Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a SB và CD b SC và BD Bài 2 : Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.. Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đườn
Trang 1BÀI TẬP VỀ NHÀ (06/02)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA h= và vuông góc với mp(ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a) SB và CD
b) SC và BD
Bài 2 : Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
Bài 3 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và SA a= 2. Đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA=a Gọi M là trung điểm của AB Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC
Bài 4 : Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và 3.
3
a
OB= Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho SB a= Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BD
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của AB và CD Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD
……….Hết………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ LUYỆN BG SỐ 2
Quan hệ vuông góc trong không gian.
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
• BTVN – 04/02/2010:
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a= = =
1 Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD)
2 Chứng minh ∆SBD vuông tại S
HDG:
1 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì SA SB SC a= = = nên
SO⊥mp ABCD Mà AC ⊥BD vì ABCD là hình thoi, nên O BD∈
Có: SO∈(SBD SO), ⊥(ABCD) (⇒ SBD) (⊥ ABCD)
Bài 2: Tứ diện SABC có SA mp ABC⊥ ( ). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC
1 Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và (SAC) (⊥ BHK)
2 Chứng minh HK⊥(SBC) và (SBC) (⊥ BHK).
HDG:
1 Vì H là trực tâm tam giác ∆ABC ⇒BH ⊥ AC, theo giả thiết
SA mp ABC⊥ ( ) ⇒BH ⊥SA Nên BH ⊥mp SAC( ) ⇒SC BH⊥
Do K là trực tâm ∆SBC ⇒BK ⊥SC
Từ đó suy ra SC ⊥mp BHK( ) ⇒mp BHK( ) ⊥mp SAC( ) (đpcm)
2 Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: SB⊥mp CHK( )⇒SB⊥HK
Mà SC⊥mp BHK( ) ⇒ SC HK⊥ Do đó: HK ⊥mp SBC( )⇒mp SBC( )⊥mp BHK( )
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Trang 3với (ABCD) Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1 Chứng minh (SBD) (⊥ SAC).
2 Chứng minh BD mp P|| ( )
HDG:
1 Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên
( ) ( ) ( )
SA⊥BD ⇒BD⊥ SAC ⇒ SBD ⊥ SAC
2 Từ giả thiết suy ra: ( ) (P ⊥ SAC), mà BD⊥(SAC) ⇒BD||( )P
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD Qua A dựng đường thẳng Ax vuông
góc với (P) lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (S≠A) Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’
Chứng minh:
AB ⊥SB AD ⊥SD và SB SB '=SC SC '=SD SD '
HDG: Từ giả thiết suy ra: SA⊥BC AB, ⊥BC⇒BC⊥(SAB) ⇒BC⊥AB'
Mà SC ⊥( )Q ⇒SC⊥ AB' Do đó AB' ⊥(SBC)⇒AB' ⊥SB
Ngoài ra ta cũng có BC⊥SB SC, ⊥B C' ' ⇒ ∆SBC: ∆SC B' ' nên:
SB SC
SB SB SC SC
SC = SB ⇒ = Chứng minh tương tự ta được AD' ⊥SD và SD SD ' =SC SC '
Vậy ta có đpcm
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= a 3, mặt bên (SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= a 5
a Chứng minh: SA⊥ (ABCD) Tính SA=?
b Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ) CMR: AK ⊥ (SBC) ; AL⊥ (SCD) .
c Tính diện tích tứ giác AKHL=?
Giải:
a) Ta có:
BC BA
BC SAB BC SA
BC BS
SA ABCD
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ ⇒ ⊥ Ta có: SA a= 2
Trang 4b) Trong (SBC) gọi: SB∩HI = { }K ⇒ =K SB∩ (HIJ)
Trong (SAD) gọi: SD∩HJ = { }L ⇒ =L SD∩ (HIJ).
Ta có: BC⊥AK(1) mà:
IJ
AC IJ
SC
SA
AH
Từ (1) và (2) ta có: AK ⊥ (SBC) Tương tự cho AL⊥ (SCD)
c) Tứ giác AKHL có: AL⊥KH AL; ⊥LHnên: 1( )
2
AKHL AK KH AL LH
Vậy : 8 2
15
a AKHL
• BTVN – 06/02/2010:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA h= và vuông góc với mp(ABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1 SB và CD
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4
Trang 5HDG: 1 Vì ABCD là hình vuông nên BC CD⊥
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA do SA ABCD
⊥
Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và BC a=
2 Gọi O=AC BD∩ ⇒ AC và BD vuông góc nhau tại O, mà SA BD⊥ ⇒ BD mp SAC⊥ ( ) Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD
.
SA SC SA OC ah
+ :
Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3 ,a cạnh bên bằng 2 a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M⇒AG BC⊥
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm ∆ABCABC nên SG⊥(ABC)⇒SG BC⊥ , từ đó suy ra
( )
BC⊥ SAG .
Trong ∆SAM kẻ MN SA N SA⊥ ( ∈ )⇒MN BC⊥ Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC
và SA Ta có:
4
SAM
MN
SA SA
∆
Bài 3 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và SA a= 2. Đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA=a Gọi M là trung điểm của AB Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC
HDG:
Ta có SA BC BC (SAB)
AB BC
⊥ ⇒ ⊥
⊥ tại B Dựng BH ⊥SM H( ∈SM).
Ta thấy: BH ⊥ BC Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC
Ta tính BH như sau:
Vì 32 1 2
2 2
a
BH a
Trang 6Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và 3.
3
a
OB= Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho SB a= Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BD
HDG:
Dễ chứng minh được BD⊥(SAC) (vì BD AC BD SO⊥ , ⊥ )
Trong mp(SAC) kẻ OI SA I SA⊥ ( ∈ ) ⇒ OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
SO OA= = ⇒SA= SO +OA =
2 . 3
3
SOA
OI
SA SA
∆
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của AB và CD Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD
HDG:
Ta thấy ngay ∆ABC= ∆ABD nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay ∆ICD
cân tại I Nên ta có IJ⊥CD.
CM tương tự ta có: IJ ⊥ AB vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB và CD Tính IJ: Áp dụng công thức trung tuyến và ta tính IJ được kết quả là:
2 2 2
IJ
2
b + − c a
=
• BTVN – 08/02/2010:
Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và ∠BAC= α Gọi M là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc β
1 Chứng minh ∠C BC' = β
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 6
Trang 72 Chứng minh
2 = là điều kiện cần và đủ để
HDG: 1 Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy ra:
1 2
BA AC= =AN⇒BA= CN⇒ ∆BCN vuông tại B nên BN BC⊥ .
Tương tự ta có BN BC⊥ '
Dễ thấy: BN mp MBC= ( ')∩mp ABC( ) , từ trên suy ra ∠C BC' = = β (·(ABC) (, MBC'))
2 Vì BM là trung tuyến của ∆BC N' nên: BM MC⊥ ' ⇔ ∆NBC' cân đỉnh B
os 2
BC c
BC BH
c
α
α β
β
(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC)
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a.Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và CC’ Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM) Tính
os
EF = AE + F = ME MF= = MC +CB +BF =
Gọi I EF= ∩AC⇒MI⊥ EF Mà MI⊥ EF ⊥AC MEF,( ) (∩ ABCD) =EF nên:góc giữa hai mặt
phẳng (ABCD) và (EFM) là ∠MIC= α
Do đó:
3
3 11 4
11 IF
AC IC
c
IM MF
−
Bài 3: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A
Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD Đặt BM =u DN v, = Chứng minh rằng:
a u v+ + uv= a
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 30o
HDG: Ta có: AM2 =a2 +u AN2 ; 2 =a2 +v2
2 ( ) (2 )2 2 2 2 ( )
MN = a u− + −a v = a + + −u v a u v+
Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc ∠MAN = α
Do đó: 30 os os30 2 2 2
AM AN
α = o ⇔ α = o = + −
Trang 8
2
3
3
a u v
a u a v
a uv a u v
a u v uv a
+
Bài 4: Cho tam diện vuông góc Oxyz Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba đoạn OA=a, OB=b,
OC=c Gọi α, β,γ là số đo các nhị diện cạnh BC, CA, AB.
a) CMR: cos2α +cos2β +cos2γ =1 b) CMR: (S∆ABC)2 =(S∆OBC)2 +(S∆OCA)2 +(S∆OAB)2
HDG:
a) Kẽ CH ⊥AB⇒OH ⊥AB⇒ ∠OHC =γ.Ta có: 2 2
2
c γ = ⇔c γ =
a b γ a b b c c a
Tương tự và ta tính được: cos2α +cos2β+cos2γ =1
b) Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có:
cos
cos
OBC ABC OCA ABC OAB ABC
S
S
α β γ
=
∆
∆
∆
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Lấy M,N thuộc CB và CD Đặt
CM=x, CN=y Lấy S∈At ⊥( )P Tìm hệ thức giữa x, y để:
a) ∠((SAM),(SAN)) =450 b) (SAM)⊥(SMN)
HDG:
a) ∠((SAM),(SAN)) = ∠MAN
Ta có: MN2 =MA2 +NA2 −2MA NA cos∠MAN
Ta tính được:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 8
Trang 92 2 2 0 2 2 3 4
NA a a y
= + − b) Giả sử (SAM)⊥(SMN)
Kẽ NM' ⊥SM ⇒NM' ( ⊥ SMA) ⇒NM' ⊥SA
Nhưng SA⊥MN nên NM’ trùng với NM hay M’trùng với M
……….Hết………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang