Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình và ứng dụng

Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình và ứng dụng 23 2.1 Các bài toán về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình trong không gian Hilbert.. Mở đầuCác tí

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THỊ THÚY VIỆT

HỢP VÀ TỔ HỢP LỒI CỦA CÁC TOÁN TỬ

KHÔNG GIÃN TRUNG BÌNH

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THỊ THÚY VIỆT

HỢP VÀ TỔ HỢP LỒI CỦA CÁC TOÁN TỬ

KHÔNG GIÃN TRUNG BÌNH

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8460112

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Nguyễn Bường

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert 3

1.2 Toán tử không giãn trong không gian Hilbert 6

1.3 Toán tử không giãn trung bình 10

1.4 Phép chiếu lên tập lồi đóng 12

1.5 Dưới vi phân của hàm lồi, chính thường 16

Chương 2 Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình và ứng dụng 23 2.1 Các bài toán về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình trong không gian Hilbert 23

2.2 Một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của một toán tử không giãn và một số hệ quả 29

2.3 Ứng dụng 39

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhậnđược sự quan tâm hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS.TS NguyễnBường (Viện Công nghệ Thông tin – Viện Hàn lâm Khoa học và Côngnghệ Việt Nam) Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đếnthầy

Bên cạnh đó tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Toán Tin cùng các quý thầy cô đã trực tiếp giảng dậy lớp cao học Toán K10Ytrường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyềnđạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện cho tôi trong quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

-Để hoàn thành luận văn này tôi gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè,đồng nghiệp những người đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo mọi điềukiện để tôi theo học và thực hiện luận văn

Trong quá trình làm luận văn tôi cũng rất cố gắng nhưng cũng khôngtránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của cácThầy, các Cô để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, ngày 29 tháng 4 năm 2018

Tác giả luận văn

Phạm Thị Thúy Việt

Mở đầu

Các tính chất của hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trungbình được đề xuất trong bài báo của nhóm hai tác giả: P Com-Bettes(trường Đại học Sorbonne Universite’s - UPMC Univ Pais06) và IsaoYamada (Học viện công nghệ Tokyo) được nghiên cứu và ứng dụng đểthiết kế các thuật toán điểm bất động mới trong không gian Hilbert.Kết quả đạt được là một dạng mở rộng thuật toán tách tiến lùi để tìmkhông điểm của tổng hai toán tử đơn điệu

Các toán tử không giãn đã chứng minh ứng dụng của nó trong giảitích và giải các bài toán số phát sinh trong giải tích phi tuyến tính Điềunày được giới thiệu trong [4]

Các toán tử trung bình là ổn định với các phép hợp và tổ hợp lồi, cáctoán tử này tạo ra những động lực cơ bản trong nhiều thuật toán điểmbất động kết hợp khác nhau Các hằng số xác định giá trị của các hàm

số trong phương pháp lặp Đây là điều quan trọng vì các hằng số này

nó tác động lớn đến tốc độ hội tụ

Nội dung luận văn đề cập đến các hằng số trung bình của hợp và tổhợp lồi các toán tử trung bình và xây dựng lên các thuật toán điểm bấtđộng mới dựa trên những hằng số này

Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1: Giới thiệu một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbertthực, toán tử không giãn, toán tử trung bình Ngoài ra còn trình bàymột số khái niệm và tính chất cơ bản của phép chiếu lên tập đóng lồi

và dưới vi phân của hàm lồi.

Chương 2: Trình bày về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn,toán tử trung bình Đồng thời nêu ra ứng dụng vào thuật toán tìm điểmbất động và thuật toán tách tiến lùi

Chương 1

Toán tử trong không gian Hilbert

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert

và một số khái niệm, định nghĩa của tập lồi, hàm lồi Đồng thời trìnhbày về toán tử không giãn và toán tử không giãn trung bình Các kiếnthức trong chương được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3]

Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên

R nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, một phần tử của X được gọi là tổngcủa x và y trong X, kí hiệu là x + y; với mỗi α ∈ R và x ∈ X, một phần

tử của X được gọi là tích của α và x trong X, kí hiệu là αx thỏa mãncác điều kiện sau:

(i) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X;

(ii) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ X;

(iii) Tồn tại phần tử không (kí hiệu: 0) sao cho: x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X;(iv) Với mọi x ∈ X ta có: 1.x = x.1 (1 được gọi là phần tử đơn vị);(v) Với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x kí hiệu là −x và:

x + (−x) = 0;

(vi) (α + β)x = αx + βy, ∀x ∈ X và α, β ∈ R;

(vii) α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ X và α, β ∈ R;

(viii) α(x + y) = αx + αy với mọi x ∈ X và α ∈ R.

Định nghĩa 1.1.2 Cho H là không gian véctơ trên R, tích vô hướngxác định trong H là một ánh xạ

h., i : H × H → R

(x, y) 7→ (x, y)thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) với mọi x, y, z ∈ H;

(ii) (x, αy) = α(x, y) với mọi x, y ∈ H, α ∈ R

Định nghĩa 1.1.4 Cặp (H, h., i), trong đó H là không gian tuyến tínhtrên R, h., i là tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbertthực

Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert

H với mọi x, y ∈ H ta luôn có đẳng thức sau:

Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tínhđịnh chuẩn với chuẩn được xác định bởi:

Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy

đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định từ Định lý 1.1.6thì H được gọi là không gian Hilbert thực

n=1

∞X

n=1

|xn|2)

1 2

hx, yi =

bZ

Định nghĩa 1.1.10 Trong không gian Hilbert H

(ii) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất: nếu dãy {xn} trong không

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích trong h., i và chuẩnk.k tương ứng, D là một tập con khác rỗng của H

Định nghĩa 1.2.1 Toán tử T : D → H được gọi là

(i) không giãn nếu:

(1) T là toán tử không giãn vững

(2) Id − T là toán tử không giãn vững

(3) 2T − Id là toán tử không giãn.

Vì vậy theo định nghĩa toán tử không giãn vững ta có T là toán tửkhông giãn vững khi và chỉ khi Id − T là toán tử không giãn vững.(1) ⇔ (3): Ta có

Từ biến đổi trên suy ra T là toán tử không giãn vững nếu và chỉ nếu2T − Id là toán tử không giãn

(1) ⇔ (4): Ta có

Hơn nữa, theo (4)

Suy ra bất đẳng thức trên tương đương với

hT x − T y, (Id − T )x − (Id − T )yi ≥ 0

k(2T − Id)x − (2T − Id)0k ≤ kx − 0k ⇔ k(2T − Id)xk ≤ kxk Suy ra k2T − Idk ≤ 1 Hơn nữa, với 2T − Id là toán tử không giãn thì

(1) ⇔ (4): Ta có

giãn vững

(3) ⇔ (5): Từ (3), ta có

Định nghĩa 1.3.1 Cho H là một không gian Hilbert thực, D ⊂ H, D 6=

∅, α ∈ (0; 1) và cho T : D → H là một toán tử không giãn Khi đó Tđược gọi là toán tử không giãn trung bình với hệ số α hay α -trung bìnhnếu tồn tại một toán tử không giãn R : D → H để T = (1 − α)Id + αR.Mệnh đề 1.3.2 Cho D là một tập hợp con khác rỗng của H, cho T :

D → H không giãn và cho α ∈ (0; 1) Khi đó các mệnh đề sau là tươngđương:

(i) T là toán tử α-không giãn trung bình

Do đó

Từ biến đổi trên suy ra (i) ⇔ (ii)

Tiếp theo ta chứng minh (ii) ⇔ (iii): Với R là toán tử không giãn thìvới mọi x, y ∈ D, ta có:

Chứng minh (iii) ⇔ (iv): Ta có

−2(1 − α) hx − y, T x − T yi Sau đây ta có mệnh đề về sự bảo toàn tính không giãn trung bìnhcủa toán tử

Mệnh đề 1.3.3 Cho toán tử T : D → H, các hằng số α ∈ (0, 1) và

nếu (1 − λ)Id + λT là toán tử λα -không giãn trung bình

Chứng minh: Do T là toán tử không giãn trung bình nên tồn tại R

là toán tử không giãn sao cho T = (1 − α)Id + αR Khi đó

(1 − λ)Id + λT = (1 − λ)Id + λ k(1 − α)Id + αRk

= (1 − λα)Id + λαT

không giãn trung bình với hệ số λα hay (1 − λ)Id + λT là toán tử λα-trung bình

Định nghĩa 1.4.1 Tập C là tập con của không gian Hilbert H, C đượcgọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kì nằmtrong nó Tức là C là tập lồi khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.4.3 Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm x1, , xk nếu

x =

kX

j=1

kX

j=1

kX

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và một tập lồi

Định nghĩa 1.4.8 Cho C ⊂ H, C 6= ∅ là tập lồi đóng và y ∈ H, đặt

kπ − yk, thì π là hình chiếu của y trên C

Mệnh đề 1.4.9 Cho C ⊂ H, C 6= ∅ là tập lồi đóng Khi đó,

nhất

λ ∈ (0, 1) Vì vậy λ → 0 thì hπ − y, x − πi ≥ 0 với mọi x ∈ C Suy ra

Do đó π = PC(y).

(ii) Nếu y ∈ C thì

lim

tới điểm π Do C đóng và lồi nên C đóng yếu, suy ra π ∈ C Vậy

kπ − yk = lim

ra

trên C luôn tồn tại và duy nhất

hπ − y, πi là một siêu phẳng tựa của C tại π và

điều phải chứng minh.

dom f := {x ∈ C|f (x) < +∞}

Định nghĩa 1.5.1 Tập domf được gọi là miền hữa dụng của f Tập

epi f := {(x, µ) ∈ C × R|f (x) ≤ µ}

ta có thể coi f được xác định trên toàn không gian và ta có

tương đương với

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1)

∀x, y ∈ C, ∀α > f (x), ∀β > f (y), ∀λ ∈ [0, 1]

⇒ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β

Ví dụ 1.5.5 Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được địnhnghĩa như sau:

phân của f tại điểm đó và được kí hiệu là

(ii) Nếu x ∈ int(domf ) thì ∂f (x) 6= ∅ và compact Ngược lại, nếu

∂f (x) 6= ∅, compact thì x ∈ ri(domf )

Mệnh đề 1.5.12 Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn và λ > 0 Khiđó

mP

mP

i=1

mP

i=1

mX

i=1

mX

i=1

mX

i=1

mX

mP

mP

i=1

đề: Cho f1, f2, , fm là các hàm lồi hữu hạn trên một tập lồi D 6= ∅

và A là một ma trận thực cấp k × n Giả sử b ∈ int A(D) Khi đó

mP

i=1

ht, Ax − bi +

mP

Vậy 0 ∈ int A(D) Áp dụng mệnh đề xét ở trên với

A(x, y) = x − y

ta có

Vậy với mọi x, y ∈ Rn, ta có

i=1

⊆ ∂(

kX

i=1

⊆

kX

i=1

k+1X

i=1

i=1

Như vậy trong chương này tôi đã nêu được một số kiến thức cơ bản

về tập lồi, định nghĩa và tính chất của toán tử không giãn và toán tửkhông giãn trung bình

2.1 Các bài toán về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử

không giãn trung bình trong không gian Hilbert

Mệnh đề 2.1.2 Cho D là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert

H và m ≥2 là một số nguyên dương Giả sử:

+) Giả sử mệnh đề đúng với k = m − 1,với mọi k ∈ {2, , m − 1} , tức

giãn trung bình với hệ số

Mệnh đề 2.1.3 Cho D là tập con khác rỗng của không gian Hilbert

T là một α - không giãn trung bình

Chú ý 2.1.4 Cho m ≥2 là một số nguyên, cho φ như trong Mệnh đề

1≤i 1 <i j ≤m

jY

l=1

αi l

mP

j=1

1 +

mP

(iii) Nếu m = 2 thì: φ(α1, α2) < ˆφ(α1, α2) trong đó

(iii) Bất đẳng thức này đã được thực hiện [9, Chú ý 2.2.38] bắt nguồn

từ điều sau:

Khẳng định còn lại dễ dàng chứng minh.

của một toán tử không giãn và một số hệ quả

Mệnh đề 2.2.1 Cho D là tập con lồi khác rỗng của không gian Hilbert

H và T : D → H là hàm tựa không giãn.Khi đó tập điểm bất động T lồi.Chứng minh:

Cho x, y thuộc tập điểm bất động T , cho α ∈ (0, 1), và đặt z = αx +(1 − α)y Khi đó z ∈ D và theo hệ quả [4, Hệ quả 2.14], ta có:

Mệnh đề 2.2.2 Cho D là tập con đóng khác rỗng của H và cho T :

D → H là liên tục Khi đó FixT đóng

Chứng minh:

Hệ quả 2.2.3 Cho D là tập con lồi đóng khác rỗng của H và cho T :

D → H là toán tử không giãn Khi đó FixT là tập đóng và lồi

Hệ quả 2.2.4 Cho D là tập con lồi đóng khác rỗng của H và cho T :

D → H là toán tử không giãn chặt Khi đó

Định lý 2.2.5 Cho D là tập con hội tụ yếu đóng khác rỗng của H và

Chứng minh:

định Với mọi n ∈ N theo tính không giãn của toán tử T , ta có:

(chàn ánh) và

pP

k=1

T =

pX

(i) T là α - trung bình được suy ra từ Mệnh đề 1.3.4 và Mệnh đề 2.1.2Những khẳng định còn lại được suy ra từ [5, Mệnh đề 4.34 và Hệ quả4.37].

(ii) Điều này được suy ra từ (i) và [5, Mệnh đề 5.15(iii)]

Chú ý 2.2.7 :

Mệnh đề 2.2.6 được chứng minh nhờ [5, Hệ quả 5.18], ở đó hằng số trung

(ii) Điều này được suy ra từ (2.9), (2.12) và Bổ đề 2.2.8.

(iii) Sự hội tụ yếu được suy ra từ (2.12), (2.14) và [7,Định lý 3.8]

Sự hội tụ mạnh được suy ra từ [7,Mệnh đề 3.10]

của chúng cũng vậy Do đó kết quả được rút ra từ (2.12), (2.14), (ii) và[7,Định lý 3.11]

Định lý 2.2.10 Cho ε ∈ 0,12
, m ≥ 2 là một số nguyên, gọi x0 ∈ H

≤ ke 1,n k

+ kT 2,n (T 3,n ( T m−1,n (T m,n x n + e m,n ) + e m−1,n ) + e 3,n ) + e 2,n − T 2,n T m,n x n k

≤ ke 1,n k + ke 2,n k

+ kT 3,n (T 4,n ( T m−1,n (T m,n x n + e m,n ) + e m−1,n ) + e 4,n ) + e 3,n − T 3,n T m,n x n k

Dùng bất đẳng thức này m lần, ta được:

mX

số lặp.

Nhớ lại về khái niệm các toán tử có giá trị đơn điệu và các giải tíchlồi [4]

không điểm của A lần lượt được xác định là:

domA = {x ∈ H/Ax 6= ∅} , graA = {(x, u) ∈ H × H|u ∈ Ax} ,và

zerA = {x ∈ H|0 ∈ Ax}

và toán tử giải của A là:

Toán tử này là không giãn chặt nếu A đơn điệu, tức là:

(∀(x, y) ∈ H × H), (∀(u, v) ∈ Ax × Ay)

hx − y, u − vi ≥ 0

x 7→ {u ∈ H/(∀y ∈ H) hy − x/ui + f (x) ≤ f (y)}

là sai số phụ Moreau của f

Sau đây ta có hệ quả của Định lý 2.2.10

Cho x ∈ S Từ Định lý 2.2.10(ii) với m = 2, ta có:

Tuy nhiên, theo giả sử ta có

Kết hợp (2.18) và (2.19), suy ra điều phải chứng minh

(iii) Cho x ∈ S, với ∀n ∈ N, ta có:

kT1,nT2,nxn − xnk2

Do đó khẳng định này được suy ra từ (i)-(ii)

(iv) Khẳng định này được suy ra từ Định lý 2.2.10 (iii)-(iv)



Sau đây là một vài tính chất về các toán tử đơn điệu demi chính quy

Khi đó A là demi chính quy tại x trong mỗi trường hợp sau:

(i) A là đơn điệu đều tại x,tức là tồn tại một hàm đồng biến

θ : [0, +∞) → [0, +∞)

mà chỉ nhận giá trị tại 0 sao cho:

∀u ∈ Ax, (∀(y, v) ∈ graA), hx − y, u − vi ≥ θ(kx − yk)

(ii) A là đơn điệu mạnh, tức là tồn tại α ∈ (0, +∞) sao cho A − αId làđơn điệu

đóng của JA(C) là compact Cụ thể, domA là compact tương đối giới nộiphần đóng của nó với mọi hình cầu đóng là tập compact.

(iv) A : H → H có đơn trị với phần ngược là liên tục đơn trị

(v) A là đơn trị trên domA và Id − A là demi compact có nghĩa là với

không điểm hội tụ mạnh

đồng biến θ : [0, +∞) → [0, +∞) và chỉ không tồn tại tại 0 sao cho:

Khi đó ta có các kết luận sau:

(iv) Giả sử rằng một trong những điều dưới đây thỏa mãn:

(a) A là demi chính quy tại mọi điểm trong zer(A + B)

(b) B là demi chính quy tại mọi điểm trong zer(A + B)

Theo (2.15) và Chú ý 2.1.3 suy ra:

Mặt khác, [5, Mệnh đề 25.1(iv)] suy ra:

là một ví dụ cụ thể của (2.16)

(i) Đây là kết quả của Hệ quả 2.3.1(iii) và (2.20)

(ii) Hệ quả 2.3.1(ii) và (3.10) suy ra:

Tuy nhiên, (2.21) cho thấy B là đơn điệu cực đại [5, Ví dụ 20.28], nên

ta có:

−By ∈ Ay, i.e., y ∈ zer(A + B)

(iv) (c): Điều này theo (iii) và Hệ quả 2.3.2(iv)

Chú ý 2.3.5 Mệnh đề 2.3.4 mở rộng [8, Hệ quả 6.5] điều mà có giả sử

giá trị của các tham số trong (2.22) có thể là một đoạn lớn tùy ý trong[0, 2] và tham số cực đại luôn lớn hơn 1

và giả sử rằng tập nghiệm S của bài giải cho bài toán

và (bn)n∈N là dãy trong H sao cho:

hội tụ mạnh tới một điểm trong S

Chứng minh:

Sử dụng lý luận như trong [7, Phần 27.3] đây là trường hợp đặc biệt củaMệnh đề 2.3.4 đối với A = ∂f và B = ∇g

Kết luận

Sau thời gian học tập tại khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa Đại học Thái Nguyên, được các thầy cô trực tiếp giảng dậy và hướngdẫn, đặc biệt là GS.TS Nguyễn Bường, tôi đã hoàn thành luận văn với

học-đề tài “Hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trung bình và ứngdụng” Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

1 Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực vàmột số khái niệm, định nghĩa của tập lồi Đồng thời tìm hiểu về toán tửkhông giãn, toán tử không giãn trung bình trong không gian Hilbert

2 Các bài toán về hợp và tổ hợp lồi của các toán tử không giãn trungbình Nêu được thuật toán tìm điểm bất động của một toán tử khônggiãn và ứng dụng vào thuật toán tách, tiến lùi