sau

V§n · 1 Xem x²t sü t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh

v  a thùc vi ph¥n

V§n · 2 Xem x²t v§n · x¡c ành h m, v§n · duy nh§t èi vîi h mph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n d÷îi gâc ë ành lþ thù hai cõa Ritt.V§n · 3 Xem x²t v§n · x¡c ành h m, v§n · duy nh§t èi vîi t½ch

q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh d÷îi gâc ë ành lþ thùhai cõa Ritt

Tø â, chóng tæi chån · t i: "Mët sè d¤ng cõa ành lþ Ritt v  ùngdöng v o v§n · duy nh§t" º gi£i quy¸t c¡c v§n · nghi¶n cùu tr¶n ¥y,

çng thíi gâp ph¦n l m phong phó th¶m c¡c k¸t qu£ v  ùng döng cõa Lþthuy¸t Nevanlinna

2 Möc ti¶u cõa luªn ¡n

2.1 Thi¸t lªp mët sè ành lþ t÷ìng tü hai ành lþ cõa Ritt èi vîi h mph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n trongtr÷íng hñp phùc v  p-adic

2.2 Ti¸p cªn V§n · x¡c ành h m, V§n · duy nh§t èi vîi h m ph¥nh¼nh, a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q-sai ph¥n trong tr÷ínghñp phùc v  p-adic d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

4 Ph÷ìng ph¡p v  cæng cö nghi¶n cùu

Sû döng hai ành lþ ch½nh v  c¡c t÷ìng tü cõa chóng còng vîi c¡c kiºu

Bê · Borel cõa Lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà º gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh h m.C¡c ph÷ìng tr¼nh h m n y t÷ìng tü nh÷ ph÷ìng tr¼nh h m trong ành lþ

thù hai cõa Ritt.

Sû döng hai ành lþ ch½nh º chuyºn b i to¡n x¡c ành h m, b i to¡nduy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m Nhí â v  c¡c k¸t qu£ v· ph÷ìng tr¼nh h mnâi tr¶n º ÷a ra c¡c k¸t qu£ v· V§n · x¡c ành h m v  V§n · duy nh§t

5 Þ ngh¾a khoa håc cõa luªn ¡n

Luªn ¡n ¢ ÷a ra mët c¡ch ti¸p cªn mîi èi vîi V§n · x¡c ành, V§n

· duy nh§t cõa h m, a thùc vi ph¥n v  a thùc sai ph¥n â l , xemx²t c¡c v§n · n y d÷îi gâc ë cõa hai ành lþ Ritt Nhí â thi¸t lªp

÷ñc c¡c k¸t qu£ mîi gâp ph¦n mð rëng th¶m c¡c ùng döng cõa Lþ thuy¸tNevanlinna

6 C§u tróc v  k¸t qu£ cõa luªn ¡n

Luªn ¡n gçm câ ba ch÷ìng còng vîi ph¦n mð ¦u, ph¦n k¸t luªn v  t ili»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 vîi tüa ·: "Hai ành lþ cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi

a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh" Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶ncùu v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Nëi dungcõa Ch÷ìng 1 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [7], [29] Vi»c nghi¶n cùu b ito¡n n y gçm c¡c b÷îc sau

B÷îc 1 Thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ t÷ìng tü hai ành lþ Ritt èi vîi h m ph¥nh¼nh

B÷îc 2 Chuyºn b i to¡n duy nh§t v· ph÷ìng tr¼nh h m v  dòng k¸t qu£

ð B÷îc 1

Nh÷ ta ¢ th§y ð tr¶n, ành lþ thù nh§t cõa Ritt ¢ chùng tä r¬ng: b§t

ký hai sü ph¥n t½ch cõa mët a thùc cho tr÷îc th nh c¡c a thùc khængph¥n t½ch ÷ñc s³ chùa còng mët sè a thùc nh÷ nhau v  bªc cõa c¡c athùc trong méi c¡ch ph¥n t½ch l  nh÷ nhau n¸u khæng t½nh ¸n thù tü cõachóng trong c¡ch ph¥n t½ch Tø â, möc ti¶u thù nh§t cõa Ch÷ìng 1 l :Thi¸t lªp k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù nh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh.Tuy nhi¶n, ta th§y r¬ng, chùng minh cõa hai ành lþ cõa Ritt trong [46]d÷íng nh÷ khæng t÷ìng tü ÷ñc cho h m ph¥n h¼nh Lþ do l  ð ché, Ritt

¢ dòng ¸n i·u ki»n "húu h¤n" khæng iºm cõa a thùc trong chùngminh cõa æng Kh­c phöc khâ kh«n n y, tr÷îc ti¶n chóng tæi thi¸t lªp

ành lþ 1.2.2 ành lþ 1.2.2 ch½nh l  mët kiºu ành lþ thù hai cõa Ritt èivîi ph÷ìng tr¼nh h m P (f1, f2) = Q(g1, g2), ð â P, Q l  c¡c a thùc haibi¸n kiºu Yi v  f1, f2, g1, g2 l  c¡c h m nguy¶n Chó þ r¬ng, k¸t qu£ n y

¢ ÷ñc ph¡t biºu v  chùng minh trong [3] v  [32], tuy nhi¶n ð ¥y chóngtæi nh¼n k¸t qu£ n y d÷îi gâc ë ành lþ thù hai cõa Ritt v  ÷a ra mët

c¡ch chùng minh kh¡c Nhí ¡p döng ành lþ 1.2.2 v  c¡c h» qu£ chóngtæi chùng minh ÷ñc ành lþ 1.2.5, ch½nh l  mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþthù nh§t cõa Ritt èi vîi h m ph¥n h¼nh Trong Ch÷ìng 1 cán tr¼nh b yc¡c ùng döng cõa ành lþ 1.2.2 â l  ành lþ 1.3.1 v  ành lþ 1.3.2, c¡c

ành lþ n y cho ta c¡c k¸t qu£ v· song-tªp x¡c ành duy nh§t cho c¡c h mph¥n h¼nh

º þ r¬ng, v§n · duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n d¤ng (P (f ))(k), ð â

P l  a thùc v  f l  h m ph¥n h¼nh, l  mët b i to¡n khâ Khâ kh«n ð ¥y

l  trong tr÷íng hñp têng qu¡t hi»n ch÷a câ mët mèi li¶n h» tèt giúa h m

¸m, h m °c tr÷ng cõa f vîi h m ¸m v  h m °c tr÷ng cõa (P (f ))(k).V¼ vªy, c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc ¢ x²t mët sè tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n

n y â l  c¡c d¤ng:[fn(f −1)m](k) vîif l  h m nguy¶n (xem [53]),(fn)(k)

vîi f l  h m ph¥n h¼nh (xem [11]) Chóng tæi ¢ gi£m bît khâ kh«n n y

èi vîi a thùc vi ph¥n d¤ng (Pd(f ))(k) Tø â v  dòng c¡c kiºu t÷ìng

tü cõa ành lþ ch½nh thù hai (Bê · 1.1.5) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ1.3.10, â l  mët k¸t qu£ v· tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi a thùc vi ph¥n.Ch÷ìng 2 vîi tüa ·: "ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§tcõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸n tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet" TrongCh÷ìng 2, chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 2: V§n · x¡c ành, V§n · duynh§t cõa h m ph¥n h¼nh v  a thùc vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc

q-sai ph¥n trong tr÷íng hñp p-adic d÷îi gâc ë cõa ành lþ thù hai cõaRitt Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [5], [6].Nh÷ ¢ · cªp ¸n ð tr¶n, v§n · x¡c ành h m ph¥n h¼nh v  v§n ·duy nh§t cõa c¡c a thùc vi ph¥n công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v  câ c¡c k¸tqu£ thó và trong tr÷íng hñp p-adic Trong [31], c¡c t¡c gi£ H  Huy Kho¡i,

Vô Ho i An v  Nguy¹n Xu¥n Lai ¢ nghi¶n cùu a thùc vi ph¥n d¤ng

(fn)(k) v  nhªn ÷ñc k¸t qu£: n¸u (fn)(k) v  (gn)(k) nhªn chung gi¡ trà

1 câ t½nh bëi vîi f, g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n mët tr÷íngkhæng-Acsimet v  n, k l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n n ≥ 3k + 8 th¼

f v  g sai kh¡c nhau mët c«n bªc n cõa ìn và Tø â, b i to¡n thù nh§t

°t ra trong Ch÷ìng 2 l : thay v¼ x²t c¡c h m f, g, chóng tæi xem x²t c¡cto¡n tû vi ph¥n d¤ng (Pn(f ))(k) v  (Qn(g))(k) nhªn còng mët gi¡ trà, ð â

P, Q l  c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring Tø â, chóng tæi thi¸t lªp ÷ñc

ành lþ 2.2.7, ành lþ n y l  mët k¸t qu£ v· v§n · x¡c ành duy nh§t

h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet v  a thùc vi ph¥n cõa

nâ Chó þ r¬ng i·u ki»n n ≥ 3k + 5 trong ành lþ 2.2.7 l  tèt hìn i·uki»n t÷ìng ùng n ≥ 3k + 8 trong k¸t qu£ cõa c¡c t¡c gi£ H  Huy Kho¡i,

Vô Ho i An v  Nguy¹n Xu¥n Lai (xem [31])

Trong [49], C.C.Yang ¢ °t ra v§n · sau: li»u ¯ng thùcf−1(S) = g−1(S)

vîi S = {−1, 1} èi vîi c¡c a thùc còng bªc f, g s³ k²o theo f = g hay

c¥u häi thù hai °t ra trong Ch÷ìng 2 l : cho S, T l  c¡c tªp khæng iºmcõa c¡c a thùc P (z), Q(z) t÷ìng ùng th¼ ta câ thº k¸t luªn g¼ v· f, g n¸u

cho c¥u häi °t ra v  gâp ph¦n tr£ líi c¥u häi cõa C.C.Yang trong [38],c¥u häi cõa F.Pakovich trong [44] trong tr÷íng hñp p-adic Trong Ch÷ìng

2 chóng tæi công thi¸t lªp ÷ñc c¡c k¸t qu£ l  ành lþ 2.3.2, mët kiºu

ành lþ thù hai cõa Ritt cho mët vec-tì c¡c h m nguy¶n p-adic ành lþ2.3.7 l  k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõa a thùc vi ph¥n nhi·u bi¸np-adic.Trong Ch÷ìng 3 chóng tæi nghi¶n cùu V§n · 3 Ti¶u · cõa Ch÷ìng 3

l : "ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi vîi t½ch q-sai ph¥n,

a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh tr¶n mët tr÷íng khæng-Acsimet" Nëidung cõa Ch÷ìng 3 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [1] v  [8]

Trong tr÷íng hñp phùc, chõ · n y ÷ñc nghi¶n cùu g¦n ¥y v  ang

÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu bði C.Y.Fang-M.L.Fang ([18]), I.Lahiri ([35]),Laine-Yang ([36]), Liu-Cao ([39]), X.C.Qi, L.Z.Yang-K.Liu ([45]), C.C.Yang([50]), H.X.Yi ([52]), Tuy nhi¶n, c¡c k¸t qu£ h¦u h¸t ch¿ · cªp ¸n lîp

h m ph¥n h¼nh câ bªc húu h¤n èi vîi t½ch sai ph¥n ho°c bªc khæng èivîi t½ch q-sai ph¥n

Trong tr÷íng hñp p−adic, chõ · n y ¢ nhªn ÷ñc r§t nhi·u k¸t qu£thó và (xem [10], [17], [27], [28], [30], [41]) K.Boussaf, A Escassut, J Ojeda([12]) ¢ nghi¶n cùu v§n · duy nh§t èi vîi c¡c h m ph¥n h¼nh p-adic

Ho i An-Ph¤m Ngåc Hoa-H  Huy Kho¡i [8], Vô Ho i An-H  Huy Kho¡i[28] ¢ câ c¡c k¸t qu£ theo h÷îng nghi¶n cùu n y Chó þ r¬ng, t½ch q-saiph¥n v  a thùc vi ph¥n n¶u tr¶n ch÷a ÷ñc · cªp trong tr÷íng hñp phùc

Lþ do l  ð ché, mèi li¶n h» giúa h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh f v 

h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh f (qz + c) câ thº khæng thi¸t lªp ÷ñctrong tr÷íng hñp phùc Nâ ch¿ thi¸t lªp ÷ñc trong tr÷íng hñp p-adic dot½nh ch§t °c bi»t cõa chu©n p-adic Dòng Bê · 3.1.2, 3.1.6 (c¡c kiºu cõa

ành lþ ch½nh thù hai cho h m ph¥n h¼nh p-adic) v  c¡c bê · kÿ thuªtkh¡c chóng tæi thu ÷ñc ành lþ 3.2.7, ành lþ 3.3.4 cho V§n · 3 ành

lþ 3.2.7 l  mët k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõa t½ch q-sai ph¥n cõa h m

ph¥n h¼nh p-adic ành lþ 3.3.4 l  mët k¸t qu£ cho V§n · duy nh§t cõat½ch q-sai ph¥n, a thùc vi ph¥n trong tr÷íng hñp p-adic.

C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i Hëi th£o quèc t¸ v· gi£it½ch phùc v  ùng döng l¦n thù 20 t¤i H  Nëi ng y 29/07-3/08/2012; Hëinghà To¡n håc phèi hñp Vi»t-Ph¡p, Hu¸ 20-24/08/2012; ¤i hëi To¡n håcVi»t Nam l¦n thù 8, Nha Trang 10-14/08/2013; Hëi nghà ¤i sè- H¼nh håc-Topo, Buæn Ma Thuët ng y 26-30/10/2016; C¡c Seminar cõa Bë mæn Gi£it½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n; C¡cSeminar cõa nhâm nghi¶n cùu t¤i tr÷íng ¤i håc Th«ng Long v  tr÷íngCao ¯ng H£i D÷ìng

n y Muèn vªy, tr÷îc h¸t chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.2.2 nh÷ l  mët kiºu

ành lþ thù hai cõa Ritt Tø â, chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ 1.2.5 v 

ành lþ 1.3.2 ành lþ 1.2.5 l  mët kiºu ành lþ thù nh§t cõa Ritt èi vîi

h m ph¥n h¼nh ành lþ 1.3.2 l  mët k¸t qu£ èi vîi v§n · song tªp x¡c

ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh

Ti¸p theo, chóng tæi thi¸t lªp ành lþ 1.3.3 ¥y l  mët k¸t qu£ v· tªpx¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh Tø â, dòng Bê · 1.1.5 (mëtt÷ìng tü cõa ành lþ ch½nh thù hai) v  dòng c¡c ph÷ìng tr¼nh h m (t÷ìng

tü ph÷ìng tr¼nh m  Ritt xem x²t) chóng tæi nhªn ÷ñc ành lþ mët k¸t qu£ v· V§n · duy nh§t cho a thùc vi ph¥n

1.3.10-1.1 Mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ bê trñ

Trong möc n y, chóng tæi nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m cì b£n v  k¸t qu£ cõa

lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà (xem [2] Ch3, v  [3] Ch1)

Cho f l  h m ch¿nh h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C Vîi méi z0 ∈ C, f câ thºvi¸t d÷îi d¤ng

f (z) = Xai(z − z0)i,

Vîi méi a ∈ C, °t νfa(z) = νf −a(z), νaf(z) = νf −a(z), nf(a, r) =

nf −a(r), nf(a, r) = nf −a(r)

v  z ∈ C, l l  sè nguy¶n d÷ìng ta ành ngh¾a

νfa(z) = νf1−af2(z),N

N¸u trong ành ngh¾a tr¶n, ta thay νfa(z) bði νaf(z) (khæng t½nh bëi) th¼

ta k½ hi»u tªp nhªn ÷ñc l  Ef(S)(£nh ng÷ñc cõa S khæng t½nh bëi).Cho f v  g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v  a ∈ C∪ {∞} , tanâi r¬ng f v  g nhªn gi¡ tràa khæng t½nh bëi n¸u f v  g nhªn gi¡ trà a t¤icòng mët iºm V  ta gåi f v  g nhªn a câ t½nh bëi n¸u f v  g nhªn gi¡trà a t¤i còng mët iºm v  câ còng bëi

ành ngh¾a 1.1.2 Gi£ sû F l  tªp con kh¡c réng cõa M(C) Hai h m

f, g cõa F gåi l  nhªn chung S câ t½nh bëi, n¸u Ef(S) = Eg(S) v  nhªnchung S khæng t½nh bëi, n¸u Ef(S) = Eg(S)

ành ngh¾a 1.1.3 Cho tªp S ⊂ C∪ {∞} N¸u Ef(S) = Eg(S) k²o theo

S gåi l  tªp x¡c ành duy nh§t èi vîi h m ph¥n h¼nh, kþ hi»u U RSM

(t÷ìng ùng, h m nguy¶n, kþ hi»u U RSE)

Mët tªp S ⊂ C∪ {∞} gåi l  tªp x¡c ành duy nh§t khæng t½nh bëi èivîi h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, h m nguy¶n), n¸u Ef(S) = Eg(S) k²o

Hai tªp S1, S2 ⊂ C∪ {∞} ÷ñc gåi l  song tªp x¡c ành duy nh§t h mph¥n h¼nh, kþ hi»u Bi − U RSM (t÷ìng ùng, song tªp x¡c ành duy nh§t

h m nguy¶n), n¸u vîi b§t k¼ hai h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng, h m nguy¶n)

f, g tho£ m¢n i·u ki»n Ef(Si) = Eg(Si), i = 1, 2 k²o theo f = g

ành ngh¾a 1.1.4 Ta gåi q a thùc n + 1 bi¸n (q ≥ n + 1) l  c¡c a thùc

ð và tr½ têng qu¡t n¸u n + 1 a thùc b§t k¼ trong q a thùc â khæng câkhæng iºm chung trong Cn+1− {0}

Bê · 1.1.5 [21] (ành lþ cì b£n thù hai) Cho f l  h m ph¥n h¼nhkh¡c h¬ng tr¶n C v  a1, a2, , aq l  c¡c iºm ph¥n bi»t trong C∪ {∞}.Khi â

l  c¡c iºm ph¥n bi»t trong C∪ {∞} Gi£ sû f − ai khæng câ khæng iºm





r,1g





r,1g

Bê · 1.1.9 [48] Cho xd−qi

i Di(x1, x2, , xN +1) vîi 1 ≤ i ≤ N + 1 l  c¡c

a thùc thu¦n nh§t bªc d x¡c ành c¡c si¶u m°t câ và tr½ têng qu¡t trong

PN(C) Gi£ sû tçn t¤i ÷íng cong ch¿nh h¼nh f tø C v o PN(C) vîi biºudi¹n rót gån l  f = (f˜ 1 : · · · : fN +1)sao cho £nh cõa nâ n¬m trong ÷íngcong ÷ñc x¡c ành bði

çng nh§t khæng v  thäa m¢n i·u ki»n a1f1d+ a2f2d+ + an+1fn+1d = 0

Khi â tçn t¤i mët ph¥n ho¤ch cõa c¡c ch¿ sè, {1, , n + 1} = ∪Iv, thäam¢n

i Méi Iv ·u chùa ½t nh§t 2 ch¿ sè;

ii Vîi j, i ∈ Iv; ta câ fi = cijfj, ð â cij l  h¬ng sè kh¡c khæng

1.2 Hai ành lþ cõa Ritt èi vîi c¡c a thùc kiºu

Bê · 1.2.1 [3] Cho n, n1, n2, , nq ∈ N∗, a1, a2, , aq l  c¡c iºmph¥n bi»t cõa C, c ∈ C, c 6= 0 v  q > 2 +

(f − a1)n1(f − a2)n2 (f − aq)nqgn = c (1.2)khæng câ nghi»m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng (f, g).

ành lþ sau l  mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù hai cõa Ritt Chó þr¬ng, k¸t qu£ n y ¢ ÷ñc · cªp ¸n trong Luªn ¡n cõa L¶ Quang Ninh(xem [3]) v  trong b i b¡o cõa c¡c t¡c gi£ H  Huy Kho¡i-Vô Ho i An- L¶Quang Ninh (xem [32]) Tuy nhi¶n, ð ¥y chóng tæi nh¼n k¸t qu£ n y d÷îigâc ë ành lþ thù hai cõa Ritt v  ÷a ra mët c¡ch chùng minh kh¡c

Tø ¥y suy ra f1

f2 l  mët h m h¬ng, i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t Vªy,

câ mët trong c¡c h¬ng sè C1, C2, C3 b¬ng khæng Ta s³ chùng minh r¬ng

Thªt vªy, gi£ sû r¬ng C2 = 0 Th¸ th¼ tø (1.6) ta câ

C1ef2n+ C3f1n−m(cf1m + df2m) = 0

Suy ra f1

f2 l  mët h m h¬ng, i·u n y tr¡i vîi gi£ thi¸t

B¥y gií, gi£ sû C1 = 0 Tø (1.6) ta câ

v  H» qu£ 1.1.6 ta suy ra r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1.8) khæng câ nghi»m ph¥nh¼nh kh¡c h¬ng, i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

X²t tr÷íng hñp m ≥ 4 Do m + 1 > 2 + n − m

Pm i=1

1

n, ¡p döng Bê ·1.2.1 cho (1.8) vîi q = m + 1, n = n, n1 = n − m, n2 = n3 = = nm = 1

ta công nhªn ÷ñc mët m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

Vªy C3 = 0 Tø (1.6) ta câ

C1ef2n + C2tg2n = 0 (1.9)Suy ra, g2

f2 l  mët h¬ng sè kh¡c khæng °t

g2

i·u n y m¥u thu¨n vîi n ≥ 2m + 9.

N¸u hn1 − α v  hn−m1 − β câ khæng iºm chung th¼ tçn t¤i z0 sao cho

V¼ (m, n) = 1 n¶n c¡c ph÷ìng tr¼nh zn − 1 = 0 v  zn−m − 1 = 0 câ c¡cnghi»m ph¥n bi»t kh¡c z = 1 °t ri, i = 1, , 2n − m − 2 l  t§t c£ c¡cnghi»m â Khi â måi khæng iºm cõa h1

h1(z0) − ri ·u câ bëi ≥ m V¼th¸, do H» qu£ 1.1.6 ta câ

ìn, ph÷ìng tr¼nh zn−m − β = 0 câ n − m nghi»m ìn Do â zn− α =

m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh zn− α = 0 khæng ph£i l  nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh zn−m− β = 0, gåi c¡c nghi»m â l  r1, r2, , rm Th¸ th¼, méi khæng

iºm cõa h1 − rj, j = 1, , m, câ bëi ½t nh§t l  m Theo H» qu£ 1.1.6 ta

Vªy h1 l  h m h¬ng

f2, g1

g2 l  c¡c h mkh¡c h¬ng n¶n ta câ

ph¥n h¼nh Lîp c¡c a thùc n y nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch l°p c¡c a thùc Yi.Tr÷îc h¸t, ta gåi mët h m ph¥n h¼nh F l  khæng ph¥n t½ch ÷ñc èi vîimët lîp P c¡c a thùc n¸u khæng tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch câ d¤ng

F = P ◦ f,

H» qu£ 1.2.4 Vîi måi h m ph¥n h¼nh f, ta ·u câfn l  h m khæng ph¥nt½ch ÷ñc èi vîi P = {zn+ dzn−m+ e}, ð â d, e l  c¡c h¬ng sè phùc kh¡ckhæng v  n, m l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n n ≥ m + 4

Chùng minh Gi£ sû ph£n chùng r¬ng tçn t¤i D ∈ P v  g ∈ M(C) saocho

Khi â, lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh Bê · 1.2.3 ta nhªn ÷ñcmët m¥u thu¨n vîi n ≥ m + 4

Cho ai, bi, i = 1, 2, · · · , r v  pj, qj, j = 1, 2, · · · , s l  c¡c h¬ng sè kh¡ckhæng °t

Sau ¥y l  k¸t qu£ t÷ìng tü ành lþ thù nh§t cõa Ritt cho h m ph¥n h¼nh,k¸t qu£ n y ÷ñc cæng bè trong b i b¡o [29] (ành lþ 3.2)

ành lþ 1.2.5 Cho n, m l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng, thäa m¢n n ≥ 2m + 4

v  ho°c m ≥ 2, (n, m) = 1, ho°c m ≥ 4 Gi£ sû f v  g l  hai h m ph¥nh¼nh kh¡c h¬ng sao cho f (t÷ìng ùng, g) l  khæng ph¥n t½ch ÷ñc tr¶n Q

(t÷ìng ùng, tr¶n P) Khi â, n¸u ta câ

Rr ◦ Rr−1 ◦ · · · ◦ R1 ◦ f = Ds◦ Ds−1◦ · · · ◦ D1 ◦ g,

Chó þ r¬ng tªp c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng khæng ph¥n t½ch ÷ñctr¶n P, Q l  væ h¤n (xem H» qu£ 1.2.4)

Chùng minh Gi£ sû

Khæng gi£m têng qu¡t, gi£ sû r¬ng r ≤ s

gi£ thi¸t Vªy th¼ r = s v  f = lg.

1.3 ành lþ thù hai cõa Ritt v  v§n · duy nh§t èi

Chùng minh Vi¸t f = f1

f2 (t÷ìng ùng g = g1

g2) vîi f1, f2 (t÷ìng ùng g1, g2)khæng câ khæng iºm chung Tø Ef(S1) = Eg(S2) suy ra tçn t¤i h mnguy¶n c khæng câ khæng iºm sao cho

f1n+ a1f1n−mf2m+ b1f2n = c(gn1 + a2gn−m1 g2m+ b2gn2) (1.21)

Do c l  h m nguy¶n khæng câ khæng iºm, n¶n luæn vi¸t ÷ñc c d÷îi d¤ng

ra tçn t¤i c¡c h m nguy¶n c, c0 khæng câ khæng iºm sao cho

f1n+ a1f1n−mf2m+ b1f2n = c(g1n+ a2gn−m1 g2m+ b2g2n),

(f1 + f2)n+ a2(f1 + f2)n−mf2m + b2f2n

= c0 (g1 + g2)n + a2(g1 + g2)n−mg2m+ b2gn2) (1.23)B¥y gií, lþ luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa ành lþ 1.3.1 cho (1.23)

ta nhªn ÷ñc g1 = h1f1, g2 = h2f2, vîi hn1 = 1, hn2 = 1, hn−m1 hm2 = 1; v 

vîi méi ph¦n tû α ∈ A, ta °t α =α1, α2 , v  ma trªn li¶n k¸t

f1, f2 (t÷ìng ùng, g1, g2) l  c¡c h m nguy¶n khæng câ chung khæng iºmtr¶n C °t

mët trong c¡c kh£ n«ng sau x£y ra

i/ Tçn t¤i i0 ∈ {1, , q + 2} vîi i0 6= i sao cho

N¸u ta câ (1.26) ho°c (1.28), ta s³ g°p m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f v  g

kh¡c h¬ng V¼ th¸, ch¿ x£y ra (1.27), tùc l , vîi méi i = 1, 2, , q + 2, tçnt¤i duy nh§t i0 ∈ {1, , q + 2} sao cho Li( ˜f ) = cii0Li0(˜g), i·u n y cângh¾a l 

Li(f1, f2) = cii0Li0(g1, g2),vîi cnii0 = 1 (1.29)B¥y gií, ta ti¸p töc chùng minh i = i0 Gi£ sû ph£n chùng r¬ng i 6= i0.Khi â, tçn t¤i j ∈ {1, , q + 2} sao cho

detAαdet(Aα)−1 = 1,detAβdet(Aβ)−1 = 1,

ta ho n thi»n chùng minh cõa ành lþ 1.3.3 Do gi£ thi¸t Ef(S) = Eg(S)

n¶n d¹ th§y r¬ng tçn t¤i h m nguy¶n h sao cho Q(f1, f2) = ehQ(g1, g2)

Bê · 1.3.4 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v  n, k l mët sè nguy¶n d÷ìng, n > k v  a l  mët cüc iºm cõa f Khi â

Chùng minh V¼ a l  cüc iºm cõa f n¶n ta câ fn = ϕ

Vªy Bê · 1.3.6 ÷ñc chùng minh.

Bê · 1.3.7 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v  n, k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, n ≥ k + 1 Khi â, ta câ

Bê · 1.3.8 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C v  n, k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, n > 2k Khi â, ta câ

Chùng minh 1 °t A = (fn)(k) Khi â do Bê · 1.3.7 ta câ A l  kh¡ch¬ng, A = fn−kF L¤i do Bê · 1.3.4 ta câ

((P (f ))n)(k)(P (f ))n−k



nhªn gi¡ trà 1 t½nh c£ bëi, th¼ f = g.

Chùng minh Ta câ P (f ) = (f − e1) (f − ed), ei ∈ C,ei 6= 0, (P (f ))d =(f − e1)n (f − en)d

Tø ¥y, suy rad(n2−3n) ≤ 2k(1−n),i·u n y m¥u thu¨n vîin ≥ 4, d, n, k