Khổng gian Banach p -lỗi ãu v khổng gian Banach trỡn ãu
Khổng gian Banach phÊn xÔ
Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân v X ∗ l khổng gian ối ngău cừa nõ º cho ỡn giÊn v thuên tiằn hỡn, chúng tổi thống nhĐt sỷ dửng kẵ hiằu k.kº ch¿ chuân trảnX v X ∗ ; giĂ trà cừa phiám h m tuyán tẵnh x ∗ ∈X ∗ tÔi iºm x∈X ữủc kỵ hiằu l hx, x ∗ i. ành nghắa 1.1.1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l phÊn xÔ náu vợi mồi x ∗∗ ∈E ∗∗ , tỗn tÔi x∈ E sao cho hx, x ∗ i=hx ∗ , x ∗∗ i, vợi mồi x ∗ ∈ E ∗
Vẵ dử 1.1.2 Mồi khổng gian tuyán tẵnh ành chuân hỳu hÔn chiãu, cĂc khổng gian l p hay L p (Ω), vợi 1< p 0 v mởt dÂy con {x n k } ⊂ {x n } sao cho kx n k −xk ≥ ε, (1.1) vợi mồi k ≥ 1.
Trong không gian A là một tập compact, nếu có dãy con {x_n_k} ⊂ {x_n} sao cho x_n_k → y, thì ta có thể chứng minh rằng x_n_k - y ≥ ε cho mọi ε > 0 Điều này cho thấy rằng dãy {x_n} hội tụ về x.
Trong luên vôn n y, chúng tổi thữớng xuyản sỷ dửng tẵnh chĐt dữợi Ơy cừa khổng gian Banach phÊn xÔ.
Mằnh ã 1.1.8 Cho E là một không gian Banach Khi đó, các khẳng định sau là đúng: i) E là không gian phân xô ii) Mỗi dãy bậc chọn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu.
Mằnh ã dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
Mằnh ã 1.1.9 Náu C l têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X, thẳ C l têp õng yáu.
Chứng minh rằng tồn tại một dãy số \(x_n\) thuộc tập \(C\) sao cho \(x_n \to x\) với \(x \notin C\) Theo định lý tách các tập lỗi, tồn tại \(x^* \in X^*\) tách biệt \(x\) với \(C\), và tồn tại \(\epsilon > 0\) sao cho \(h(x^*) \leq h(x) - \epsilon\) với mọi \(y \in C\) Cụ thể, ta có \(h(x_n) \leq h(x) - \epsilon\) với mọi \(n \geq 1\) Hơn nữa, vì \(x_n \to x\), nên \(h(x_n) \to h(x)\) Do đó, khi \(n \to \infty\), ta có \(h(x) \leq h(x) - \epsilon\), điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, giả thiết rằng \(C\) là tập đóng là sai.
Chú ỵ 1.1.10 Náu C l têp õng yáu, thẳ hiºn nhiản C l têp õng.
H m lỗi v mởt số tẵnh chĐt
Trong lĩnh vực toán học, hàm số được định nghĩa trên tập D ⊂ E với f : D → R ∪ {±∞} Hàm f được gọi là chính quy nếu tập hợp giá trị của nó không rỗng và f(x) > -∞ với mọi x thuộc D, trong đó dom f = {x ∈ D : f(x) < ∞} Hàm f cũng được coi là hàm lồi nếu epi f là tập lồi trong E × R, với epi f = {(x, r) ∈ D × R : f(x) ≤ r} Cuối cùng, hàm f : D ⊂ E → R được gọi là liên tục tại x ∈ D nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho f(x) - ε ≤ f(x) với mọi x ∈ D thỏa mãn ||x - x₀|| < δ.
H mf ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi trản D náuf nỷa liản tửc dữợi tÔi mồi iºm x∈ D.
Dữợi Ơy l vẵ dử vã h m nỷa liản tửc dữợi.
Vẵ dử 1.1.12 Cho f : R−→ R l h m số ữủc xĂc ành bði f(x)
Khi õ, h m f l h m nỷa liản tửc dữợi tÔi iºm x = 0, những khổng liản tửc t¤i x = 0.
Để chứng minh rằng hàm số f có giới hạn tại x = 0, với mọi ε > 0 và δ > 0 (trong trường hợp n là số nguyên dương), ta có f(0) - ε = -1 - ε < -1 ≤ f(x) với mọi x Do đó, f là giới hạn tại 0.
Hàm f được gọi là lồi nếu với mọi x, y thuộc D và mọi t trong khoảng [0,1], ta có f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y) Hàm f là lồi trên D khi giới hạn dưới của f(x_n) không vượt quá giá trị của f tại điểm x, tức là f(x) ≤ lim inf (n→∞) f(x_n) với {x_n} ⊂ D thỏa mãn x_n → x Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện f(tx + (1-t)y) < tf(x) + (1-t)f(y) cho mọi x, y thuộc D với x khác y và t trong khoảng (0,1), thì f được gọi là lồi nghiêm ngặt.
Vẵ dử 1.1.14 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Khi õ, h m f(x) =kxk l h m lỗi trản X.
Thêt vêy, vợi mồi x, y ∈X v mồi t∈[0,1], ta cõ ktx+ (1−t)yk ≤ ktxk+k(1−t)yk=tkxk+ (1−t)kyk, hay tữỡng ữỡng vợi f[tx+ (1−t)y] ≤ tf(x) + (1−t)f(y).
Cho D ⊂ E là một tập lỗi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàm lỗi trên D Khi đó, ta có các khẳng định như sau: i) Mỗi điểm cực tiểu của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D ii) Nếu f là hàm lỗi chặt trên D, thì điểm cực tiểu của f là duy nhất.
Chứng minh rằng x₀ ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của hàm f, với điều kiện rằng không tồn tại x₀ lớn hơn các điểm cực tiểu khác Khi đó, tồn tại x₁ ∈ D sao cho f(x₁) < f(x₀) Đối với x₀ ∈ D là điểm cực tiểu địa phương của f, tồn tại một lân cận U của x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x ∈ D ∩ U Với t ∈ (0,1) nhỏ, ta có xₜ = x₀ + t(x₁ - x₀) ∈ D ∩ U, do đó ta có f(x₀) ≤ f(xₜ) = f[tx₁ + (1−t)x₀] ≤ tf(x₁) + (1−t)f(x₀).
Suy ra f(x 0 ) ≤ f(x 1 ), mƠu thuăn vợi f(x 1 ) < f(x 0 ) Vêy x 0 l mởt iºm cỹc tiºu cừa f trản D. ii) GiÊ sỷ x 1 v x 2 l cĂc iºm cỹc tiºu cừa f trản D vợi x 1 6= x 2 Khi õ f(x 1 ) =f(x 2 ) =m= min x∈Df(x).
Tứ tẵnh lỗi ch°t cừa f suy ra f(x 1 +x 2
2(f(x 1 ) +f(x 2 )) = m, mƠu thuăn vợim= min x∈D f(x) Vêy iºm cỹc tiºu cừaf náu cõ l duy nhĐt.
Mằnh ã dữợi Ơy cho ta mởt iãu kiằn vã sỹ tỗn tÔi iºm cỹc tiºu cừa mởt phiám h m lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi trong khổng gian Banach phÊn x¤.
Mằnh ã 1.1.16 nghiên cứu về các hàm lỗi trong không gian Banach, với hàm f: C → (−∞,∞] là một hàm lỗi chính thống, liên tục trên tập C Đặc biệt, hàm f(x n) tiến đến vô cực khi ||x n|| tiến đến vô cực Ngoài ra, tồn tại một điểm x 0 thuộc miền xác định của f sao cho f(x 0) là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên tập C.
Chứng minh rằng \( m = \inf\{f(x) : x \in C\} \) Khi \( m \) tồn tại, ta có dãy \( \{x_n\} \subset C \) sao cho \( f(x_n) \to m \) khi \( n \to \infty \) Nếu \( \{x_n\} \ không bị chặn, thì tồn tại một dãy con \( \{x_{n_k}\} \) của \( \{x_n\} \) sao cho \( kx_{n_k}k \to \infty \) Theo giả thiết, \( f(x_{n_k}) \to \infty \), mâu thuẫn với \( m \neq \infty \) Do đó, \( \{x_n\} \ phải bị chặn Theo Mệnh đề 1.1.8 và Mệnh đề 1.1.9, tồn tại dãy con \( \{x_{n_j}\} \) của \( \{x_n\} \) sao cho \( x_{n_j} \to x_0 \in C \) Nhờ tính liên tục của \( f \), ta có \( m \leq f(x_0) \leq \liminf_{j \to \infty} f(x_{n_j}) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = m \).
Khổng gian Banach p -lỗi ãu
Tiếp theo, trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày một số vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, như: tính lỗi, tính trơn, mô hình lỗi, mô hình trơn Không gian Banach E được gọi là lỗi chất nếu với mọi x, y ∈ E, x ≠ y và kxk = 1, kyk = 1, ta có x + y.
Chú ỵ 1.1.18 ành nghắa 1.1.17 cỏn cõ thº phĂt biºu dữợi cĂc dÔng tữỡng ữỡng sau: Khổng gian Banach E ữủc gồi l lỗi ch°t náu vợi mồi x, y ∈ S E thọa mÂn kx+yk
2 = 1, suy ra x = y ho°c vợi mồi x, y ∈ S E v x 6= y ta cõ ktx+ (1−t)yk0, tỗn tÔi δ(ε) > 0 sao cho vợi mồi x, y ∈ E m kxk = 1, kyk= 1,kx−yk ≥ ε ta luổn cõ x+y 2
Không gian Banach là một không gian vector với chuẩn, nơi mọi chuỗi Cauchy đều hội tụ Tuy nhiên, không phải mọi không gian Banach đều có thể được định nghĩa một cách trực tiếp, và việc sử dụng các khái niệm liên quan là rất quan trọng để hiểu rõ hơn về tính chất của nó.
Vẵ dử 1.1.20 (xem [2] trang 54) X²t E =c 0 (khổng gian cĂc dÂy số hởi tử vã khổng) vợi chuân k.k β xĂc ành bði kxk β =kxk c 0 +β
Khi xét một không gian lỗi chật E, với β > 0, ta nhận thấy rằng không gian lỗi này chứa những không gian lỗi ãu Tính chất lỗi của không gian Banach E được thể hiện qua công thức δ E (ε) = inf.
Nhên x²t 1.1.21 Mổ un lỗi cừa khổng gian Banach E l h m số xĂc ành, liản tửc v tông trản oÔn [0; 2] Khổng gian Banach E lỗi ch°t khi v ch¿ khi δ E (2) = 1 Ngo i ra, khổng gian Banach E l lỗi ãu khi v ch¿ khi δ E (ε)> 0, ∀ε >0.
Vẵ dử 1.1.22 Cho H l khổng gian Hilbert, khi õ mổ un lỗi cừa H ữủc xĂc ành bði δ H (ε) = 1− r
Mằnh ã 1.1.23 (xem [2] trang 56) Mồi khổng gian Banach lỗi ãu bĐt kẳ l khổng gian phÊn xÔ.
Chựng minh GiÊ sỷ E l khổng gian Banach lỗi ãu, ta cƯn chựng minh E l khổng gian Banach phÊn xÔ GiÊ sỷ S E ∗ := {j ∈ E ∗ : kjk = 1} l hẳnh cƯu ỡn và trong E ∗ v f ∈ S E ∗
GiÊ sỷ {x n } l mởt dÂy trong S E sao cho hx n , fi → 1 Ta s³ ch¿ ra {x n } l mởt dÂy Cauchy.
GiÊ sỷ {x n } khổng l dÂy Cauchy, khi õ tỗn tÔi ε > 0 v hai dÂy {x n i } v {x n j } cõa {x n } sao cho kx n i −x n j k ≥ ε.
Theo giÊ thiát, E l khổng gian lỗi ãu, nản ∃δ(ε) >0 sao cho x n i +x n j 2
Trong không gian Banach E, với số thực p > 1, tồn tại một hằng số c > 0 sao cho δ_E(ε) ≥ cε^p với mọi ε ∈ [0, 2] Điều này cho thấy rằng không gian E có cấu trúc đặc biệt, và khi dãy {x_n} hội tụ đến x, ta có lim n→∞ ||x_n|| = 1 Hơn nữa, theo định lý James, không gian E là không gian phân xô.
Vẵ dử 1.1.25 [2] Náu E =L p (Ω) ho°c E =l p , vợi 1< p < ∞, thẳ ta cõ a) δ E (ε) ≥ 1
Do õ, cĂc khổng gian L p (Ω) hay l p l 2-lỗi ãu náu 1 < p < 2 v l p-lỗi ãu náu p≥2.
Khổng gian Banach trỡn ãu
Trong không gian Banach \(E\), tồn tại một duy nhất \(f \in E^*\) sao cho \(\langle x, f \rangle = \|x\|\) và \(\|f\| = 1\) Nếu \(E\) là một không gian tuyến tính chuẩn, chuẩn được gán cho \(E\) là chuẩn Gâteaux tại mỗi \(x \in S_E\) với mọi \(y \in S_E\), được định nghĩa bởi giới hạn \( \frac{\|x + ty\| - \|x\|}{t} \) khi \(t \to 0\).
Trong không gian Banach \( E \), với mọi \( j \in S \) và tồn tại \( x \in S \) sao cho \( h(x, j) = 1 \), có các khái niệm chuẩn trơn được định nghĩa như sau: a) Chuẩn trơn \( E \) được gọi là khái niệm Gâteaux nếu nó thỏa mãn điều kiện Gâteaux cho mọi \( x \in S \) b) Chuẩn trơn \( E \) được gọi là khái niệm Gâteaux khi tồn tại \( y \in S \) thỏa mãn điều kiện (1.3) với mọi \( x \in S \) c) Chuẩn trơn \( E \) được gọi là khái niệm Fréchet nếu nó thỏa mãn điều kiện Fréchet với mọi \( x \in S \) và tồn tại \( y \in S \) thỏa mãn điều kiện (1.3) d) Chuẩn trơn \( E \) được gọi là khái niệm Fréchet khi tồn tại \( y \in S \) thỏa mãn điều kiện (1.3) với mọi \( x, y \in S \).
Ta có mối liên hệ giữa không gian Banach E và không gian đối ngẫu E* Đối với một không gian Banach E, nếu E* là không gian lỗi chuẩn thì E là không gian trọn Ngược lại, nếu E* là không gian trọn thì E là không gian lỗi chuẩn Mỗi không gian Banach E có một chuẩn xác định, được ký hiệu là ρE(τ) = sup{2⁻¹(kx + yk + kx - yk)}.
Nhên x²t 1.1.31 Mổ un trỡn cừa khổng gian Banach E l h m số xĂc ành, liản tửc v tông trản khoÊng [0; +∞) (xem [2] trang 95).
Vẵ dử 1.1.32 [12] Náu E l khổng gian l p ho°c L p (Ω), thẳ ta cõ ρ E (τ)
Trong không gian Banach E, có mối liên hệ giữa một hàm số và không gian đối ngẫu E* Cụ thể, với mỗi hàm số τ, ta có ρ E*(τ) = sup{τ ε}, cho p ≥ 2 Điều này cho thấy sự quan trọng của việc nghiên cứu các tính chất của không gian Banach và các hàm số liên quan đến nó.
2 −δ E ∗ (ε) : ε∈ [0,2]}, τ > 0. Nhên x²t 1.1.34 Tứ ành lỵ 1.1.33, suy ra ρ 0 (E) = ε 0 (E ∗ )
2 , trong â ε 0 (E) = sup{ε: δ E (ε) = 0}, ρ 0 (E) = lim τ →0 ρ E (τ) τ ành nghắa 1.1.35 Khổng gian Banach E ữủc gồi l trỡn ãu náu τlim→0 ρ E (τ) τ = 0.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét không gian Banach E và các khái niệm liên quan Đặc biệt, nếu E là không gian trơn, thì không gian đối ngẫu E* sẽ là không gian lỗi Ngược lại, nếu E là không gian lỗi, thì không gian đối ngẫu E* sẽ là không gian trơn Những mối quan hệ này rất quan trọng trong lý thuyết không gian toán học.
Vẵ dử 1.1.37 Mồi khổng gian Hilbert, khổng gian l p hay L p (Ω) vợi
1 < p < ∞ ãu l khổng gian Banach lỗi ãu v trỡn ãu (xem [10] trang 54). ành nghắa 1.1.38 Cho số thỹc q > 1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l q-trỡn ãu náu tỗn tÔi hơng số c >0 sao cho ρ E (τ) ≤ cτ q , ∀τ >0 (1.4)
1.2 nh x¤ èi ng¨u ành nghắa 1.2.1 nh xÔ ối ngău J p : E −→ 2 E ∗ vợi 1 < p 0 sao cho kx−yk q ≤ kxk q −qhy, J q (x)i+C q kyk q Nhên x²t 1.2.6 Mỗi không gian Hilbert H là 2-trỡn ãu và ta có C q = 2.
KhoÊng cĂch Bregman v ph²p chiáu Bregman
Kho£ng c¡ch Bregman
Cho f : E −→ (−∞,∞] l mởt h m lỗi khÊ vi GƠteaux H m số D f : domf ìint domf −→[0,+∞) ữủc xĂc ành bði
∆f(y, x) =f(y)−f(x)− hy−x,5f(x)i, gồi l khoÊng cĂch Bregamn tữỡng ựng vợi f (xem [7]).
Náu E l mởt khổng gian Banach trỡn v lỗi ch°t v f(x) = 1 pkxk p , thẳ 5f(x) J p (x) v do õ khoÊng cĂch Bregman tữỡng ựng vợi f ữủc cho bði
Dạ thĐy rơng vợi mồi x, y, z ∈ E, ta cõ
∆ p (x, y) + ∆ p (y, x) =hx−y, J p (x)−J p (y)i (1.11) Thêt vêy, bián ời vá phÊi cừa (1.10), ta cõ
+ 1 p(kzk p − kyk p )− hy−z, Jp(z)i +hz−y, J p (x)−J p (z)i
Bián ời vá trĂi cừa (1.11), ta nhên ữủc
Ta biát rơng náu E l mởt khổng gian Banach p-lỗi ãu, thẳ khoÊng cĂch Bregman cõ tẵnh chĐt sau: τkx−yk p ≤ ∆ p (x, y) ≤ hx−y, J p (x)−J p (y)i, (1.12) vợi mồi x, y ∈E v τ >0 l mởt số dữỡng n o õ.
Ph²p chiáu Bregman
Trữợc hát, ta nhưc lÔi mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt vã ph²p chiáu mảtric.
Ta cõ mằnh ã dữợi Ơy:
Mằnh ã 1.3.1 GiÊ sỷ C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach lỗi ch°t v phÊn xÔ E Khi õ, têp C 0 x∈ C : kxk= inf{kyk : y ∈C} l gỗm duy nhĐt mởt phƯn tỷ.
Chứng minh rằng \( d = \inf\{ \|y\| : y \in C \} \) Khi \( d \) tồn tại, ta có dãy \( \{x_n\} \subset C \) sao cho \( \|x_n\| \to d \) khi \( n \to \infty \) Từ tính chất và chọn lọc của \( \{x_n\} \) theo Mệnh đề 1.1.8, tồn tại dãy con \( \{x_{n_k}\} \subset \{x_n\} \) sao cho \( x_{n_k} \to x \) Từ tính chất yếu của \( C \) (Mệnh đề 1.1.9), suy ra \( x \in C \) Do đó, từ tính chất này, ta có \( \|x\| \leq \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = d \).
Suy ra kxk=d = inf{kyk: y ∈C} hay x∈ C 0
Ta chựng minh tẵnh duy nhĐt GiÊ sỷ tỗn tÔi y 6= x v y ∈ C 0 Tứ tẵnh lỗi ch°t cừa C, ta cõ ktx+ (1−t)yk< d vợi mồi t∈(0,1), iãu n y mƠu thuăn vợi d= inf{kyk: y ∈ C}.
Hằ quÊ 1.3.2 GiÊ sỷ C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach lỗi ch°t v phÊn xÔ E Khi õ, vợi mội x∈ E tỗn tÔi duy nhĐt phƯn tỷ
P C x∈C sao cho kx−P C xk= inf y∈Ckx−yk.
Chựng minh p dửng Mằnh ã 1.3.1 cho têp x− C ta nhên ữủc iãu phÊi chùng minh.
Tứ Hằ quÊ 1.3.2 mô tả một tập con lỗi trong không gian Banach, với lỗi chết E, cho phép xác định bằng cách sử dụng phép chiếu P_C: E → C Để tìm giá trị tối thiểu, ta có thể sử dụng công thức kx−P_C xk = inf y∈C kx−yk, với mọi x ∈ E Phép chiếu P_C được gọi là phép chiếu ma trận từ E sang C, và điều kiện của phép chiếu ma trận P_C được xác định bởi các yếu tố liên quan đến Ơy.
Mằnh ã 1.3.3 đề cập đến việc cho E là một không gian Banach và C là một tập con lỗi, với x thuộc E và z thuộc C Khi z được xác định bởi z = P_C x, ta có điều kiện hy − z, j(x − z)i ≤ 0 cho mọi y thuộc C.
Cho E là một không gian Banach phi tuyến, chúng ta nghiên cứu cách xây dựng khái niệm phép chiếu mạtric Khái niệm phép chiếu Bregman được xác định bởi ánh xạ Π_C: E → C, với Π_C(x) = argmin_{y∈C} ∆_p(y, x), x ∈ E Điều này có nghĩa là Π_C(x) là điểm cực tiểu duy nhất của hàm khoảng cách Bregman ∆_p(x, y) trên tập C.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét sự tồn tại của điểm tối ưu duy nhất của hàm số C(x) Đối với mọi x thuộc tập E, ta xác định Df(y, x) là một lỗi chất, thường xuyên và liên tục với biến y trong tập C Từ đó, ta có tập {Df(y, x) : y ∈ C} và chọn dữ liệu với bậc 0, sao cho tồn tại d = inf y∈C Df(y, x) Theo tính chất của tập hợp này, tồn tại dãy {yn} thuộc C sao cho giới hạn khi n tiến tới vô cực của Df(yn, x) bằng d.
Suy ra dÂy {D f (y n , x)} bà ch°n, tực l tỗn tÔi số K sao cho D f (y n , x) ≤ K vợi mồi n ≥1 Tứ õ, ta cõ
Do õ dÂy {y n } bà ch°n Theo Mằnh ã 1.1.8, tỗn tÔi dÂy con {y n k } ⊂ {y n } sao cho y n k * Π C (x) ∈C Tứ tẵnh nỷa liản tửc dữợi cừa D f (ã, x) ta cõ d≤ D f (Π C (x), x)≤ lim inf k→∞ D f (y n k , x) = lim k→∞D f (y n , x) =d.
Suy ra D f (Π C (x), x) = d Tứ tẵnh lỗi ch°t cừa D f (ã, x) v Mằnh ã 1.1.15 ii), suy ra tẵnh duy nhĐt cừa Π C (x).
Ph²p chiáu Bregman ữủc °c trững bði tẵnh chĐt dữợi Ơy:
Mằnh ã 1.3.4 Anh xÔ Π C : E −→ C l ph²p chiáu Bregman khi v ch¿ khi hz−Π C x, J p (x)−J p (Π C x)i ≤ 0, ∀z ∈C (1.14)
Chựng minh GiÊ sỷ (1.14) úng Khi õ, tứ D f (z,Π C (x)) ≥ 0 vợi mồi z ∈ C, ta câ
⇔1 p(kzk p − kxk p )− hz−x, J p (x)i ≥ 1 p(kΠ C xk p − kxk p )− hΠ C x−x, J p (x)i
Suy ra Π C x l hẳnh chiáu Bregman cừa x lản C.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ Π C x l hẳnh chiáu Bregman cừa x lản C Khi õ, ta cõ
D f (Π C x, x) ≤ D f (z, x) vợi mồi z ∈ C Vẳ C l têp lỗi v z,Π C x ∈ C, nản z t = tz+ (1−t)Π C x ∈ C vợi mồi t ∈ (0,1) Do õ D f (Π C x, x) ≤ D f (z t , x) vợi mồi t∈(0,1) iãu n y tữỡng ữỡng vợi
1 p(kΠ C xk p − kxk p )− hΠ C x−x, J p (x)i ≤ 1 p(kz t k p − kxk p )− hz−x, J p (x)i
Vẳ D f (Π C x, z t ) ≥0 v t >0, nản ta cõ hz−Π C x, J p (x)−J p (z t )i ≤ 0.
Cho t→ 0 + ta nhên ữủc hz−Π C x, J p (x)−J p (Π C x)i ≤ 0.
Chó þ 1.3.5. i) Tứ °c trững cừa ph²p chiáu Bregman, ta cõ
∆ p (Π C x, z) ≤∆ p (x, z)−∆ p (x,Π C x), ∀z ∈C (1.15) ii) Náu E l mởt khổng gian Hilbert, f(x) = 1
2kxk 2 , thẳ ph²p chiáu Bregman tữỡng ựng vợi h m f trũng vợi ph²p chiáu mảtric.
B i toĂn chĐp nhên tĂch
Cho không gian Banach E và F, xét ánh xạ A: E → F là một toán tử tuyến tính, và chọn A∗: F∗ → E∗ là toán tử liên hợp của A Bài toán chóp nhện tác (SFP) trong không gian Banach được phát biểu như sau:
Tẳm mởt phƯn tỷ x ∗ ∈S =C ∩A −1 (Q) 6=∅ (SFP)
DÔng tờng quĂt cừa B i toĂn (SFP) l b i toĂn (MSSFP), b i toĂn n y ữủc phĂt biºu nhữ sau: Cho C i , i = 1,2, , N v Q j , j = 1,2, , M l cĂc têp con lỗi v õng cừa E v F tữỡng ựng.
Tẳm mởt phƯn tỷ x ∗ ∈ S =∩ N i=1 C i ∩A −1 (∩ M j=1 Q j ) 6=∅ (MSSFP)
Mổ hẳn bì toan (SFP) là một phương pháp ưu tiên trong việc điều trị ung thư, theo nghiên cứu của Censor và T Elfving Phương pháp này đóng vai trò quan trọng trong việc phục hồi chức năng trong y học, đặc biệt trong điều trị các bệnh lý liên quan đến ung thư SFP không chỉ giúp cải thiện tình trạng sức khỏe mà còn có thể áp dụng hiệu quả trong việc giải quyết các vấn đề kinh tế và lý thuyết trong điều trị.
Khi E và F là các không gian Hilbert, một trong những phương pháp cỡ bên giải bài toán (SFP) là phương pháp CQ Với phương pháp CQ, bài toán (SFP) được giải và bài toán tầm một điểm bất động của ánh xôp C I−γT ∗ (I−P Q )T.
, trong õ γ > 0, P C v P Q lƯn lữủt l cĂc ph²p chiáu mảtric tứ E lản C v tứ F lản Q, tữỡng ựng.
Tìm hiểu về ảnh xô khổng giàn cho phép người ta áp dụng các phương pháp tầm ảnh hưởng, bao gồm phương pháp lập Mann, phương pháp lập Halpern và phương pháp xác suất gần kề Những phương pháp này có vai trò quan trọng trong việc phân tích và hiểu rõ hơn về sự tầm ảnh hưởng của bối cảnh trong nghiên cứu SFP.
Xu đã đưa ra một số kết quả quan trọng trong nghiên cứu của mình Trước hết, ông đã chỉ ra sự cần thiết phải áp dụng phương pháp CQ và mở rộng khái niệm B i toàn (SFP) để nâng cao hiệu quả trong lĩnh vực này Các kết quả này có thể giúp cải thiện những hiểu biết hiện tại và mở ra hướng đi mới cho nghiên cứu trong tương lai.
0, 2 kTk 2 thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈E v x n+1 =P C I −γT ∗ (I −P Q )T x n hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa b i toĂn (SFP).
Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p Mann v phữỡng phĂp l°p ữủc cho bði ành lỵ dữợi Ơy: ành lỵ 1.4.2 [20] Cho dÂy {α n } ⊂ [0,4/(2 +γkTk 2 )] thọa mÂn iãu kiằn
0, 2 kTk 2 thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈ E v x n+1 = (1−α n )x n +α n P C I −γT ∗ (I −P Q )T x n , hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa b i toĂn (SFP).
Năm 2006, Xu đã đưa ra các thuật toán mở rộng của phương pháp CQ dựa trên Ơy cho bài toán (MSSFP) Ông đã chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp Picard cho bài toán MSSFP.
L=kTk 2 PM j=1β j , thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈E v x n+1 = P C N (I −γ
X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa B i toĂn (MSSFP).
Xu cụng  xƠy dỹng v chựng minh sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p song song v phữỡng phĂp l°p xoay vỏng cho B i toĂn (MSSFP) ð dÔng dữợi Ơy: ành lỵ 1.4.4 [19] Náu γ ∈
L = kTk 2 PM j=1β j v λ i > 0 thọa mÂn PN i=1λ i = 1, thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈E v x n+1 N
X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa B i toĂn (MSSFP). ành lỵ 1.4.5 [19] Náu γ ∈
L=kTk 2 PM j=1β j , thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈E v x n+1 = P C [n+1] (I −γ
X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa B i toĂn (MSSFP).
KhiE v F l cĂc khổng gian Banach p-lỗi ãu v trỡn ãu, nôm 2014, Wang
[21]  ữa ra mởt cÊi tián cho thuêt toĂn cừa Schopfer [15] v chựng minh mởt ành lỵ hởi tử mÔnh giÊi b i toĂn (MSSFP) Vợi mội n ∈ N, Wang  xĂc ành d¢y ¡nh x¤ {T n } bði
J q ∗ [J p (x)−t n A ∗ J p (I −P Q i(n)−N )A(x)] N + 1≤ i(n) ≤N +M, trong õi : N→ {1,2, , N} l Ănh xÔ iãu khiºn xoay vỏng ữủc xĂc ành bði i(n) =nmod(N +M) + 1 v t n thọa mÂn iãu kiằn
, (1.16) vợi C q ữủc xĂc ành trong Mằnh ã 1.2.5 Wang  ã xuĐt thuêt toĂn sau: Vợi méi ph¦n tû ban ¦u x 0 = ¯x, x¡c ành d¢y {x n } bði
(1.17) trong õ ∆ p l khoÊng cĂch Bregman tữỡng ựng vợi h m số f(x) = 1 pkxk p , Π C l ph²p chiáu Bregman v J p l Ănh xÔ ối ngău.
Sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng pháp l°p (1.17) ữủc cho bði ành lỵ dữợi Ơy, trong đó, dấy {x n } xĂc ành bði thuêt toĂn (1.17) hởi tử mÔnh vã hẳnh chiáu Bregman Π S x¯ cừa x¯ lản têp nghiằm S.
B i toĂn iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi 24 Chữỡng 2 Mởt ành lỵ hởi tử mÔnh giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch
Cho C là một tập con lỗi của không gian \( \text{domf} \) với \( f(x) = 1 \) và \( kxk_p \), \( 2 \leq p < \infty \) T là một ánh xạ từ C vào chính nó Một phần tỷ lệ thuộc C được gọi là lim bĐt ởng tiằm cên của T (xem [8], [13]) nếu C chứa dãy \( \{x_n\} \) hội tụ sao cho \( \lim_{n \to \infty} kx_n - T(x_n)k = 0 \) Tập các lim bĐt ởng tiằm cên của T được ký hiệu là \( \hat{F}(T) \) Toán tử T được gọi là Bregman không gián đoạn (viết tắt là L-BSNE) tương ứng với tập lim bĐt ởng tiằm cên \( \hat{F}(T) \) khác rộng.
∆p(T x, p) ≤ ∆p(x, p), (1.18) vợi mồi p ∈ Fˆ(T), x ∈ C v khi {x n } ⊂ C l mởt dÂy bà ch°n, p ∈ Fˆ(T) thọa m¢n n→∞lim(∆ p (x n , p)−∆ p (T(x n ), p)) = 0, (1.19) thẳ ta cõ n→∞lim ∆ p (T(x n ), x n ) = 0 (1.20)
Bài toán tối ưu của Ánh xô Bregman đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học nổi tiếng Phương pháp này không chỉ đơn thuần là lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn đáng kể trong các lĩnh vực khác nhau Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng bài toán này có thể giải quyết nhiều vấn đề phức tạp trong tối ưu hóa.
Nôm 2016, Shehu et al [16] xƠy dỹng mởt phữỡng phĂp l°p mợi º giÊi b i to¡n sau:
Tắm mởt phần tỷ x ∗ ∈C ∩A −1 (Q)∩F(T) trong T là một ánh xô Bregman không gián đoạn từ C vào chính nó Nếu T = I, ánh xô là đồng nhất, thì F(T) = C và trong trường hợp này, biểu thức (1.21) trở thành biểu thức toán học (SFP) Hơn nữa, chúng ta sẽ chứng minh kết quả sau Cho E và F là hai không gian Banach p-lỗi và trống rỗng.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các tập con lỗi, ông và khắc rộng cửa E và F, với A : E → F là một toán tử tỷ tuyến tĩnh và A ∗ : F ∗ → E ∗ là toán tử tỷ liên hợp của A Giới thiệu về toán SFP (SFP) với các tập nghiệm khác rộng, chúng ta tìm hiểu về ảnh số Bregman không giãn Điều này liên quan đến việc thỏa mãn điều kiện F(T) = ˆF(T) và F(T)∩S 6= ∅ Đối với dãy số {α n } trong khoảng (0,1), với mỗi u ∈ E 1 cố định, chúng ta xác định dãy {x n } để thỏa mãn bồi u 1 ∈ E 1.
x n = Π C J q [J p (u n )−t n A ∗ J p (I −P Q )A(u n )] u n+1 = Π C J q [α n J p (u) + (1−α n )J p T(x n )], n ≥1 (1.22) GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn: i) lim n→∞α n = 0, ii)
. Khi õ, dÂy {x n } hởi tử mÔnh vã mởt phƯn tỷ x ∗ ∈ F(T) ∩ S, ð Ơy x ∗ Π F (T )∩S u.
Mởt ành lỵ hởi tử mÔnh giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch v b i toĂn iºm bĐt ởng trong khổng gian
Trong nghiên cứu này, chúng tôi tập trung vào các phương pháp lai chéo nhằm giải quyết bài toán tối ưu trong không gian Banach Cụ thể, chúng tôi xem xét bài toán tối ưu Bregman và các ứng dụng của nó trong việc cải thiện hiệu suất trong các lĩnh vực khác nhau.
Ph¡t biºu b i to¡n
Trong luên vôn n y ta x²t b i toĂn tẳm mởt phƯn tỷ x † sao cho x † ∈ S N
Trong không gian Banach p-lỗi, các tập con lỗi được xác định bởi các yếu tố như E và F Đặc biệt, F(T_k) là tập điểm bất động của ánh xạ Bregman trong không gian T_k: E → E, thỏa mãn điều kiện Fˆ(T_k) = F(T_k) Hơn nữa, A: E → F là một toán tử tuyến tính và liên tục, cho phép phân tích sâu hơn về các tính chất của ánh xạ này.
Nhên x²t 2.1.1 a) Để tính toán E = F, C i = Q j = E v A, cần sử dụng công thức toán học (2.1) để xác định b i toán tẳm mởt iºm bĐt ởng chung của hồ hỳu hÔn toán tỷ Bregman b) Nếu T k là một biến độc lập với mồi k = 1, 2, , K, thì công thức toán học (2.1) sẽ được áp dụng để thực hiện b i toán chĐp nhên tĂch (MSSFP).
Phữỡng phĂp chiáu lai gh²p
º gi£i B i to¡n (2.1), c¡c t¡c gi£ T.M Tuyen v N.S Ha ¢ ÷a ra ph÷ìng phĂp l°p dữợi Ơy:
Phữỡng phĂp l°p 2.1 Vợi mội phƯn tỷ ban Ưu x 0 = x ∈ E, xĂc ành dÂy {x n } bði y i,n = Π C i x n , i = 1,2, , N,
D n ={z ∈E : hx n −z, J p (x 0 )−J p (x n )i ≥0}, x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ), n≥ 0, trong õ dÂy số {t n } thọa mÂn iãu kiằn (1.16).
Trong t i liằu tham khÊo [17], º chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa Phữỡng phĂp l°p 2.1, cĂc tĂc giÊ T.M Tuyen v N.S Ha  lƯn lữủt phĂt biºu v chựng minh cĂc mằnh ã dữợi Ơy.
Mằnh ã 2.2.1 Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ S ⊂ H n ∩D n vợi mồi n≥ 0.
Chựng minh Trữợc hát, dạ thĐy H n v D n l cĂc têp con lỗi v õng cừa E. L§y u ∈S, ta câ
Tứ tẵnh chĐt cừa ph²p chiáu Bregman (1.15), ta cõ
B¥y gií, ta ch¿ ra ∆ p (z n , u) ≤ ∆ p (y n , u) °t w n = A(y n )−P Q jn A(y n ) Khi â ta câ z n = J q ∗ (J p (y n )−t n A ∗ J p (w n )).
Tứ ành nghắa cừa J p v (1.14), ta cõ hA(y n )−A(u), J p (w n )i=kA(y n )−P Q jn A(y n )k p
Do õ, tứ Mằnh ã 1.2.5 v (2.4), ta nhên ữủc
= 1 qkJ p (yn)−tnA ∗ Jp(wn)k q − hu, J p (yn)i
Tứ iãu kiằn (1.16), ta thu ữủc
Do vêy, tứ (2.2), (2.3) v (2.5), suy ra u∈H n Vẳ vêy S ⊂ H n vợi mồi n ≥0. Cuối cũng ta ch¿ ra S ⊂ D n vợi mồi n ≥ 0.Thêt vêy, vẳ D 0 = E, nản
S ⊂ D 0 GiÊ sỷ S ⊂ D n vợi n ≥ 0 n o õ, khi õ S ⊂ H n ∩D n Do õ, tứ x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ) v (1.14), ta câ hx n+1 −u, J p (x 0 )−J p (x n+1 )i ≥0, iãu n y suy ra u ∈ D n+1 bơng quy nÔp toĂn hồc, ta nhên ữủc S ⊂ D n vợi mồi n ≥0.
Mằnh ã 2.2.2 Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ x n+1 −x n → 0 khi n→ ∞.
Chựng minh Tứ Mằnh ã 2.2.1, suy ra dÂy {x n } l ho n to n xĂc ành.
Cố ành u∈ S Tứ x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ) v (1.15) suy ra
Do õ, dÂy {∆ p (x n , u)} bà ch°n Vẳ vêy, tứ (1.12), suy ra dÂy {x n } cụng bà ch°n. Tiáp theo, tứ x n+1 ∈D n v ành nghắa cừa têp hủp D n , ta cõ hx n −x n+1 , J p (x 0 )−J p (x n )i ≥ 0 (2.7)
Do vêy, ta nhên ữủc hx n −x 0 , J p (x 0 )−J p (x n )i ≥ hx n+1 −x 0 , J p (x 0 )−J p (x n )i (2.8)
Do õ, tứ (1.12), ta cõ hx n+1 −x 0 , J p (x 0 )−J p (x n )i ≥ ∆ p (x n , x 0 ) + ∆ p (x 0 , x n ) (2.9) Vẳ vêy, tứ (1.11), ta nhên ữủc
∆ p (x 0 , x n+1 ) ≥ ∆ p (x 0 , x n ) + ∆ p (x n , x n+1 ), (2.10) suy ra {∆ p (x 0 , x n )} l dÂy tông Do õ, tứ tẵnh bà ch°n cừa {∆ p (x 0 , x n )}, tỗn tÔi giợi hÔn hỳu hÔn a= lim n→∞∆ p (x 0 , x n ).
Vẳ vêy, tứ (2.10), ta thu ữủc lim n→∞∆ p (x n , x n+1 ) = 0 Tứ (1.12) suy ra n→∞lim kx n+1 −x n k= 0.
Mằnh ã 2.2.3 Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, cĂc dÂy {x n −y n }, {x n −z n } v {x n −t n } hởi tử vã 0 khi n → ∞.
Chựng minh Vẳ x n+1 ∈H n , nản ta cõ
Do õ, tứ Mằnh ã 2.2.2 (∆(x n , x n+1 ) → 0), ta thu ữủc
Tứ (1.12) suy ra kx n+1 −t n k →0, kx n+1 −z n k →0, kx n+1 −y n k →0 kát hủp vợi kx n+1 −x n k →0, ta nhên ữủc x n −t n → 0, x n −z n →0, v x n −y n → 0.
Mằnh ã 2.2.4 Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ ω w (x n ) ⊂ S, ð Ơy ω w (x n ) l têp cĂc iºm tử yáu cừa dÂy {x n }.
Chựng minh Ró r ng, ω w (x n ) 6=∅ vẳ dÂy {x n } bà ch°n LĐy x¯∈ω w (x n ), khi õ tỗn tÔi mởt dÂy con {x n k } cừa dÂy {x n } hởi tử yáu vã x¯.
Ta chựng minh mằnh ã n y theo cĂc bữợc sau:
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ t n −z n → 0 v do õ ∆ p (t n , z n ) → 0 Tứ cĂch xĂc ành phƯn tỷ t n , ta nhên ữủc ∆ p (t k,n , z n ) → 0, tực l ∆ p (T k (z n ), z n ) → 0 vợi mồi k = 1,2, , K Suy ra x¯ ∈ Fˆ(T k ) = F(T k ) vợi mồi k = 1,2, , K Do vêy ¯ x∈
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ ∆ p (y n , x n ) → 0 Do õ, tứ cĂch xĂc ành phƯn tỷ y n suy ra ∆ p (y i,n , x n ) → 0 v vẳ vêy ky i,n −x n k →0, (2.11) vợi mồi i = 1,2, , N.
Ta cƯn ch¿ ra rơng ∆ p (¯x,Π C i (¯x)) = 0 vợi mồi i = 1,2, , N Thêt vêy, tứ (1.11), (1.14) v (1.12), ta nhên ữủc Ănh giĂ sau
Tứ (2.11), cho k → ∞ ta nhên ữủc ∆ p (¯x,Π C i (¯x)) = 0 vợi mồi i = 1,2, , N, tực l x¯∈C i vợi mồi i = 1,2, , N hay x¯∈
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ ∆ p (z n , y n ) → 0 Do õ, tứ cĂc xĂc ành phƯn tỷ z n , ta nhên ữủc ∆ p (z j,n , y n ) → 0 v vẳ vêy ta thu ữủc kz j,n −y n k →0, (2.12) vợi mồi j = 1,2, , M.
Vẳ E l khổng gian Banach trỡn ãu, nản Ănh xÔ ối ngău J p liản tửc ãu trản cĂc têp con bà ch°n (xem [9, ành lỵ 2.16]) v do õ ta cõ t n A ∗ J p (I −P Q j )A(y n ) =J p (y n )−J p (z j,n )→ 0.
Vẳ 0< t≤ t n vợi mồi n, nản ta nhên ữủc kA ∗ J p (I −P Q j )A(y n )k →0 (2.13)
BƠy giớ ta cố ành u ∈ S, khi õ A(u) ∈ Q j vợi mồi j = 1,2, , M Tứ (1.14) suy ra k(I −P Q j )A(y n k )k p =h(I −P Q j )A(y n k ), J p (I −P Q j )A(y n k )i
≤K 0 k(I −P Q j )A(y n k )k p−1 , iãu n y kát hủp vợi (2.13), ta nhên ữủc k(I −P Q j )A(y n k )k →0 (2.14) vợi mồi j = 1,2, , M, ð Ơy K 0 =kAk(sup k ky n k k+kuk) 0 sao cho τkx n −Π S (x 0 )k ≤ hx n −Π S (x 0 ), J p (x 0 )−J p (Π S (x 0 ))i.
Tiáp theo, tứ ành lỵ 2.2.5, ta cõ cĂc hằ quÊ dữợi Ơy Trữợc hát, õ l mởt phữỡng phĂp l°p º giÊi b i toĂn (MSSFP) trong hai khổng gian Banach.
Hằ quÊ 2.2.6 Cho C i , i = 1,2, , N v Q j , j = 1,2, , M l cĂc têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa hai khổng gian Banach p-lỗi ãu v trỡn ãu E v
F, tữỡng ựng Cho A : E → F l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n GiÊ sỷ
6= ∅ Náu dÂy số {t n } thọa mÂn iãu kiằn (1.16), thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 0 ∈E v y i,n = Π C i (x n ), i= 1,2, , N,
D n ={z ∈E : hx n −z, J p (x 0 )−J p (x n )i ≥ 0}, x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ), n≥ 0, hởi tử mÔnh vã x † = Π S (x 0 ), khi n→ ∞.
Chựng minh p dửng ành lỵ 2.2.5 vợi T k (x) = x vợi mồi x ∈ E v mồi k = 1,2, , K, ta nhên ữủc iãu phÊi chựng minh.
Cuối cũng, ta cõ kát quÊ dữợi Ơy cho b i toĂn tẳm mởt iºm bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn toĂn tỷ L-BSNE trong khổng gian Banach.
Hằ quÊ 2.2.7 Cho E l mởt khổng gian Banach p-lỗi ãu v trỡn ãu Cho
T k : E → E, k = 1,2, , K l mởt hồ hỳu hÔn cĂc toĂn tỷ Bregman khổng giÂn m¤nh tr¡i sao cho Fˆ(T k ) = F(T k ) v S K
D n = {z ∈ E : hx n −z, J p (x 0 )−J p (x n )i ≥0}, x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ), n≥0, hởi tử mÔnh vã x † = Π S (x 0 ), khi n→ ∞.
Chựng minh p dửng ành lỵ 2.2.5 vợi E ≡ F v C i = Q j = E vợi mồi i = 1,2, , N, j = 1,2, , M v A =I, ta nhên ữủc iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử minh hồa
Vẵ dử 2.3.1 Ta x²t B i toĂn (2.1) vợi C i ⊂R n v Q j ⊂ R m ữủc xĂc ành bði
Q j ={x∈R M : ha Q j , xi ≤b Q j }, trong õ a C i ∈R N , a Q j ∈R M v b C i , b Q j ∈ R vợi mồi i = 1,2, , N, j = 1,2, , M v T k l ph²p chiáu mảtric tứ R N lản S k vợi
S k ={x∈R n : kx−I k k 2 ≤ R 2 k }, vợi mồik = 1,2, , K v A l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n tứ R N lản R M vợi ma trên cõ cĂc phƯn tỷ ữủc sinh ngău nhiản trong oÔn [2,4].
Tiáp theo, ta lĐy ngău nhiản giĂ trà cĂc tồa ở cừa a C i , a Q j trong oÔn [1,3] v b C i , b Q j trong oÔn [2,4], tồa ở tƠmI k trong oÔn [−1,1] v bĂn kẵnh R k cừa hẳnh cƯu S k trong oÔn [2,10], tữỡng ựng.
BƠy giớ, ta kiºm tra sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.1, vợi phƯn tỷ ban Ưu x 0 ∈ R N cõ cĂc tồa ở ữủc sinh ngău nhiản trong oÔn [−5,5], N = 20,
2kAk 2 Sau nôm lƯn thỷ, ta thu ữủc bÊng kát quÊ số dữợi Ơy. iãu kiằn dứng: TOL n