Bài 4 2,5 điểm Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB.. M, N theo thứ tự là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn vuông góc với ON.. Định
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 15 – 07 – 2004
Bài 1 (1,5 điểm)
Giải phương trình: x 1 4 x 1 6 0
Bài 2 (2 điểm)
Xác định các hệ số a và b để đa thức:
x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác
Bài 3 (2,5 điểm)
Chứng minh S không phải là số tự nhiên
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD với O là trung điểm của cạnh AB M, N theo thứ tự là các điểm di động trên cạnh AD và BC của hình chữ nhật sao cho OM luôn vuông góc với ON Định vị trí của M và N để tam giác MON có diện tích nhỏ nhất
Bài 5 (1,5 điểm)
Một đoàn học sinh gồm 50 em qua sông cùng một lúc bằng hai loại thuyền: loại thứ nhất, mỗi chiếc chở được 5 em và loại thứ hai, mỗi chiếc chở được 7
em
Hỏi mỗi loại thuyền có bao nhiêu chiếc?
Ghi chú: Bài 4 thiếu điều kiện AD ≥ AB/2.
Trang 2GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 - MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QÚY ĐÔN BÌNH ĐỊNH Năm học : 2004 – 2005 – Ngày 15 – 07 – 2004
Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 (1,5 điểm)
(1) (Điều kiện x > 0) Đặt t x 1
x
Phương trình (1) viết lại:
(1) ⇔ t2 – 2 – 4t + 6 = 0 ⇔ (t – 2)2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ x 1 2
x + = ⇔ x = 1
Vậy phương trình (1) có một nghiệm x = 1
Bài 2 (2 điểm)
Theo điều kiện bài toán, ta có:
x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = (x2 + cx + 1)2
⇔ x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = x4 + 2cx3 + (2 + c2)x2 + 2cx + 1
= −
Vậy a = 11, b = -6, khi đó x4 – 6x3 + 11x2 -6x + 1 = (x2 -3x + 1)2
Bài 3 (2,5 điểm)
Trước hết ta chứng minh k = 1 1
1
n+ n+ là số vô tỉ, ∀ n ∈∈ N*
Ta có: n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, ∀n ∈∈ N*
⇒ n(n + 1) không chính phương ⇒ ( 1)n n+ là số vô tỉ dương
Ta chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử 1 1
1
n+ n+ = k là số hữu tỉ
Suy ra n+ n+1=k n n( 1)+ ⇒ 2n + 1 + 2 n n+( 1) = k2n(n + 1) (1) (n ∈∈ N*)
Vì 2 n n+( 1) là số vô tỉ ⇒ vế trái (1) là số vô tỉ, còn vế phải(1) là số hữu tỉ: vô lý
Do đó k = 1 1
1
n+ n+ là số vô tỉ dương, ∀ n ∈∈ N*
S= + + + + + +
Vậy S không là số tự nhiên
Trang 3Bài 4 (2,5 điểm)
Định vị trí của M, N để tam giác OMN có điện tích nhỏ nhất
Đặt OA = OB = a, AM = x, BN = y
(a, x, y > 0)
Gọi I là trung điểm của MN
Ta có: OI = (x + y)/2
(đường trung bình của hình thang ABNM)
Mặt khác ∆ OMN vuông tại O, có OI = MN/2
⇒ MN = x + y (1)
Aùp dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông:
OM2 = OA2 + AM2 = a2 + x2 (2)
ON2 = OB2 + BN2 = a2 + y2 (3)
MN2 = OM2 + ON2 (4)
Từ (1), (2), (3), (4)
⇒ (x + y)2 = 2a2 + x2 + y2 ⇒ xy = a2 (1)
Ta có:
SOMN = SABNM – (SAOM +SBON)
x y a+ ax ay a x y+
Vì x + y ≥ 2 xy =2 a2 =2a (x, y > 0)
Nên: SOMN ≥ .2 2
2
= Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x = y = a
Vậy giá trị nhỏ nhất của S OMN là a 2 khi AM = BN = a = OA = OB = AB/2
(Điều kiện để tồn tại giá trị nhỏ nhất của S OMN là AD ≥ AO ⇒ AD ≥ AB/2).
Bài 5 (1,5 điểm)
Gọi x là số thuyền chở 5 người, y là số thuyền chở 7 người
(x, y ∈∈ N, 0 < x ≤ 10, 0 < y ≤ 7)
Ta có phương trình: 5x + 7y = 50 (1)
Từ (1) ⇒ 7y ⋮ 5 ⇒ y ⋮ 5 , kết hợp với điều kiện của y ⇒ y = 5
Thay y = 5 vào (1) ⇒ x = 3
Vậy có 3 thuyền loại chở 5 người, có 5 thuyền loại chở 7 người
N
I M
x
y
