(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A- MỤC TIÊU * Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhâ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A- MỤC TIÊU

* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử

B - CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử

Nhân, chia lũy thừa cùng cơ số

Nhân đa thức

Hằng đẳng thức đáng nhớ

Nghiệm đa thức

Chia đa thức

C - CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP

I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

1 Phương pháp đặt nhân tử chung

- Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng

tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).

- Chú ý: Có khi ta phải đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 28a2b2  21abab2 + 1ab4a2b = 7ab(4ab  3b + 2a)b + 2a) b) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y  z) – 5y(y  z) = (y – z)(2  5y)

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3b + 2a)x2y2 – 6x2y3b + 2a) + 9x2y2 b) 5x2y3b + 2a) – 25x3b + 2a)y4 + 1ab0x3b + 2a)y3b + 2a)

c) 1ab2x2y - 1ab8xy2 – 3b + 2a)0y2 d) 5(x-y) – y(x-y)

e) y(x-z) + 7(z-x) g) 27x2 (y-1ab)-9x3b + 2a)(1ab-y)

Bài 2: Tìm x, biết:

a) 5(x-3b + 2a)) – 2x(x-3b + 2a)) =0 b) 4x(x-201ab6) – x – 201ab6

c) (x+1ab)2 = x+1ab d) x3b + 2a) -1ab3b + 2a)x = 0

2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức

1ab

Trang 2

 Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.

 Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 9x2 – 4 = (3b + 2a)x)2 – 22 = ( 3b + 2a)x– 2)(3b + 2a)x + 2) b) 8 – 27a3b + 2a)b6 = 23b + 2a) – (3b + 2a)ab2)3b + 2a) = (2 – 3b + 2a)ab2)( 4 + 6ab2 + 9a2b4) c) 25x4 – 1ab0x2y + y2 = (5x2 – y)2

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhâ tử:

a) 3b + 2a)6 – 1ab2x + x2 b) 1ab25 – x6

c) – 1ab5x6 – y8 + 1ab0x3b + 2a)y4 d) 1ab

4 x2 – 5xy + 25y2

e) (x2 + 1ab)2 – 6(x2 +1ab) + 9 g) 9(x+5)2 – (x+7)2

h) 49(y-4)2 – 9(y+2)2 i) 8x3b + 2a) + 1ab

27

Bài 2: Tìm x, biết

a) (x-4)2 – 3b + 2a)6 = 0 b) (x+8)2 = 1ab21ab

c) x2 + 8x + 1ab6 = 0 d) 4x2 – 1ab2x = -9

Bài 3: Tính nhanh

a) 752 – 252 b) 53b + 2a)2 – 472

c) 3b + 2a)1ab,82 – 2.3b + 2a)1ab,8.21ab,8 + 21ab,82 d) 58,22 + 2.58,2.41ab,8 + 41ab,82

3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

- Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x3b + 2a) – 3b + 2a)x2 + 2x – 3b + 2a) = ( 2x3b + 2a) + 2x) – (3b + 2a)x2 + 3b + 2a)) = 2x(x2 + 1ab) – 3b + 2a)( x2 + 1ab)

= ( x2 + 1ab)( 2x – 3b + 2a))

b) x2 – 2xy + y2 – 1ab6 = (x – y)2  42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) xy + xz + 3b + 2a)y + 3b + 2a)z b) 1ab1abx + 1ab1aby – x2 – xy

c) x2 – 6x – y2 + 9 d) 25 – 4x2 – 4xy – y2

e) ax2 + cx2 –bc2 + cd + bd – c3b + 2a) g) ax2 +ay2 – bx2 – by2 + b – a

Bài 2: Tính nhanh

a) 1ab3b + 2a),5.5,8 – 8,3b + 2a).4,2 – 5,8.8,3b + 2a) + 4,2.1ab3b + 2a),5

b) 3b + 2a)1ab 82 + 1ab25.48 + 3b + 2a)1ab.43b + 2a) – 1ab25.67

4 Phối hợp nhiều phương pháp

 Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.

Trang 3

 Đặt nhân tử chung.

 Dùng hằng đẳng thức.

 Nhóm nhiều hạng tử.

a) 3b + 2a)xy2 – 1ab2xy + 1ab2x = 3b + 2a)x(y2 – 4y + 4) = 3b + 2a)x(y – 2)2

b) 3b + 2a)x3b + 2a)y – 6x2y – 3b + 2a)xy3b + 2a) – 6axy2 – 3b + 2a)a2xy + 3b + 2a)xy

= 3b + 2a)xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1ab)

= 3b + 2a)xy[( x2 – 2x + 1ab) – (y2 + 2ay + a2)]

= 3b + 2a)xy[(x – 1ab)2 – (y + a)2]

= 3b + 2a)xy[(x – 1ab) – (y + a)][(x – 1ab) + (y + a)]

= 3b + 2a)xy( x –1ab – y – a)(x – 1ab + y + a)

Bài tập áp dụng

Bài 2: Tìm x, biết

c) (2x – 3b + 2a))2 = (x+5)2 d) x2(x-1ab) – 4x2 + 8x – 4 = 0

II CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC

1 Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

1.1) Đối với đa thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c

Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):

Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.

a.c = a 1 c 1 = a 2 c 2 = a 3 c 3 = … = a i c i = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i c i với

b = a i + c i

Bước 3: Tách bx = a i x + c i x Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.

Ví dụ 5 Phân tích đa thức f(x) = 3b + 2a)x2 + 8x + 4 thành nhân tử

Hướng dẫn

 Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)

 Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = a i c i ).

 Tách 8x = 2x + 6x (bx = a i x + c i x)

Lời giải

3b + 2a)x2 + 8x + 4 = 3b + 2a)x2 + 2x + 6x + 4 = (3b + 2a)x2 + 2x) + (6x + 4)

= x(3b + 2a)x + 2) + 2(3b + 2a)x + 2) = (x + 2)(3b + 2a)x +2)

Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2)

3b + 2a)

Trang 4

 Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :

f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)

 Tách thành 4 số hạng rồi nhóm :

f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3b + 2a)x + 2)

f(x) = (1ab2x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3b + 2a)x + 2)

Cách 3 (tách hạng tử tự do c)

 Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm:

f(x) = 3b + 2a)x2 + 8x + 1ab6 – 1ab2 = (3b + 2a)x2 – 1ab2) + (8x + 1ab6) = … = (x + 2)(3b + 2a)x + 2)

Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng)

f(x) = (3b + 2a)x2 + 1ab2x + 1ab2) – (4x + 8) = 3b + 2a)(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3b + 2a)x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3b + 2a)x + 2)

Cách 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần 2.

Chú ý : Nếu f(x) = ax 2 + bx + c có dạng A 2 ± 2AB + c thì ta tách như sau :

f(x) = A 2 ± 2AB + B 2 – B 2 + c = (A ± B) 2 – (B 2 – c)

Ví dụ 6 Phân tích đa thức f(x) = 4x2  4x  3b + 2a) thành nhân tử

Hướng dẫn

Ta thấy 4x2  4x = (2x)2  2.2x Từ đó ta cần thêm và bớt 1ab2 = 1ab để xuất hiện hằng đẳng thức

Lời giải

f(x) = (4x2 – 4x + 1ab) – 4 = (2x – 1ab)2 – 22 = (2x – 3b + 2a))(2x + 1ab)

Ví dụ 7 Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 1ab2x – 5 thành nhân tử

Lời giải

Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3b + 2a)x + 1ab5x – 5 = (9x2 – 3b + 2a)x) + (1ab5x – 5) = 3b + 2a)x(3b + 2a)x –1ab) + 5(3b + 2a)x – 1ab) = (3b + 2a)x – 1ab)(3b + 2a)x + 5)

Cách 2 : f(x) = (9x2 + 1ab2x + 4) – 9 = (3b + 2a)x + 2)2 – 3b + 2a)2 = (3b + 2a)x – 1ab)(3b + 2a)x + 5)

1.2) Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên

Trước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau :

Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0 Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)

Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử

là x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một ước của hệ số tự do

Ví dụ 8 Phân tích đa thức f(x) = x3b + 2a) + x2 + 4 thành nhân tử

Lời giải

Trang 5

Lần lượt kiểm tra với x = ± 1ab, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3b + 2a) + (–2)2 + 4 = 0 Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2 Từ đó, ta tách như sau

Cách 1 : f(x) = x3b + 2a) + 2x2 – x2 + 4 = (x3b + 2a) + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2)

Cách 2 : f(x) = (x3b + 2a) + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2)

Cách 3 : f(x) = (x3b + 2a) + 4x2 + 4x) – (3b + 2a)x2 + 6x) + (2x + 4)

= x(x + 2)2 – 3b + 2a)x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2)

Cách 4 : f(x) = (x3b + 2a) – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)

= (x + 2)(x2 – x + 2)

Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau :

Hệ quả 1 Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1 Từ đó

f(x) có một nhân tử là x – 1.

Chẳng hạn, đa thức x3b + 2a) – 5x2 + 8x – 4 có 1ab + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1ab là một nghiệm của đa thức Đa thức có một nhân tử là x – 1ab Ta phân tích như sau :

f(x) = (x3b + 2a) – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1ab) – 4x(x – 1ab) + 4(x – 1ab)

= (x – 1ab)( x – 2)2

Hệ quả 2 Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số

của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1 Từ đó f(x) có một nhân tử là x + 1.

Chẳng hạn, đa thức x3b + 2a) – 5x2 + 3b + 2a)x + 9 có 1ab + 3b + 2a) = –5 + 9 nên x = –1ab là một

nghiệm của đa thức Đa thức có một nhân tử là x + 1ab Ta phân tích như sau :

f(x) = (x3b + 2a) + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1ab) – 6x(x + 1ab) + 9(x + 1ab)

= (x + 1ab)( x – 3b + 2a))2

Hệ quả 3 Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì ( )



f 1

a 1 và

( )



f 1

a 1 đều là số nguyên.

Ví dụ 9 Phân tích đa thức f(x) = 4x3b + 2a)  1ab3b + 2a)x2 + 9x  1ab8 thành nhân tử

Hướng dẫn

Các ước của 1ab8 là ± 1ab, ± 2, ± 3b + 2a), ± 6, ± 9, ± 1ab8

f(1ab) = –1ab8, f(–1ab) = –44, nên ± 1ab không phải là nghiệm của f(x)

Dễ thấy 

 

18

3 1, 

 

18

6 1, 

 

18

9 1, 

 

18

18 1 không là số nguyên nên -3b + 2a), ± 6, ± 9, ± 1ab8 không là nghiệm của f(x) Chỉ còn –2 và 3b + 2a) Kiểm tra ta thấy 3b + 2a)

là nghiệm của f(x) Do đó, ta tách các hạng tử như sau :

f(x) 4x 12x x 3x 6x 18 4x (x 3) x(x 3) 6(x 3)

= (x – 3b + 2a))(4x2 – x + 6)

5

Trang 6

Hệ quả 4 Nếu f(x) = a x n n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2  a x 1 a 0 ( víi ,a a n n 1, , ,a a1 0là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = p

q , trong đó p, q  Z và (p , q)=1, thì p là ước

a 0 , q là ước dương của a n

Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3b + 2a)x3b + 2a)  7x2 + 1ab7x  5 thành nhân tử

Hướng dẫn

Các ước của –5 là  1ab,  5 Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm của f(x) Như vậy f(x) không có nghiệm nghuyên Xét các số  1, 5

3 3, ta thấy 1

3 là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3b + 2a)x – 1ab Ta phân tích như sau : f(x) = (3b + 2a)x3b + 2a) – x2) – (6x2 – 2x) + (1ab5x – 5) = (3b + 2a)x – 1ab)(x2 – 2x + 5)

1.3) Đối với đa thức nhiều biến

a) 2x2  5xy + 2y2 ;

b) x2(y  z) + y2(z  x) + z2(x  y)

Hướng dẫn

a) Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c

Ta tách hạng tử thứ 2 :

2x2  5xy + 2y2 = (2x2  4xy)  (xy  2y2) = 2x(x  2y)  y(x  2y)

= (x  2y)(2x  y) b) Nhận xét z  x = (y  z)  (x  y) Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức :

x2(y  z) + y2(z  x) + z2(x  y) = x2(y  z)  y2(y  z)  y2(x  y) + z2(x  y) =

= (y  z)(x2  y2)  (x  y)(y2  z2) = (y  z)(x  y)(x + y)  (x  y)(y  z)(y + z)

= (x  y)(y  z)(x  z)

Chú ý :

- Ở câu b) ta có thể tách y  z =  (x  y)  (z  x)

(hoặc z  x=  (y  z)  (x  y))

- Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0 Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng (Xem phần IV).

a) x2 + 7x + 1ab2 b) x2 + 8x – 3b + 2a)3b + 2a) c) x2 – 9x + 1ab8

d) x2 – 3b + 2a)x – 54 e) 20x2 + 7x – 6 g) 1ab8x2 + 21abx – 4

h)1ab2x2 – 23b + 2a)xy + 1ab0y2 i) x4 – 5x2y2 + 4y4 k) 6x3b + 2a) – 1ab1abx2 – x – 2

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức

Trang 7

P = (n2 – 3b + 2a))2 + 1ab6 là số nguyên tố

2 Thêm bớt cùng một hạng tử

2.1 Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1: 4x4 + 81ab = 4x4 + 3b + 2a)6x2 + 81ab - 3b + 2a)6x2 = (2x2 + 9)2 – 3b + 2a)6x2

= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)

= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)

Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1ab = (x8 + 2x4 + 1ab ) + 96x4

= (x4 + 1ab)2 + 1ab6x2(x4 + 1ab) + 64x4 - 1ab6x2(x4 + 1ab) + 3b + 2a)2x4

= (x4 + 1ab + 8x2)2 – 1ab6x2(x4 + 1ab – 2x2)

= (x4 + 8x2 + 1ab)2 - 1ab6x2(x2 – 1ab)2

= (x4 + 8x2 + 1ab)2 - (4x3b + 2a) – 4x )2

= (x4 + 4x3b + 2a) + 8x2 – 4x + 1ab)(x4 - 4x3b + 2a) + 8x2 + 4x + 1ab)

2.2 Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1: x7 + x2 + 1ab = (x7 – x) + (x2 + x + 1ab ) = x(x6 – 1ab) + (x2 + x + 1ab )

= x(x3b + 2a) - 1ab)(x3b + 2a) + 1ab) + (x2 + x + 1ab )

= x(x – 1ab)(x2 + x + 1ab ) (x3b + 2a) + 1ab) + (x2 + x + 1ab)

= (x2 + x + 1ab)[x(x – 1ab)(x3b + 2a) + 1ab) + 1ab]

= (x2 + x + 1ab)(x5 – x4 + x2 - x + 1ab)

Ví dụ 2: x7 + x5 + 1ab

= (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1ab)

= x(x3b + 2a) – 1ab)(x3b + 2a) + 1ab) + x2(x3b + 2a) – 1ab) + (x2 + x + 1ab)

= (x2 + x + 1ab)(x – 1ab)(x4 + x) + x2 (x – 1ab)(x2 + x + 1ab) + (x2 + x + 1ab)

= (x2 + x + 1ab)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3b + 2a) – x2 ) + 1ab]

= (x2 + x + 1ab)(x5 – x4 + x3b + 2a) – x + 1ab)

Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng x3b + 2a)m + 1ab + x3b + 2a)n + 2 + 1ab như: x7 + x2 + 1ab ; x7 + x5 + 1ab ; x8 + x4 + 1ab ;

x5 + x + 1ab ; x8 + x + 1ab ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1ab

a) x1ab2 + 4 b) 4x8 + 1ab c) x7 + x5 – 1ab

d) x7 + x5 + 1ab e) x5 + x – 1ab g) x1ab1ab + x + 1ab

Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên x để giá trị biểu thức A = x4 + 4 có giá trị là số nguyên tố

3 Phương pháp đổi biến

7

Trang 8

Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 1ab0) + 1ab28 = [x(x + 1ab0)][(x + 4)(x + 6)] + 1ab28

= (x2 + 1ab0x) + (x2 + 1ab0x + 24) + 1ab28

Đặt x2 + 1ab0x + 1ab2 = y, đa thức có dạng

(y – 1ab2)(y + 1ab2) + 1ab28 = y2 – 1ab44 + 1ab28 = y2 – 1ab6 = (y + 4)(y – 4)

= ( x2 + 1ab0x + 8 )(x2 + 1ab0x + 1ab6 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 1ab0x + 8 )

Ví dụ 2: A = x4 + 6x3b + 2a) + 7x2 – 6x + 1ab

Giả sử x  0 ta viết

x4 + 6x3b + 2a) + 7x2 – 6x + 1ab = x2 ( x2 + 6x + 7 – 2

6 1ab +

x x )

= x2 [(x2 + 1ab 2

x ) + 6(x - 1ab

x ) + 7 ] Đặt x - 1ab

x = y thì x2 + 2

1ab

x = y2 + 2, do đó

A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3b + 2a))2 = (xy + 3b + 2a)x)2

= [x(x - 1ab

x )2 + 3b + 2a)x]2 = (x2 + 3b + 2a)x – 1ab)2

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

A = x4 + 6x3b + 2a) + 7x2 – 6x + 1ab = x4 + (6x3b + 2a) – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1ab )

= x4 + 2x2(3b + 2a)x – 1ab) + (3b + 2a)x – 1ab)2 = (x2 + 3b + 2a)x – 1ab)2

Ví dụ 3: A = (x2 y2 z2 )(x y z  ) 2  (xy yz +zx) 2

= (x2 y2 z2 ) 2(  xy yz +zx) (  x2 y2 z2 ) (  xy yz +zx) 2

Đặt x2 y2 z2 = a, xy + yz + zx = b ta có

A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( 2 2 2

x y z + xy + yz + zx)2

Ví dụ 4: B = 2(x4 y4 z4 ) (  x2 y2 z2 2 )  2(x2 y2 z2 )(x y z  ) 2  (x y z  ) 4

Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:

B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2

Ta lại có: a – b2 = - 2(x y2 2 y z2 2 z x2 2) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;

B = - 4(x y2 2 y z2 2 z x2 2) + 4 (xy + yz + zx)2

=  4x y2 2  4y z2 2  4z x2 2  4x y2 2  4y z2 2  4z x2 2  8x yz2  8xy z2  8xyz2  8xyz x y z(   )

Ví dụ 5: (a b c  ) 3b + 2a)  4(a3b + 2a) b3b + 2a) c3b + 2a) ) 1ab2  abc

Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2

a3b + 2a) + b3b + 2a) = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n2 2

4 ) Ta có:

C = (m + c)3b + 2a) – 4 m + 3b + 2a)mn3b + 2a) 2 3b + 2a) 2 2

4c 3b + 2a)c(m - n )

4   = 3b + 2a)( - c3b + 2a) +mc2 – mn2 + cn2)

Trang 9

= 3b + 2a)[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3b + 2a)(m - c)(c - n)(c + n)

= 3b + 2a)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)

a) (x2 + 3b + 2a)x)2 – 2(x2 +3b + 2a)x) – 8

b) (x2+4x+1ab0)2 – 7(x2 +4x+1ab1ab) + 7

c) (x2+5x-2)2 – 7(x2+5x – 2)(x2 +3b + 2a)) + 5(x2+3b + 2a))2

d) (x2 – 3b + 2a)x + 5)2 – 7(x2 – 3b + 2a)x + 5) + 1ab2x2

e) (x+2)(x+3b + 2a))(x+4)(x+5) – 24

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng thêm 1ab là một số chính

phương

Bài 3: Cho x, y là các số nguyên Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn có

giá trị không âm

M = (x-y)(x-2y)(x-3b + 2a)y)(x-4y) + y4

4 Phương pháp hệ số bất định

Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 - 6x3b + 2a) + 1ab2x2 - 1ab4x + 3b + 2a) thành nhân tử

Nhận xét: các số 1ab, 3b + 2a) không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3b + 2a) + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

6 1ab2 1ab4 3b + 2a)

a c

ac b d

ad bc bd

 







 



 Xét bd = 3b + 2a) với b, d  Z, b    1ab, 3b + 2a) với b = 3b + 2a) thì d = 1ab hệ điều kiện trên trở thành

6

3b + 2a) 1ab4 8 2

3b + 2a)

a c

bd

 







Vậy: x4 - 6x3b + 2a) + 1ab2x2 - 1ab4x + 3b + 2a) = (x2 - 2x + 3b + 2a))(x2 - 4x + 1ab)

Ví dụ 2: 2x4 - 3b + 2a)x3b + 2a) - 7x2 + 6x + 8

Nhận xét: đa thức có 1ab nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:

2x4 - 3b + 2a)x3b + 2a) - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3b + 2a) + ax2 + bx + c)

9

Trang 10

= 2x4 + (a - 4)x3b + 2a) + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c 

4 3b + 2a)

1ab

5

4

2 8

a

b a

b

c b

c c

 







  

 

 Suy ra: 2x4 - 3b + 2a)x3b + 2a) - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3b + 2a) + x2 - 5x - 4)

Ta lại có 2x3b + 2a) + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên có 1ab nhân tử là x + 1ab nên 2x3b + 2a) + x2 - 5x - 4 = (x + 1ab)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3b + 2a)x3b + 2a) - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1ab)(2x2 - x - 4)

Ví dụ 3:

1ab2x2 + 5x - 1ab2y2 + 1ab2y - 1ab0xy - 3b + 2a) = (a x + by + 3b + 2a))(cx + dy - 1ab)

= acx2 + (3b + 2a)c - a)x + bdy2 + (3b + 2a)d - b)y + (bc + ad)xy – 3b + 2a)



1ab2

4 1ab0

3b + 2a) 3b + 2a) 5

6 1ab2

2 3b + 2a) 1ab2

ac

a

bc ad

c

c a

b bd

d

d b













 



 1ab2x2 + 5x - 1ab2y2 + 1ab2y - 1ab0xy - 3b + 2a) = (4 x - 6y + 3b + 2a))(3b + 2a)x + 2y - 1ab)

Bài 1: Cho đa thức A = x4 – 7x3b + 2a) + 1ab2x2 – x – 3b + 2a)

Hãy phân tích A thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên và các

hệ số cao nhất đều dương

Bài 2: Cho đa thức B = x5 + 3b + 2a)x4 – x3b + 2a) – x2 + 1ab3b + 2a)x + 5

Hãy phân tích B thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên: Một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba biết các hệ số cao nhất và thấp nhất đều dương và đa thức bậc ba khuyết hạng tử bậc hai

5 Phương pháp xét giá trị riêng

Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của

đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y)

Lời giải

Thay x bởi y thì P = y2(y – z) + y2( z – y) = 0 Như vậy P chứa thừa số (x – y)

Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh) Do đó nếu P đã chứa thừa số (x – y) thì cũng chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x)

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	215,5 KB