Mot so cau hoi phu lien quan den khao sat ham so

Với mục đích giúp cho học sinh có được cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức, luyện thi đại học,…tôi xin trình bày một số bài toá[r]

Với mục đích giúp cho học sinh có được cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này,đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức, luyện thi đại học,…tôi xin trình bày một số bài toán điểnhình cho mỗi dạng toán cơ bản trong chuyên đề: " Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến

đồ thị hàm số " Nội dung chủ yếu xét các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số cơ bản, từ đó rút raphương pháp giải cho mỗi dạng; còn khảo sát hàm số chỉ nêu trong các bài toán như là công cụ đểphục vụ cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đó

Nội dung chuyên đề gồm:

CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I/ Dạng 1 : Các bài toán về tiếp tuyến có yếu tố hình học II/ Dạng 2 : Các bài toán về cực trị

III/ Dạng 3 : Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số IV/ Dạng 4 : Các bài toán về khoảng cách

V/ Dạng 5 : Các bài toán về tương giao giữa 2 đồ thị VI/ Dạng 6 : Các bài toán về điểm đặc biệt trên đồ thị VII/ Dạng 7 : Các bài toán về diện tích- thể tích

Tác giả muốn chuyên đề này như một tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáoviên; song chắc chắn tác giả chưa thể đề cập hết các dạng toán và còn nhiều hạn chế Rất mong được sự đóng góp, bổ sung của đọc giả

Mọi sự góp ý xin gửi về: info@123doc.orgặc: Tổ Toán- Trường THPT Hoàng Quốc Việt-BắcNinh Tác giả xin chân thành cảm ơn!

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I/ DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC

* Kiến thức cơ bản:

Cho hàm số y=f(x) (C)

+ Tiếp tuyến của (C) tại M(x0; y0) có hệ số góc k=f'(x0)

+ Phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0): y= f'(x0)(x-x0)+y0

Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y 0 ; 0   C

 Tính đạo hàm y'=f'(x) và giá trị f x' 0

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: yf x'  0 x x 0y0

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y 0 ; 0   C có hệ số góc kf x' 0

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

 Giải phương trình: f x' k , tìm nghiệm x0  y0

 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x   0y0

Chú ý: Cho đường thẳng :Ax By C  0, khi đó:

 Nếu d//   d :y ax b   hệ số góc k = a

 Nếu d    d :y ax b   hệ số góc

1

k a



Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(xA; yA)

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d : yk x x  A y A

 Điều kiện tiếp xúc của  d và  C

là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

Tổng quát: Cho hai đường cong  C y: f x  và C' : y g x   Điều kiện để hai đường cong

tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm:

B và C vuông góc với nhau.

Lời giải:

.y'=3x2+2mx

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 (1)

⇔ x(x2 + mx + 1) = 0

⇔ x=0

hay (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B(x1; -x1 +1), C(x2; -x2 +1)

Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau ⇔ f ' (x1) f ' (x2)=− 1

x+2 (C) Gọi M là điểm trên (C ), I là giao 2 tiệm cận Tiếp tuyến của

(C ) tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B

a CMR: Tam giác IAB có diện tích không đổi

b CMR: M là trung điểm của đoạn AB

c Tìm M sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất

d Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị(C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

+ Diện tích tam giác IAB:

Vậy M là trung điểm của AB (Đpcm)

c Chu vi tam giác IAB là: p= IA+ IB+√IA2+IB2≥2√IA IB+√2 IA IB=8+ 4√2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi IA=IB ⇔

tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O

LG:

.Giả sử tiếp tuyến (d) của (C ) tại M(x0; y0) thoả mãn bài toán

Tam giác OAB cân tại O ⇔ (d) có hệ số góc: k= ±1

Phương trình tiếp tuyến tại M1(-2; 0): y=-x+2( t/m)

Phương trình tiếp tuyến tại M2(-1; 1): y=-x (loại)

* KL: Tiếp tuyến cần tìm: (d): y=-x+2

*NX: Ở bài toán trên ta có thể giả sử A(a; 0), B(0; b) Khi đó tiếp tuyến (d) có PTĐC:

1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y= x

x+1 biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B

sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1/4

2. (ĐH-D-2007)Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y= 2 x

x+1 biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục

toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân

3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y= x − 1

x +1 biết tiếp tuyến đó cắt 2 tiệm cận đứng,

tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho tam giác IAB cân với I là giao 2 tiệm cận

4. Giả sử (Δ) là tiếp tuyến tại M(0; 1) của đồ thị (C): y= 2 x +1

7. Cho hàm số: y=x4-2x2-1 (C) Tìm các điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C)

II/ DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  y CĐ.y CT 0

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x CĐ.x CT 0

 Để hàm số yf x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành

⇔ m+2 ≠− m

* Từ (*) ta có phương trình đường thẳng qua các điểm CĐ, CT là: y=-(m+1)2(2x+1)

* NX: Ở bài toán này ta dễ xác định được toạ độ các điểm cực trị nên có thể viết trực tiếp

phương trình đường thẳng qua 2 điểm đó Tuy nhiên, với đa số các bài toán khác ta cần dùng kỹthuật chia y cho y' như trên vì không xác định được toạ độ các điểm cực trị

Đặc biệt với hàm phân thức hữu tỉ, ta phải vận dụng bổ đề sau:

2 (HVQHQT-96): Tìm m để đồ thị hàm số: y=x4

−2 mx2+2 m+m4 có điểm cực đại, cực tiểulập thành tam giác đều

3 Tìm m để đồ thị hàm số: y=x4

trọng tâm tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị đó

4 Cho hàm số y=x3− 3 mx2+3(m2−1)x − m3+m2 Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộcgóc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV)

(f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên D)

So sánh nghiệm của tam thức với số 0

Xét f(x)= x2+2 mx − 8 m , x ∈¿ có:

+f'(x)=2x+2m f'(x)=0 khi x=-m<1 do đó dựa vào bbt ta có f(x) luôn đồng biến trên khoảng ¿

y'= 3x2+6x+m là tam thức bậc hai có Δ'=9 −3 m

+ Nếu Δ'=9 −3 m ≤0 ⇔ m≥ 3 thì y' 0,∀ x ⇒ Hàm số đồng biến trên R => m 3 khôngthoả mãn

+ Nếu m<3: y' có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 Dựa vào bảng biến thiên có hàm số chỉ nghịchbiến trong khoảng (x1 ; x2) Do đó để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

a Hàm số luôn đồng biến trên R.

b Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1

a Hàm số đồng biến trên khoảng 2; .

b Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 1

1/Bài toán 1: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Giả sử A, B là 2 điểm nằm trên 2 nhánh của đồ thị hàm số y= x+1

2/Bài toán 2: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 giao điểm của một đường thẳng với đồ thị hàm số

Ví dụ 3: CMR với mọi m đường thẳng (d): y=-x+m luôn cắt đồ thị hàm số: y= 3 x −1

x+1 (C ) có I là giao 2 tiệm cận, (d) là một tiếp tuyến của (C ).

Tìm giá trị lớn nhất khoảng cách từ I đến đường thẳng (d)

Vậy khoảng cách lớn nhất từ M tới tiếp tuyến (d) là: d(M; d)max = √2

4/ Bài toán 4: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một đường thẳng đi qua một điểm cố định

Ví dụ 5: Cho hàm số: y=x3 -3x2 +mx+1 (C) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu.Gọi (Δ) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu Tìm điểm cố định mà (Δ) luôn điqua với m tìm được.Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm I( 1

Với m t/m (*), (1) có 2 nghiệm: x1; x2 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, cựctiểu là:

A(x1; y(x1)); B(x2; y(x2))

Lấy y chia cho y' được: y=y'. x −1

√1+(2 m3 −2)2

=f (m)

Từ đó đi khảo sát hàm f(m) với m<3, dựa vào bảng biến thiên , kết luận f(m) f (1), ∀ m<3 hay d(I; (Δ) )max= f(1)= 5/4 khi m=1

2- PP tìm GTLN khoảng cách từ điểm I cố định đến đường thẳng (Δ) thay đổi biết

(Δ) luôn đi qua điểm cố định M:

+ d(I; (Δ) ) IM

+ d(I; (Δ) )max= IM khi M là hình chiếu của I lên (Δ) hay ⃗IM ⃗u Δ=0

5/ Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số

 (C) CMR: tích các khoảng cách từ điểm M bất kì trên (C) đến 2

tiệm cận là số không đổi

a.Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.

b, Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.

9 (ĐH KhốiA 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:

b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm

1 Cho 2 đồ thị (C1): y=f(x) và (C2): y=g(x)

Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương trình: f(x)=g(x)

2 Số nghiệm của phương trình: f(x)=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng(d): y=m

3 Số nghiệm của phương trình f(x)= 0 là số giao điểm của (C): y=f(x) và trục hoành

1/ Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Ví dụ 1: Cho hàm số

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm m để phương trình:

2 3 3 1

m x

2 4

x

y

2 3 3 1

x x y x

 





f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10 -8 -6 -4 -2

2 4

x

y

2 3 3 1

x x y x

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2m 4 x m 0(2)

x(t)=1 , y(t)=t

f(x)=-x+3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10 -8 -6 -4 -2

2

x

2

4 1

x x y x







x(t)=1 , y(t)=t f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2

-10 -8 -6 -4 -2

2

x

2

4 1

x x y x

+ Nếu m< 0: (2) có 4 nghiệm phân biệt

+ Nếu m=0: (2) có 3 nghiệm phân biệt

Nếu m>0 : (2) có 2 nghiệm phân biệt

2/ Bài toán 2: Tìm số giao điểm của 2 đồ thị bằng số nghiệm phương trình

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C): 1

x y x

3/ Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt

*PP1: Đưa về pt: f(x)=g(m) => khảo sát hàm y=f(x)

Ví dụ 4: Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

-27

- ∞ Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔− 27<− m<5 ⇔− 5<m<27

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = 0(1)

=>) Giả sử (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng =>(1) có 3 nghiệm

x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó => x1+x3 =2x2 => x1 +x2+x3 =3x2 =3 => x2 =1 Thay x2 =1 vào (1) ta được: m-11=0 hay m=11

<=) Thử lại với m=11: (1) có 3 nghiệm lập thành CSC là: 1−√12 ;1 ;1+√12

* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=11

* Bài tập tự luyện:

1 Cho hàm số

 121

x y x

b Tìm các giá trị của k để phương trình x3 kx2  4 0 có nghiệm duy nhất.

3 (ĐH KhốiD 2006): Cho hàm số y x 3 3x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt ĐS: b

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có

b Tìm k để phương trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

7 Tìm m để đồ thị hàm số y =  x3 - 3mx2 + 2m(m 4)x + 9 m2 -m cắt trục Ox tại 3 điểm lậpthành cấp số cộng

8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt trục đường thẳng y=x tại 3 điểm lập thànhcấp số cộng

9 (ĐHTCKT-2000): Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x3 - 3(2m+1)x2 + 6mx + 1 cắt trục Ox tại 3điểm phân biệt

10 (ĐHBK-2001): Tìm m để đồ thị hàm số y = 1

3 x3 - x + m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

VI/ DẠNG 6:CÁC BÀI TOÁN VÊ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ

1 Bài toán 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua

Phương pháp:

Từ hàm số yf x m ,  ta đưa về dạng F x y , mG x y ,  Khi đó tọa độ điểm cố định nếu

có là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3m 1x2  3mx2C m Chứng minh rằng C m luôn đi qua hai

điểm cố định khi m thay đổi.

 Chứng minh rằng đồ thị C m luôn đi qua một điểm

cố định khi m thay đổi.

2 Cho hàm số C m:y1 2  m x 4  3mx2  m 1 Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên

3 Chứng minh rằng đồ thị của hàm số ym 3x3  3m 3x2  6m 1x m  1C m luôn điqua ba điểm cố định

2 Bài toán 2: Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị

Điểm I x y 0 ; 0là tâm đối xứng của đồ thị  C y: f x  ⇔ Tồn tại hai điểm M(x;y) và

M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:    

0

0

' 2 ' 2

Ví dụ 2 (ĐH Khối D2008): Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) Chứng minh rằng mọi đường thẳng

đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I,

A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

5. Cho hàm số yx3 ax2bx c  1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là

I(0;1) và đi qua điểm M(1;1).

3 Bài toán 3: Tìm điểm có toạ độ nguyên

Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2)

và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:

Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b

ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.

b Thể tích

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi

{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox

được tính bởi công thức: V =π

a

b

[f ( x )]2dx

Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi

{(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy

được tính bởi công thức: V =π

c

d

[ξ ( y )]2dy

Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox

(f(x)g(x), x[a;b]) được tính bởi công thức: V =π

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Tính diện tích hình phẳng của miền D giới hạn bởi đường cong (C) và đường thẳng:

y

d

O