Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT Môn Toán

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những [r]

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

NĂM 2011-2012

****************************

A CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

* Phần chung dành cho tất cả thí sinh: (7 điểm)

Câu I (3 điểm):

- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)

Câu II (3 điểm):

- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

- Tìm nguyên hàm, tính tích phân

- Bài toán tổng hợp

Câu III (1 điểm):

Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

* Phần riêng (3 điểm):

Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2):

Theo chương trình Chuẩn:

Câu IV.a (2 điểm):

Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu V.a (1 điểm):

- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức D âm

- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

Theo chương trình nâng cao:

Câu IV.b (2 điểm):

Phương pháp tọa độ trong không gian:

- Xác định tọa độ của điểm, vectơ

- Mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu V.b (1 điểm):

- Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác của số phức

- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan

- Sự tiếp xúc của hai đường cong

- Hệ phương trình mũ và lôgarit

- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

B.Những điều cần biết khi ôn thi:

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Khơng nên tăng tốc một cách ghê gớm vào những ngày cận thi mà dẫn đến tình trạng “bão hịa”, kéo theo sự sút giảm sức khỏe, hậu quả là thi khơng đúng khả năng thường cĩ của mình Cách học hợp lý vào các ngày cận thi là giảm cường độ: chủ yếu là đọc lại, xem và hệ thống lại các nội dung đã được học, hệ thống và liên kết các mảng kiến thức khác nhau trong chương trình, huy động các kiến thức đã học một cách nhanh và hợp lý nhất để giải quyết các vấn đề; khơng nên tìm hiểu những điều phức tạp mà trước đĩ chưa biết, chỉ nên đọc lại những điều đã học, ghi nhớ những cơng thức hay quên hoặc thường cĩ nhầm lẫn Những ngày cận thi khơng nên học quá nhiều, cần tạo một tâm lý thoải mái và tăng cường sức khỏe Khơng nên học quá khuya mà cần thay đổi thĩi quen: tập thức dậy sớm Nếu thức dậy sớm một cách tự nhiên (chứ khơng phải bị gọi dậy) thì sẽ thấy thoải mái, khi vào phịng thi sẽ dễ dàng suy nghĩ và làm bài thi với chất lượng tốt hơn Trong ngày thi, khơng nên đến muộn vì như thế khơng cĩ được tâm lý tốt Trước khi vào phịng thi nên tránh việc cười đùa quá mức với bè bạn vì điều ấy sẽ gây bất lợi cho việc nhanh chĩng tập trung suy nghĩ để thực hiện bài thi

C. Cách làm bài thi:

a) Phần chung là mọi học sinh đều phải làm, phần riêng chỉ được chọn 1 trong 2 (nếu làm cả 2 sẽ vi phạm qui chế và phần này khơng được chấm điểm)

b) Khi làm bài thi chú ý khơng cần theo thứ tự của đề thi mà theo khả năng giải được câu nào trước thì làm trước Khi nhận được đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen thuộc và dễ thực hiện (ưu tiên giải trước), các câu hỏi khĩ nên giải quyết sau Cĩ thể ta đánh giá một câu hỏi nào đĩ là dễ

và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy là khĩ thì nên dứt khốt chuyển qua câu khác, sau đĩ cịn thì giờ hãy quay trở lại giải tiếp Khi gặp đề thi khơng khĩ thì nên làm rất cẩn thận, đừng chủ quan để xảy ra các sai sĩt do cẩu thả; cịn với đề thi cĩ câu khĩ thì đừng nên nản lịng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ Phải biết tận dụng thời gian trong buổi thi để kiểm tra các sai sĩt (nếu cĩ) và tập trung suy nghĩ để giải các câu khĩ cịn lại (nếu gặp phải) Khi làm bài thi bằng nhiều cách khác nhau mà đắn đo khơng biết cách nào đúng sai thì khơng nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗ đúng để cho điểm

D MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG

PHẦN I: TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Chủ đề 1: Khảo sát hàm số

I/ Khảo sát hàm đa thức

1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức

1 TXĐ

2 Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

Tìm y’, giải phương trình y’= 0 và các bất phương trình y’>0, y’<0  Khoảng đồng biến, nghịch biến

b) Cực trị của hàm số.

c) Giới hạn tại vơ cực

d) BBT

Chú ý : Hàm số bậc 3 cĩ y / = 0 vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm kép thì y / luơn cùng dấu với a trừ nghiệm kép

3.Đồ thị:

Bảng giá trị Ghi dịng x gồm hồnh độ cực trị và lấy thêm 2 điểm cĩ hồnh độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn cực trị bên phải) Hàm bậc 3 lấy thêm điểm nằm giữa 2 cực trị

Vẽ đồ thị .

x Ghi tập xác định và nghiệm của phương trình y/=0

f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị của hàm số

Các dạng đồ thị hàm bậc 3:

y y y y

0 x 0 x 0 x 0 x

' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0      y a ' 0 0      y x a ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 y a      ' 0 0      y x a Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luơn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị hàm trùng phương: y y y y 0 x 0 x 0 x

0 x

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt

a 0





 



' 0 có 1 nghiệm đơn 0

y a





 



' 0 có 3 nghiệm phân biệt 0

y a





 



' 0 có 1 nghiệm đơn 0

y a





 



II/ Khảo sát hàm nhất biến

1/ Sơ đồ khảo sát hàm y ax b :

cx d





 c0,ad bc0

1 TXĐ: D = R\ d

c









2 Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

Tình y’=  Khoảng đồng biến, nghịch biến

 2

a d b c

cx d





b) Cực trị: hàm số khơng cĩ cực trị.

c) Giới hạn tiệm cận:

Tiệm cận ngang là: y a vì

c



c

a y





lim

Tiệm cận đứng là x = d vì

c

d) BBT

3.Đồ thị:

bảng giá trị ( mổi nhánh lấy 2 điểm ) Vẽ đồ thị .

Dạng đồ thị hàm b1/b1

y’< 0 x D y’> 0 x D

Chủ đề 2: Một số bài tốn liên quan đến khảo sát hàm số

f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị của hàm số

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

I Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình Fx,m0

Phương pháp giải:

B1: Biến đổi đưa về phương trình hồnh độ giao điểm Fx,m0 f(x)(m)

B2: Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = ( )m (cùng phương với trục hồnh vì ( )m là hằng số) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm

II Dùng phương trình hồnh độ biện luận số giao điểm của hai đồ thị

Bài tốn Cho hai đồ thị  C :y f x và  L :y g x Tìm tạo độ giao điểm của hai đường

Phương pháp

B1 : Lập phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường

     x g x 1

B2 : Giải phương trình  1 , giả sử phương trình  1 cĩ các nghiệm là x1,x2, ,x n, ta thế lần lượt các nghiệm này vào một trong hai hàm sơ trên ta được các giá trị tương ứng là y1,y2, ,y n suy ra tọa độ các giao điểm

Chú ý : số nghiệm của phương trình  1 bằng số giao điểm của hai đồ thị  C và  L

III Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường

hợp sau

1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) :

B1: Tìm f ’(x) f ’(x 0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0))là: y = / (x–x0) + f(x0)

0

f (x )

2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x 0 :

B1: Tìm f ’(x) f ’(x 0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là:y = / (x–x0) + f(x0)

0

f (x )

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y 0 :

B1: Tìm f ’(x)

B2:Do tung độ là y0f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0 f /(x0)

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x )/ 0 (x–x0) + y0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:

B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

f (x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0 f(x 0) phương trình tiếp tuyến.

Chú ý:

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1

5/ Đi qua điểm A(x A ,y A ).

C I :

b1: Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A và cĩ hệ số gĩc k Suy ra phương trình cĩ dạng

(d): y = k(x – xA) + yA

b2: (d) tiếp xúc với (c) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm













k x f

y x x k x

) ( '

) ( ) (

Giải hệ tìm k suy ra phương trình tiếp tuyến

CII : Lập phương trình tiếp tuyến  d với đường cong C : y f x  đi qua điểm A x y A; A

cho trước ( kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số)

b1 : Giả sử tiếp điểm làM x y 0; 0, khi đĩ phương trình tiếp tuyến cĩ dạng:y f x '  0 x x 0y0  d

b2: Điểm A x y A; A   d , ta được: y A  f x'  0 x Ax0y0 x0.Từ đĩ lập được phương trình tiếp tuyến  d

Chủ đề 3: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số Tĩm tắt lý thuyết:

Định lý 1: Cho hàm f(x) cĩ đạo hàm trên K ( K cĩ thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

a) f’(x)>0, xK y= f(x) tăng trong K 

b) f’(x)< 0, xK y= f(x) giảm trong K 

c) f’(x)=0, xK f(x) khơng đổi  

Định lý 2: y = f(x) cĩ đạo hàm trên K.Nếu f ’(x) 0 (f’(x) 0), x   K và f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm của 1 hàm số :

+ Tìm TXÐ ?

+ Tính đạo hàm : y / = ? Tìm nghiệm của phương trình y / = 0 ( nếu cĩ )

+ Lập bảng BXD y / (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần Nếu y / > 0 thì hàm số tăng, y / < 0 thì hàm số giảm )

+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

Chú ý:

a) Định m đề hàm số b3 luơn luơn đồng biến

+ Giả sử y'ax2 bxc, a0

+ Hàm số luơn luơn đồng biến R y x R a m























0

0 ,

0 '

b) Định m đề hàm số b3 luơn luơn nghịch biến

+ Giả sử y'ax2 bxc, a0

+ Hàm số luơn luơn nghịch biến R y x R a m























0

0 ,

0 '

Chủ đề 4: CỰC TRỊ

1 Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x 9 thì f / (x 0 )=0

2 Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên (x0 – h; x 0 + h) với h > 0.

+Nếu y / đổi dấu từ dương sang âm qua x 0 hàm số đạt cực đại tại x0,

+Nếu y / đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu tại x0

Qui tắc tìm cực trị = dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Tính : y / , tìm nghiệm của ptr y / = 0 Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu cĩ)

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

+ Kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0.

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

3) Nếu f(x) cĩ đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 

/ 0 /

0

( ) 0 ( )







y x

y x đổi dấu qua x

3 Dấu hiệu II:

Cho hàm f(x) cĩ đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0  (a;b)

+Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

/

0 //

0

( ) 0

( ) 0









y x

y x

+Nếu thì hàm số đạt cực đại tại x0.

/

0 //

0

( ) 0

( ) 0









y x

y x

Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II:

+ MXÐ

+ Đạo hàm : y / = ?

cho y / = 0 => các nghiệm x1 , x2 … ( nếu cĩ )

+ Tính y // = ? y // (xi), i1,n

Nếu y // (xi) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi

Nếu y // (xi) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi

Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y/ khĩ xét dấu

*Cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s ( ) đạt cực trị tại x0 thì y / (x0)= 0 và giá trị cực trị y(x0) =

( )

u x y

v x

v (x )0





* Điều kiện để hàm bậc 3 cĩ cực trị (cĩ cực đại,cực tiểu): y’= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt  a 0

0

 



 



*Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 cĩ cực trị (cĩ cực đại, cực tiểu): y’= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của

mẫu

* Điều kiện để hàm bậc 4 cĩ 3 cực trị : y/ = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt.

Chủ đề 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b]

B1: Tìm y/ Tìm các điểm x1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đĩ y’=0 hoặc khơng xác định

B2: Tính f(x1), f(x2), …, f(xn), f(a), f(b)

B3: Kết luận =Max {f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b)}

a;b

Max f(x)

 

 

và =Min{f(x1), f(x2), … f(xn), f(a), f(b)}

a;b

Min f(x)

 

 

2/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn (a; b)

B1: Tìm y/ Tìm các điểm x1, x2, … ,xn trên (a; b), tại đĩ y’=0 hoặc khơng xác định

B2:Lập bảng biến thiên và kết luận GTLN và GTNN

B3: Kết luận

3/ Chú ý: - Nếu f(x) liên tục và tăng trên đoạn [a; b] thì = f(b) và = f(a)

a;b

Max f(x)

 

Min f(x)

 

 

- Nếu f(x) liên tục và giảm trên đoạn [a; b] thì = f(a) và = f(b)

a;b

Max f(x)

 

Min f(x)

 

 

- Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và chỉ cĩ một điểm cực trị x0 thuộc (a; b) thì f(x0) chính là GTNN hoặc GTLN

- Cĩ thể dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN

Chủ đề 6: Phương trình, bất phương trình mũ loga I/ Kiến thức cơ bản về lũy thừa :

a 0, ta cĩ: a 1; a

a

a 0,r (m,n Z,n>0 và

3./ Các qui tắc về luỹ thừa : Cho a,b,α,β R; a>0, b>0 , ta cĩ 

+ aα β a aα β + α β α + + +

β

a a

a

  α.β    α β β α

a b (a.b)

α α

α

 

 

   

  3/Đạo hàm của hàm lũy thừa và mũ:

x   x  u   u  u

 (e x ) / = e x ( e u ) / = u / e u ( a x ) / = a x lna  ( a u ) / = u / a u lna

II/ Kiến thức cơ bản về loga :

1./ Định nghĩa: a0,a1,M 0: logaM N  M a N

Suy ra : loga1 0 , logaa1

2./ Các tính chất và qui tắc biến đổi loga: Cho a0,a1, ,M N 0 ta cĩ

+ aloga M M + log ( )a a   + loga   b   loga b;



  0, b0

+ logaM N loga Mloga N + loga M loga M loga N

N

loga

a

M

b

log

a

b

b

a



3/Đạo hàm của hàm loga:

 (lnx) / = (x>0)1  (lnx) / = (x≠0)  (log a x) / = (x>0)  (log a ) / = (x≠0)

x

1

x

1

x ln a

 (lnu) / = (u>0)  (lnu)u / = (u≠0)  (log a u ) / = (u>0)  (log a ) / = (u≠0)

u

u

u ln a



u

/

u ln a

u

a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :

Dạng ax= b ( a> 0 , a0 )

 b 0 : pt vô nghiệm 

 b>0 : x log

a

a   b x b

Dạng loga x b ( a> 0 , a0 )

a x b  x a

b/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :

Dạng a x > b ( a> 0 , a0 )

 b 0 : Bpt có tập nghiệm R

 b>0 :

x log , khi a>1

a

a   b x b

x log , khi 0 < a < 1

a

a   b x b

Dạng loga x b ( a> 0 , a0 )

 Điều kiện : x > 0

 log b , khi a >1

a x b  x a

log b , khi 0 < x < 1

a x b  x a

Một số phương pháp giải Phương trình mũ, Phương trình logarit

oDạng 1 Đưa về cùng cơ số :

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

af (x)= ag(x) (a>0, ≠1)  f(x) = g(x)

log f(x) = log g(x) (a>0, ≠1) a a f (x) 0(g(x) 0)

f (x) g(x)









Nếu chưa cĩ dạng này cơng việc đầu tiên là đặt điều kiện cho các biểu thức dưới dấu loga cĩ nghĩa rồi mới giải

oDạng 2 đặt ẩn phụ

 a2f (x) + af (x) +  = 0 ; Đặt : t = af (x)Đk t > 0

 af (x)+ bf (x)+  = 0 ; ( với a.b=1) Đặt : t = af (x) (Đk t > 0)  =1

t

f (x) b

 a2f (x)+. f (x) +  = 0 ; Đặt t =

a.b b2f (x)

f (x) a b

 

 

 

.log a x +.log a x +  = 0 ; Đặt : t = logx

.log a x +.log x a +  = 0 ; Đặt : t = log a x  log x a =1

t

.log a x + log x ba  +  = 0 Đặt : t = log x ba  ( t 0 )

Dạng 3 Logarit hóạ: af(x)=bg(x) ( a, b>0, ≠1)  f(x)=g(x) logab

Chủ đề 7: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1/Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :

dx x C 

1

( 1) 1

x









( 1)

ax b

a













ln ( 0)

dx

x C x

 dx ln ax b C a( 0,ax b 0)







2

( 0)



 dx C x b a

e dx e C

a



(0 1) ln

x

a

.ln

bx c

bx c a





sinx.dx cos x C

sin(ax+b).dx ax b C

a



cosx.dx= sinx + C

cos(ax+b).dx= + C

a



os

dx

x C

tan( )

os ( )

C







sin

dx

x C

cot( ) sin ( )

C







Công thức biến đổi tích thành tổng:

sin cos 1sin( ) sin( ) sin cos 1sin( ) sin( )

 a b a b  a b  b a a b  a b

Cơng thức hạ bậc: 2 1 cos 2 2 1 cos 2

2: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dxb bằng phương pháp đổi biến.

a





Phương pháp giải:

b1: Đặt t = (x) dt =   '( ) dxx

b2: Đổi cận:

x = a t = (a) ; x = b t = (b)   

b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được

3: Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:

Công thức từng phần : b b b

a

u dv u v v du



Phương pháp giải:

B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du phần còn lại là dv tìm v.

B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.

B3: Tích phân b suy ra kết quả

a

vdu



Chú ý:

a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho b dễ tính hơn nếu khó hơn phải tìm cách

a

vdu

a

udv

đặt khác

b/Khi gặp tích phân dạng : b ( ) ( )

a

P x Q x dx



- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx

Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên

-Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx

-Khi đặt U chú ý thứ tự ưu tiên các hàm “nhất log, nhì đa, tam mũ, tứ lượng »

4 Ứng dụng của tích phân :

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : ( )

b a

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và trục 0x : f(x)=0

B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

TH1:

Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

( )

 b

a

TH2:

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Gò Dầu – Tây Ninh

Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1(a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

1

1

b  x  b

TH3:

Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2(a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

2

 x  x  x

Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : b ( ) ( )

a

S  f x g x dx

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’) là f(x)=g(x)

B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:

TH1:

Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

b

a

S  f x g x dx

TH2:

Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1(a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

1

1

x

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx

TH3:

Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2(a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

2

Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.

 Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

Chủ đề 8: SỐ PHỨC 1/ số phức bằng nhau, mơđun của một số phức, số phức liên hợp, các phép tốn về số phức

Cho hai số phức a+bi và c+di

1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) Mơđun số phức z a bi  a2 b2

3) Số phức liên hiệp của z = a+bi là = a  bi Ta cĩ: z+ = 2a; z = z z z z2 a2 b2

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i

6) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i