DÙNG ðỒ THỊ ðỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN 12 Huỳnh Cơng Thành Email: crsthanh@gmail.com Chương trình toán lớp 12 THPT , đồ thị một số hàm số được quan tâm khá kỹ , nó gần như xuyên suốt HKI c
Trang 1DÙNG ðỒ THỊ ðỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN 12
Huỳnh Cơng Thành Email: crsthanh@gmail.com
Chương trình toán lớp 12 THPT , đồ thị một số hàm số được quan tâm khá kỹ , nó gần như xuyên suốt HKI của lớp 12 Tuy nhiên một điều kỳ lạ là người ta ít dùng hình dạng cụ thể của từng đồ thị để giải quyết một số dạng toán , chẳng hạn như một số bài toán về cực trị hay một số bài về tương giao giữa 2 đường
Dùng hình dạng của đồ thị hàm số đã học trong chương trình toán 12 THPT để giải quyết một số bài toán Thiết nghĩ đây không phải là điều mới , thực tế trong sách giáo khoa sự tương giao giữa 2 đồ thị đã được dùng để giải quyết số nghiệm của một phương trình cũng như một số dạng toán khác (phương pháp chung dùng cho mọi đồ thị) Trong bài này tôi muốn đề cập đến phương pháp dùng hình dạng của một đồ thị cụ thể đã học trong chương trình để giải quyết một vài bài toán gọn gàng và nhanh chóng hơn Không quá nhiều tham vọng, chỉ mong góp một chút kinh nghiệm nhỏ bé của mình làm phong phú thêm kỹ năng và phương pháp giải toán để quí đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo
1) Quan tâm 1Quan tâm 1Quan tâm 1 : Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
y
x y
ab < 0
x y
x y
Trang 2Bài toán 1 : (Trích đề thi khối B 2002)
Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (1) Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị
Lời giải trong đáp án
Lời giải trong đáp án Lời giải đềLời giải đề nghị nghị nghị MXĐ : D = R
y/ = 4mx3 + 2(m2 − 9)x
= 2x(2mx2 + (m2 − 9))
y/ = 0 ⇔
=
− +
=
=
0 ) 9 (
2 ) (
0
2 2
m mx
x g x Hàm số (1) có 3 cực trị
⇔
≠
>
∆
≠
0 ) 0 ( 0 0
g
m
g
⇔
≠
−
>
−
−
≠
0 9
0 ) 9 (
2 0
2
2
m
m m m
⇔
<
<
−
<
3 0
3 m m
Hàm số (1) có 3 cực trị ⇔ ab < 0
⇔ m(m2 − 9) < 0 ⇔ m < - 3 hoặc 0 < m < 3
Lời bình : Rõ ràng lời giải đề nghị gọn hơn , có cơ sở lý thuyết “đường
hoàng”
2) Quan tâm 2Quan tâm 2Quan tâm 2 (Chương trình NC): Đồ thị hàm số y =
1 1
2
c x b
c bx ax +
+ +
(ab1 ≠ 0)
y/ = 0
có 2
nghiệm
phân
biệt
x y
x y
Trang 3y/ = 0
vô
x y
Bài toán 2
Bài toán 2 : Cho hàm số y =
x
m x
có cực trị
D = R \ 0
2
2
x
m x
=
y/ = 0 ⇔ 2x2 = m
Hàm số không có cực trị
⇔ m ≤ 0
Đặt g(x) = 2x2 – 3x + m Hàm số không có cực trị
⇔ P = m ≤ 0
• Giải thích : Lời giải đề nghị xuất phát từ hình dạng của đồ thị hàm số hữu tỉ Ta thấy hàm số hữu tỉ (ab1 ≠ 0 ) không có cực trị khi và chỉ khi hoặc là hàm suy biến (tử chia hết cho mẫu ) hoặc là đồ thị luôn cắt Ox tại 2 điểm nằm về 2 phía của TCĐ Điều này tương đương phương trình g(x) = 0 hoặc có nghiệm x = 0 hoặc có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa x1 < 0 <x2 ⇔ P ≤ 0
Bài toán 3 :
Bài toán 3 : Cho hàm số
m x
m m
x m x
y
+
+ + + +
có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị này trái dấu
D = R \ - m
2 2
=
Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số đã cho ta có :
Ycđb thỏa mãn ⇔ y=0 vô nghiệm
Trang 4y/ = 0 ⇔ g(x)= x2 + 2mx + m2 - m = 0
Hàm số có 2 cực trị ⇔
≠
−
>
∆
0 ) (
0 m g
g
⇔
≠
−
>
0
0
m
m
⇔ m > 0 Khi đó gọi 2 cực trị là x1 , x2
Gọi y =
) (
) (
x v
x
u là hàm số đã cho ta
tìm được các giá trị cực trị tương ứng
là (phải chứng minh) :
3 2 2 ) (
) (
1 1
1
x v
x u y
3 2 2 ) (
) (
2 2
2
x v
x u y
Yêu cầu đề bài thỏa mãn khi
y1y2 < 0
⇔ 4x 1 x 2 +2(2m+3)(x 1 +x 2 )+(2m+3) 2 < 0
⇔ 4(m 2 -m)+2(2m+3)(-2m)+(2m+3) 2 <0
⇔ - 4m + 9 < 0
⇔ m >
4
9 (thỏa m > 0)
KL : m >
4
9
⇔ - 4m + 9 < 0
⇔ m >
4
9
Bài toán 4
Bài toán 4 : Cho hàm số y =
x
m mx
Với những giá trị nào của m thì hàm số có CĐ , CT và 2 giá trị cực trị này cùng dấu
D = R \ - m
2
2
x
m
x
=
y/ = 0 ⇔ g(x)=x2 + m - 5 = 0
Hàm số có 2 cực trị ⇔
≠
>
∆
0 ) 0 (
0 g
g
Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số đã cho ta có :
Ycđb thỏa mãn ⇔ đồ thị cắt Ox tại 2 điểm pb nằm về 1 phía TCĐ
⇔ h(x) = x2 – mx + 5 – m = 0 có 2 nghiệm pb x1 , x2 và 0 ∉ [x1;x2]
Trang 5
≠
<
5
5 m
m
⇔ m < 5 (*) Khi đó gọi 2 cực trị là x1 , x2
Gọi y =
) (
) ( x v
x
u là hàm số đã cho ta tìm được các giá trị cực trị tương ứng
là (phải chứng minh) :
m x x
v
x u
1
1
) (
) (
m x x
v
x u
2
2
) (
) (
Yêu cầu đề bài thỏa mãn khi
y1y2 > 0
⇔ 4x1x2-2m(x1+x2)+m2 > 0
⇔ 4(m - 5) + m2 > 0
⇔ m2 + 4m - 20 > 0
⇔
+
−
>
−
−
<
6 2 2
6 2 2 m
m
Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần
tìm là
<
<
+
−
−
−
<
5 6
2 2
6 2 2
m m
⇔
>
>
∆ 0
0 P
⇔
>
−
>
− + 0 5
0 20 4
2
m
m m
⇔
<
<
+
−
−
−
<
5 6
2 2
6 2 2
m
m
(Xong)
*
* LỜI KẾT LỜI KẾT LỜI KẾT
Không dám nghĩ các bài giải đề nghị trên là một “phát hiện” của người viết bài này Mong rằng nó được xem là một đóng góp nho nhỏ để các bạn đồng nghiệp cũng như các em học sinh nếu chưa quan tâm thì bây giờ để
ý một chút xíu đến hình dạng cụ thể của một đồ thị đã dạy (hoặc đã học) trong chương trình phổ thông đã giúp chúng ta giải quyết một số bài toán cũng rất thú vị
Hu
Huỳnh Cơng Thành
GV Tốn Trường THPT ðức Hịa, huyện ðức Hịa, tỉnh Long An
Email: crsthanh@gmail.com
