Chứng minh rằng luôn tồn tại một cạnh của tứ giác có độ dài không nhỏ hơn 5cm.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
VĨNH TƯỜNG ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1:
a/ Giải phương trình: x2 + 4x + 5 = 2 2x 3
b/ Giả sử a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2012
Chứng minh rằng A = 2012 a 2 2012 b 2 2012 c 2
có giá trị là số hữu tỉ
Câu 2:
a/ Cho a, b là các số tự nhiên Chứng minh rằng 5a2 + 15ab – b2 chia hết cho 49 khi và chỉ khi 3a + b chia hết cho 7
b/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4y2 2 199 2x x 2
Câu 3:
a/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b/ Cho sáu số dương a, b, c, x, y , z thỏa mãn ax + by + cz = xyz
Chứng minh rằng x + y + z > a b b c c a
Câu 4: Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r (R > r) Gọi M, A là hai
điểm trên đường tròn (O; r) với M cố định và A di động Qua M vẽ dây BC của đường tròn (O; R) vuông góc với AM Gọi H là hình chiếu của O trên BC Chứng minh rằng :
a/ AM = 2OH
b/ Tổng MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm A
c/ Trọng tâm G của tam giác ABC cố định
Câu 5:
a/ Cho tứ giác ABCD có độ dài đường chéo AC = 8cm, BD = 6cm Chứng minh rằng luôn tồn tại một cạnh của tứ giác có độ dài không nhỏ hơn 5cm
b/ Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a – b là số nguyên tố và 3c2 = c(a + b) + ab Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương
ĐỀ CHÍNH THỨC