Gọi D là điểm di động trên D không trùng với A, B và điểm chính giữa của cung và C là giao điểm cung lớn AB thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn O; R.. a Giả sử H là giao điểm của[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Lớp 9 THCS năm học 2011-2012
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-Câu 1 (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số n 26 và n 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Câu 2 (4,0 điểm)
Giả sử a là một nghiệm của phương trình: 2x2 x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
4 2
2a 3 A
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
8x 1 x 2 3x 1
b) Giải hệ phương trình
2
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm) Gọi D là điểm di động trên cung lớn AB (D không trùng với A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm
thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O; R)
a) Giả sử H là giao điểm của các đường thẳng OM với AB Chứng minh rằng
MH.MO MC.MD, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh rằng nếu dây AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng
AC đi qua trọng tâm G của tam giác MAB
c) Kẻ đường kính BK của đường tròn (O; R), gọi I là giao điểm của các đường thẳng MK và AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, khi biết
OM = 2R
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc a b 3ab Chứng minh rằng
3
a b 1 bc c 1 ca c 1
-Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi gồm 5 trang)
I Một số chú ý khi ch m b i ấ à
Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm
Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm
Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số
II áp án v bi u i m Đ à ể đ ể
Câu 1 (3,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để hai số n 26 và n 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Giả sử có số nguyên dương n sao cho: n 26 x ; n 11 y 3 3 (với x, y là hai số
nguyên dương và x > y)
Khi đó x3 y3 37 x y x 2 xy y 2 37
1,5 đ
Lại có 0 x y x 2 xy y 2 và 37 là số nguyên tố nên
x y 1 (1)
x xy y 37 (2)
Thay x = y + 1 vào (2) ta được: y2 y 12 0 y = 3 là nghiệm duy nhất thoả mãn
Vậy n = 38 là giá trị cần tìm
1,5 đ
Câu 2 (4,0 điểm)
Giả sử a là một nghiệm của phương trình: 2x2 x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
4 2
2a 3 A
2 2a 2a 3 2a
Vì a là nghiệm của phương trình nên: 2a2 a 1 0
2a2 1 a *
2a4 a2 2a 1
1,0 đ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3 2 2 2 2
A
=
2
2a 3
2 a 2 2a
2a 3
2 2 a 2a
( vì theo * thì a 1 ) 1,0 đ
2
2
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
8x 1 x 23x 1
b) Giải hệ phương trình
2
2x y 1
xy x 2
a) (2,0 điểm) Phương trình
2
x 3x 1 0 (1)
Ta có (2) x46x37x2 14x 0 x x 3 6x2 7x 14 0
1,0 đ
x x 1 x 2 7x 14 0
x 0
x 1
Kết hợp (1) ta tìm được x =1 là nghiệm của phương trình
1,0 đ
b) (2,0 điểm)
Từ hệ đã cho ta suy ra: xy x 2 4x -2y2 2 3x2 xy 2y 2 0
(x y)(3x 2y) 0
x y 3x 2y
1,0 đ Nếu x y thì: x2 = 1 x1
Nếu 3x 2y thì:
2
y 1 9
(không thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là: S 1; 1 , 1; 1
1,0 đ
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến
MA, MB tới đường tròn (A và B là các tiếp điểm) Gọi D là điểm di động trên cung lớn AB (D
không trùng với A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm thứ hai của đường thẳng
MD với đường tròn (O; R)
a) Giả sử H là giao điểm của OM với AB Chứng minh rằng MH.MO = MC.MD, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD luôn đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh rằng nếu dây AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC đi
Trang 4c) Kẻ đường kính BK của đường tròn (O; R), gọi I là giao điểm của các đường thẳng MK
và AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, khi biết OM = 2R
I C
M
A
B
D
E
K
a) (2,5 điểm) Vì tam giác AOM vuông tại A có AHOM nên MH.MO MA 2
Mặt khác MAC ADC nên MAC đồng dạng MDA (g.g), do đó
2
MC.MD MA
Vậy MH.MO MC.MD
1,5 đ
Khi đó
MD MO
Do đó MHC đồng dạng MDO MHC MDO.
Từ đó suy ra OHCD nội tiếp, vì vậy đường tròn ngoại tiếp HCD luôn đi qua điểm O
cố định
1,0 đ
b) (2,5 điểm) Giả sử AC cắt MB tại E, vì CBE EAB nên EBC đồng dạng EAB
Do đó
2
EB EC
EA.EC EB
1,0 đ
Vì AD // MB nên EMC MDA MAC. Do đó EMC đồng dạng EAM
2
EM EC
EA.EC EM
Vậy EB = EM, tức là E là trung điểm của MB
Tam giác MAB có MH và AE là các đường trung tuyến, nên AC luôn đi qua trọng tâm
G của MAB.
1,5 đ
Trang 5
I
M
B
N
c) (2,0 điểm) Vì OM = 2R nên MAB là tam giác đều, do đó MBA 60 0
Kẻ đường kính MN của đường tròn ngoại tiếp BMI thì trong tam giác vuông IMN ta
có
0
(1)
Ta có AK // MO nên HIM đồng dạng AIK (g.g) Do đó
IM MH
IK AK
Dễ thấy
R OH
2
nên AK = R và
3R MH
2
, do đó
IM
IK 2 2 (2)
1,0 đ
Mặt khác
IA 2 AH 5
Vì
R 3
AH
2
nên
Khi đó
2R 7 IK
5
, do đó
3R 7 IM
5
(3) Vậy đường tròn ngoại tiếp BMI có bán kính
5
1,0 đ
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc a b 3ab Chứng minh rằng
3
a b 1 bc c 1 ca c 1
Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với
3
(1)
Đặt
x , y , z c
thì x, y, z 0 và x y z 3 đồng thời bất đẳng thức
1,0 đ
Trang 61 1 1
3
xy x y yz y z zx z x (2)
2
x y 1 3 xy x y , với x, y.
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
2 x y 1 2xy 2y 2x 6 xy x y
Dấu “=”xảy ra x y 1
Do đó
x y 1
xy x y , với x, y 0 Dấu “=” xảy ra x y 1
Tương tự ta suy ra
x y 1 y z 1 z x 1
xy x y yz y z zx z x (3)
Dấu “=” xảy ra x y z 1
Ta chứng minh:
, m, n, p 0
m n pm n p Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
6
Theo bất đẳng thức Cô si ta thấy bất đẳng thức trên luôn đúng.
Dấu “=”xảy ra m n p.
Do đó
x y 1 y z 1 z x 1
9 3
3
(4)
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu “=”xảy ra x y z 1 hay a b c 1.
1,0 đ
HẾT