Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng nhau... Từ một điểm M thay đổi trên kẻ tiếp tuyến MT và MH tới C.. Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên
Trang 1SỞ GD – ĐT BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG
BẰNG SÔNG CỬU LONG TRƯỜNG THPT BẾN TRE NĂM HỌC 2005 – 2006
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT
Bài 1 : ( Số học )
Cho 17 số tự nhiên mà mỗi số nguyên tố cùng nhau với ít nhất 13 số khác Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
Bài 2 : ( Đại số )
Cho 2006 số thực :a a1; 2 ; ;a2006 thoả điều kiện :
f x a1 cosxa2 cos 2x a2006 cos 2006x 1 với mọi giá trị của x
Chứng minh : a1 a2 a2006 2006
Bài 3 : ( Giải tích )
Tìm hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây :
(1) f(2006) = 2006
(2) f(x + y) = f(x) + f(y) , x,y R
Trang 2(3) Nếu x 0 thì f(x) = x f ( ) 2 1
x
Bài 4 : ( Hình học phẳng )
Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng () không cắt (C ) Từ một điểm M thay đổi trên () kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (C) Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên () và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT,MH Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5 : ( Hình học không gian )
Cho tứ diện ABCD có AB =CD , AC =BD, AD = BC Gọi , , là các góc
do các mặt ABD,ABC,ACD tạo với mặt BCD và hình chiếu của A trên
(BCD) thuộc miền tam giác BCD
Tìm giá trị lớn nhất của T cos cos cos 3 cos cos cos
ĐÁP ÁN
Bài 1 : ( Số học )
Cho 17 số tự nhiên mà mỗi số nguyên tố cùng nhau với ít nhất 13 số khác Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
Xét số a tùy ý trong 17 số đã cho
a nguyên tố cùng nhau với iùt nhất 13 số khác là b1 ,b2 ,b3 , … b13
Trang 3Do mỗi số không nguyên tố cùng nhau với nhiều nhất là 3 số khác nên b1 sẽ nguyên tố cùng nhau với ít nhất 9 số khác trong các số b2 , b3 ,… b13
Giả sử b1 nguyên tố cùng nhau với 9 trong 12 số đó là c1 , c2 ,….c9
c1 sẽ nguyên tố cùng nhau với 5 số khác trong các số c2 , c3 ,……c9
Giả sử là d1 , d2 , ……d5
d1 sẽ nguyên tố cùng nhau với ít nhất 1 trong 4 số d2 , d3 ,d4 , d5
Giả sử là d1 nguyên tố cùng nhau với số e trong 4 số trên
Ta có : 5 số a,b1 ,c1 ,d1 , e là 5 số đôi một nguyên tố cùng nhau trong 17 số đã cho
Bài 2 : ( Đại số )
Cho 2006 số thực :a a1; 2 ; ;a2006 thoả điều kiện :
f x a1 cosxa2 cos 2x a2006 cos 2006x 1 với mọi giá trị của x Chứng minh : a1 a2 a2006 2006
Ta có :
2007 sin1003 cos
2 cos cos 2 cos 2006
sin 2
Mặt khác khi 2
2007
k
( Trong đó k = 1 ; 2 ; …… ; 2006 ) thì A = -1 (1,0
đ )
; ; ;
x x x , vào biểu thức ; f (x)
ta có :
………
Trang 41 2 2006
Cộng các đẳngthức trên ta được : a1 a2 a2006 2006
Vậy ta được : a1a2 a2006 2006 ( 2 đ )
Bài 3 : ( Giải tích )
Tìm hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây :
(4) f(2006) = 2006
(5) f(x + y) = f(x) + f(y) , x,y R
(6) Nếu x 0 thì f(x) = x f ( ) 2 1
x
(2) cho x = y = 0 f 0 0 (4) (0,25 đ )
0 f 1+ (-1) f(1)+ f(-1) f(-1)= -f(1) (0,25 đ )
(1) và (2) : 2006 = f(1) + f(2005)=2f(1)+ f(2004)
= 2006 f(1)
Vậy f(1) = 1 và f(-1) = -1 (5) (0,25 đ ) Xét trường hợp x 0 ,x 1,ta có
f( x ) f( 1 ) f(x 1) f(1) 1 (6)
f( x ) x2 2 f(x 1) Do(3)
hay f( x ) x2 2 f(1 1) x2 2 f(1) f( )1
f( x ) x2 2 1 12 f(x) (7)
f( 1 ) 1 2 f(x 1) 1 2 f(x) 1 (8)
x 1 (x 1) (x 1) (0,50 đ )
Trang 5 (6),(7),(8) x2 2 1 12 f(x) 1 2 f(x) 1 1
Vậy f(x) =
0 nếu x 0
1 nếu x 1
x nếu x 0 , x 1
Bài 4 : ( Hình học phẳng )
Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng () không cắt (C ) Từ một điểm M thay đổi trên () kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (C) Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên () và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT,MH Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định
ĐÁP ÁN
Gọi I,J lần lượt là giao điểm của OA , OM với TH
đ)
Do A thuộc đường tròn ngoại tiếp THM nên E,F,K thẳng hàng
đ)
Ta có : OI.OA OJ.OM OT2 OI OT 2 R 2 I cố định
Gọi L là giao điểm của OA và EF
LAK = AOM (so le trong)
= AHM (cùng chắn AM)
K
T
E
F
I
J
O
L
H
Trang 6= AKF ( cùng chắn cung AF , đường tròn đường kính AH (1,00 đ)
LAK cân LA LK
KL làtrung tuyến IKA IKA vuông tại K
L là trungđiểm củaIA
đ)
Bài 5 : ( Hình học không gian )
Cho tứ diện ABCD có AB =CD , AC =BD, AD = BC Gọi , , là các góc
do các mặt ABD,ABC,ACD tạo với mặt BCD và hình chiếu của A trên
(BCD) thuộc miền tam giác BCD
Tìm giá trị lớn nhất của T cos cos cos 3 cos cos cos
ĐÁP ÁN
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD)
Từ H kẻ HI BC , HJ CD ,HK BD, thì
AKH AIH AJH
SBDC = SHBD + SHCD + SHBC
= SABDcos + SABCcos + SACDcos
Do tứ diện ABCD gần đều nên :
SBDC = SABD = SABC = SACD
A
K
I
C
H
J
Trang 7Đặt x cos ; y cos ;z cos ta có x,y,z 0 và x y z 1
3
Ta có T x xy xyz
3
x x.4y x.4y.16z
Aùp dụng bất đẳng thức cô-si ta có :
x 4y x.4y
2
3x.4y.16z x 4y 16z
3
Do đó T x x 4y x 4y 16z 4(x y z) 4
Dấu bằng xãy ra
x 4y 4y 16z
x y z 1
x 0 , y 0, z 0
16 x 21 4 y 21 1 z 21
Vậy max T 4 khi cos 16 cos 4 cos 1