NỘI DUNG
Nội dung đề tài
- Phần 1 Diện tích hình phẳng.
- Phần 2 Các bài toán thực tế
- Phần 3.Một số bài toán tương tự y=f(x) a b x y a O c y= f(x) b y x
PHẦN I: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I)Ý nghĩa hình học của tích phân :
Cho y = f(x) liên tục và f(x) > 0 ∀x∈[a, b] Thế thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hsố y = f(x); trục Ox; đt x
*Hệ quả :Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), Ox, đường thẳng x = a; x = b là :
* Khử dấu GTTĐ: |f(x)| ;Ta làm 2 bước:
1)Giải pt: f(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a;b] l x1;x2; x3;.…(a≤x1 > 0
Từ giả thiết ta có 2 a = 16 ⇒ = a 8 và 2 b = 10 ⇒ = b 5
Vậy phương trình của elip là ( )
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường ( ) ( ) E 1 ; E 2 ; x = − 4; x = 4 và diện tích của dải vườn là
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x = 8sin t , ta được
Khi đó số tiền là 80 3 100000 7652891,82 7.653.000
Bài 22: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8 m , chiều cao 12,5m Diện tích của cổng là:
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng.
Khi đó Parabol có phương trình dạng y ax = 2 + c
Vì ( ) P đi qua đỉnh I ( 0;12,5 ) nên ta có c = 12,5
( ) P cắt trục hoành tại hai điểm A ( − 4;0 ) và B ( ) 4;0 nên ta có 0 16a c = +
P y = − 32 x + Diện tích của cổng là:
Ta có parabol đã cho có chiều cao là h = 12,5 m và bán kính đáy OD OE = = 4 m
Do đó diện tích parabol đã cho là: S = 4 3 rh = 200 3 ( ) m 2
Bài 23: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên Biết AB = 5 cm, OH = 4 cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.
Lời giảiChọn B. Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: ( ) P y : = − 16 25 x 2 + 16 5 x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) : 16 2 16
P y = − x + x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 5 là:
Tổng diện tích phần bị khoét đi: 1
S = S = 3 cm 2 Diện tích của hình vuông là: S hv = 100 cm 2
Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: 2 1 2
Bài 24: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ)∙.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là trung điểm của cạnh đáy, trục Oy trùng với chiều cao của vòm cửa.
Gọi Parabol có dạng: y ax = 2 + + bx c
Vì Parabolcó đỉnh I ( ) 0;8 và qua điểm ( ) ( 4;0 ; 4;0 − ) nên ta có:
Vậy Parabol có phương trình là 1 2 8 y = − 2 x +
Diện tích cái cổng chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
Bài 25: (Thi thử Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp_Quảng Bình )Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m) Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản.
Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là
100.000 đồng/m 2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là.
Phương trình parabol ( ) P có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y ax = 2 Mặt khác ( ) P qua điểm M ( ) 2;4 do đó: 4 = − a ( ) 2 2 ⇒ = a 1
Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( ) P và nửa đường tròn.( phần tô màu).
Ta có công thức S 1 = − ∫ 2 2 ( 20 − x 2 − x dx 2 ) ≅ 11,9 4 m 2
Vậy phần diện tích trồng cỏ là = 1 − 1 ≈
Vậy số tiền cần có là S trongxo × 100000 1.948.000 ≈ (đồng).đồng.
Bài 26: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol Giá 1 ( ) m 2 của rào sắt là 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng y ax = 2 + + bx c , với
Do Parabol đi qua các điểm A ( − 2,5;1,5 ) , B ( 2,5;1,5 ), C ( ) 0;2 nên ta có hệ phương trình.
Khi đó phương trình Parabol là 2 2 2 y = − 25 x + Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số
25 2 y = − x + , trục hoành và hai đường thẳng x = − 2,5 , x = 2,5
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là.
Bài 27: Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình y x = 2 và đường thẳng là y 25 = Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng 9
Giả sử M a;a ( ) 2 suy ra phương trình OM : y ax =
Khi đó diện tích khu vườn là a ( 2 ) 2 3 3
Bài 28: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6 m , chiều dài
CD = m (hình vẽ bên) Cho biết
MNEF là hình chữ nhật có MN = 4 m
Công ty X cần tính toán kinh phí để làm bức tranh có hình dạng là một phần của cung parabol, với đỉnh I nằm ở trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D Tổng kinh phí cho bức tranh này là 900.000 đồng/m².
- Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì parabol có phương trình là 1 2 6 y = − 6 x +
- Khi đó diện tích của khung tranh là
- Suy ra số tiền là: 208 900.000 20.800.000
PHẦN 3.MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ : Câu 1:Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol y x = 2 , đường thẳng y = − + x 2 và trục hoành trên đoạn [ ] 0;2
Câu 2:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 x , y = − 4 x và trục Ox được tính bởi công thức:
Câu 3:Cho ( ) P là đồ thị của hàm số y x = 2 − 4 x + 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( ) P và các tiếp tuyến của ( ) P kẻ từ điểm A ( 2; 5 − ) là :
3 Câu 4:Tích diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau
Câu 5:Gọi ( ) H là hình giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x , y = − 2 x và trục hoành.
Diện tích của hình ( ) H bằng
Hình phẳng H được giới hạn bởi đường cong y = x và nửa đường tròn có phương trình y = 4x - x^2 trong khoảng 0 ≤ x ≤ 4 Diện tích của hình H được xác định bằng hàm f(x) = sqrt(x) và f(x) = sqrt(4x - x^2).
Câu 7: Cho ( ) H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 − x 2 và đường thẳng
= − 2 y x (như hình vẽ bên) Biết diện tích của hình ( ) H là S a = π + b , với a , b là các số hữu tỉ Tính P = 2 a 2 + b 2
Bài 8: Gọi tam giác cong ( OAB ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 x 2 ,
3 y = − x , y = 0 (tham khảo hình vẽ bên) Diện tích của ( OAB ) bằng
Bài 9:Tính diện tích S của hình phẳng ( ) H được giới hạn bởi các đồ thị ( ) d 1 : y = 2 x − 2 ,
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho ( ) E có phương trình x 2 2 y 2 2 1, ,( 0) a + b = a b > và đường tròn ( ) C x : 2 + y 2 = 7 Để diện tích elip ( ) E gấp 7 lần diện tích hình tròn ( ) C khi đó
Bài 11: [THAM KHẢO 2019] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
Bài 12: [ĐỀ MINH HỌA NĂM 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 - x và đồ thị hàm số y = - x x 2
Bài 13: [ Đề 2018] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x , y = 0 ,
0 x = , x = 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Bài 14: [ Đề 2018 ] Cho hai hàm số f x ( ) = ax 3 + bx 2 + − cx 2 và
( ) 2 2 g x = dx + + ex với a b c d e , , , , ∈ ¡ Biết rằng đồ thị của hàm số
( ) y = f x và y g x = ( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là
− − [tham khảo hình vẽ] Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị có diện tích bằng?
Bài 15: [THAM KHẢO 2019] Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A 1,
Chi phí sơn cho phần tô đậm là 200.000 đồng/m², trong khi phần còn lại có giá 100.000 đồng/m² Với kích thước A A1 2 = 8 m, B B1 2 = 6 m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật với MQ = 3 m, hãy tính số tiền cần thiết để sơn Số tiền này sẽ gần nhất với một trong các lựa chọn đã cho.