Phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên

Các dạng phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên qua các kỳ Olympic 49 3.1 Các dạng toán về xác định dãy số... Các dạng phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyênq

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH Nguyễn VănMậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy đã trực tiếp hướng dẫntận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học-Đại họcThái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các quý thầy, cô giáo đã trựctiếp giảng dạy lớp cao học Toán K12 đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập

và nghiên cứu trong suốt thời gian qua

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân, bạn

bè, đồng nghiệp luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học caohọc và viết luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2020

Tác giả

Vũ Viết Trường

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số 2

1.1 Các tính chất cơ bản của hàm số và tập hợp 2

1.2 Đặc trưng hàm và các tính chất liên quan 3

1.2.1 Khái niệm phương trình hàm 3

1.2.2 Phép lặp 5

1.2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 6

1.3 Đặc trưng của các hàm tuần hoàn 8

1.3.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính 8

1.3.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 13

1.4 Dãy số sinh bởi hàm hợp f (αx + β) 17

Chương 2 Phương pháp giải các phương trình hàm trên tập rời rạc 20 2.1 Sử dụng nguyên lý quy nạp 20

2.1.1 Nhận xét 20

2.1.2 Một vài ví dụ minh họa 20

2.1.3 Bài tập áp dụng 25

2.2 Ứng dụng bài toán dãy số vào giải phương trình hàm 26

2.2.1 Lý thuyết 26

2.2.2 Một vài ví dụ minh họa 26

2.2.3 Bài tập áp dụng 28

2.3 Sử dụng đánh giá bất đẳng thức 28

2.3.1 Lý thuyết 28

2.3.2 Một vài ví dụ minh họa 29

2.3.3 Bài tập áp dụng 31

2.4 Sử dụng nguyên lý cực hạn 31

2.4.1 Lý thuyết 31

2.4.2 Một vài ví dụ minh họa 31

2.4.3 Bài tập áp dụng 33

2.5 Hàm số sử dụng tính chất số học 34

2.5.1 Lý thuyết 34

2.5.2 Một vài ví dụ minh họa 34

2.5.3 Bài tập áp dụng 40

2.6 Hàm số và hệ đếm cơ số 42

2.6.1 Lý thuyết 42

2.6.2 Một vài ví dụ minh họa 43

2.6.3 Bài tập áp dụng 46

Chương 3 Các dạng phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên qua các kỳ Olympic 49 3.1 Các dạng toán về xác định dãy số 49

3.2 Một số dạng toán khác 60

Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi về chuyên

đề phương trình hàm, tôi chọn đề tài luận văn "Phương trình hàm sinh bởi hàmhợp trên tập số nguyên"

Tiếp theo, khảo sát một số lớp bài toán từ các đề thi HSG Quốc gia và các tỉnhthành trong cả nước những năm gần đây

Cấu trúc luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số

Chương 2 Phương pháp giải các phương trình hàm trên tập rời rạc

Chương 3 Các dạng phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyênqua các kỳ Olympic

Tiếp theo, cuối các chương đều trình bày các bài tập áp dụng và các đề thi HSGquốc gia và Olympic liên quan

Chương 1 Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số

Trong chương này, tác giả hệ thống lại các tính chất cơ bản của hàm số, đặctrưng hàm và các tính chất liên quan, khái niệm hàm số tuần hoàn, phản tuầnhoàn và các đặc trưng của hàm tuần hoàn Các kết quả trong chương 1 được tríchdẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [4] và [8]

Định nghĩa 1.1 (xem [2]) Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặttương ứng mỗi phần tử x của X với một (và chỉ một) phần tử của Y Phần tử nàyđược gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x)

- Tập X được gọi là tập xác định của f Tập hợp Y được gọi là tập giá trị của

Định nghĩa 1.2 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu với

a ∈ X, b ∈ X mà a 6= b thì f (a) 6= f (b), tức là hai phần tử phân biệt sẽ có haiảnh phân biệt

Từ định nghĩa ta suy ra ánh xạ f là đơn ánh khi và chỉ khi với a ∈ X, b ∈ X

mà f (a) = f (b), ta phải có a = b

Định nghĩa 1.3 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y được gọi là toàn ánh nếu với mỗiphần tử y ∈ Y đều tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x) Như vậy f làtoàn ánh nếu và chỉ nếu Y = f (X)

Định nghĩa 1.4 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y được gọi là song ánh nếu nó vừa

là đơn ánh vừa là toàn ánh Như vậy ánh xạ f : X → Y là song ánh nếu và chỉnếu với mỗi y ∈ Y, tồn tại và duy nhất một phần tử x ∈ X để y = f (x)

Định nghĩa 1.5 (xem [2]) Ánh xạ ngược của f, được kí hiệu bởi f−1, là ánh

xạ từ Y đến X gán cho mỗi phần tử y ∈ Y phần tử duy nhất x ∈ X sao cho

+) Nếu f :R → R là đơn ánh thì từ f (x) = f (y) suy ra x = y

+) Nếu f : R → R là toàn ánh thì với mọi y ∈ R, luôn tồn tại x ∈ R để cho

f (x) = y, tức là phương trình (ẩn x) y = f (x) luôn có nghiệm

+) Nếu f là một hàm số mà đơn ánh thì ta rất hay dùng thủ thuật tác động f

vào hai vế, hoặc tạo ra f (ϕ (x)) = f (φ (x)) suy ra ϕ (x) = φ (x)

+) Nếu f là toàn ánh thì ta hay dùng: Tồn tại một số b sao cho f (b) = 0 , sau

đó tìm b Nếu quan hệ hàm là hàm bậc nhất của biến ở vế phải thì có thể nghĩđến tính đơn ánh, toàn ánh

+) Nếu f :R → R là toàn ánh và f (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ T, ở đây T là tập giá trịcủa hàm f thì f (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ R

Về sau, trong luận văn này ta chỉ xét các ánh xạ là các hàm số xác định vànhận giá trị trên tập hợp các số thực

1.2.1 Khái niệm phương trình hàm

Phương trình hàm được hiểu là các phương trình mà hai vế của phương trìnhđược xây dựng từ một số hữu hạn các hàm chưa biết (của một số hữu hạn các

biến) và từ một số hữu hạn các biến độc lập Phép xây dựng này được thực hiện

từ một số hữu hạn các hàm đã biết (một hay nhiều biến) và bởi một số hữu hạncác phép thay thế các hàm đã biết hoặc các hàm chưa biết thành các hàm đã biếthoặc chưa biết khác

Trong bài báo của Kuczma [8] đã trình bày rất chi tiết về lý thuyết phươngtrình hàm như sau:

Định nghĩa 1.6 (Định nghĩa ”từ” trong phương trình hàm) Một từ được địnhnghĩa theo các điều kiện sau đây:

1◦ Các biến độc lập được gọi là các từ

2◦ Nếu t1, , tp là các từ và f (x1, , xp) là hàm p biến, thì f (t1, , tp) cũng

là các từ

3◦ Không tồn tại các từ khác

Khi đó, phương trình hàm có thể định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.7 (Định nghĩa phương trình hàm) Phương trình hàm là một đẳngthức t1 = t2 giữa hai từ t1 và t2 trong đó chúng chứa tối thiểu một hàm chưa biết

Lời giải Với y = x ta có

f (2x) + f (2f (x)) = f (2f (x + f (x))) (1.2)Thay x bởi f (x) vào (1.1) ta được

f (2f (x)) + f (2f (f (x))) = f (2f (f (x) + f (f (x)))) (1.3)

và f (x) + f (f (x)) < f (x) + x, điều này mâu thuẫn với giả sử f (f (x)) > x.

Ta chứng minh được điều tương tự với giả sửf (f (x)) < x Do đó ta cóf (f (x)) = x

1.2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Xét hàm số f (x) xác định trên tập D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R.

Định nghĩa 1.11 (xem [1]) Giả sử M ⊂ D(f ) Khi đó

a) f (x) được gọi là hàm số chẵn tại x0 trên tập M, nếu

Ví dụ 1.4 Mọi hàm số f (x) là hàm chẵn tại x0 trên M ⊂ R khi và chỉ khi có thể

biểu diễn dưới dạng

f (x) = 1

2[g(x) + g(2x0 − x)], ∀x ∈ M,Với g là hàm xác định trên M (1.4)

Lời giải Thật vậy, ứng với mọi hàm g tùy ý xác định trên M, từ (1.4) ta cóngay

Định nghĩa 1.12 (xem [1]) Giả sử M ⊂ D(f )

a) f (x) được gọi là hàm số chẵn nhân tính tại x0 6= 0 trên tập M, nếu

∀x ∈ M, ta có x20

x ∈ M và f

x20x

x



= −f (x)

Ví dụ 1.6 Mọi hàm số f (x) là hàm chẵn nhân tính tại x0 6= 0 trên M ⊂ R khi

và chỉ khi có thể biểu diễn dưới dạng

x

i

, ∀x ∈ M (1.6)

Lời giải Thật vậy, ứng với mọi hàm g tùy ý xác định trên M, từ (1.6) ta có

fx

2 0

x

i

, ∀x ∈ M

Vậy f có dạng (1.6) với g = f

Ví dụ 1.7 Mọi hàm số f (x) là hàm lẻ nhân tính tại x0 6= 0 trên M ⊂ R khi và

chỉ khi biểu diễn dưới dạng

f (x) = 1

2[g(x) − g

x20x



= −f (x), ∀x ∈ M

Ngược lại, khi f là hàm lẻ nhân tính tại x0 trên M thì

x20x

i

, ∀x ∈ M

Vậy f có dạng (1.7) với g = f

1.3.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.13 (xem [1]) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính)chu kỳ a (a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

Định nghĩa 1.14 (xem [1]) Cho f (x) là một hàm tuần hoàn trên M Khi đó T

(T > 0) được gọi là chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T màkhông là hàm tuần hoàn với bất cứ chu kỳ dương nào bé hơn T

Ví dụ 1.8 f (x) = C, C là hằng số, là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là số dươngbất kỳ nhưng không có chu kỳ cơ sở.

Ví dụ 1.9 f (x) = {x} = x − [x] là hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 1

Ví dụ 1.10 Hàm sin x, cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2π.Hàm tan x, cot x là các hàm tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là π

Các hàm sin(ax + b), cos(ax + b), a 6= 0, tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2π

là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a ∈ Q∗ tùy ý

Vì trong Q∗ không có số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ sở

Tính chất 1.2 (xem [1]) Hàm tuần hoàn liên tục trên R là hàm bị chặn

Tính chất 1.3 Cho f1, f2, , fn : R → R là các hàm tuần hoàn liên tục thỏa

mãn điều kiện

n

P

i=1

fi là hàm tuần hoàn và không có tổng của m hàm số nào trong

đó là hàm hằng với 0 < m < n Khi đó, các hàm fi sẽ có chung một chu kì

Chứng minh Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp Thật vậy,

*) Với n = 2

Giả sử f, g là hai hàm tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là t và s, f + g là hàmtuần hoàn với chu kỳ k

Nếu ϕ = a (const) thì ta chia làm 2 trường hợp:

Do đó a = 0 Vậy f, g có cùng chu kỳ Hay bài toán đúng với n = 2

*) Giả sử khẳng định đúng với mọi số k < n (n ≥ 3) Ta sẽ chứng minh khẳngđịnh đúng với k = n

Giả sử f1 + f2 + · · · + fn tuần hoàn với chu kỳ T > 0 Khi đó

Gọi t1, t2, , tn lần lượt là chu kỳ cơ sở của các hàm f1, f2, , fn

i=1 được chia thành từng tập con có số lượng phần tử nhỏ nhất

mà tổng tất cả các hàm trong mỗi tập con là hằng số Nếu tập con có một phần

tử gi thì rõ ràng gi tuần hoàn với chu kỳ T còn với các tập con còn lại, theo giảthiết quy nạp, các hàm fk cũng tuần hoàn với chu kỳ T

Tính chất 1.4 Cho hai hàm f (x), g(x) liên tục và tuần hoàn trên R với chu kỳ

Vậy F (x) = f (x) + g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T

Ngược lại, ta có f và g có cùng chu kỳ T Khi đó, chọn T = na = mb với

Tiếp theo, ta xét lớp hàm phản tuần hoàn cộng tính.

Định nghĩa 1.15 (xem [1]) Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn (cộngtính) chu kỳ b (b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

Định nghĩa 1.16 (xem [1]) Cho f (x) là một hàm phản tuần hoàn trên M Khi

đó T (T > 0) được gọi là chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) phản tuần hoàn với chu

kỳ T mà không là hàm tuần hoàn với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T

Ví dụ 1.13 f (x) = sin(3x) − sin x là hàm phản tuần hoàn cộng tính với chu kỳ

cơ sở là π Thật vậy,

f (x + π) = sin(3x + 3π) − sin(x + π) = − sin 3x + sin(x) = −f (x), ∀x ∈ R

Tính chất 1.6 Mọi hàm phản tuần hoàn trên M đều là hàm tuần hoàn trên M

Chứng minh Giả sử f (x) là hàm phản tuần hoàn với chu kỳ b ∈ M, ta có

f (x + 2b) = −f (x + b) = f (x), ∀x ∈ M

Ngoài ra, vì x ± b ∈ M nên x ± 2b ∈ M

Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b

Tính chất 1.7 f (x) là hàm phản tuần hoàn với chu kỳ b trên M khi và chỉ khi

f (x) có dạng

f (x) = g(x + b) − g(x)

với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b

Chứng minh Ta có

f (x + b) = g(x + b + b) − g(x + b) = g(x) − g(x + b) = −f (x), ∀x ∈ M

Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M

Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M

Ngược lại, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M

1.3.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.17 (xem [1]) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tínhchu kỳ a; (a > 1) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

f (2x) = sin(2π log2(2x)) = sin(2π(1 + log2x)) = sin(2π log2x) = f (x)

Tính chất 1.8 Nếu f (x) và g(x) là hai hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ tươngứng là a và b trên M và ln |a|

ln |b| =

m

n, m, n ∈ N

∗ thì F (x) = f (x) + g(x) và

G(x) = f (x).g(x) là các hàm tuần hoàn nhân tính trên M

Chứng minh Từ giả thiết ln |a|

ln |b| =

m

n suy ra |a|n = |b|m Ta chứng minh

T := a2n = b2m là chu kỳ của F (x) và G(x) Thật vậy, ta có

F (T x) = f (a2nx) + g(b2mx) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M ;

G(T x) = f (a2nx)g(b2mx) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M

Hơn nữa, ∀x ∈ M, T±1x ∈ M Do đó, F (x), G(x) là các hàm tuần hoàn nhântính trên M

Tính chất 1.9 Nếu f (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a, a > 0 trên R thì

g(t) = f (ln t), (t > 0) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R+

Ngược lại, nếu f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a > 1) trên R+ thì

g(t) = f (et) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R

Chứng minh Giả sử f (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a, a > 0 trên R.Xét g(t) = f (ln t), (t > 0)

Ta có

g(eat) = f (ln(eat)) = f (ln ea+ ln t)

= f (a + ln t) = f (ln t) = g(t), ∀t ∈ R+

Vậy g(t) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R+

Ngược lại, giả sử f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a

(0 < a 6= 1) trên R+

Xét g(t) = f (et), ∀t ∈ R Ta có

g(t + ln a) = f (et+ln a) = f (et.eln a)

= f (aet) = f (et) = g(t), ∀t ∈ R

Vậy g(t) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R

Tiếp theo, ta xét lớp hàm phản tuần hoàn nhân tính

Định nghĩa 1.18 (xem [1]) Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhântính chu kỳ a (a > 1) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

2 trên R+.Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì (√

= 1

2[sin(2π(1 + log2x)) − sin(2π log2(

√2x))]

= 1

2[sin(2π log2x) − sin(2π log2(

√2x))] = −f (x)

Tính chất 1.10 Mọi hàm phản tuần hoàn nhân tính trên M đều là hàm tuầnhoàn nhân tính trên M.

Chứng minh Theo giả thiết tồn tại b > 1 sao cho ∀x ∈ M thì b±1 ∈ M và

f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M

Suy ra, ∀x ∈ M thì b±1 ∈ M và

f (b2x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M

Như vậy, f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M

Tính chất 1.11 f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b (b > 1) trênM

khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = 1

2(g(bx) − g(x)),

trong đó, g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M

Chứng minh (i) Giả sử f là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M.Khi đó g(x) = −f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M và

d tùy ý khi x = 0

h2

1

2log|a||x| khi x < 0

với h1(t), h2(t) là các hàm tuần hoàn cộng tính tùy ý chu kỳ 1 trên R

Bài toán 1.1 Xác định các dãy phản tuần hoàn chu kỳ 2: xn+2 = −xn, n ∈N

Lời giải Nhận xét rằng, theo giả thiết thì x2 = −x0 và x3 = −x1 và

yn+2 = −ayn, n ∈ N (1.9)Đặt yn = an2un Thế vào (1.9), ta thu được

Bài toán 1.4 Xác định các dãy {xn} tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2

y2n = 3yn, n ∈N (1.13)Đặt yn = 3n2un Thế vào (1.13), ta thu được

u2n = un, n ∈ N

Sử dụng kết quả Bài toán 1.4, ta thu được đáp số của bài toán

Nhận xét 1.4 Các dạng toán tổng quát sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2 vàchương 3

Chương 2 Phương pháp giải các

phương trình hàm trên tập rời rạc

2.1.1 Nhận xét

Phương pháp quy nạp không hề xa lạ trong môn toán, nó là công cụ hiệu quả

để giải các bài toán xác định trên tập số nguyên ( Tất nhiên vẫn có quy nạp trêntập số thực, quy nạp hình học, nhưng ta chỉ xét đến những dạng quen thuộc củaphương pháp quy nạp mà thôi ) Điều quan trọng là việc thiết lập giá trị hàm sốtại các điểm lớn hơn về các điểm đã biết giá trị hàm số(theo giả thiết quy nạp),

cụ thể ta cần để ý đến những đẳng thức truy hồi đã biết

2.1.2 Một vài ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1 (Việt Nam TST 2005) Tìm tất cả các hàm số f :Z −→ Z thỏa mãn:

Ta chứng minh bằng quy nạp mệnh đề sau f (n) = nf (1), ∀n ∈ Z.

?Với n = 1 hiển nhiên đúng

? Giả sử với n = k ≥ 0 đúng, ta chứng minh với n = k + 1 cũng đúng

Với k = 2t, sử dụng đẳng thức :

Tương tự cho f (2t) = 2tf (1) Vì thế ta có với ∀n ∈ Z thì f (n) = nf (1).

Thay vào phương trình ta nhận được 3 nghiệm: f (x) = 0, f (x) = x, f (x) = −x

Ví dụ 2.2 Tìm tất cả các hàm f : N −→ N thảo mãn điều kiện:

1) f (m2 + n2) = f2(m) + f2(n) với ∀m, n ∈ N

2) f (1 > 0)

Lời giải Cho m = n = 0 vào phương trình hàm, ta được f (0) = 2f2(0) Nếu

f (0) 6= 0 thì từ đây suy ra f (0) = 1

2, điều này mâu thuẫn vì f nhận giá trị dương

trong N Vậy f (0) = 0 và điều này dẫn đến f (m2) = f2(m) Ta có thể viết dướidạng

f (6) = 6

Như vậy ta có f (n) = n với ∀n ≤ 10 Ta sử dụng các hằng đẳng thức sau:

(5k + 1)2 + 22 = (4k + 2)2 + (3k − 1)2

(5k + 1)2 + 12 = (4k + 1)2 + (3k + 2)2(5k + 3)2 + 12 = (4k + 3)2 + (3k + 1)2(5k + 4)2 + 22 = (4k + 2)2 + (3k + 4)2

Và: (5k + 5)2 = (4k + 4)2 + (3k + 3)2

Sử dụng quy nạp như ví dụ trên ta có ngay f (n) = n, ∀n ∈ N

Ngay sau đây là một bài toán với ý tưởng khác

Ví dụ 2.3 Cho f (n) ∈ N, ∀n ∈ N thỏa mãn :

1 f (1) = 1, f (2) = 2,

2 f (n + 2) = f (n + 2 − f (n + 1)) + f (n + 1 − f (n)), ∀n ∈ N.

a) Chứng minh 0 ≤ f (n + 1 − f (n)) ≤ 1 và nếu n lẻ thì f (n + 1) = f (n) + 1.b) Tìm mọi n sao cho f (n) = 210 + 1

Lời giải

a)Ta có với ∀k = 2, 3, , và i = 1, , k, j = 1, , 2k−1 − k ta có f (2k − i) = 2k−1

và f (2k − k − j) = 2k−1 − f (j)

Chứng minh quy nạp theo n

ˆ Với k = 2, 3, n ≤ 7, kiểm tra trực tiếp ta thấy thỏa mãn

Và với k ≥ 3 ta tính:

f (2k+ 1) = f (2k+1 − (k + 1) − (2k − (k + 2))) = 2k − f (2k − (k + 2))

= 2k − f (2k−1 − f (2)) = 2k−1+ 2

Do đó n = 211 là giá trị duy nhất thỏa mãn

Ví dụ 2.4 (IMO 1982, bài số 1) Cho f : N −→ N thỏa mãn ∀m, n ∈ N thì:

f (m + n) − f (m) − f (n) = 0 hoặc 1, f (2) = 0, f (3) > 0, và f (9999) = 3333.Tính f (1982)

Lời giải Ta chứng minh bằng quy nạp rằng:

2 = f (f (1)) = f (k) = f (3) = 4 − k = 1

Cũng là điều mâu thuẫn Ta loại trường hợp này

Trường hợp 2: f (2) = 2 và f (f (1)) = 1 Cho n = 2 vào (1), ta nhận được:

2 Để chứng minh ta cần tới 2 bổ đề sau:

bα(bnαc − n + 1)c > n − 1

và do đó:

f (n + 1) = b(n + 1)αc − n.Nếunkhông thỏa mãnbα(bnαc−n+1)c = n thìbαbnαc−n+1c vàb(n+1)αc =bnαc + 1, từ đó ta có:

Bài 2.5 Tìm tất cả các hàm f :N −→ N thỏa mãn các điều kiện:

Ở đây chú ý thêm ta có thể dùng thêm điều kiện miền xác định của hàm số f đểkhống chế dãy số nhằm tạo ra một biểu thức có lợi khi ta buộc phải dùng tới sốphức

2.2.2 Một vài ví dụ minh họa

Ví dụ 2.6 Tìm tất cả các hàm số f : N −→ N thỏa mãn điều kiện:

2 Tuy nhiên đối với các dãy số có phương trình sai phân của nó có nghiệm phức,

ta phải tách riêng các đại lượng chứa thành phần lượng giác và phần phức ra

để dùng điều kiện tập xác định ép cho hệ số trước chúng bằng 0

Ví dụ 2.7 Tìm tất cả các hàm số f : N −→ N sao cho với ∀n ∈ N:

Ví dụ 2.8 Tồn tại hay không hàm số f : N∗ −→ N∗ thỏa mãn:

f (f (n)) + 3n = 2f (n), ∀n ∈N

Lời giải Giả sử tồn tại hàm số f (f (n)) + 3n = 2f (n), ∀n ∈N Với mỗi n ∈ N∗

ta xây dựng dãy (an)+∞n=1 : a1 = n, an+1 = f (an) Khi đó:

1 Tính đơn điệu của hàm và nếu cần thiết ta có thể kẹp hàm số trên một khoảnggiá trị nào đó Ví dụ, ta có f là hàm đơn điệu khi đó nếu f (an) = f (an+1)

với an < an+1 thì f (x) = f (an) = f (an+1) với ∀x ∈ [an, an+1] ∩ N Hoặc có

thể kẹp an < f (m) < f (an+1), rồi lập luận để loại các trường hợp không thỏamãn bằng cách xét tuần tự các giá trị có thể trong khoảng (an, an+1) ∩N.

Suy ra f (n + 1) − f (n) là hàm số tăng Suy ra tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0

thì f (n + 1) − f (n) ≥ 0 Giả sử tồn tại số n1 sao cho f (n0 + 1) − f (n0) ≥ 1.Suy raf (n)tăng thực sự vớin > n1 Suy ra tồn tạin2 > n1+2sao cho f (n2−1) >

n1 Từ đó

f (n2+2)−f (n2+1) = f (n2+1)−f (n2)+f (f (n2−1)) ≥ f (n2+1)−f (n2)+1 ≥ 2

(do f (f (n2 − 1)) > f (n1) ≥ 0)

Từ f (n + 1) − f (n) là hàm số tăng, nó có nghĩa là f (n) ≥ 2n − c với một c nào

đó Suy ra, f (n) ≥ n + 4 với n đủ lớn Vì thế, với n đủ lớn thì

ˆ Với n ≤ 36 thì hiển nhiên đúng theo chứng minh ở trên

ˆ Với n > 36, giả sử kết luận đúng với mọi n < m Khi đó:

2 f (yf (x)) = x2f (xy) với ∀x, y ∈ N∗.

Bài 2.11 Cho n là một số tự nhiên khác 0 và f (n) = 2n − 1995b n

2 Một tập con S của N đều có giá trị lớn hoặc nhỏ nhất, nếu S không là tập

vô hạn thì S có số lớn hoặc nhỏ nhất tương ứng

2.4.2 Một vài ví dụ minh họa

Ví dụ 2.12 Tìm tất cả các hàm số f : N∗ −→ N∗ thỏa mãn:

f (f (n)) < f (n + 1), với mọi số tự nhiên n

Lời giải Do f là hàm số có tập xác định cũng như tập giá trị là N∗ nên đặt:

Chú ý rằng f (1) ≥ 1 nên f (n) ≥ n, ∀n ∈ N∗ Giả sử f (k) > k với một số k nào

đó, suy ra f (k) ≥ k + 1 hay f (f (k)) ≥ f (k + 1) > f (f (k)) (vô lý) Do đó:

f (n) = n, ∀n ∈ N∗

Ví dụ 2.13 Tìm tất cả các hàm số f : N∗ −→ N∗ thỏa mãn:

1 f (1) = 1

2 f (f (n))f (n + 2) + 1 = f (n + 1)f (f (n + 1))

Lời giải Ta sẽ chứng minh quy nạp rằng f (n + 1) > f (f (n))

ˆ Với n = 1 Hiển nhiên

ˆ Giả sử đúng đến k Ta chứng minh cho k + 1

Và tồn tại x0 ∈ N sao cho f (x0) = 1

Lời giải Gọi:

x1 = min{x, x ∈ N, f (x) = 1}