Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối cấp THPT

Từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối

NGHỆ AN - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thuận

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo

TS Nguyễn Văn Thuận Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đếnThầy

Xin cảm ơn các Thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Lý luận và Phươngpháp giảng dạy bộ môn Toán đã cho tác giả những bài học bổ ích trong quátrình học tập và nghiên cứu

Xin cảm ơn Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo mọi thuận lợi để tác giảhoàn thành Luận văn

Dù đã rất cố gắng, song Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếmkhuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các Thầy cô giáo và các bạn

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 “Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học” [1] là một trong những luận

điểm quan trọng của Giáo dục Toán học đã được thừa nhận Luận điểm này

có thể được hiểu như sau: Muốn dạy Toán có hiệu quả thì nhất thiết phải chohọc sinh hoạt động; chỉ bằng con đường này mới có thể làm cho học sinh nắmbắt được tri thức một cách vững vàng

Trong Tâm lí học cũng có những khẳng định tương tự, chẳng hạn: Năng

lực chỉ có thể được hình thành và phát triển thông qua hoạt động.

Tâm lí học và Lí luận dạy học hiện đại khẳng định, con đường có hiệuquả nhất để làm cho học sinh nắm vững kiến thức và phát triển được năng lực

sáng tạo là phải đưa học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt động nhận thức

(HĐNT), thông qua hoạt động tự lực, tự giác, tích cực của bản thân mà chiếm lĩnh kiến thức, phát triển năng lực sáng tạo.

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) hiện nay cũng lấycác luận điểm đó làm nền tảng

1.2 Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục

phổ thông phải phát huy tính tích cực (TTC), tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

1.3 Các cơ sở lí luận dạy học đã khẳng định rằng tri thức không phải là

cái dễ dàng cho không Muốn học sinh chiếm lĩnh được các tri thức Toán học

một cách chắc chắn thì trước hết họ phải được đặt trong thế chủ động bởi

không thể nào có một sự chiếm lĩnh tốt bằng con đường thụ động Vì vậy, khidạy một tri thức nào đó thầy giáo thường không thể trao ngay cho học sinh

điều thầy muốn dạy; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những

tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác,

tích cực và sáng tạo của bản thân Kiến thức mà học sinh thu nhận được từ hoạt động và củng cố nó trong hoạt động của chính mình bao giờ cũng tự

nhiên, chắc chắn và là cơ sở tốt để hình thành kĩ năng thực hành, vận dụng.1.4 Tuy nhiên, vì những lí do khác nhau nên không phải giáo viên nàocũng biết và hiểu rõ các luận điểm đó Vì vậy đã và đang tồn tại cách dạy theolối truyền thụ một chiều Đối với họ, giảng giải các kiến thức Toán học mộtcách chi tiết rồi sau đó cho học sinh áp dụng xem như là đủ rồi Có người dẫuchưa tin vào điều này nhưng cũng không thoát khỏi vòng luẩn quẩn đó, bởi vì

nó đụng chạm tới thời gian, suy ngẫm, chuẩn bị bài và cả tình hình thực tế vềmức độ tiếp thu của học sinh

1.5 Trong chương trình giải tích THPT thì Đạo hàm và ứng dụng củađạo hàm là phần kiến thức rất quan trọng, hầu như trong các đợt thi tốt nghiệpTHPT, thi ĐH,CĐ đều có câu hỏi về phần này Hơn nữa, nó còn là công cụsắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số; có ứng dụng quan trọng đốivới một số bài toán về nghiệm của phương trình, chứng minh bất đẳng thức;

… Ngoài ra còn có ứng dụng trong các nghành khoa học khác như là Vật lí,Hóa hoc,… Do đó để học sinh nắm vững bản chất của vấn đề này thì cách tốtnhất các em phải làm chủ được tri thức đó, các em phải là người chủ độnglĩnh hội tri thức và vận dụng chúng một cách thành thạo

1.6 Các hoạt động trong dạy học toán đã có nhiều nhà nghiên cứu, nhàgiáo dục đề cập nhiều về mặt lý luận trong các giáo trình và đã được thể hiệnqua một số luận văn Tuy nhiên chưa có đề tài nào đề cập đến việc tập luyệncác hoạt động cho học sinh trong dạy học chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạohàm của hàm sô

Từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạo hàm

và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối cấp THPT”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Hệ thống hoá và thống nhất một số vấn đề lí luận và thực tiễn về cácdạng hoạt động toán học tương thích với nội dung trong dạy học chủ đề đạohàm và ứng dụng đạo hàm của hàm sô, từ đó xây dựng và tổ chức tập luyệncác hoạt động toán học nhằm nâng cao năng lực hoạt động toán học cho họcsinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ giải quyết các vấn đề sau đây:

3.1 Tìm hiểu thực trạng của việc dạy học Toán ở trường THPT hiện nay 3.2 Hệ thống hoá, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn,phương pháp luận có liên quan đến hoạt động toán học trong dạy học Toán.3.3 Tìm hiểu về tổng quan nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàmtrong chương trình Toán THPT hiện hành

3.4 Đề xuất một số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh trong quátrình dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT

3.6 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của phương

án đề xuất và kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài trong thực tiễn

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

4.1 Nghiên cứu lý luận

+ Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước, các chủ trương và chính

sách của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan đến nhiệm vụ dạy học Toántrường THPT

+ Nghiên cứu các tài liệu Tâm lí học, Giáo dục học và Lí luận dạy học bộ

môn Toán có liên quan đến đề tài

+ Nghiên cứu SGK, sách bài tập, sách giáo viên, sách tham khảo bộ môn

Toán hiện hành ở trường THPT

4.2 Quan sát, điều tra

+ Dự giờ quan sát biểu hiện TTC của học sinh trong giờ Toán

+ Phỏng vấn, sử dụng phiếu điều tra giáo viên và học sinh về:

- Thực trạng vấn đề tổ chức hoạt động cho học sinh trong các giờ họcToán ở trường THPT

- `Thực trạng về việc vận dụng PPDH tích cực của giáo viên trong dạyhọc Toán ở trường THPT hiện nay

- Tổ chức xin ý kiến của các giáo viên có kinh nghiệm thực tiễn về vấn

đề nghiên cứu

4.3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi, ý nghĩa thực tiễncủa đề tài

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xác định rõ các dạng hoạt động cần thiết trong dạy học nội dung đạohàm và ứng dụng đạo hàm hướng người học vào việc tiếp nhận tri thức mộtcách tự giác, tích cực, sáng tạo và đề xuất được các tình huống hợp lí nhằmtập luyện các hoạt động đó thì sẽ góp phần phát triển khả năng nhận thứcToán học cho học sinh ở trường THPT

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có bachương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Tập luyện cho học sinh các hoạt động trong dạy học nội dung đạohàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số ở các lớp cuối cấp THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Những tư tưởng chủ đạo của quan điểm hoạt động và hoạt động dạy học.

1.1.1 Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim thì mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mậtthiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động đã được tiếnhành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó Phát hiện đượcnhững hoạt động tiềm tàng trong một nội dung là vạch được một con đường

để truyền thụ nội dung đó và thực hiện những mục đích dạy học khác, cũngđồng thời cụ thể hoá được mục đích dạy học nội dung đó và chỉ ra cách kiểmtra việc thực hiện những mục đích này Theo ông, các tư tưởng chủ đạo củaQuan điểm hoạt động bao gồm:

1.1.1.1 Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học

a) Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung

Một hoạt động là tương thích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Việc phát hiện

những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sựhiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau (nhưkhái niệm, định lý hay phương pháp), về những con đường khác nhau để lĩnhhội từng dạng nội dung, chẳng hạn con đường quy nạp hay suy diễn để xâydựng khái niệm, con đường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để họctập định lý,

Chẳng hạn, khi ta dạy định nghĩa đạo hàm cho học sinh lớp 11 thì hoạt

động tìm giới hạn lim (( ))

0 v x

x u x

x→ (dạng 00 )sẽ là tương thích hơn hoạt động tìm

giới hạn lim ( )

0

x

fx

x→ (với f(x0) tồn tại)

Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta cầnphải chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những bình diệnkhác nhau Đặc biệt chú ý đến những dạng hoạt động sau:

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

+ Những hoạt động toán học phức hợp;

+ Những hoạt động ngôn ngữ;

+ Những hoạt động trí tuệ chung;

+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học

b) Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi hoạt động này có thể xuất hiện nhưmột thành phần của hoạt động khác Phân tách được một hoạt động thànhnhững hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn bộ,nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học sinh các hoạt động toàn bộ,vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặcquan trọng khi cần thiết

Ví dụ 1.1 Đối với bài toán sau:

Cho hàm số y = x3 – 2x2 + x - 3

Hoạt động 1: Tính y’.

Hoạt động 2: Tìm các giá trị của x để y’ > 0.

Rõ ràng hoạt động 1 là một thành phần của hoạt động 2

c) Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động Tuy nhiên, nếu khuyếnkhích tất cả các hoạt động như thế thì có thể sa vào tình trạng rải mành mành,

làm cho học sinh thêm rối ren Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc những hoạt động đã phát hiện được để tập trung vào những mục đích nào đó

căn cứ vào tầm quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện nhữngmục đích còn lại

d) Tập trung vào những hoạt động Toán học

Trong khi lựa chọn hoạt động, để đảm bảo sự tương thích của hoạt động đối với mục đích dạy học, ta cần nắm được chức năng phương tiện và chức

năng mục đích của hoạt động và mối liên hệ giữa hai chức năng này Trong

môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện để đạt đượcnhững yêu cầu Toán học: kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng Toán học Đốivới những hoạt động này ta cần phối hợp chức năng mục đích và chức năng

phương tiện theo công thức: “Thực hiện chức năng mục đích của hoạt động

trong quá trình thực hiện chức năng phương tiện” (Faust).

Chẳng hạn, để dạy một định lí, giải một bài toán ta xét các trường hợp cụthể, hình vẽ, mô hình, rồi quan sát, nhận xét, (chức năng phương tiện)nhưng ta cần đặc biệt lưu ý đến chức năng toán học như chứng minh, phươngpháp giải toán, nhận dạng, thể hiện,

1.1.1.2 Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải

có ý thức về những mục đích đặt ra và tạo được động lực bên trong thúc đẩybản thân họ hoạt động để đạt các mục đích đó Điều này được thực hiện trong

dạy học không chỉ đơn giản bằng việc nêu rõ mục đích mà quan trọng hơn còn

do gợi động cơ.

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri

thức nào đó, mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì vậy có thể phân biệtnhững cách gợi động cơ sau:

a) Gợi động cơ mở đầu hoạt động;

(i) Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ một sự hạn chế

Ví dụ 1.2 Khi dạy bài “Cực trị của hàm số” SGK Giải tích 12 Sau khi

học sinh học xong quy tắc tìm cực trị theo đạo hàm cấp 1 (Quy tắc 1), để dẫnsang dạy quy tắc tìm cực trị theo đạo hàm cấp 2 ( Quy tắc 2) ta có thể gợiđộng cơ như sau: Tìm các điểm cực trị của các hàm số

a y = x3 – 3x

b y = 2cosx - xCho học sinh thực hiện hoạt động trên nhằm cho các em thấy:

Trong trường hợp a, học sinh dễ dàng tìm được các điểm cực trị theoQuy tắc 1 Trong trường hợp a, học sinh sẽ gặp khó khăn khi xét dấu y’ Đểkhắc phục khó khăn này ta cần xây dựng thêm Quy tắc 2

(ii) Hướng tới sự tiện lợi, hợp lí hoá công việc

Ví dụ như lập quy trình khảo sát hàm số sau đó chuyển giao quy trìnhnày cho máy tính

(iii) Hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống hoá

+ Ở cấp 2 ta chỉ xét hàm số bậc hai dạng y = ax 2 ( a≠ 0) Vấn đề đặt ra là

có thể suy ra chiều biến thiên và đồ thị của hàm số y = ax 2 + bx + c ( a≠ 0) từ

đồ thị hàm số y = ax 2 ( a≠ 0) hay không?

(iv) Lật ngược vấn đề

Sau khi chứng minh được một định lý, ta thường đặt câu hỏi là liệu mệnh

đề đảo của định lý đó có đúng không?

Chẳng hạn, sau khi học định lí về sự biến thiên của hàm số, một câu hỏiđặt ra là có định lí này hay không ?

(vii) Khái quát hoá

Ví dụ 1.4 Từ việc tìm các điểm của các điểm cực trị của các hàm số đa

thức bậc 2, bậc 3, bâc 4 Ta có thể đặt vấn đề cho học sinh kết luận số điểmcực trị có thể có và nêu điều kiện để xẩy ra các trường hợp đó

(viii) Tìm sự liên hệ và phụ thuộc đại lượng nào đó

Ví dụ 1.5 Để gợi động cơ cho việc học về tịnh tiến đồ thị, trước tiên ta

cho học sinh thực hiện hoạt động sau:

Giả sử M1; M2; M3 và M4 là các điểm có được khi tịnh tiến điểm M(x; y)

theo thứ tự lên trên, xuống dưới, sang phải và sang trái 3 đơn vị Hãy cho biếttọa độ của các điểm M1; M2; M3 và M4.?

Hoạt động trên nhằm cho học sinh bước đầu hình thành sự liên hệ giữatọa độ của các điểm trước và sau khi tịnh tiến, nhờ đó học sinh sẽ hiểu rõ hơn

về phép tịnh tiến đồ thị

b) Gợi động cơ trung gian;

Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian hoặccho những hoạt động tiến hành trong những bước đó để đi đến mục đích

đường đi tới đích, họ luôn luôn biết hướng vào những quyết định và hoạtđộng của mình vào mục đích đã đặt ra.

(ii) Quy lạ về quen

Chẳng hạn, để khảo sát hàm số bậc hai tổng quát y = ax 2 + bx + c ( a≠ 0)

ta tìm cách biến đổi biểu thức ax 2 + bx + c ( a≠ 0) về dạng mx 2 + n ( m≠ 0) để

quy về dạng hàm số bậc hai y = mx 2 + n ( m≠ 0) đã biết.

c bx ax y

+

+ +

Chứng minh rằng: Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệmcận

(iv) Khái quát hoá

(v) Xét sự biến thiên và phụ thuộc

Chẳng hạn, khi giải bài toán về biện luận số nghiệm của phương trìnhchẳng hạn, ta thường phải phân chia ra các trường hợp tùy thuộc vào tham số,đặt vấn đề ứng với mỗi trường hợp sẽ cho các kết quả như thế nào về sốnghiệm của phương trình?

c) Gợi động cơ kết thúc

Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác trong hoạtđộng học tập như các cách gợi động cơ khác Mặc dù nó không có tác dụngkích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện, nhưng nó gópphần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động học tập nói chung và nhiều khi việc gợiđộng cơ kết thúc ở trường hợp này lại là sự chuẩn bị gợi động cơ mở đầu chonhững trường hợp tương tự sau này

1.1.1.3.Dẫn dắt học sinh chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như phương tiện và kết quả của hoạt động

Đứng trước một nội dung dạy học, người thầy giáo cần nắm được tất cảcác tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó Nắm được như vậykhông phải để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải căn cứvào mục đích và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, cấp độ làm việc thíchhợp, từ cấp độ dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu tổngquát, tới cấp độ thực hành ăn khớp với tri thức phương pháp

(i) Dạy học tường minh tri thức phương pháp dạng tổng quát.

Ở cấp độ này, người thầy phải rèn luyện cho trò những hoạt động dựatrên tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát, không chỉ dừng

ở mức độ thực hành theo mẫu ăn khớp với tri thức phương pháp này

Ví dụ 1.7 Sau khi học xong định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một:

“ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và x0 ∈ (a ; b) Nếu

tồn tại giới hạn (hữu hạn)

0

0)()(

lim

x f x f

x x

x f x f

(ii) Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động

Đối với một số tri thức phương pháp chưa được qui định trong chươngtrình, ta vẫn có thể suy nghĩ khả năng thông báo chúng trong quá trình họcsinh hoạt động nếu những tiêu chuẩn sau đây được thoả mãn:

* Những tri thức phương pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một

số hoạt động quan trọng nào đó được qui định trong chương trình;

* Việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian

Chẳng hạn, “Quy lạ về quen” là một tri thức phương pháp thoả mãn cả

hai điều kiện trên, tri thức này có thể được thông báo cho học sinh trong quátrình họ hoạt động ở rất nhiều cơ hội khác nhau

Ví dụ 1.8 Khi yêu cầu học sinh tính đạo hàm của hàm sô: f(x) = (x2 + 1 ) 3x− 2 Banđầu học sinh có thể chưa nghĩ ngay được là sẽ áp dụng công thứcnàoi, lúc đó

có thể các em sẽ áp dụng công thức (uα ) ' = αuα − 1 ,u=u(x), α ∈R Giáo viên cóthể gợi ý đây là hàm số dạng y =uα nhưng số mũ α là biểu thức chứa biến,cho nên ta cần thực hiện phép toán lấy lôgarit hai vế ta được

) 1 ln(

) 2 3

(

)

(

ln f x = x− x2 + , lúc đó học sinh sẽ thực hiện tính đạo hàm hai

1.1.1.4 Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học

Một điều quan trọng trong dạy học là phải xác định được những mức độyêu cầu thực hiện ở những hoạt động mà học sinh phải đạt được hoặc có thể

đạt được vào lúc cuối cùng hay ở những thời gian trung gian.

Việc phân bậc hoạt động dựa vào những căn cứ sau đây:

(i) Sự phức tạp của đối tượng hoạt động;

Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên đối tượng đơn giản.

Bậc cao: Tiến hành hoạt động trên đối tượng phức tạp hơn

Ví dụ 1.9

Khi dạy về xét sự biến thiên của hàm số y=ax3 +bx2 +cx+d,a≠ 0

GV cho học sinh làm bài tập:

Bậc thấp: Xét sự biến thiên của hàm số: 2 3 32

3

1 3− 2 + +

= x x x y

Bậc cao: Tìm m đề hàm số

3

2 2

3

1 3 2

+ +

y đồng biến trên khoảng ( 1 ; +∞ )

(ii) Sự trừu tượng, khái quát của đối tượng.

Bậc thấp: Tiến hành hoạt động trên những đối tượng cụ thể.

Bậc cao: Tiến hành hoạt động đó trên những đối tượng phức tạp hơn.

Ví dụ 1.10 Khi dạy về chủ đề hàm số, để kiểm tra kĩ năng tìm tập xác

định(TXĐ) của hàm số, giáo viên cho học sinh làm hoạt động sau:

Bậc thấp: Tìm TXĐ của hàm số y 12 x 1

= + − −

Bậc cao: Tìm m để hàm số y = x − m + 2 x − m − 1 có TXĐ là khoảng (0; +

∞)

(iii) Nội dung của hoạt động:

Nội dung của hoạt động chủ yếu là những tri thức liên quan tới hoạt động

và những điều kiện khác của hoạt động Nội dung hoạt động càng gia tăng thìhoạt động càng khó thực hiện, cho nên nội dung cũng là một căn cứ phân bậchoạt động

(iv) Sự phức hợp của hoạt động:

Một hoạt động phức hợp bao gồm nhiều hoạt động thành phần Gia tăngnhững thành phần nào cũng có nghĩa là nâng cao yêu cầu đối với hoạt động

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Rõ ràng hoạt động trên là hợp của hai hoạt động:

Hoạt động 1:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x3 − 3x2 − 3x− 1

(v) Chất lượng của hoạt động

Sự phân bậc hoạt động còn dựa trên chất lượng của hoạt động

Bậc thấp: Tiến hành hoạt động với sự giúp đỡ của giáo viên

Bậc cao: Độc lập tiến hành hoạt động.

Tùy theo mức độ lĩnh hội (tính độc lập, độ thành thạo) của học sinh màphân bậc hoạt động: tìm hiểu, tái hiện, vận dụng hay sáng tạo

1.1.2 Quá trình dạy học.

Quá trình dạy học các tri thức thuộc một môn khoa học cụ thể được hiểu

là quá trình hoạt động của giáo viên và của học sinh trong sự tương tác thống

nhất biện chứng của ba thành phần trong hệ dạy học bao gồm: giáo viên, học

sinh và tư liệu hoạt động dạy học.

* Tương tác giữa giáo viên với học sinh

Tương tác trực tiếp của giáo viên đối với học sinh là sự định hướng củagiáo viên với hoạt động của học sinh Từ sự tương tác của học sinh với tư liệudạy học đem lại cho giáo viên những thông tin liên hệ ngược cần thiết cho sựchỉ đạo của giáo viên với học sinh

* Tương tác giữa học sinh và tư liệu dạy học:

Hành động của học sinh với tư liệu hoạt động dạy học là sự thích ứngcủa học sinh với tình huống học tập, đồng thời là hành động chiếm lĩnh, xâydựng tri thức cho bản thân mình

* Tương tác giữa giáo viên với tư liệu hoạt động dạy học:

Hành động của giáo viên với tư liệu hoạt động dạy học là sự tổ chức tưliệu và qua đó cung cấp tư liệu, tạo tình huống cho hoạt động học của họcsinh Tương tác trực tiếp giữa học sinh với nhau và giữa học sinh với giáoviên là sự trao đổi, tranh luận giữa các cá nhân và nhờ đó, từng cá nhân học

sinh tranh thủ sự hỗ trợ từ phía giáo viên và tập thể học sinh trong quá trìnhchiếm lĩnh, xây dựng tri thức.

Hoạt động dạy học là hoạt động phức tạp, có mục đích, có thể tổ chứctheo các hình thức khác nhau, tuỳ thuộc vào cách thức giải quyết mối quan hệ

giữa các yếu tố: thầy, trò, tư liệu dạy học.

1.1.2.1 Hoạt động học của học sinh

Đối với môn Toán hoạt động học tập là hoạt động phức tạp dựa trên sựkiện thực tế, sự hướng dẫn của giáo viên, thông qua tư liệu dạy học, học sinhtiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quáthóa, từ đó rút ra kết luận mới, xây dựng tri thức mới, tương ứng hình thành:

kỹ năng, kỹ xảo

Kết quả: Bản thân chủ thể của hoạt động học - học sinh có sự thay đổi về

vốn kinh nghiệm, vốn kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, phương pháp nhận thức vànhân cách

Động cơ học Toán đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung Toánhọc, nghĩa là nắm vững các khái niệm, định lý, hệ quả quy luật phát triểnToán học, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, kỹ năng ứng dụng Toánhọc vào thực tiễn, Động cơ này lại được cụ thể hóa thành từng nhiệm vụhọc tập của hoạt động học Toán Để giải quyết nhiệm vụ đó, học sinh phảitiến hành một loạt các hành động với các thao tác tương ứng và được diễn ratheo các giai đoạn sau:

- Tiếp nhận nhiệm vụ đề ra chương trình hành động

- Thực hiện các hành động và các thao tác tương ứng

- Điều chỉnh hoạt động học Toán dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáoviên, của sự tự điều chỉnh và tự kiểm tra của bản thân

- Phân tích các kết quả thu được của hoạt động học, từ đó dần hình thànhđược phương pháp học tập có hiệu quả cho mình

1.1.2.2 Hoạt động dạy của giáo viên

Hoạt động dạy của giáo viên bao gồm hành động với tư liệu dạy học và

sự trao đổi, định hướng trực tiếp với học sinh giáo viên là người tổ chức tưliệu hoạt động dạy học, cung cấp tư liệu nhằm tạo tình huống cho hoạt độngcủa học sinh Dựa trên tư liệu hoạt động dạy học, giáo viên có vai trò tổ chức,kiểm tra, định hướng hoạt động của học sinh với tư liệu học tập và địnhhướng sự trao đổi, tranh luận của học sinh với nhau

Cơ sở của hoạt động dạy học Toán là sự điều khiển hoạt động học tậpcủa học sinh căn cứ trên lôgic của khoa học môn Toán, đặc điểm phươngpháp nghiên cứu Toán và đặc điểm tâm lý, trình độ nhận thức của học sinh vàđược quy định bởi những nhiệm vụ dạy học của bộ môn:

+ Đảm bảo cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản;

+ Đảm bảo cho học sinh nắm vững các kỹ năng cơ bản;

+ Phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học sinh;

+ Giáo dục kỹ thuật tổng hợp và thế giới quan cho học sinh

Kết quả của việc học tập phụ thuộc chủ yếu vào hoạt động của học sinh.Hoạt động dạy sẽ mang đầy đủ ý nghĩa của nó với mục đích là dạy học sinhthực hiện hoạt động chứ không phải trình bày theo mẫu sau đó học sinh bắtchước

1.2.2.3 Quan hệ giữa hoạt động dạy và hoạt động học

Hoạt động dạy và học không tách rời nhau mà gắn bó hữu cơ với nhau.Giáo viên tổ chức hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động, đồng thời họcsinh vừa tự giác điều chỉnh hoạt động của mình để nhớ lại hệ thống kiến thức

đã học, lựa chọn kiến thức cần thiết để xây dựng kiến thức mới Giáo viênphải đảm bảo mối liên hệ thường xuyên để kịp thời điều chỉnh hoạt động dạycho phù hợp với hoạt động học

1.2.2.4 Sự khác nhau giữa hoạt động dạy và hoạt động học

* Mục đích:

+ Mục đích của hoạt động dạy của giáo viên là bằng các hành độnghướng dẫn sư phạm tác động đến tư duy học sinh, nhằm hình thành năng lựchoạt động trí tuệ và các phẩm chất cần thiết theo mục tiêu dạy học

+ Mục đích của hoạt động học của học sinh là thông qua HĐNT mộtcách tích cực, tiếp thu tri thức mà loài người đã tích luỹ được, biến chúngthành năng lực hoạt động của cá nhân, tự biến đổi mình để đạt được một trình

độ cao hơn

* Nội dung:

Nội dung của hoạt động dạy và hoạt động học giống nhau, được qui địnhtrong chương trình, được cụ thể ở SGK và mục tiêu môn học, bài học Đó lànhững kiến thức, kĩ năng vừa sức, phù hợp với mục đích dạy học, được họcsinh hứng thú, tự giác, tích cực tiếp thu

* Phương pháp:

+ Phương pháp dạy là những cách thức chỉ đạo, điều khiển HĐNT củahọc sinh, nhờ đó học sinh biết thực hiện các hành động, thao tác học tập tíchcực, tự lực

+ Phương pháp học là cách thức hoạt động của học sinh để có thể chiếmlĩnh được kiến thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và các phẩm chất khác củangười lao động

Qua hai hoạt động này cho thấy rằng: Thầy và trò cùng hoạt động nhưngnhững hoạt động động này có những chức năng rất khác nhau hoạt động củathầy là thiết kế điều khiển, hoạt động của trò là học tập tự giác, tích cực, Vìvậy, muốn nâng cao chất lượng dạy và học cần phải đảm bảo sự thống nhấtgiữa hoạt động điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò Sự thốngnhất giữa hoạt động điều khiển của thầy và hoạt động học tâp của trò có thểthực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy Toántrong hoạt động và bằng hoạt động Thầy thiết kế và điều khiển sao cho tròthực hiện và luyện tập những hoạt động tương thích với nội dung và mục đíchdạy học trong điều kiện chủ thể được gợi động cơ có hướng đích, ý thức vềphương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công.

1 2 Tìm hiểu về thực trạng dạy học ở trường phổ thông hiện nay.

1.2.1 Mục đích.

Tìm hiểu cụ thể về thực trạng dạy học Toán của các trường THPT để trên

cơ sở đó có kết luận chính xác về các yếu tố ảnh hưởng đến khả năng nhậnthức Toán học của học sinh, phát hiện những nguyên nhân, khó khăn của học

sinh trong quá trình nhận thức Toán học để trên cơ sở đó lựa chọn và tổ chứctập luyện các hoạt động học tập phù hợp cho học sinh, nâng cao chất lượng,hiệu quả dạy - học Toán nói chung và dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụngđạo hàm nói riêng.

1.2.2 Phương pháp tìm hiểu thực tế dạy và học.

Chúng tôi sử dụng các phương pháp:

+ Thăm dò giáo viên (dùng phiếu điều tra, trao đổi, dự giờ)

+ Điều tra học sinh (dùng phiếu điều tra, dự giờ, trao đổi trực tiếp)

+ Trao đổi với lãnh đạo nhà trường, tổ trưởng bộ môn, chuyên viên vàcốt cán bộ môn của Sở

Các vấn đề tìm hiểu

+ Cơ sở vật chất của nhà trường, trang thiết bị phục vụ cho việc dạy và học.+ Sử dụng các tài liệu phục vụ chuyên môn, sử dụng các phương phápgiảng dạy, mức độ sử dụng thiết bị dạy học, cách soạn giáo án, phương phápđổi mới kiểm tra đánh giá của giáo viên trong dạy học môn Toán

+ Trình độ nhận thức về môn Toán, cách thức học Toán, việc sử dụngsách trong học tập Toán, mức độ hứng thú học tập môn Toán của học sinh vànguyên nhân ảnh hưởng đến khả năng nhận thức toán học của các em

1.2.3 Kết quả.

1.2.3.1 Về thực trạng giảng dạy Toán của giáo viên

+ Việc sử dụng tài liệu phục vụ chuyên môn:

Nhìn chung các giáo viên ở những trường chúng tôi điều tra đã có đủSGK, sách giáo viên và một số sách tham khảo phục vụ cho việc dạy học bộmôn Toán, các tài liệu này chủ yếu mượn của thư viện nhà trường Nhìnchung sách tham khảo còn ít, nếu có chỉ là những sách cũ không phù hợp với

xu hướng đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán hiện nay

Việc sử dụng thiết bị dạy học chưa thường xuyên, nhiều trường không có đủthiết bị phục vụ dạy học.

+ Cách soạn giáo án:

Nhìn chung trong bài soạn, giáo viên thực hiện đủ các bước lên lớp theoquy định, song một số bài soạn chưa xác định đúng trọng tâm kiến thức bàihọc, soạn theo kiểu diễn giảng là chính Phần lớn các giáo viên chưa đầu tưvào việc thiết kế các hoạt động tương thích với nội dung dạy học và chưa xâydựng được hệ thống câu hỏi phát vấn đòi hỏi phát triển tư duy ở học sinh, ítxây dựng tình huống có vấn đề trong học tập

+ Phương pháp giảng dạy:

Vẫn có một số giáo viên không biết dạy thế nào cho phù hợp với mụctiêu đã đề ra, thế nào là có chất lượng và có hiệu quả cao, không biết cải tiếnviệc giảng dạy của mình như thế nào Một số giáo viên sắp xếp, phân bố thờigian chưa hợp lí, nhất là dành quá nhiều thời gian cho việc trình bày bảng củathầy và việc ghi chép bài của trò Chẳng hạn, giáo viên để rất nhiều thời giancho việc ghi các tiêu đề, chép lại các định nghĩa, định lí, lên bảng và nhiềugiáo viên không quan tâm lúc đó trò làm gì miễn là lớp học vẫn trật tự Nộidung SGK có gì là giáo viên cố gắng dạy bằng hết, vì thế để có đủ thời gianthì giáo viên phải thuyết trình nhiều mà ít tổ chức các tình huống cho học sinhhoạt động dẫn đến truyền thụ kiến thức một chiều Khi giảng bài giáo viêncũng có có đặt câu hỏi cho học sinh nhưng chất lượng câu hỏi chưa cao, cònvụn vặt, một số câu hỏi lại quá khó do đó không tạo được cơ hội cho học sinhtích cực suy nghĩ và giải quyết vấn đề cơ bản trong bài học Hình thức dạyhọc chưa đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gâyhứng thú cho học sinh Một số giáo viên có cố gắng đổi mới PPDH thì khálúng túng, mất nhiều thời gian để xử lí tình huống, nhất là: khi học sinh không

thực hiện được yêu cầu như mong muốn, học sinh giải sai, học sinh không trảlời được câu hỏi, học sinh trả lời không theo dự kiến.

1.2.3.2 Về thực trạng học môn Toán của học sinh:

*) Trình độ nhận thức của học sinh

Thực tiễn sư phạm cho thấy, chất lượng đại trà của học sinh còn yếu Sốhọc sinh tự mình tiếp thu và giải được các bài toán không nhiều, hầu hết họcsinh còn yếu các kĩ năng kiến tạo kiến thức (yếu về định hướng giải toán, yếu

về kĩ năng chuyển đổi bài toán, kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, kĩ năng pháthiện vấn đề để giải quyết vấn đề, )

*) Phương pháp và thái độ học tập môn toán

+ Đa số học sinh chưa biết phương pháp học, nên hiệu quả học tập trongnhà trường là chưa cao Kỹ năng ghi chép và nhớ còn “ngự trị”, “lấn át”

những kỹ năng khác như: tự đọc, tự suy nghĩ, tìm tòi, tự tóm lược, … Điều này

ảnh hưởng rất lớn tới việc học ở những bậc học cao hơn Có đến 70% họcsinh chỉ học thuộc lòng những gì giáo viên cho ghi trong vở và những địnhnghĩa ở SGK, chỉ khoảng 15% học sinh tự giác làm bài tập ở sách bài tập vàsách tham khảo, 65% học sinh chỉ làm những bài tập dễ ở SGK, 15% học sinhhầu như không làm bài tập ở nhà

+ Học sinh còn lười suy nghĩ, chưa tích cực tư duy hoạt động trí não tìmtòi phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề, tiếp thu kiến thức một cách thụ độngnên dễ quên, không vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải toán Học sinh chưa

có thói quen tư duy tìm tòi, sáng tạo, khai thác các vấn đề mới từ những cái đãbiết, đã học Có khoảng 35% học sinh chú ý nghe giảng, suy nghĩ, tích cựcphát biểu, xây dựng bài, 60% chủ yếu chỉ nghe giảng và ít khi phát biểu, 15%không chú ý nghe giảng

+ Đa số học sinh (60%) cho rằng Toán học là môn học trừu tượng, khóhiểu, phải học là do bắt buộc nên không hứng thú học tập

1.1.3.3 Những khó khăn của giáo viên khi dạy học theo chương trình SGK mới

Thời gian tiếp cận với chương trình SGK mới, với yêu cầu đổi mới PPDHcòn chưa nhiều, lại thiếu các tài liệu cụ thể về việc tổ chức dạy học nên giáoviên còn lúng túng trong việc tổ chức dạy học theo phương pháp mới Một số

giáo viên vẫn có chỗ, có lúc vẫn đang nặng nề về thuyết trình, chưa phát huy

được năng lực chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh trong dạy học

Phân phối chương trình của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo còn có chỗ chưađược hợp lý; với một khối lượng kiến thức cần truyền đạt tương đối nhiều màgiáo viên phải dạy theo đúng phân phối chương trình quy định Điều này gópphần tạo tâm lý e ngại cho nhiều giáo viên trong việc đổi mới PPDH, việc mởrộng khai thác các khái niệm, tính chất, định lí, bài tập chưa được triệt để, sâusắc Đối với SGK mới lượng kiến thức đưa ra có phần dàn trải, các khái niệm,định lí chủ yếu là giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh Dẫn đến khókhăn cho giáo viên trong việc khai thác dẫn dắt giải các bài Toán Đồng thờicác bài tập trong SGK chưa có nhiều bài tập đòi hỏi học sinh tư duy nhiềutrong quá trình giải, nhất là với học sinh khá giỏi Điều có phần hạn chế việcphát triển tư duy cho học sinh Vì vậy, giáo viên cần phải đổi mới từ cáchsoạn giáo án, đổi mới cách dạy, sao cho phù hợp với tình hình thực tiễnhiện nay

1.3 Nội dung chủ đề đạo hàm và ứng dụng đạo hàm của hàm số

trong chương trình môn Toán THPT.

1.3.1 Nội dung chủ đề Đạo hàm.

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Giải tích

Nó là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số Nhờ khái niệmđạo hàm, ta có thể nghiên cứu: tính đơn điệu của hàm số, vấn đề cực trị củahàm số, các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số, … điều này giúpích rất nhiều cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Đạo hàm cũng là một

công cụ hữu hiệu để giải quyết một số bài toán quan trọng trong nhiều lĩnhvực khoa học (Cơ học, Điện học, Hoá học, …).

Mục tiêu của chương:

Về kiến thức:

- Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm;

- Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm;

- Nắm được định nghĩa vi phân, công thức tính gần đúng nhờ vi phân;

- Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp cao và ứng dụng trong cơ học củađạo hàm cấp hai

Về kĩ năng: Học sinh cần đạt được các yêu cầu sau

- Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa đối vớimột số hàm số đơn giản;

- Vận dụng tốt các quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thương cáchàm số và cách tính đạo hàm của hàm số hợp;

- Biết cách tính đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp;

- Biết các ứng dụng của đạo hàm và vi phân để giải một số bài toán vềtiếp tuyến, vận tốc, …

Cấu tạo của chương: Gồm 5 bài, dự kiến thực hiện trong 15 tiết, cụ thể:

§1 Khái niệm đạo hàm (2 tiết)

Luyện tập (1 tiết)

§4 Vi phân (1 tiết)

§5 Đạo hàm cấp cao (1 tiết)

Luyện tập (1 tiết)

Ôn tập và kiểm tra chương (2 tiết)

* Những điểm mới về cấu trúc và thời lượng:

Trong chương trình SGK Chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung phầnGiải tích liên quan đến khái niệm Đạo hàm được dành 46 tiết và được phân bốvào 2 chương đầu của lớp 12:

Chương I: Đạo hàm (20 tiết)

Chương II: Ứng dụng của đạo hàm (26 tiết)

Trong chương trình đổi mới này, nội dung trên của SGK nâng cao đượcchia thành 3 mảng nội dung và được phân bố vào 2 năm học: Đạo hàm (cuốilớp 11, tiếp nối ngay với chương giới hạn trước đó), ứng dụng của đạo hàmđầu lớp 12 và công thức tìm đạo hàm của các hàm số mũ, hàm số Lôgarít vàhàm số luỹ thừa (xen kẽ vào nội dung của chương tiếp theo ở lớp 12)

Đạo hàm trình bày ở chương V- Chương cuối của năm học lớp 11.Điều đó có những ưu điểm cơ bản sau:

- Tiếp nối ngay được chương Giới hạn (chương IV) đã học trước đónên vận dụng được dễ dàng các định lí, tính chất vừa học của chương Giớihạn

- Không gây căng thẳng cho học sinh phải học liên tục, học dồn dậpnhiều giờ vào một vấn đề

- Đáp ứng kịp thời những kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tậptốt các môn học khác như: Vật lí, Hoá học, Sinh học,

Thời gian dành cho chương Đạo hàm chỉ có 15 tiết, giảm 5 tiết so vớiSGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Nhưng bù lại, chương này chưa đề cập đếncác công thức tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số Luỹthừa (đã được chuyển lên lớp 12) Để tăng tính khả thi của sách, các tác giả đãcải tiến cách trình bày, rút gọn cách xây dựng một số khái niệm, tăng thờigian luyện tập, giảm thời lượng giảng bài lí thuyết nhưng vẫn đảm bảo bámsát chương trình và chuẩn kiến thức đã được quy định

Về mục câu hỏi và bài tập sau mỗi bài, SGK đã cố gắng cải tiến theohướng:

Bớt những bài tập phải tính toán cồng kềnh, những bài tập áp dụng quytắc tính đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian, những bài tậptính Đạo hàm của các hàm số cho bởi nhiều biểu thức Giải tích

- Đa dạng hoá các bài tập: cụ thể có nhiều câu hỏi và bài tập có hìnhảnh hình học, nhiều bài tập ôn tập được những kiến thức mà học sinh đã học ởlớp 10 và đầu lớp 11 nhiều bài tập áp dụng thực tế

* Những điểm mới về nội dung:

Để thực hiện những định hướng về đổi mới nội dung và PPDH mônToán theo tinh thần phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh SGK Đại số

và Giải tích lớp 11 nâng cao đã có những thay đổi sau:

- Đổi mới phương pháp trình bày một số khái niệm như: thay đổi địnhnghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp,

- Giảm một số kiến thức khó như: Đạo hàm một phía, đạo hàm trênđoạn, quan hệ giữa đạo hàm và liên tục, Bớt chứng minh một số định lí

- Tăng cường luyện tập tại lớp, thêm một số bài tập về nhà (nhưng cácbài tập này thường là dễ) bỏ hẳn những bài toán phức tạp hoặc những bài toánkhó Chẳng hạn: Bớt đi những bài toàn tính theo định nghĩa Đạo hàm của hàm

số cho bởi hai hay nhiều biểu thức, đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm

số trung gian

- Thêm một số bài toán ứng dụng thực tế, bài toán có hình ảnh hìnhhọc, bài toán tổng hợp (mà không khó) ôn tập được nhiều kiến thức đã học ởlớp 10 và lớp 11

Ví dụ: §3 Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Trước khi phát biểu Định lí 1, nên yêu cầu học sinh xem (mà khôngtính toán) bảng giá trị của sinx x ở trong SGK để đi đến nhận xét: với x(dương) càng nhỏ thì sinx x càng gần với 1 Trong khuôn khổ của chươngtrình, Định lí này không được chứng minh Tuy nhiên, đối với các học sinhgiỏi, nhất là đối với các học sinh chuyên toán, giáo viên cũng có thể hướngdẫn cho học sinh chứng minh định lí này, nhưng trước đó, học sinh phải đượctrang bị Định lí “kẹp” sau đây:

Định lí: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0; các hàm số g1, f và

g2 cùng xác định trên D = (a; b)\{x0} sao cho g1(x) ≤ f(x) ≤ g2(x) với mọi xthuộc D Khi đó, nếu x x g x = x x g x = L

2 sin lim 2

x

x

Đó chỉ là một trường hợp riêng của định lí: “Nếu hàm số u = u(x) thoả

mãn các điều kiện: u(x) ≠ 0 với mọi x ≠ x0 và lim0 ( )=0

→ u x

x

) (

) ( sin lim

0

=

x u

x x

”

Tất nhiên định lí trên vẫn đúng với u(x) ≠ 0 với mọi x thuộc mộtkhoảng nào đó chứa x0 sao cho x ≠ x0 Tuy nhiên, để đơn giản ta chỉ đưa racác ví dụ và bài tập với hàm số u = u(x) thoả mãn điều kiện u(x)≠ 0 với mọi x

≠ x0

Có thể chứng minh phần b) của định lí 2 như sau:

Hàm số y = g(x) = sin(u(x)) có thể xem là hàm số hợp của hàm số f(u)

= sinu và hàm số trung gian u = u(x) chú ý rằng f ‘(u) = (sinu)’ = cosu

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta được:

y’ = g’(x) = f’[u(x)].u’(x) = [cos u(x)].u’(x), chứng minh tương tự cho phần b) của các định lí 3, 4 và 5

1.3.2 Nội dung chủ đề ứng dụng đạo hàm

* Vị trí của chủ đề “ứng dụng đạo hàm của hàm số”

Sau đây chúng tôi phân tích vị trí của chủ đề ứng dụng đạo hàm của

hàm số đối với môn Toán nói chung và đối với chương trình Giải tích lớp 12

nói riêng

Chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số chứa đựng nhiều tiềm năng to

lớn trong việc phát huy năng lực nhận thức và sáng tạo của học sinh Đây làmột chủ đề hay và khó ở trường THPT với hệ thống lý thuyết và bài tậpphong phú, đa dạng, có nhiều sự độc đáo trong các phương pháp giải tạo nên

sự hấp dẫn say mê đối với học sinh Các kiến thức về ứng dụng đạo hàm được

áp dụng để giải quyết khá nhiều các loại bài toán; chẳng hạn như vấn đề vềtính đơn điệu của hàm số, chúng ta cũng có thể giải quyết được một loạt bài

toán như là: khảo sát tính đơn điệu của hàm số; điều kiện để hàm số đơn điệutrên khoảng cho trước; áp dụng tính đơn điệu để chứng minh đẳng thức, bấtđẳng thức; dùng tính đơn điệu để giải phương trình, hệ phương trình … Vấn

đề về cực trị của hàm số, chúng ta có thể giải quyết một số bài toán: tìm cựctrị của hàm số; tìm điều kiện để hàm số có cực trị; giá trị cực trị và đườngthẳng đi qua các điểm cực trị; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; dùng cực trị đểchứng minh bất đẳng thức … Còn vấn đề về tính lồi lõm và điểm uốn củahàm số, chúng ta có thể giải quyết một số bài toán: tính lồi lõm và điểm uốncủa hàm số; điều kiện để hàm số có điểm uốn; áp dụng tính lồi lõm để chứngminh bất đẳng thức …

Như vậy, các kiến thức về chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số được

áp dụng để giải quyết khá nhiều các loại bài toán trong chương trình toán phổthông nói chung và chương trình Giải tích 12 nói riêng, tạo nên tiềm năng choviệc phát huy năng lực nhận thức của học sinh

* Mục tiêu của chương

Về kiến thức

Giúp học sinh nắm vững

- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số ;

- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số ;

- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìmcác giá trị đó ;

- Định nghĩa và cách tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số ;

- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Về kỹ năng

Giúp học sinh có kỹ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên(tức là tính đơn điệu) của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số thực cho trước, viết phương

trình các đường tiệm cận của đồ thị và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị củamột số hàm số đơn giản.

Cấu tạo của chương: Gồm 8 bài, dự kiến được thực hiện trong 23 tiết,

phân phối cụ thể như sau :

§1 Tính đơn điệu của hàm số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) §2 Cực trị của hàm số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) §3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) §4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ (1 tiết) §5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (2 tiết) §6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Kiểm tra giữa chương 1 (1 tiết) §7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số phân thức (2 tiết) Luyện tập (2 tiết) §8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Câu hỏi và bài tập ôn tập chương I (2 tiết) Bài đọc thêm : Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong

* Những điểm mới về cấu trúc thời lượng và nội dung

Về cấu trúc thời lượng, so với SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 thìSGK giải tích 12 nâng cao hiện nay có một số điểm mới sau :

- Giảm bớt được 3 tiết ( chỉ còn 23 tiết so với 26 tiết trước đây)

- Không xét tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số nữa mà chỉ đưanội dung này vào bài đọc thêm

- Các SGK trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất Giải tích 12 chỉxét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng Trong SGK giải tích đổi mớihiện nay, các tác giả đã đề cập đến tính đơn điệu của hàm số không chỉ trênmột khoảng mà cả trên một đoạn và trên một nửa khoảng.

- SGK giải tích mới hiện nay, trong phần ứng dụng của đạo hàm có đưavào một số bài tập mà nội dung mang tính thực tế Chúng giúp học sinh thấynhững ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán thực tế Khi giải một sốbài tập thuộc loại này, ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số nguyên dương

Về nội dung, gồm hai phần : phần đầu cung cấp cho học sinh nhữngkhái niệm dùng để mô tả một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, cựctrị, đường tiệm cận của đồ thị hàm số, phương pháp dùng giới hạn và đạo hàm

để nghiên cứu các tính chất đó Thực chất đây là bước chuẩn bị cho phần thứ

hai là khảo sát hàm số Khác với SGK 2000, chương trình SGK giải tích 12

hiện nay đã bỏ qua tính lồi – lõm của đồ thị Tuy nhiên, do có vai trò đặc biệttrong việc vẽ đồ thị, điểm uốn vẫn được SGK đề cập ở mức độ đơn giản

Để giúp học sinh trình bày lời giải bài khảo sát hàm số được thuận tiện,các tác giả đã đưa ra một sơ đồ khảo sát hàm số cải tiến hơn so với sơ đồtruyền thống Cụ thể là trong bước thứ hai (khảo sát sự biến thiên), việc tìmcác giới hạn đặc biệt của hàm số và tìm các đường tiệm cận của hàm số đượctiến hành trước ; sau đó mới tính đạo hàm, khảo sát chiều biến thiên, cực trị

và điểm uốn điều đó cho phép bỏ qua việc lập riêng một bảng xét dấu củađạo hàm và học sinh chỉ cần lập duy nhất một bảng biến thiên của hàm số

Đáng chú ý ở đây là vấn đề đường tiệm cận Như đã biết, SGK Đại số

và Giải tích 11 đã phân biệt các giới hạn tại +∞ và -∞ Điều đó dẫn đến

những khác biệt ở Giải tích 12 so với SGK trước đây khi xét tiệm cận.

Chẳng hạn, khi xét tiệm cận ngang, trước đây ta chỉ phải tìm một giới

≠ y2 , đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = y1 và y = y2 ; còn khi y1 = y2

đồ thị có một tiệm cận ngang y = y1 Điều đó cũng xảy ra tương tự đối vớitiệm cận xiên

Cũng như vậy, khi xét tiệm cận đứng, ta phải xét tất cả các điểm x0 sao

cho một trong các giới hạn ( )

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, chúng tôi đã tiến hành phân tích các yếu

tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển nhận thức của học sinh từ đólàm cơ sở lựa chọn các dạng hoạt động cần thiết để tập luyện cho học sinhnhằm góp phần phát triển khả năng nhận thức, kỹ năng giải toán cho các em.Việc làm này là thực sự cần thiết phù hợp với thực tiễn, đáp ứng được nhucầu về đổi mới PHDH và mang lại hiểu quả cho quá trình dạy học Toán ởtrường THPT

Chương 2 TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH CÁC HOẠT ĐỘNG TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP THPT.

2.1 Sự cần thiết phải tập luyện cho học sinh các dạng hoạt động trong quá trình dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT.

Khi bàn về phương pháp giáo dục J Piaget đã rất nhấn mạnh đến vai tròhoạt động của học sinh Ông đã kết luận: “Người ta không học được gì hết,nếu không phải trải qua sự chiếm lĩnh bằng hoạt động, rằng học sinh phải phátminh lại khoa học, thay vì nhắc lại những công thức bằng lời của nó” “Trẻ

em được phú cho tính hoạt động thực sự và giáo dục không thể thành côngnếu không sử dụng và không thực sự kéo dài tính hoạt động đó”

“Con người phát triển trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động.Tập trung vào hoạt động của học sinh là một yêu cầu có tính chất nguyên tắctrong PPDH” [8, tr 23]

Mục đích của dạy học là đem đến sự phát triển toàn diện cho học sinh.Điều đó nói lên rằng giữa dạy học và phát triển có mối quan hệ với nhau Đó

là mối quan hệ hai chiều, biện chứng: Trước hết phát triển là mục đích cuốicùng của hoạt động dạy học, đồng thời khi tư duy học sinh phát triển thì việcthu nhận và vận dụng kiến thức của học sinh sẽ nhanh chóng và hiệu quả hơn,

quá trình dạy học diễn ra một cách thuận lợi hơn Học tập thông qua các hoạtđộng sẽ phát huy được vai trò chủ động tích cực của học sinh nhờ đó mà cáckiến thức được truyền đạt cho học sinh không bị áp đặt Thông qua hoạt động

sẽ tạo điều kiện cho các em học sinh thể hiện mình, trau dồi về khả năng trìnhbày trước tập thể, khả năng tự đánh giá mình và tập đánh giá người khác Hơnnữa, thông qua hoạt động sẽ làm cho các em thấy được vai trò của môn Toánđối với thực tiễn và các em sẽ hứng thú học tập bộ môn Toán hơn

2.2.Các căn cứ để xác định các dạng hoạt động cần thiết có tác động đến quá trình nhận thức của học sinh trong dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT.

2.2.1 Căn cứ vào nội dung dạy học.

Chúng ta hiểu hoạt động được gọi là tương thích với nội dung nếu nó

được tiến hành trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó Hoặcnói cách khác, một hoạt động là tương thích với nội dung nếu việc nắm được

nội dung này là điều kiện hay kết quả (đọng lại trong chủ thể) của hoạt động

đó Từ "kết quả" ở đây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể,phân biệt với kết quả tạo ra ở môi trường bên ngoài

Chẳng hạn, khi ta dạy khái niệm hàm số chẵn, lẻ thì các hoạt động như:phân tích, so sánh những đối tượng riêng lẻ thích hợp, trừu tượng hóa tách racác đặc điểm đặc trưng của chúng, nhận dạng, thể hiện, là tương thích vớikhái niệm đó bởi vì nó đem lại kết quả là giúp cho học sinh hiểu biết và vậndụng khái niệm này

2.2.2 Căn cứ vào mục đích dạy học.

Việc tập trung vào một số mục đích nào đó căn cứ vào tầm quan trọngcủa các mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại

Chẳng hạn, khi dạy định nghĩa đạo hàm tại một điểm Những hoạt độngtiềm tàng ở nội dung dạy học này cần được cân nhắc, sàng lọc, tập trung vàonhững mục đích sau:

- Hiểu được khái niệm;

- Có kĩ năng tính đạo hàm bằng định nghĩa

Việc tập trung vào những mục đích trên dựa vào căn cứ sau đây:

Việc hiểu khái niệm và kĩ năng tính đạo hàm bằng định nghĩa làm cơ sởcho việc học nội dung các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm số sơcấp Đây là một nội dung khá quan trọng của chương trình toán học THPT

2.2.3 Căn cứ vào chức năng của hoạt động.

Mỗi loại hoạt động đều có một chức năng riêng, trong quá trình dạy họcnếu giáo viên biết lựa chọn các hoạt động phù hợp cho mỗi đơn vị kiến thức

hay loại hình bài dạy thì sẽ tác động tích cực đến quá trình nhận thức của các

em học sinh Khi thiết kế và sử dụng các hoạt động chúng ta phải hiểu rõ;chúng ta dùng hoạt động này có mục đích gì? Nó giúp học sinh nhớ lại kiếnthức cũ hay là gợi vấn đề mới? Nó giúp học sinh giải quyết vấn đề hay là đểkết thúc vấn đề ?

Chẳng hạn, đối với bài dạy khái niệm hay định lí, sau khi dạy khái niệm

hoặc định lí cho học sinh thì chúng ta thường giúp học sinh củng cố định nghĩa

và tính chất nhờ các hoạt động ngôn ngữ, hoạt động nhận dạng và thể hiện Cònđối với tiết dạy bài tập thì lại rất thích hợp với các hoạt động mà học sinh phảithực hiện các thao tác như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu

tượng hóa,

2.2.4 Căn cứ vào yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay.

Ngày nay, trước ngưỡng cửa của thế kỷ XXI - đòi hỏi nhà trường phổthông phải đào tạo ra những con người không những nắm vững được nhữngkiến thức khoa học mà loài người đã tích lũy được mà còn phải có những

năng lực sáng tạo giải quyết những vấn đề mới mẻ của đời sống bản thânmình, của đất nước, của xã hội.

Như vậy: “PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho học sinh học tập tronghoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo” Để làmtốt điều này giáo viên cần lựa chọn đúng các dạng hoạt động để tổ chức tậpluyện cho học sinh nhằm rèn luyện các kĩ năng cần thiết, phát huy TTC chủđộng trong học tập để giúp người học tự tin vào bản thân, cố gắng dành lấykết quả cao trong học tập

2.3 Một số dạng hoạt động cần tập luyện cho học sinh nhằm phát triển khả năng nhận thức trong quá trình dạy học Toán.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [9, tr 63] trong dạy học Toán ở trường THPT cầnchú trọng các dạng hoạt động sau đây:

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

- Những hoạt động toán học phức hợp; như chứng minh, định nghĩa, giảitoán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích thường xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong SGK phổ thông Cho học sinhtập luyện những hoạt động này sẽ làm cho học sinh nắm vững những nội dungtoán học và phát triển những kĩ năng và năng lực toán học tương ứng

- Những hoạt động ngôn ngữ;

- Những hoạt động trí tuệ chung, đó là: phân tích, tổng hợp, so sánh, xéttương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá,

- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, đó là: lật ngược vấn

đề, xét tính giải được (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiều nghiệm), phânchia trường hợp,

Còn theo tác giả Bùi Văn Nghị [13, tr.12] thì cho rằng nhiều dạng hoạtđộng có thể khai thác và rèn luyện cho học sinh như: tìm tòi, dự kiến, kiểm

nghiệm, lật ngược vấn đề, nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ, chứng minh, khắcphục sửa chữa sai lầm,

Theo GS Đào Tam [20, tr.32] thì ngoài các hoạt động trên còn có cáchoạt động như: biến đổi đối tượng, đồng hóa, điều ứng, mô hình hóa, tổngquát hóa,

Theo các tác giả trên chúng tôi có thể phân tích và lựa chọn ra một số dạnghoạt động cần tập luyện cho học sinh trong dạy học Chủ đề đạo hàm và ứngdụng đạo hàm ở trường THPT là:

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

+ Hoạt động ngôn ngữ;

+ Hoạt động tìm tòi phát hiện;

+ Hoạt động biến đổi đối tượng;

2.4 Một số định hướng của việc thiết kế các tình huống hoạt động để tập luyện cho học sinh trong quá trình dạy học nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm ở trường THPT.