Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu kerr trong hệ nguyên tử bốn mức dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHTRỊNH THỊ HỒNG TĂNG CƯỜNG HỆ SỐ KHÚC XẠ PHI TUYẾN KIỂU KERR TRONG HỆ NGUYÊN TỬ BỐN MỨC DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ LUẬN VĂN THẠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ HỒNG

TĂNG CƯỜNG HỆ SỐ KHÚC XẠ PHI

TUYẾN KIỂU KERR TRONG HỆ NGUYÊN TỬ BỐN MỨC DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG

SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ HỒNG

TĂNG CƯỜNG HỆ SỐ KHÚC XẠ PHI

TUYẾN KIỂU KERR TRONG HỆ NGUYÊN TỬ BỐN MỨC DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lí, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ tốt nhất để tôi có môi trường nghiên cứu khoa học trong suốt khoá học.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Đinh Xuân Khoa, người đã định hướng và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo chủ nhiệm chuyên ngành Quang học TS Nguyễn Huy Bằng, cùng các thầy cô giáo đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã giúp

đỡ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập.

Vinh, tháng 8 năm 2012

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ VỀ ĐỘ CẢM PHI TUYẾN 4

1.1 Phương trình ma trận mật độ 4

1.1.1 Thiết lập phương trình ma trận mật độ 5

1.1.2 Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ 11

1.2 Độ cảm phi tuyến 13

1.2.1 Độ cảm phi tuyến trong mô hình Lorentz 13

1.2.2 Mô tả lượng tử cho độ cảm phi tuyến 19

1.3 Hiệu ứng Kerr 23

Kết luận chương 1 30

Chương 2 HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ CHO HỆ NGUYÊN TỬ BỐN MỨC CẤU HÌNH BẬC THANG 31

2.1 Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang 31

2.2 Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một 36

2.3 Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang 38

2.3.1 Hệ số hấp thụ và hệ số khúc xạ 38

2.3.2 Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ 40

Kết luận chương 2 44

Chương 3 TĂNG CƯỜNG HỆ SỐ KHÚC XẠ PHI TUYẾN KIỂU KERR TRONG HỆ NGUYÊN TỬ BỐN MỨC CẤU HÌNH BẬC THANG DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ 45

3.1 Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng bậc ba 45

3.2 Dẫn ra biểu thức hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr 47

3.3 Nghiên cứu sự tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr 48

3.3.1 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ 48

3.3.2 Điều khiển sự tăng cường hệ số khúc phi tuyến kiểu Kerr 50

Kết luận chương 3 54

KẾT LUẬN CHUNG 55

PHỤ LỤC……… 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

MỞ ĐẦU

Từ khi laser ra đời đã mở ra cho con người một cái nhìn mới mẻ về ánhsáng Với tính chất độ kết hợp cao, độ đơn sắc cao và công suất lớn, nó đãtạo ra nhiều hiệu ứng phi tuyến cực kì thú vị mà trước đây đối với nhữngnguồn sáng thông thường không thể có được Thí nghiệm mở màn củaFranken 1961 đã trở thành điểm mốc trong lịch sử, đánh dấu sự ra đời của

một lĩnh vực nghiên cứu mới “Quang học phi tuyến” Lĩnh vực này đã và

đang khẳng định vị thế của mình với những thành tựu khoa học nổi bật và sẽ

là một lĩnh vực đầy triển vọng trong tương lai

Hấp thụ và tán sắc là hai thông số cơ bản đặc trưng cho tính chất quanghọc của môi trường, chúng có môi quan hệ khăng khít với nhau thông qua hệthức Kramer – Kronig Trong miền cộng hưởng, các hệ số này thay đổi nhanhtheo tần số và quy luật thay đổi hoàn toàn phụ thuộc vào cấu trúc của nguyên

tử ( phân tử) Tuy nhiên, với sự có mặt của laser, quy luật này lại có thể được

“điều khiển” bởi các tác nhân kích thích lên hệ nguyên tử Tiêu biểu cho điều

này là sự tạo hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (Electromagnetically

Induced Transparency – EIT ) Đây là hiệu ứng được đề xuất vào năm 1989[1] và kiểm chứng thực nghiệm vào năm 1991 bởi nhóm nghiên cứu ởStanford Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa giữa các biên độ xác suấtcủa các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới sự kích thích kết hợp của mộthoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong suốt của môi trường đối với một

chùm quang học nào đó (gọi là “cửa sổ EIT”) Điều khiển sự hấp thụ và tán

sắc dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ hiện đang được chú ýnghiên cứu trên cả hai phương diện lý thuyết và thực nghiệm đối với các hệnguyên tử khác nhau và đang được kỳ vọng sẽ tạo đột phá trong các nghiên

cứu về chuyển mạch quang học [2], làm tăng hiệu suất của các quá trìnhquang phi tuyến [3], làm chậm vận tốc nhóm [4]….

Gần đây, đã có rất nhiều sự quan tâm về việc tạo ra môi trường quanghọc phi tuyến có hệ số khúc xạ Kerr lớn, bởi vì nó có thể được sử dụng chonhiều ứng dụng thú vị, chẳng hạn như sự điều biến chéo pha cho các khóaquang học [5], tự điều biến pha cho sự tạo ra của các soliton quang học, quátrình trộn bốn sóng cho sự biến đổi tần số [6], trạng thái pha tạp của quá trìnhthông tin lượng tử Trong môi trường Kerr truyền thống, chỉ số phi tuyến

với ánh sáng có cường độ lớn Ứng dụng hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

đã mở ra một con đường đầy hứa hẹn để tăng cường đáng kể hệ số khúc xạphi tuyến kiểu Kerr đồng thời giảm thiểu tối đa sự hấp thụ trong lân cận củatần số cộng hưởng

Với tầm quan trọng của lĩnh vực này, chúng tôi chọn “Tăng cường hệ

số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr trong hệ nguyên tử bốn mức dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.

Ngoài phần mở đầu và kết luận chung, luận văn được trình bày trong bachương có nội dung như sau:

Chương 1 Cơ sở về độ cảm phi tuyến

Trong chương này, chúng tôi trình bày cơ sở của độ cảm phi tuyến theoquan điểm cổ điển dựa trên mô hình Lorentz và theo quan điểm lượng tử dựatrên hình thức luận ma trận mật độ với các phép khai triển nhiễu loạn Từ đó,chúng tôi trình bày lý thuyết về độ cảm phi tuyến bậc ba và trường hợp đặcbiệt là “phi tuyến kiểu Kerr ” cùng với một số hiệu ứng liên quan đến loại môi

trường này

Chương 2 Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong hệ nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang

Đây là chương cơ sở cho việc xét khả năng tăng cường hiệu ứng phituyến kiểu Kerr dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ Trong gầnđúng lưỡng cực và gần đúng sóng quay, chúng tôi thiết lập hệ phương trình

ma trận mật độ cho nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang được cảm ứng bởihai trường laser Từ đó, sử dụng nhiễu loạn cấp 1 để dẫn ra biểu thức cho hệ

số hấp thụ và hệ số khúc xạ của môi trường Đây là cơ sở để khảo sát hiệuứng trong suốt cảm ứng điện từ và để tính các nghiệm nhiễu loạn cấp 3 đượctrình bày ở chương tiếp theo

Chương 3 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr trong hệ nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

Trong chương này, dựa trên phương trình ma trận mật độ cho hệ 4 mứcđược xây dựng ở chương 2, chúng tôi tiến hành tìm nghiệm nhiễu loạn cấp 3

để dẫn ra biểu thức giải tích cho hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr Từ đó,chúng tôi tiến hành nghiên cứu khả năng điều khiển sự tăng cường hệ số khúc

xạ phi tuyến kiểu Kerr theo các thông số của trường điều khiển

Chương 1

CƠ SỞ VỀ ĐỘ CẢM PHI TUYẾN

Sự tương tác của trường điện từ với môi trường vật chất là bài toán trọng tâm

phi tuyến Quang học tuyến tính thường chỉ áp dụng cho những chùm sáng có

cường độ yếu mà trong đó độ phân cực vĩ mô của môi trường tỉ lệ tuyến tính

với cường độ điện trường theo hệ thức:

0

điện trường tăng đến một giới hạn nào đó sẽ nảy sinh các hiệu ứng mới mà takhông thể giải thích được nếu chỉ xét đến mối quan hệ tuyến tính như hệ thức

tuyến:

 (2) 2 (3) 3 

chung là độ cảm phi tuyến) Thực nghiệm cho thấy, giá trị của các độ cảmphi tuyến là rất bé so với độ cảm tuyến tính nên phân cực phi tuyến chỉ đáng

kể đối với các trường sáng có cường độ lớn Rõ ràng, độ cảm là đại lượng phụthuộc vào cấu trúc vi mô của các nguyên tử trong môi trường Vì vậy, để mô

tả đầy đủ độ cảm ta cần sử dụng cơ học lượng tử

tử và được gọi là “hệ lượng tử” Khảo sát tương tác của trường kích thích với

hệ lượng tử, chúng ta tìm được thay đổi của các thông số đặc trưng cho hệthông qua việc giải phương trình chuyển động Đó là phương trình liên quanđến thay đổi các thông số đặc trưng cho hệ theo thời gian

Khi mô tả hệ lượng tử ta cần chú ý, nếu trạng thái của hệ được biết

chính xác thì hệ nằm trong trạng thái thuần khiết và được biểu diễn bởi hàm

phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Tuy nhiên, trong nhiều bàitoán trạng thái của hệ không biết được một cách chính xác, hay nói khác đi

hệ nằm trong trạng thái hỗn hợp ( theo [7] đây là loại bất định thứ hai khi xem

xét hệ lượng tử) Trường hợp này sẽ được xử lý bằng phương trình ma trậnmật độ

1.1.1 Thiết lập phương trình ma trận mật độ

Chúng tôi xem xét hình thức luận ma trận mật độ theo sau các định luật

cơ bản của cơ học lượng tử Nếu một hệ lượng tử (chẳng hạn như một nguyên

lượng tử ta có thể biểu diễn hàm sóng dưới dạng tổ hợp tuyến tính các hàmriêng này

s( , ) n s( ) ( )n

n

không phụ thuộc thời gian:

n

như thế nào chúng ta đưa khai triển (1.5) vào phương trình Schrödinger (1.3):

s

s n

Phương trình (1.10) hoàn toàn tương đương với phương trình Schrödinger

phương trình (1.10) là phương trình Schrödinger trong biểu diễn năng lượng

Giá trị kỳ vọng của một biến số động lực bất kì đều có thể được tínhtoán dựa vào hàm sóng Theo tiên đề 2 cơ học lượng tử mỗi biến số động lực

được tính theo công thức

thức luận được mô tả từ (1.3) đến (1.12) cho ta khả năng mô tả hoàn chỉnh sựphụ thuộc thời gian của hệ Tuy nhiên, có những trường hợp trạng thái của hệkhông được biết một cách chính xác, chẳng hạn một tập hợp các nguyên tửtrong một đám hơi nguyên tử, ở đó mỗi nguyên tử có thể tương tác vớinguyên tử khác do sự va chạm dẫn đến hàm sóng của mỗi nguyên tử thay đổi.Nếu trong các va chạm là yếu, sự thay đổi có thể chỉ dẫn đến sự thay đổi vềpha nói chung của hàm sóng Tuy nhiên, trên thực tế ta không thể theo dõipha của mỗi nguyên tử trong đám hơi, hay nói khác đi trạng thái của mỗinguyên tử không được xác định chính xác

Đối với trường hợp như vậy (tức là trạng thái của hệ không được biếtchính xác), hình thức ma trận mật độ có thể được sử dụng để mô tả hệ theo

nghĩa thống kê Gọi p s  là xác suất hệ ở trạng thái s Ta định nghĩa cácphần tử của ma trận mật độ của hệ như sau

dấu nằm ngang chỉ trung bình thống kê, tức là lấy trung bình trên tất cả các

các thái riêng năng lượng của hệ

Các phần tử ma trận mật độ có ý nghĩa vật lý như sau: phần tử đường

hợp xác định sẽ tỷ lệ với mô men lưỡng cực điện của nguyên tử

Với cách mô tả này chúng ta có thể tính giá trị kì vọng của biến sốđộng lực A bất kì Như đã trình bày ở trên, khi trạng thái của hệ được biết

s

A C C A ,

do đó đối với trường hợp trạng thái của hệ không được biết chính xác thì giátrị kì vọng sẽ nhận được bằng cách lấy trung bình phương trình (1.12) trêntoàn bộ trạng thái khã dĩ của hệ

Để tìm phương trình chuyển động của ma trận mật độ, ta đạo hàm theobiểu thức (1.13) theo thời gian

này sẽ triệt tiêu Số hạng thứ hai được tính trực tiếp nhờ phương trìnhSchrödinger (1.8) Ta thu được:

Phương trình (1.23) mô tả sự tiến triển theo thời gian của các phần tử ma trận

Tuy nhiên như đã đề cập ở trên, có những tương tác nhất định (ví dụ do sự va

số hạng tắt dần mô tả những tương tác này cho phương trình chuyển động(1.23) Theo [6] có hai cách để mô tả những quá trình như vậy :

ở đây số hạng thứ hai bên phía tay phải là một thành phần tắt dần mang tính

có nghĩa là ở trạng thái cân bằng không xảy ra sự kêt hợp

Cách thứ hai là xem các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ bị tắtdần do sự phân rã từ các mức cao đến các mức thấp Trong trường hợp nhưvậy phương trình ma trận mật độ được xác định

( )

1 ( ) 2

pha riêng, nó là do các quá trình (chẳng hạn như va chạm đàn hồi) mà chỉ làmthay đổi pha chứ không làm thay đổi độ cư trú hay nói khác đi không làmthay đổi mức năng lượng

1.1.2 Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ

Theo cách mô tả thứ nhất trình bày trong mục (1.1.1) ta đã dẫn ra phươngtrình:

( )

ˆ ˆ , ( eq )

nm nm mn nm nm

i H

Trong đó, năng lượng tương tác được giả thiết là yếu với ý nghĩa giá trị kỳ

tác này được cho ở gần đúng lưỡng cực điện [9]

0 0 0 0, 0,

ˆ , ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( )

nm n m n m nm

với tình trạng vật lý thực Mỗi yếu tố ma trận được khai triển dưới dạng

nm nm nm nm

Phương trình (1.36) là nghiệm của phương trình (1.35) cho bất kì giá trị nào

ở đây nm(0)  0 n m (1.39)

nm

Hoàn toàn tương tự ta có thể tính đến các đóng góp bậc cao hơn đối cho các

nm

thay thế ˆ   0 bởi ˆ N 1 

như đóng góp bậc ba được viết

1.2.1 Độ cảm phi tuyến trong mô hình Lorentz

Để mô tả độ cảm phi tuyến theo quan niệm cổ điển người ta thường sửdụng mô hình Lorentz, trong đó xem nguyên tử như một dao động tử điều hòa

mỗi electron [6]

Chúng ta khảo sát độ cảm phi tuyến trong hai môi trường dưới đây.

Môi trường không đối xứng tâm

Phương trình chuyển động của mỗi electron

Hình 1.1 Hàm thế năng của môi trường không đối xứng tâm

Đây là mô hình mô tả môi trường không đối xứng xuyên tâm bởi vì hàm thế

Giả sử rằng trường quang học đặt vào có dạng:

Khi đó phương trình (1.46) sẽ không có lời giải chính xác Tuy nhiên, nếu

hạng tuyến tính 2

0x

trường hợp đó phương trình (1.46 ) có thể được giải bằng phương pháp nhiễu

Ta tìm một nghiệm của (1.50) trong dạng của một khai triển chuỗi năng lượng

Để phương trình (1.51) là nghiệm của phương trình (1.50) cho mọi giá trị của

phương trình giống như mô hình Lorentz thông thường (tuyến tính) Do đónghiệm của nó là:

j

E e x

2 2

1

( / ) 2

(2 ) ( )

a e m E x

(2 ) ( )

a e m E x

( ) ( ) ( )

a e m E E x

cảm tuyến tính được xác định theo hệ thức:

0

( / ) ( )

( )

j

j

N e m D

với (2)

1

(2 )

bậc hai và được định nghĩa

Độ cảm phi tuyến mô tả sự phát tần số tổng nhận được qua các hệ thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

dàng cho các đóng góp phi tuyến bậc cao hơn Chẳng hạn, nghiệm của (1.52c)

Mô hình đối xứng tâm

Đối với môi trường đối xứng tâm, thế năng phải là hàm đối xứng Như vây ởbậc thấp nhất của thế phải chứa số hạng bậc bốn

Hinh 1.2 Mô hình thế năng của môi trường đối xứng xuyên tâm

Khi đó phương trình chuyển động của mỗi electron là:

E e x

0

( / ) ( )

( )

n

n

N e m D

tả bởi phương trình này sẽ tiến đến trạng thái mà không có các dao động Tức

là nghiệm ở trạng thái dừng của nó bằng không

, , , Nbe D D D D

m

            (1.81)

1.2.2 Mô tả lượng tử cho độ cảm phi tuyến

Ở đây chúng tôi sẽ tính toán độ cảm phi tuyến qua mô tả môi trườngbằng lý thuyết lượng tử Thay vì dùng hàm sóng chúng tôi sử dụng hình thức

ma trận mật độ để mô tả hệ nguyên tử và phân tử, bởi vì dùng hàm sóng thìkhông mô tả được các quá trình hồi phục quan trọng trong trường hợp tươngtác gần cộng hưởng

Trước tiên, ta sẽ tính toán cho độ cảm tuyến tính Trong phần 1.1,nghiệm nhiễu loạn trong gần đúng cấp một được dẫn ra

Ta có thể xem ban đầu hầu hết các nguyên tử tập trung ở trạng thái cơ

bản a và sau một số bước biến đổi trung gian ta thu được

Số hạng thứ nhất có thể coi như sự đóng góp cộng hưởng vào độ tự cảm còn

số hạng thứ hai biểu diễn sự đóng góp không cộng hưởng

Dựa trên cách tính toán này ta có thể dẫn ra được biểu thức của các độcảm phi tuyến Chẳng hạn đối với độ cảm phi tuyến bậc ba

ta biểu diễn điện trường đặt vào là

r r

(3)

1 3

cho độ cảm bậc ba gồm 48 số hạng do sáu hoán vị của các tần số trường vào

1.3 Hiệu ứng Kerr

Chiết suất của môi trường sẽ được thay đổi dưới sự tác động của điệntrường lớn bên ngoài và sự phụ thuộc của chiết suất vào cường độ trườngnhư sau [6]:

2

2

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

Sự thay đổi chiết suất theo cường độ gọi là hiệu ứng Kerr quang học, trong đóchỉ số khúc xạ của một môi trường vật chất thay đổi một lượng mà tỉ lệ vớibình phương của biên độ trường.

Sự tương tác của một chùm tia sáng với môi trường quang học phituyến cũng có thể được mô tả trong các thành phần của độ phân cực phi tuyến

0

3

n n

theo thời gian của trường quang học, và được cho bởi

2 2

0 0

n n

phụ thuộc vào cường độ trường Khi chùm laser công suất lớn đi vào môitrường làm cho chiết suất hiệu dụng của môi trường đối với chùm ánh sáng đóthay đổi Tại tâm của chùm laser chiết suất của môi trường có giá trị lớn nhất

và giảm dần về phía biên của chùm tia Do vậy, môi trường hoạt động nhưmột thấu kính có tiêu cự dương gây nên sự hội tụ của chùm tia bên trong vậtliệu Khi độ dày môi trường ngắn thì điểm hội tụ sẽ nằm ngoài môi trường vàngược lại nếu môi trường quá dày thì điểm hội tụ nằm trong môi trường Khi

đó năng lượng lớn tại điểm hội tụ sẽ có thể phá vỡ các tính chất của môi

Hình 1.3 Sự tự hội tụ của ánh sáng

Liên hợp pha quang học

Bản chất của quá trình liên hợp pha được minh họa trong hình 1.4.:Phần (a) mô tả một sóng quang học truyền theo phương vuông góc với một

n 

tấm gương kim loại thường Rõ ràng phần nhanh nhất của mặt đầu sóng tớivẫn là nhanh nhất của sóng phản xạ Phần (b) của hình cho thấy cùng một mặtđầu sóng như vậy chiếu vào một gương liên hợp pha (phase conjugate mirror–PCM), trong trường hợp này phần nhanh nhất trở thành phần chậm nhất saukhi phản xạ.

Hình 1.4 Sự phản xạ từ (a) một gương thường và (b) một gương liên hợp pha

Với lý do này, sự liên hợp pha đôi khi còn được gọi là sự đảo ngược mặt đầusóng Lý do tại sao quá trình minh họa trong hình 1.4 được gọi là liên hợp phaquang học có thể được hiểu bằng cách đưa vào một mô tả toán học của quátrình Gọi sóng tới gương liên hợp pha (hay còn gọi là sóng tín hiệu ) là:

s

  ik r s

s ˆ s s

E ( r )    A r e  ,

(1.130)