b Cho x, y là các số dương thoả mãn xt... ABMD nội tiếp.. Do dé Hinh I KNC = DMC, Hon nita DMC =KAB tinh chat ttt gidc nội tiếp ABMĐ.. b Ta có WKC =4BC tứ giác ABNK nội tiếp.. suy ra 8A
Trang 1_ ĐÊTHỊIUÀOLỚP10 _
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN
NAM HỌC 2007-2008
NGÀY THỨ I
(Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I (2 điểm) Cho biểu thức
_3x*49x-3 x+l vx-2
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi x = 3+2/2
Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình (mm là tham
số) 2x3 - 4mx + 2m2 - ] =0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có
hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm z để phương trình (1) có hai nghiệm xị,
x; thoả mãn 2x‡+ 4mx; + 2m” — I > 0
Câu 3 (2 điểm) a) Giải hệ phương trình
—
x+y=7
b) Cho x, y là các số dương thoả mãn xt <1
J
Tim giá trị nhỏ nhất cia biéu thtte A=~ +2
y x Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC cân lại 4
(A < 90 có đường cao 8D Gọi M, N, I lan
lượt là trung điểm của các đoạn 8C, BM và BD Tia ẤM! cắt cạnh AC tại K Chứng minh rang a) Các tứ giác ABMĐ, ABNK nội tiếp
b) BC? =SAC.CK ‘
Cau 5 (1,5 diém) Cho tam gidc ABC Goi M 1a trung điểm cia AC, N la điểm thuộc đoạn thẳng
MC sao cho MN = 3 NC Biết tằng MBN =CBN
Chứng minh rằng ABN = 90"
NGAY THU 2
(Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 6 (3 điểm)
a) Giải phương trình l++xI+ x = x3
b) Cho đa thức bậc bốn (+) với các hệ số
nguyên thoả mãn ?P(x) chia hết cho 7 với mợi số
nguyên x Chứng minh các hệ số của P(x) chia
hết cho 7
Câu 7 (2,5 điểm)
l+x3y3~19x3 =0
a) Giải hệ phương trình j "2 ~12*
y+xy?+6x? =0
b) Cho ba số dương 42, b, c thoả mãn a+b+c=43
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 8 (1 điểm) Trong một hình chữ nhật có
diện tích bằng Š chứa chín hình chữ nhật nhỏ,
mỗi hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng I
Chứng minh rằng
Chứng mình ràng tôn tại hai hình chữ nhật nhỏ
có diện tích phần chung không nhỏ hơn ; Cau 9 (2,5 diém) Cho tam giac nhọn AÖ8C nội tiếp đường tròn (Ø) có đường cao ÁN và CK Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKMN cát đường tròn (0) tại điểm M (M # B) Gọi E là trung
điểm của đoạn thẳng AC
a) Chứng minh £K là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác BKN
b) Ching minh EM vuông góc với À4
Câu 19 (1 điểm) Biết rằng một tứ giác lồi có
tổng hai cạnh đối và một đường chéo khong lớn
hon 2¥2S (S la diện tích tứ giác) Tính dộ dài
đường chéo còn lại theo S
THÁI VIẾT THẢO
(So GD&DT Nghé An) Sưu tâm và giới thiệu
Trang 2
NGÀY THỨ NHẤT
Câu 1 a) Điều kiện x > Ö, x # l Ta có
_3x+3/x-3-ÍJx+IXx~I)~(Vx+2)(Jx ~2)
(Vx-1)(¥x +2)
b) Dap sé P= 14 V2
Cau 2 a) A’ = (2m)? — 2(2m? — 1) = 2 > 0, Vm,
nén PT (1) cd hai nghiệm phân biệt với mọi ?:,
b) Giả sử x,, x, là hai nghiệm của PT(1) Theo
định lí Viềte có xị + x; = 2m, Do x, là nghiệm
của PT (1) nên có 2x7 -—4imx, +2m? -1=0
Lại có Q=(2xÿ -4mx; +2m —I)+4m{(xị +x›}
= 4m(%, + tị) = 4m.2m = 8m
Ta có Ở > 0 © 8m > Ö © mí # 0,
Vậy với m # 0 thì PT (1) có hai nghiệm phân
biét thoa man dé bai
Cau 3 a) Dat w=Vx4+1; v= yv (420, v>0)
=>
3x3
“+Vˆ =Ñ uy =4,
Hệ đã cho trở thành |
Suy ra ứ = 2: w = 2, từ đó + = 3 và y= 4 Hệ
đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) = (3 ; 4)
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số đương ta có
I>x+L>2 i a Z»4 (1)
Ap dung (1) va BDT Cauchy cho hai sé
đương ta có
eel bene ge
Vậy giá trị nhỏ nhất của A la ma đạt được khi và chỉ khi x = h vày=2
Cau 4 (h 1) Do
tam giac ABC can
tai A nen AM 1 BM
ABMD nội tiếp
đường trung bình » N M của tam giác BMjD
nên Ni//MD Do dé Hinh I
KNC = DMC, Hon nita DMC =KAB (tinh chat ttt gidc nội tiếp ABMĐ) Suy ra KNC =K4B (1)
Vậy tứ giác ABXNK nội tiếp
b) Ta có WKC =4BC (tứ giác ABNK nội tiếp)
Từ đây và từ (L) có AAB8C om ANKC
M
S Wit — =— ne Mat khic, dé tha ặ “ hay NC TÚC =— BC,
do dé BC? = = BC.NC = SAC.CK
Cau 5 th 2)
Hình 2
Do BN {a tia phân giác trong góc B của tam
Bài NM tan I
giác BMC nén =
BC NC 20
Trang 3, AM | BM
Lai co AC 2 BC =—=
giác npoài của tam giác BAC
suy ra 8A là tia phân Theo tính chất của hai đường phân giác trong
và phân giác ngoài suy ra 8N L BA (dpcm)
NGÀY THỨ HAI
Cau 6 a) la có PT đã cho tương đương với
S&S lt+x=(x?-1)? x(x+l)(x“-x—l)=0
1+5
& x=—l hoac x= ,
2 b) Gọi đa thức đã cho là
P(x) = aÝ + bx + c + dx + e (a #0)
Từ giả thiết ta có e = P(0):7;
P(2)— P() + P(-2)T— P(-l) = 3a: 1, do đó a: 7;
P(@2)- P(1) ~ P(~-2) + P(—U = 35: 7, do dé b: 7;
c= P(1) + P(-1) - 2e-a@ :7;
đ= P(Ú) - P(-l)- b :T7, suy ra đpcm
Câu 7 a) Nhân PT thứ nhất của hệ với 6, nhân
PT thứ hai của hệ với L9x rồi cộng lại được
6(xy} + 19(cy} + 19xy + 6=0
> (xy + 1)(2xy + 3)(3xy + 2) = 0
® Với vy = —l, thay vào PT thứ nhất của hệ
được x = 0 (không thoả mãn)
® Với vy= -* , tìm được (c; y) = (4 , -)
® VỚI xy= =, tim duoc (x; yj) = (-1 : ) :
2 b) Đặt A là vế trái BĐT cần chứng mình Ta có
A=a- a +h- be +¢-—
1+b? I+c I+a?
(= bc? _ ca?
l+b2 lạc? l+a:
>3- (= be? | x3_ (atbte) 3
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b=c= 1
Cau 9 a)
Hinh 3
Ta có tứ giác BNHK nội tiếp đường tròn đường
kinh BH (BKH = BNH = 909) Gọi / là trung
điểm của B/ Các tam giác KBiHJ và KAC
vuông nên IKH =THK va EKC =KCE Lại
có ïHK =DHÈ tù đó có EKC + ÏJKĨ = hay
EK | Ki
Từ đó ta có điều phải chứng minh
b) Kẻ đường kính 8# của đường tròn (@) Dê
thấy tứ giác 4/CZ là hình bình hành nên £ là
trung diém cla HF, Theo tính chất đường
trung binh ta cé OF // EH Mat khac Of 1 BM
(đường nối tâm hai đường tròn vuông góc với dây cung chung) Do đó E⁄ L BÀ Lại có
HM | BM (do BH là đường kính đường tròn
(1)), suy ra E, H, M thẳng hàng và EM L BM
tứ giác lồi
ABCD thoả mãn
AD + BC + BD A
< 2V28 (h 4)
Ta thay,
2S < BD(AD + BC)
< =“Ằ—i
(*) D.
Trang 4Câu 8 a) Phản chứng Chả sử bất kì hai hình Vay AD+BC+BD Hình 4
chữ nhật nào trong chín hình chữ nhật nhỏ, >2 /2°
.„ #i, đều có diện tích phần chung nhỏ
Hoes | Hy Gea co Olen UCN P Ê “”” Từđó AD+ BC + BD=2/2S
,
? | oo khi và chỉ khi các B
lớn hơn _ điện tích phần #ï; không bị Xẩy ra, tức là khi
" AD 1 BD,
phủ bởi #, và H; lớn hon “375° 9 3 dién BC 1 BD va
tích phần H, không bi phi bai H,, ., Hy 1én tị 5 BC = BD ⁄
lớn lớn hơn 1424 + 4 =5 (vô lí) có ABDE vuông cân tai B
„9.9 Do d6 AC =DE= BDV2=-2VS
THAI VIET THAO
(S¢GD-DT Neghé An) gidi thiéu
SUU TAM
