1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20 cho mỗi buổi thi, là tổng điểm của thành phần và không làm tròn số, điểm chi tiết đến 0,25.. 2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2012 - 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 180 phút, không kể giao đề)
Ngày thi: 26/10/2012
Bài 5 (6,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực và nhận giá trị thực, sao cho với mọi x, y ta có: f(x2 + f(y)) = y + f2(x)
(ký hiệu f2(x) có nghĩa là (f(x))2)
Bài 6 (7,0 điểm)
Cho dãy số (an) với ( 2012 2012 2012)
n 20131
n
→ ∞
Bài 7 (7,0 điểm).
Cho đoạn thẳng BC, vẽ đường tròn đường kính BC Điểm A thuộc đường tròn trên (A≠ B, A≠ C) Gọi N là điểm chính giữa trên cung nhỏ AB Vẽ đường cao AH (H thuộc cạnh BC), đường trung tuyến BM (M thuộc AC) của tam giác ABC Hãy dựng điểm A trên đường tròn đã cho để ba đường thẳng CN, AH và BM đồng qui
HẾT
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh……… ……… Số báo danh………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA
ĐẮK LẮK NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Ngày thi: 26/10/2012
(gồm 03 trang)
A ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Bài 5
+
+
+
+
Bài 6
+
Ta chứng minh : f(0) = 0
Cho x = y = 0, đặt t = f(0), ta có f(t) = t2 và f(x2 +t) = f2(x),
f(f(x)) = x + t2
ta tính f(t2 + f2(1)) theo 2 cách:
Cách 1 : f(t2 + f2(1)) = f(f2(1) + f(t)) = t + f2(f(1)) = t + (1 + t2)2 =
1 + t + 2t2 + t4
Cách 2: f(t2 + f2(1)) = f(t2 + f(1 + t)) = 1 + t + f2(t) = 1 + t + t4
Từ đó ta có: t = 0 hay f(0) = 0 (*)
Suy ra f(f(x)) = x (**) và f(x2) = f2(x) (***)
Gọi y là số thực bất kỳ, đặt z = f(y) theo (*), (**) và định nghĩa
của hàm f, suy ra y = f(z) và f(x2 + y) =
z + f2(x) = f(y) + f2(x)
Cho x > 0 tùy ý, chọn z sao cho z2 = x, khi đó, do trên và (***),
ta có:
f(x + y) = f(z2 +y) = f(y) + f2(z) = f(x) + f(y)
đặt y = -x ta có: 0 = f(0) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)
suy ra f(-x) = - f(x), điều này kéo theo, với mọi x, y thì f(x – y)
= f(x) – f(y)
Bây giờ, với x tùy ý, đặt y = f(x)
Nếu y > x, đặt z = y – x thì
f(z) = f(y – x) = f(y) – f(x) = x – y = –z
Nếu y < x, đặt z = x – y thì
f(z) = f(x – y) = f(x) – f(y) = y – x = –z
như vậy cả hai trường hợp trên cho ta: Nếu z > 0
thì f(z) = – z < 0
ta chọn w sao cho w2 = z thì f(z) = f(w2) = f2(w) < 0 vô lý Vậy
ta phải có f(x) = x
Ta chứng minh tổng 12012+ 22012+ + n2012 là đa thức bậc 2013
của biến n và số hạng có lũy thừa cao nhất là:
2013
1 n
2013 Thật vậy:
Ta có:(n + 1)2013 = n2013 + 2013.n2012 + 2
2013
C .n2011+…+ 1
n2013 = ((n – 1) +1)2013 = (n–1)2013+ 2013.(n–1)2012 + 2
2013
C .(n–
(6,0)
1,0
2,0
1,0
2,0
(7,0)
Trang 3Bài 7
+
1)2011+…+ 1
(n – 1)2013 = ((n – 2) + 1)2013 =(n–2)2013+ 2013.(n–2)2012 + 2
1013
C (n–2)2011+…+ 1
…
22013 = (1+1)2013 = 12013 + 2013.12012 + 2
2013
C .12011 +…+ 1 Cộng tất cả các đa thức trên lại với nhau và ước lượng ta có vế
trái: (n + 1)2013 ; vế phải:
2013[n2012 + (n – 1)2012 + …+ 12012] + P(n), trong đó P(n) là đa
thức theo biến n có bậc nhỏ hơn 2012 Suy ra:
1 + 2 + + n = 1 (n+1)2013
2013 +K(n), với K(n) là đa thức có bậc bé hơn 2013
Theo trên ta có:
n
nlim a+
→ ∞ = n +lim
2013
n =n +lim→ ∞
2013
2012 2011
2013
n
1
2013
A
N D M
B H C
Phân tích Giả sử điểm A đã dựng được, CN cắt AB tại D và ba
đường thẳng AH, BM, CD đồng qui tại I Theo định lý Céva áp
dụng cho tam giác ABC và ba đường thẳng AH, BM, CD ta có:
DA HB MC. . =1
DA HB. =1
DB HC lại vì CD là phân giác trong góc C nên ta có: DA CA=
DB CB, suy ra
CA HB. =1
CA.HB = CB.HC (1)
Mặt khác tam giác ABC vuông tại A, AH⊥ BC nên
CH.CB = AC2 kết hợp (1) tacó: CA.HB=AC2 ⇒ HB = AC
Thế vào (1) ta được HB2 = CB.HC ⇔
HB2 =(HB+HC).HC⇔ HC2 + BH.HC – HB2 = 0 , xem đẳng
thức trên là phương trình bậc 2 theo ẩn HC
4,0
3,0 (7,0)
Trang 4giải ta có: HC = BH 5 1
2
−
Trong các tam giác vuông ABC và AHC có:
sin B∧ = cosC∧ =HC
AC= 5 12
− Từ đó suy ra điểm A hoàn toàn
+
+
+
Cách dựng Giả sử BC = a >0, ta dựng một tam giác vuông có
hai cạnh góc vuông là a, 2a suy ra cạnh huyền là a 5, từ đó
dễ xác định được một đoạn thẳng có độ dài là a 5 1
2
− Lấy C
làm tâm vẽ một đường tròn bán kính a 5 1
2
− , thì giao của
đường tròn đó với đường tròn đã cho chính là điểm A cần tìm
BM=I, CN∩ AB = D và AI cắt BC tại H, ta chứng minh AH
vuông góc với BC Theo Céva ta có: DA HB MC =1
CA HB. =1
5 -1
2
=1, từ đó có: HB = 2 HC
5 1− , lại vì
HC + HB = CB = a, nên
5 1)
a(
HC =
5 1
− + , từ đó: HC BC =
2 5 1)
a (
5 1
−
2 5 1) 2
4
a ( −
= CA2, tức AH ⊥ BC
Biện luận.Vì CA = a 5 1
2
− < a, nên đường tròn tâm C bán
kính CA = a 5 1
2
− luôn cắt đường tròn đường kính BC tại
hai điểm phân biệt do đó: có hai điểm A
1,0
2,0
1,0
B. HƯỚNG DẪN CHẤM
1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20 cho mỗi buổi thi, là tổng điểm của thành phần và không làm tròn số, điểm chi tiết đến 0,25
2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó