Hướng dẫn Có thể viết lại vế phải như sau.. Tìm Min P..[r]
Trang 1
Từ Bất đẳng thức (*) ta suy ra các BĐT sau
2
n
a a a a a a
2
(2)
Bài toán 1
Cho a, b, c là các số dương CMR
a b c a b b c c a
Hướng dẫn
Có thể viết lại vế trái của BĐT cần chứng minh như sau: S =
1 1 1
2 3
b c
a
Chính vì thế, ta cũng viết lại vế phải là: P =
2 2 3 3
Và ta cần chứng minh S ≥ P
x a y z
, bây giờ ta phải chứng minh
3
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 2
x y x y y x y y x y
tương tự xong Dấu “=” xảy ra x = y = z 2 3 0
b c
a
.
Sử dụng Bất đẳng thức
1 2
n
với a i 0,i1,n (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = =an >
0)
Để giải bài tập chứng minh BĐT và tìm cực trị đại số
Trang 2Bài toán 2
Cho a, b, c là các số dương CMR
a b c a b b c c a
Hướng dẫn
Có thể viết lại vế phải như sau
2
P
Theo tư tưởng đó, ta viết vế trái thành
2 6 9 1 1 1 1 1 1
2.
S
V
à ta cần chứng minh S P
Do vậy, ta có thể giải như sau:
cách khác
Có thể viết lại vế phải như sau
2a b 3b 2c c 3a 6a 3b3b 2c2c 6a
ta có
Từ (1) ;(2) (3) ta có ĐPCM dấu bằng xảy ra khi 6a=3b=2c
Bài toán 3
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c ≤ 3 Tìm Min
2 2 2
P
Trang 3Hướng dẫn
Ta cần đánh giá vế trái sao cho xuất hiện tổng a + b + c để sử dụng giả thiết Quan sát đặc điểm của vế trái và điều kiện a, b, c dương, ta có thể sử dụng kỹ thuật cộng mẫu số như sau:
1 2
a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c
2
3 ab bc ca a b c
Do đó
2 2 2
P
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
Do đó
2024
3
Bài toán 4
Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=1.Tìm GTNN của:
2 2 2
1
P
H
ướng dẫn:
243
P
( )
chứng minh
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(
9
1 1 1 10 1 1 1 10 10 ( ) 10
)
a b c
a b c a b c a b c a b c a b c
bc ca ac a b c
a b c
Bài toán 5 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Tìm min
P
Hướng dẫn
Trang 4
51
7
Min P x y z
Bài toán 6 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 2x+3y+5z =9 Tìm min
P
Hướng dẫn
3
9
P
Min (P)=2012
Bài toán 7 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn Tìm min
P
Hướng dẫn
Trang 53 1 1 1
P
P
x y z P
x y z
x y z
3
7
Bài toán 8 Cho a,b,c dương 3a+4b+5c12 Tìm giá trị lớn nhất của
P
ab a b ac a c bc b c
Ta có
c a
c c
1
6 3 4 5 2 9
P a b c
Max(P)=2 khi
1
ab a b
ac b c
Bài toán 9 Cho a,b c>0 , a+b+c=3 tìm Max
Trang 6a+3 b+2 c+
bc
2 a+b+3 c+
ca
3 a+2b +c
Dự đoán a=b=c=1 tách mẫu để a+c=b+c=2b ( do 3+2+1=6 chia hết cho 3)
Tacó
(1)
Tương tự
(2)
(2)
Từ (1) (2) (3)
3
1
2
M P a b c
Bài toán 10
Cho a,b,c >0, a+b+c=3 Tìm Max
Q=ab
3 a+ 4 b+ 2c+
bc
2 a+3 b +4 c+
ca
4 a+2 b+3 c
Hướng dẫn
Dự đoán a=b=c=1 tách mẫu để 3=3c=a+2b ( 2+3+4=9 chia hết cho 3)
Ta có
ab
3 a+4 b+2 c=
ab
2(a+b +c)+a+2 b=
ab
3+3+(a+2 b)
ab
9 .(13+
1
3+
1
a+2 b)≤2ab
27 +
ab
81(1a+
1
b+
1
b)= 2 ab
27 +
b
81+
2 a
81 Tương tự
2 3 4 2( ) 2 3 3 ( 2 ) 9 3 3 27 81 81
a b c
P ab bc ca
do ab+bc+ca ≤ (a+b+ c )
2
3 =3
Trang 7Bài toán 11
Cho a,b,c dương Tìm Max
Q
Hướng dẫn
3
Q
Q
Bài toán 12
Cho a,b,c dương Tìm Max
Q
Hướng dẫn
a b c
Q
a b c
a b c
3
11
M Q a b c
Bài toán 13
Cho a,b,c dương Tìm Max
Q
Hướng dẫn
a b c
Q
a b c
a b c
3
5
M Q a b c
Bài toán 14
Cho x, y, z lµ 3 sè d ¬ng tho¶ m·n:
1 1 1
8
x y z
Trang 8Tìm giá trị lớn nhất của
P 2x y z x 2y z x y 2z
Hướng dẫn
Nhận xột Vỡ sao phải tỏch mẫu thành tổng 2 số hạng khụng để tổng 3 số hạng
Vì x, y, z là các số d ơng, áp dụng bất đẳng thức 1
A +B ≤
1
4(A1+
1
B) ta có :
Dấu “=” xảy ra x = y = z =3
8
Dấu “=” xảy ra x = y = z = 3
8
Dấu “=” xảy ra x = y = z = 3
8 Từ(1); (2); (3) suy ra
2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z 4
( vì
1 1 1
8
x y z ) Dấu “=” xảy ra x = y = z =
3 8
Vậy max
3
P 2 x y z
8
Bài toỏn 15
Cho x;y;z dương sao cho x+ y1 + 1
y+ z+
1
z+ x=6
Tỡm giỏ trị lớn nhất của P= 1
3 x+3 y+2 z+
1
3 y +3 z+ 2 x+
1
3 z+3 x +2 y
Hướng dẫn
Nhận xột Vỡ sao phải tỏch mẫu thành tổng 2 số hạng khụng để tổng 3 số hạng ( do 3+3+2=8 khụng chia hết cho 3)
HD Áp dụng BĐT A +B1 ≤1
4(A1+
1
B) với a; b là cỏc số dương Ta cú:
1
3 x +3 y +2 z=
1 (2 x + y +z)+(x+2 y +z )≤
1
4(2 x + y +z1 +
1
x+2 y +z)
¿ 1
4((x+ y)+(x+z )1 +
1 (x + y )+( y +z ))≤ 1
16(x + y2 +
1
x +z+
1
y +z)
Tương tự
Bài toỏn 16
Trang 9Cho a, b, c lµ sè thùc d ¬ng, Chøng minh r»ng:
H
ướng dẫn:
Áp dụng BĐ T
9
A B C
A B C A B C A B C
Đăt x=a; y=2b;z=3c ta có
⇔Q=xy
3 x +4 y+2 z+
yz
2 x+ 3 y+4 z+
xz
4 x+ 2 y +3 z ≤
x + y +z
9
Ta có
3 4 2 ( 2 ) ( ) ( ) 9
1 1 1
9
(1)
x y z x y x y z x y z x y y x y z x y z
x y y
Tương tự
2 3 4 ( 2 ) ( ) ( ) 9
1 1 1
9
(2)
x y z y z x y z x y z y z z x y z x y z
y z z
Tương tự
xz
4 x +2 y+ 3 z ≤
2 z+ x
81 +
2 xz
9( x+ y + z )(3)
¿
¿
Từ (1) ;(2) ;(3) ta có
Q ≤ x+ y+ z
27 +
2(xy +yz+zx )
9(x + y +z ) ≤
x + y +z
27 +
2(x + y +z)
x+ y+z
9
Vì xy+ yz+zx ≤1
3( x+ y + z )
2
Bài toán 17. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
a+2 b+c1 + 1
b+2 c+ a+
1
c +2 a+b ≤
1
a+3 b+
1
b+3 c+
1
c+3 a (5)
H ướng dẫn:
Vận dụng bất đẳng thức
1 1 4
x y x y ta có:
a+3 b1 + 1
b+2 c +a ≥
4 (a+3 b)+(b+2c +a)=
2
a+2 b+c
b+3 c1 + 1
c +2 a+b ≥
4 (b+3 c )+(c +2 a+b)=
2
b+2 c +a
Trang 10c+3 a1 + 1
a+2b +c ≥
4 (c +3 a)+(a+2 b+c)=
2
c +2 a+b
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
a+3 b=b +2 c+a
b +3 c=c +2 a+b c+3 a=a+2b+c
⇔ a=b=c
¿ { {
¿
¿
Bài toán18 :
Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=1.Tim max :
1
P
H
ướng dẫn:
c a c b c a c b c
Tương tự ,cộng từng vế ta được:
ab bc ab ac ac bc