De thi HSG tinh Hai Duong mon Toan nam hoc 2012 2013

3 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số trục hoành..[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 29 tháng 10 năm 2012

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu I ( 2,0 điểm).

1) Cho hàm số y x 3 3x2mx2 Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;)

2) Cho hàm số y3sinx 4cosx mx Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2





Câu II (2,0 điểm).

1) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số

1

y cos x sin  cosx  sin

với trục hoành

2) Giải hệ phương trình

3 3 ( 1)3 9( 1)





Câu III (2,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức

2012 2 2012 3 2 2012 4 2 2012 2011.2 2012 2012.2 2012.

2) Chứng minh bất đẳng thức

3

2

sinx

cos x x



  với mọi

0;

2

x   

Câu IV ( 3,0 điểm).

Cho hình chóp đều S.ABC có SA=a Gọi D, E lần lượt là trung điểm của SA, SC.

1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BD vuông góc với AE

2) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (P) đi qua AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M, N Gọi V1, V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMN và S.ABC Tìm giá trị lớn

nhất của 1

V

V

Câu V (1,0 điểm).

Cho a b c; ; là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

………Hết………

Họ và tên thí sinh:……… ……….Số báo danh:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

Chữ ký của giám thị 1:……….Chữ ký của giám thị 2:………

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

I 1 : (1,0) 1) Cho hàm số y = x - 3x + mx + 23 2 Tìm m để hàm số đồng biến trên (2;+).

TXĐ:D=

y”=6x-6; y”=0<=>x=1

bảng biến thiên

m

+

+

2

y' y"

x

0,25

Từ bảng biến thiên =>nếu hàm số đông biến trên (2;+) =>y’   0 x 2 m0 0,25

ngược lại ta thấy m 0  y' 0   x 2 hàm số đồng biến trên (2;+)

I 2 :(1,0)

2) Cho hàm số y3sinx 4cosx mx . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2

 TXĐ:D=

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x =2



=> y’(2



Ngược lại: nếu m = - 4 => y’ = 3cosx + 4sinx – 4; y’( 2

 ) = 0;y’’= -3sinx + 4cosx 0,25

=>y’’(2

 )=-3<0 nên hàm số đạt cực đại tại x=2



II 1

(1,0) 3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số

y cos x sin  cosx  sin

với trục hoành

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y cos x sin  cosx  sin

với trục

hoành là nghiệm phương trình

cos x sin cosx  sin 

os x-1-sin (1 ) 0 (1 )( osx-1-sin ) 0

0,25

TH1: cos -1x   x  k2 ( k Z ) 0,25

2 3 osx=1+sin

4

x c

Do

(2)

x

2

osx=1 3

4

c x





 



2

4 4

3

x k

l x

















(m ) KL: A k( k2 ;0), B m m( 4 ;0) ( , k m )

0,25

II 2

(1,0)

4) Giải hệ phương trình

3 3 ( 1)3 9( 1) (1)





Điều kiện :x y , 1;Từ (2) y1 1 0   y2 0,25

(1) x  3x( y1)  3 y1 (3)

Xét hàm số f(x)=3x2-3  0 x 1; ( ) 0f x   x 1 [1;+ ) => f(x) đồng biến trên [1;+ )

mà

0,25

(3) có

( ) ( 1) , 1 [1;+ )

f x f y

x y





 nên (3) x y1

0,25

Với x y1thay vào (2) giải được x=1và x=2

,

III 1

(1,0)

1) Rút gọn biểu thức

2012 2 2012 3.2 2012 4.2 2012 2011.2 2012 2012.2 2012

1x2012 C20120 xC12012x C2 20122  x C k 2012k  x2012C20122012 (1)(x) 0,25

Đạo hàm 2 vế của (1) ta có

2012 1 x C 2xC kx C k k 2012x C (2)

Chọn x=-2 thay vào (2)

2012 1 2 C 2( 2)C k( 2)k C k 2012( 2) C (2)

III 2

(1,0) Chứng minh bất đẳng thức:

3 2

sinx

os



  với mọi

0;

2

x   

 

2

2

x  cosx cosx cos x

.Ta chứng minh

3

sinx

os (0; ) (1)



x cos x x x  x cos x x x 

Xét

( ) sin ( [0; ))

2

f x x cos x x x 

; f x'( ) 3sin 2 x cos x 2 sin4x 3x2

''( ) 3sin 2 2 sin 4 sin 6

'''( ) 6sin 6 sin 14 sin 0 ; '''( ) 0 0 [0; )

2

0,25

=>f’’(x) đồng biến trên [0;2

 ) nên x [0; )2



 

ta có f x''( )f ''(0) 0

=>f’(x) đồng biến trên [0;2

 ) nên x [0; )2



 

ta có f x'( )f '(0) 0

0,25

=>f(x) đồng biến trên [0;2

 ) nên x (0; )2



 

ta có f x( ) f(0) 0

2

x cos x x x 

0,25

IV 1

(1,5)

Gọi I là trung điểm SE => DI là đường trung bình của tam giác SAE =>DI//AE và DI=AE/2 do BD AE nên

BD  DI

0,25

Đăt x=AB theo công thức đường trung tuyến trong tam giác SAB ta có

Tương tự

16 4

a x

BI  

0,25

Do BD  DI => tam giác BDI vuông tại D

3

a

Gọi H là tâm tam giác ABC, do S.ABC là tam giác đều nên SH(ABC)=>SH là đường cao

của hình chóp; diện tích tam giác ABC là

0

.sin 60

ABC

0

2

AH   AH   SH  SA  AH 

Thể tích khối chóp S.ABC là

3

a

V  SH S 

0,25

x

a

H

I

E D

C

B A

S

IV 2

(1,5)

2)Gọi J là giao điểm của SG và BC => J là trung điểm BC=>

1 2

S S  S

1

V

0,25

.

.

S AMG

S AMG

S ABJ

V

2

V   V V V  y x

1

1

V SA SM SN

xy V Vxy

V SA SB SC    Từ (1) và (2)=>x+y=3xy (*) 0,25

Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có x y 2 xy

Từ (*) ta có

4

9

xy xy  xy

; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=

2

1

1 9 4

V

V xy  dấu “=” xảy ra x=y=

2

3=> giá trị lớn nhất của 1

V

V:(1,0 )

Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

(1 ) (1 ) (1 )

P

đặt

, , 0

yz=1

x y z

x







(1 ) (1 ) (1 )

P

0,25

Giả sử x=max{x;y;z} 1xyz x 3 x1

Ta chứng minh

, 0 (1 ) (1 ) 1

y z

yz y z yz

dấu “=” xẩy ra khi z=y=1

0,25

M G N

J C

B A

S

1

x x P

x

 

Xét

( ) ( [1;+ )); f'(x)= 0 1; '( ) 0 1 [1;+ )

x x

đồng biến trên [1;+)

3

4

0,25

=>

3 ( )

4

Pf x 

khi a=b=c thì P=

3

4 nên GTNN của P bằng

3