Đồ thị của hàm số và trục hoành Cắt tại 3 điểm cách đều nhau hay 3 điểm lập thành CSC Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Tiếp xúc nhau tại 1 điểm và cắt nhau tại 1 điểm Cắt nhau tại 1 điểm.. [r]
Trang 1CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA
HÀM SỐ Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Tìm TXĐ
Tính y’ Tìm các điểm tới hạn
Lập bảng biến thiên
Kết luận
Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
R hoặc trên từng khoảng của tập xác định.
Tìm TXĐ
Tính y’
Hàm số ĐB trên R y ' 0, x R
0 0
a
( Hàm số nghịch biến trên R y ' 0, x R
0 0
a
)
Từ đó suy ra điều kiện của m
Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến
trên khoảng (a,b)
* Cách 1:
+ Hàm số ĐB trên (a,b) y' 0, x a b,
y' 0, x a b,
( vì y’liên tục tại x = a và x =b) g(x) h(m) , x a b,
min
, g x h m
a b
(*) + Tính g’(x) Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x0a b,
Tính g x 0 ,g a g b , => min
, g x
a b
+ Từ (*) suy ra điều kiện của m
* Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2)
+ Hàm số ĐB trên (a,b) y' 0, x a b,
Có 2 trường hợp :
* TH1 :
0 ' 0,
0
a
suy ra m
* TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
…….(điều kiện về x 1 , x 2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem
phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai )
Suy ra m
Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm
Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ
dài bằng d.
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Hàm số có khoảng ĐB, NB y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt x1, x2
0 0
a
.suy ra m (*)
+ Biến đổi x1 x2 d
x x x x d
Bài 1 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x),
,
x a b
bằng cách sử dụng tính đơn điệu
( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 )
Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b)
Tính f x '( ) Chứng tỏ f x '( ) 0, x [ , ) a b
Hàm số đồng biến trên [a,b)
x a b, : ( )f x f a( )
=…
Suy ra đpcm
-Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có)
+Lập bảng biến thiên + Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và yCĐ = … Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và yCT = …
Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng giác):
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi
+ Tính y”
Tính y”(xi) +Kết luận : y”(xi) >0 => hs đạt CT tại xi và yCT =… y”(xi) <0 => hs đạt CĐ tại xi và yCĐ =…
Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị.
(Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm đó)
Tìm TXĐ
Tính y’
- Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có
2 cực trị) pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt
0
y a
suy ra m
- Hàm b3 ko có cực trị y’=0 có n0 kép hoặc vô n0.
- Hàm
2 1
b
b có cực trị pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu)
0 ( ) 0
g
g x
( với g(x) = tử số của y’ )
Giải hệ tìm m
Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x 0
Tìm TXĐ
Tính y’
Cách 1:
Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 tìm m
Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’ lập bảng biến thiên Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không
Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x0
0 0
" 0
y x
y x
Trang 2Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m
Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm
Giải hệ tìm m
Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x 0
Tìm TXĐ
Tính y’ , y”
Hàm số đạt cực đại tại x = x0
0 0
" 0
y x
y x
( Hàm số đạt cực tiểu tại x0
0 0
" 0
y x
y x
Giải hệ tìm m
Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc
có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x 1 , x 2 )
.
+ Tìm TXĐ
+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu (*)
+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0
( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của
các hoành độ)
+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K
So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt
Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực
trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông
góc hoặc song song với đt cho trước,….)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị (*)
+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)
Gọi M x y1 1, 1,M x y2 2, 2
là các điểm cực trị
=> y x ' 1 0
và y x ' 2 0 Suy ra : y1 ax1 b,
y2 ax2 b
Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y =
ax +b
+ Tìm m thỏa điều kiện K
+ So với (*) kết luận m cần tìm
Bài 2 7 : Cực trị của hàm trùng phương
yax bx c a
+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax3 +2bx
0 ' 0
x y
Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0
Hàm số có 3 cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
pt (*) có 2 nghiệm phận biệt khác
0
a.b <0
Hàm số có 2 CĐ và 1 CT
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0
0 0
a
b
Hàm số có 2 CT và 1 CĐ
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0
Hàm số có đúng 1 cực trị pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
0
a b b
Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A.
-Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b)
Xét hàm số trên (a,b)
Tính y’
Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )
Lập bảng biến thiên
Dựa vào BBT kết luận max , mina b, y a b, y
Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b]
Xét hàm số trên [a,b]
Tính y’
Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi [ , ] a b
Tính y x i ,y a y b ,
Kết luận
max , min
[ , ] [ , ]a b y a b y.
Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp
Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung
Đặt t = HSLG đó điều kiện của t t[ , ]
Ta được : g(t) = … Tính g’(t) Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti [ , ]
Tính g( ti) , g ,g
Suy ra :
max max
[ , ] [ , ]
min min
[ , ] [ , ]
a b
a b
Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b]
Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]
Tính y’ cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )
Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] )
Suy ra
max [ , ]a b y ( hoặc [ , ]mina b y)
Cho
max [ , ]a b y= d (hoặc [ , ]mina b y=d ) tìm m.
Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán
VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
Trang 3
0 0
a
b
Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương
B1 : Tập xác định : D = R
B2: Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm
B3 : Giới hạn : lim
và lim
B4: Bảng biến thiên
Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực
tiểu
B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt)
B6 : Vẽ đồ thị
( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương
nhận Oy làm trục đối xứng)
Bài 4.2 : Khảo sát hàm 1: 0
1
B1 : Tập xác định : D =
c
B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0,
d x c
B3 : Giới hạn và tiệm cận :
+ lim 0
y = y0 là tiệm cận ngang.
+
lim
d
x
c
y
và
lim
d x c
y
(-hoặc+
)
d x c
là tiệm cận đứng
B4: Bảng biến thiên
Kết luận :
- Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng
khoảng xác định
- Hàm số không có cực trị
B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt)
B6 : Vẽ đồ thị
Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C):yf x
đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm của phương trình
F m x
(1)
Đưa pt (1) về dạng : f x g m
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)
và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang)
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d
g(m) m Số nghiệm pt (1)
-
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Pt tiếp tuyến của (C)
* Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2)
(C1) tiếp xúc với (C2)
Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại điểm M x y 0, 0
Tìm x0, y0
Tính y’ => y’(x0)
Pt tiếp tuyến của (C) tại M x y 0, 0
có dạng :
y y y x x x
Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M x y 0, 0
là tiếp điểm
Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: y k x x 0y0
d có hệ số góc k => y x' 0
= k
Giải tìm x0 suy ra y0 = y(x0)
Suy ra Pt tiếp tuyến d
Cách 2: Dùng đk tiếp xúc
+ Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b
+ d tiếp xúc với (C)
'
+ Giải hệ tìm b Viết pttt d
Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau :
+ d song song với : y k x b 2 2
=> k = k2
+ d vuông góc với : y k x b 2 2
=> 2
1
k k
+ d tạo với : y k x b 2 2
một góc thì
2
1 2
1
k k
+d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc thì k = tan
Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (x A , y A )
Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số góc k Suy ra : d :y k x x Ay A
d tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm :
( ) '
Giải hệ tìm x ( pp thế) => k Viết pttt
Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm :
Gọi M x y0 0, 0
là tiếp điểm.Khi đó y0 f x 0
Pt tiếp tuyến d tại M có dạng :
y y 0 y x' 0 x x 0
Vì d qua A(xA, yA) nên :
Trang 4tại điểm M x y 0, 0
có dạng :
y y 0 f x' 0 x x 0
y y y x x x
Giải pt tìm x0 Từ đó viết pttt
Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường:
Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là
C1 , C2
Biện luận theo m số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ):
* B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của C1
và C2
f(x,m) = g(x, m) (1)
* B2: Biện luận theo m số giao điểm của C1
và C2
.
Chú ý :
* Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau:
- Tính
- Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm
của C1
và C2
.
* Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau :
- Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a)
- Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne) Ta có:
(1) (x-a)(Ax2 +Bx + C) = 0
2 0 (2)
x a
- Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số
nghiệm pt (1)
Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba:
Số n 0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox
Có 3 nghiệm
tạo thành cấp
số cộng
Cắt tại 3 điểm cách đều nhau (hay 3 điểm lập thành CSC)
điểm uốn nằm trên trục Ox
phân biệt
Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
yCĐ yCT <0
nhau tại 1 điểm
yCĐ yCT = 0
Có duy nhất
và yCĐ yCT >0
Định lí Viet về pt bậc 3:
1 2 3
b
a c
x x x x x x
a d
x x x
a
Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ
P x
y
Q x
có tọa độ nguyên
Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m ): y = f(x,m)
Cách 1:
Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
0 0 m, 0 0,
M x y C m y f x m
có n0 m
Biến đổi pt theo ẩn m
Áp dụng đk pt có n0 m các hệ số đồng thời bằng 0 giải tìm x0, y0 => Kết luận
Lưu ý :* ax + b = 0 , m
0 0
a b
*
2
0
0
a
c
Cách 2:
Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
M x y 0 0 C m,m y0 f x m 0, ,m
(*)
Đặt F(m) = f(x0,m) F(m) = y0 không đổi => F’(m) = 0 Giải pt tìm x0
Thay vào (*) tìm y0 Kết luận điểm cố định
Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho đồ thị (C) : y = f(x) Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) : a) y f x
, b) y f x( )
Vẽ đồ thị (C) : y = f(x)
a) Đồ thị hàm số y f x( )
Ta có:
( )
+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành +Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành
Suy ra đồ thị hàm số y f x( )
b) Đồ thị hàm số yf x( )
Ta có: yf x( )
là hàm số chẳn và
( )
+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung +Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung
Suy ra đồ thị hàm số yf x( )
Trang 5* Phân tích
, với A(x) là đa
thức , a
* Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên x nguyên và a là bội của Q(x)
* Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận