ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAC cân đỉnh A và SC = 4a.. Gọi M là trung điểm của đoạn SC.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I - LỚP 12 THPT
Ngày kiểm tra: 15/12/2011 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 90 phút;
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2 9
(
2
2 x
y = f x = − x + x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại điểm có hoành độ x , biết rằng 0 //
0 ( ) 6
f x =
Câu II (3,0 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD , đáy ) ABCD là hình vuông, tam giác SAC cân đỉnh A và SC=4a Gọi M là trung điểm của đoạn SC
1) Tính thể tích khối chóp S ABCD , theo a
2) Chứng minh rằng M là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S ABCD Tính diện tích mặt cầu này, theo a
3) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( AMD ) , theo a
Câu III (1,0 điểm) Tìm cực trị của hàm số y x2 x 3
e
−
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu IV.a (2,0 điểm)
1) Giải phương trình 27.9x+ 242.3x− 9 0 =
2) Giải bất phương trình 2
4
1
log
x
x
Câu V.a (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( ) 4x = 3− x4+ trên 1 đoạn [1;4]
2 Theo chương trình Nâng cao :
Câu IV.b (2,0 điểm)
1) Giải phương trình 2
2.log x + 17.log x − = 9 0
2) Giải phương trình ex− − 1 ln(1 + x ) 0 =
Câu V.b (1,0 điểm) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2 4
1
y
x
− −
=
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I
I 1)
2,0 đ
* TXĐ : D = R (0,25đ)
6
y = − x+ ; (0,25đ)
0
3
x y
x
=
⎡
= ⇔ ⎢⎣ =
* Giới hạn : lim ; lim
→−∞ = −∞ →+∞ = +∞ (0,25đ)
* BBT
Hàm số đồng biến trên (−∞ ; 1) và (3 ; +∞) ; nghịch biến trên (1 ; 3)
Hàm số đạt cực đại tại x= , 1 y CÑ =2 ; đạt cực tiểu tại x= , 3 y CT =0
I 2)
1,0đ
• f/ /( ) 3x = x− ; 6 / /
f x = ⇔ x = (0,25đ)
• y0 = và 2 / 9
(4) 2
f = (0,25đ)
• Phương trình tiếp tuyến : /
0 ( )(0 0)
y y− = f x x x− (0,25đ)
9 16 2
⇔ = − (0,25đ)
II 1)
1,0đ
• ∆SAC vuông cân tại A và SC=4a nên
2 2
• Cạnh hình vuông bằng 2a (0,25đ)
S ABCD ABCD
a
II 2)
1,0đ
• Vì BC SA⊥ và BC⊥ AB nên BC ⊥(SAB) Suy ra BC⊥SB (0,25đ)
• Tương tự CD SD⊥ (0,25đ)
• Do n n nSBC SDC SAC= = =900 nên , , , ,S A B C D cùng thuộc mặt cầu đường kính SC, tâm M,
2
SC
r= = a (0,25đ)
• Diện tích mặt cầu này : 4πr2 =16πa2 (0,25đ)
y’
3 0
y
−∞
0 +
+∞
−∞
* Đồ thị
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ) (0,5đ)
M
D
A S
Trang 3II 3)
1,0đ
• Ta cĩ ( ,( )) 3 SAMD
AMD
V
d S AMD
S
= (0,25đ)
2
SAMD SACD
SAMD SACD
a
• Ta cĩ MA MD= =2a=AD nên S AMD = 3 a2 (0,25đ)
• ( ,( )) 2 2
3
a
III
1,0đ
• TXĐ : D = R
x
y
e
0
3
x y
x
= −
⎡
= ⇔ ⎢⎣ = (0,25đ)
• Hàm số đạt cực tiểu tại x= −1,y CT = − ; đạt cực đại tại 2e x 3,y 63
e
= CĐ = (0,25đ)
IV.a 1)
1,0đ
• Đặt 3 ,t= x t> (0,25đ) 0
• Ta được phương trình 2
1
9 (
t
t
⎡ =
⎢
= −
⎣
⎢
loại)
(Tìm được hai nghiệm theo t chấm 0,25đ, biết loại nghiệm : 0,25đ)
x
t= ⇔ = ⇔ = − (0,25đ) x
IV.a 2)
1,0đ
• Điều kiện : 0< ≠ (0,25đ) x 1
• Bất phương trình được viết lại : 2
2
4
log
x
x
• Đặt t=log2x ta được
2
t
t
t
<
⎡
− +
⎣ (0,25đ)
4
x x
< <
⎡
⇔ ⎢⎣ = (0,25đ)
V.a
1,0đ
( ) 12 4 ; ( ) 0
3
(
x
x
• (1) 4 ; (3) 28 ; (4) 1f = f = f = (0,25đ)
•
[1;4]
max ( )f x = f(3) 28.= (0,25đ)
•
[1;4]
min ( )f x = f(4) 1.= (0,25đ)
IV.b 1)
1đ
• Điều kiện : x> 0
• Đặt t=log5x ta được phương trình 2
1
9
t
t
⎡ =
⎢
= −
⎣
(0,25đ)
5 2
t= ⇔ =x (0,25đ)
x y’
y
0 0
(0,25đ)
(0,25đ)
Trang 4IV.b 2)
1đ
• Điều kiện x > − 1
• Xét hàm số y e= x− −1 ln(1+ Ta có x) / 1
1
x
x
+ (0,25đ)
• Vì ( )f x = đồng biến và e x ( ) 1
1
g x
x
= + nghịch biến trên ( 1;− +∞ nên phương trình ) / 1
0
1
x
x
+ có nghiệm duy nhất 0x= (0,25đ)
• Từ BBT của 1 ln(1y e= x− − + ta có ngay phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x) x= 0 (0,25đ)
V.b
1đ
•
1
lim
x − y
→ = +∞ ,
1
lim
x + y
→ = −∞ (0,25đ)
nên đường thẳng x= là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (0,25đ) 1
• lim ( 2 1) lim 3 0
1
x
−
− (0,25đ) nên đường thẳng y=2x+ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (0,25đ) 1
Chú ý: • Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa câu đó
• Làm tròn điểm toàn bài : *,25đ → *,3đ *,5đ → *,5đ *,75đ → *,8đ
(Trong đó, dấu * là đại diện cho số một nguyên từ 0 đến 9)
x y’
y
0
0 (0,25đ)