Ở trường THCS, trong dạy học Toán, cùng với việc hình thành cho học sinhmột hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và
Trang 1BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1 Lời giới thiệu:
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng Các kiến thức
và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn họckhác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Đồng thời môn Toán còn giúp họcsinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khảnăng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức vàthẩm mỹ của người công dân
Ở trường THCS, trong dạy học Toán, cùng với việc hình thành cho học sinhmột hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí thì việc dạy học giải các bài toán
có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phươngpháp dạy học Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giảitoán là một hình thức chủ yếu của việc học toán
Trong chương trình Toán THCS các bài toán rất đa dạng, phong phú và cómột ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này Để giải quyết cácbài toán, người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháphữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quết cácbài toán loại này Do đó, đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sángtạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống
Vì vậy để giúp giáo viên các em học sinh khắc phục được những khó khăn
đó tôi đã tìm tòi, nghiên cứu đề tài “ Khai thác những kiến thức hình học để giảimột số bài tập đại số 9” từ thực tế kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và trên cơ sởcác tài liệu của các thế hệ thầy, cô đi trước Đó chính là nội dung đề tài sáng kiếnkinh nghiệm tôi muốn giới thiệu ở đây
Trong một tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã ra bài toán sau:
Cho phương trình : x2 – 2 (m – 1)x + 2m – 7 = 0 Tìm m để 2 nghiệm phương trìnhtrên là các kích thước của một hình chữ nhật
Trang 2Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hướngđược cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hướng suy nghĩ như thế nào, dẫnđến các em không giải được bài toán trên, có phải học sinh khi gặp bài toán đại sốnày đã nghĩ ngay đến những kiến thức, những công cụ trong môn đại số haykhông? Nhưng ta hãy thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thước của hình chữ nhật lànhững số dương nên câu hỏi của bài toán có thể hiểu là: Tìm m để phương trìnhtrên có 2 nghiệm dương Với câu hỏi này thì chắc chắn bài toán trên sẽ trở thành rấtquen thuộc đối với học sinh Như vậy chỉ cần lưu tâm đến những kiến thức nhỏcủa hình học trong bài toán này thì mọi việc sẽ nhẹ nhàng hơn Không những bàitoán trên mà thực tế nhiều bài toán khác, học sinh gặp cũng rất bỡ ngỡ Nhưng nếucác em nhớ đến vận dụng những kiến thức nhỏ trong hình học thì bài toán sẽ trởnên dễ dàng hơn Vì lý do đó cho nên qua một thời gian công tác giảng dạy, tôi đã
đúc rút kinh nghiệm về “Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số 9”.
2 Tên sáng kiến:
“ Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số 9”
3 Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Đoàn
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên- Trường THCS Đôn Nhân- Sông Lô- Vĩnh Phúc
Trang 3Ngày bắt đầu áp dụng đề tài: 29/8/2019 Đề tài sẽ được áp dụng trong những năm học tiếp theo.
7 Mô tả bản chất của sáng kiến:
* Nội dung của sáng kiến
Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Cơ sở lý luận:
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế
hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩmchất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng taphải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũngnhư phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nóiriêng
Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng
Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông, nó đòi hỏi tư duyrất tích cực của học sinh
Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo
đề cập tới Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biếtvận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức chohọc sinh dễ hiểu nhất
Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiếnthức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy khi học, các em không nhữngnắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đóbiết vận dụng để giải từng loại toán Qua cách giải các bài toán rút ra phương phápchung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắngọn hơn
Trang 4hình học để giải một số bài tập đại số 9 Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiếnthức hình học để giải một số bài tập đại số 9 còn nhiều hạn chế và thiếu sót.
Giải bài tập đại số bằng cách vận dụng những kiến thức hình học Đây là mộtphần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9, bởi lẽ từ trước đến nay các
em chỉ quen giải những dạng toán đại số bằng các kiến thức và các phép biến đổiđại số Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn chế nên sau khi đọc đề bàiđại số thì định hướng đầu tiên để giải bài tập là dùng kiến thức đại số làm công cụ.Các bài tập dạng này không nằm ở một chương, phần cụ thể nào Xuất phát từ thực
tế đó nên khi giải một số bài toán các em chưa có cách làm tối ưu thậm chí khônggiải được dẫn đến kết quả học tập của các em chưa cao
Do vậy việc hướng dẫn các em có kỹ năng khai thác sử dụng các kiến thứchình học vào giải bài tập đại số là rất cần thiết Giúp các em phát triển khả năng tưduy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng họctập
3 Mục đích nghiên cứu :
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương phápKhai thác những kiến thức hình học vào giải một số bài tập đại số 9 Để từ đógiáo viên có thể giúp học sinh biết cách khai thác các kiến thức hình học đểgiải các bài tập đại số cho phù hợp
4 Nhiệm vụ của đề tài
Đưa ra các loại bài tập đại số 9 có thể giải bằng cách khai thác nhữngkiến thức hình học, có bài tập minh họa
5 Phạm vi và đối tượng của đề tài
Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán lớp 9, bản thân tôi đã gặp các bài toán đại số khó mà khi giải bằng kiến thức đại số thì dài và phức tạp thậm chí không giải được Nhưng nếu biết tích hợp những kiến thức hình học đã biết vào thì lời giải của bài toán trở lên đơn giản hơn rất nhiều
Do đó, trong phạm vi nghiên cứu là chương trình toán 9 Bản thân tôi mong rằng: nếu có sự sáng tạo của quý thầy giáo, cô giáo thì đề tài có thể giúp học sinh lớp 9 vận dụng sáng tạo kiến thức liên môn hình học và đại số, phát triển tư duy,
Trang 5cũng có thể làm dùng đề tài để dạy tự chọn môn toán 9, ôn thi vào THPT, thi học sinh giỏi….
Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ từng bước để hoàn thiệnphương pháp của mình, nên bản thân tôi rất tâm huyết với đề tài này Mặt khác,theo suy nghĩ của riêng tôi, mỗi người chỉ cần tập trung suy nghĩ thấu đáo mộtvấn đề và nhiều người góp lại chắc chắn hiệu quả giáo dục qua từng năm được sẽđược nâng lên rõ rệt Từ suy nghĩ đó tôi đã áp dụng đề tài này trong suốt nămhọc 2019- 2020, đồng thời sẽ tiếp tục áp dụng trong những năm học tiếp theo.Bản thân tôi cũng sẽ cố gắng hết sức mình nghiên cứu bổ sung nội dung mới để
đề tài đáp ứng chương trình đổi mới sách giáo khoa lớp 9 và cả chương trình tựchọn lớp 9 Rất mong quý thầy cô giáo đóng góp thêm ý kiến khi đọc đề tài này
6 Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau:
a Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử dụng các tài liệu như:
- Sách giáo khoa Toán 9
- Sách bài tập Toán 9
- Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 – NXB Đại học quốc gia Hà Nội
- Tuyển chọn 10 năm toán tuổi thơ - NXB Giáo dục
b Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9 - Trường THCS Đôn Nhân năm học 2019-2020
c Phương pháp đánh giá.
Trước và sau khi thực hiện đề tài đối với học sinh lớp 9, tôi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em
Trang 6PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôithấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ranhững câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời Khi gặp các bài toán khó, phải có nghịlực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập Việcphát hiện ra cách giải bài tập đại số bằng việc khai thác kiến thức hình học khôngphải là việc làm đơn giản Bên cạnh đó thì sử dụng kiến hức hình học nào để giảicũng là một việc khó với học sinh Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ
dàng hơn trong việc “Khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số 9” tôi yêu cầu các em phân tích đề bài một cách kỹ càng, xem xét các yếu tố
liên quan đến bài toán, định hướng cách làm, lựa chọn cách làm tối ưu, yêu cầu họcsinh có kỹ năng thực hành giải toán cẩn thận
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từngdạng bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên,không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có mộtphương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành Nếu làmđược điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn
Sau đây tôi xin giới thiệu một số dạng toán thường gặp
Dạng 1 Sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
- Ta biết rằng điểm M nằm giữa hai điểm A và B khi và chỉ khi
MA + MB = AB (tức là A, B, M thẳng hàng)
- Điểm M không nằm giữa A và B khi và chỉ khi MA+ MB ≠AB
- Nếu trong ba điểm đã cho không có điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại thì
ba điểm đó không thảng hàng
Ví dụ1:
Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5) Chứng minh bađiểm A, B, C thẳng hàng
Nhận xét: Nhiều em học sinh khi gặp ví dụ này sẽ rất bỡ ngỡ, lúng túng không biết
chứng minh theo cách nào
- Nếu giải bằng kiến thức đại số thì:
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 trong ba điểm đó
Trang 7+ Kiểm tra xem điểm còn lại có thuộc đường thẳng trên không
+ Kết luận: Nếu điểm thứ ba thuôc đường thẳng thì 3 điểm có thẳng hàng vàNếu điểm thứ ba không thuôc đường thẳng thì 3 điểm không thẳng hàng
- Nếu khai thác kiến thức hình học vào giải bài toán này thì:
Ta biết 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi xảy ra một trong ba trường hợp:
Trang 8MP = ( 2 − 0 ) 2 + ( 5 − 1 ) 2 = 20
Từ đó ta có MN + NP ≠MP , NP + MP ≠MN , MN + MP ≠NP ⇒ không có điểm
nào nằm giữa hai điểm còn lại nên M, N, P không thẳng hàng
Và ta chỉ cần thay đổi một chút là có bài toán mới như ví dụ sau:
Vậy điểm M nằm giữa A và B
Ta lại có: MA = MB = 3 5 nên M là trung điểm của AB
Như vậy chỉ cần tính độ dài của các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện một điểm nằm giữa hai điểm còn lại ta đã giải quyết được rất nhiều bài toán.
Trên mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm M(-2; 1), N(-3; 2), P(0; 1) Chứng minh ba
điểm trên không thẳng hàng
Bài tập 3:
Trên mặt phẳng cho 3 điểm A(1; 3) , M(0; 1) , B(-1;-1) Chứng minh M làtrung điểm của AB
Dạng 2 Sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác
- Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC
Trang 9- Nếu cho 3 điểm A, B, C bất kỳ trên mặt phẳng toạ độ thì ta luôn có
AB≤ AC + BC
Bây giờ ta sẽ áp dụng kiến thức hình học này để giải quyết một số bài toán
Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác.
Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤ abc
(Đề thi chọn hsg toán 9 thành phố HCM năm học 1999-2000) Lời giải:
Vậy (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤ abc (đpcm)
Nhận xét: Ở bài này để áp dụng được bất đẳng thức Côsi thì phải lý luận để x, y, z
> 0 mà điều này có được do a, b, c là 3 cạnh của một tam giác
Trang 10Lời giải:
∆ = (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)]
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, nên:
a – (b + c) < 0
b – (a + c) < 0
c – (a + b) < 0
Vì vậy: ∆ = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < 0
nên phương trình trên vô nghiệm
Nhận xét: Bài này cũng sử dụng bất đẳng thức về cạnh trong tam giác mới chứng
minh được ∆< 0
Ví dụ 6: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình
sau có nghiệm: (a2+b2-c2)x2-4abx+( a2+b2-c2) =0
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ:
⇒ V=(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c)>0
⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
Trang 11Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 7: Với a, b, c, d là những số dương, chứng minh:
Nên a2 +b2 + c2 +d2 ≥ (a+c) 2 + (b+d) 2 (Điều phải chứng minh)
Nhận xét: Ở ví dụ này thì ta biết với 3 điểm A, B, C bất kỳ thì
AB ≤ AC + BC nên vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất
đẳng thức trên
Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức tổng quát nhờ cáchchứng minh tương tự như trên
Bài tập vận dụng:
Bài 4: Với x1, x2…xn và y1, y2, …yn là những số dương Hãy chứng minh
2 1
2 2
(x +x + +x n + y + y + +y n
Dạng 3 Sử dụng định lý Pitago
- Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago)
- Nếu BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A( định lý đảo định lý Pitago)Vận dụng kiến thức này vào ta có một số bài tập sau
Trang 12Chứng minh 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau
(d2)
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: C
Nếu 2 đường thẳng vuông góc với nhau thì tam giác ABC
Là tam giác vuông Từ đó ta sẽ xác định tọa độ A, B, C A B (d1)sau đó sẽ tính độ dài AB, AC, BC và áp dụng định lý đảo
định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông
Giải ra ta được: x0 = 3 và y0 = 7 Vậy A (3;7)
Trên (d2) lấy C (6;6), trên (d1) lấy điểm B (0;-2):
AC = ( 6 − 3 ) 2 + ( 6 − 7 ) 2 = 10
AB = ( 0 − 3 ) 2 + ( − 2 − 7 ) 2 = 90
BC = ( 0 − 6 ) 2 + ( − 2 − 6 ) 2 = 100
Ta có: AC2 + AB2 = BC2 = 100 ⇒tam giác ABC vuông tại A (Định lý đảo
định lý Pitago), nên 2 đường thẳng trên vuông góc với nhau
Nhờ kiến thức này mà ta có thể chứng minh được rằng nếu đường thẳng y=ax+bvuông góc với đường thẳng y = cx + d thì ac =-1 và nguợc lại như ví dụ sau:
Ví dụ 9: Cho hai đường thẳng: y = ax + b (a≠0) (d1)
y = cx +d (c≠0) (d2)
Chứng minh rằng: Nếu (d1) vuông góc với (d2) thì ac = -1
Lời giải:
Ta có y = ax + b song song hoặc trùng với y = ax (d3)
y = cx + d song song hoặc trùng với y = cx (d4)
Ta có nếu (d1) vuông góc với (d2) thì ta cũng có (d3) vuông góc với (d4)
(d3)
Trang 13A
O B (d4)
Gọi O là giao điểm của (d3) và (d4) dễ dàng ta tìm được O (0; 0) Trên (d3) lấy mộtđiểm bất kỳ khác O, ví dụ A(1; a)
Trên (d4) lấy một điểm bất kỳ khác O, ví dụ B(1; c)
Vì (d3) vuông góc với (d4) nên tam giác OAB vuông tại O, theo định lý Pitago ta
có OA2 + OB2 = AB2 hay a2 + 1 + c2 + 1 = (a – c)2 Từ đó ta có ac = -1
Vậy: nếu (d1) vuông góc với (d2) thì ac = -1 (ĐPCM)
Bài tập áp dụng:
Bài 5: Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi
bằng hai lần số đo diện tích Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó
Dạng 4 Vận dụng các định nghĩa, dấu hiệu nhận biết trong hình học để giải.
Đó là vận dụng ngay trực tiếp các định nghĩa các dấu hiệu để giải các bài tập đại sốnhư một số ví dụ sau:
Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4).
Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông cân
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải
nhớ lại kiến thức hình học, đó là tam giác vuông có 2 cạnh bằng nhau nên ta sẽ đitính độ dài các cạnh để chứng minh tam giác cân và sử dụng định lý đảo, định lýPitago để chứng minh tam giác vuông