KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
1 Khái niệm về hình đa diện
Hình lăng trụ và hình chóp là những hình không gian được hình thành từ một số hữu hạn đa giác Các đa giác này có những đặc điểm quan trọng: a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không giao nhau, có một đỉnh chung hoặc một cạnh chung; b) Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác Các đa giác này được gọi là mặt của hình đa diện (H), và các đỉnh, cạnh của chúng được gọi là đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).
Người ta gọi các hình đó là hình đa diện
Hình đa diện (được gọi tắt là đa diện) là hình được hình thành từ một số hữu hạn các đa giác, tuân thủ hai tính chất cơ bản Mỗi đa giác này được gọi là mặt của đa diện, trong khi các đỉnh và cạnh của đa giác lần lượt được xác định là các đỉnh và cạnh của đa diện.
2 Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H), kể cả hình đa diện đó
Các điểm không nằm trong khối đa diện được gọi là điểm ngoài, trong khi các điểm thuộc khối đa diện nhưng không nằm trên hình đa diện giới hạn được gọi là điểm trong Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, còn tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài khối đa diện.
Mỗi đa diện (H) phân chia không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài Trong đó, chỉ miền ngoài chứa hoàn toàn một đường thẳng d nào đó.
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.
HAI HÌNH BẲNG NHAU
1 Phép dời hình trong không gian và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình là quá trình biến một đa diện H thành một đa diện H' bằng cách chuyển đổi các đỉnh, cạnh và mặt tương ứng Cụ thể, phép dời hình tịnh tiến theo vector v r chuyển điểm M thành M’ sao cho khoảng cách giữa M và M’ bằng vector v r Ngoài ra, phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến mọi điểm trên (P) thành chính nó, trong khi điểm M không thuộc (P) sẽ trở thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của đoạn thẳng nối M và M’.
Nếu một hình biến hình (H) trở lại chính nó khi thực hiện phép đối xứng qua mặt phẳng (P), thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình mà điểm O giữ nguyên vị trí, trong khi điểm M khác O sẽ được biến đổi thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó, thì O được gọi là tâm đối xứng của (H) Phép đối xứng qua đường thẳng d biến mọi điểm thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’ Phép đối xứng này còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia
Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) mà không có điểm chung, thì khối đa diện (H) có thể được chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) Điều này cho thấy rằng hai khối đa diện (H1) và (H2) có thể lắp ghép với nhau để tạo thành khối đa diện (H).
Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ tạo ra thiết diện hình chữ nhật BDD’B’ Thiết diện này chia khối lập phương thành hai phần, mỗi phần kết hợp với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành hai khối lăng trụ: ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’ Do đó, mặt phẳng (P) chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ khác nhau.
Tương tự trên ta có thể chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ và AA’B’D’
Nhận xét: Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện (H) được xem là lồi khi mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong (H) đều nằm hoàn toàn bên trong (H) Đa diện giới hạn (H) trong trường hợp này được gọi là đa diện lồi, như minh họa trong Hình 2.1.
Một khối đa diện được coi là lồi khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mọi mặt phẳng đi qua một mặt của khối đó.
Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt Đ-C+M=2
KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Khối tư diện đều có các mặt là tam giác đều, với mỗi đỉnh chung cho ba mặt Tương tự, khối lập phương cũng có cấu trúc đặc biệt với các mặt vuông.
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi với các đặc điểm nổi bật Mỗi mặt của khối này là một đa giác đều có p cạnh, và mỗi đỉnh của nó là điểm chung của đúng q mặt Các mặt của khối đa diện đều thường có hình vuông, với mỗi đỉnh tương ứng với ba mặt khác nhau.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loiaj {p;q}
Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau Theo định lý, chỉ có năm loại khối đa diện đều, bao gồm các loại {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, và {3,5}.
Năm loại khối đa diện đều được phân loại theo số mặt của chúng, bao gồm khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.
Năm khối đa diện đều
Tứ diện đều Khối lập phương
Khối mười hai mặt đều
Khối hai mươi mặt đều
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q}
Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3}
Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5}
Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A Chỉ có năm loại hình đa diện đều.
B Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là hình đa diện đều
C Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều
D Hình chóp tam giác đều là hình đa diện đều.
Trong không gian ba chiều, tồn tại đúng năm khối đa diện đều lồi, là các khối đa diện duy nhất có tất cả các mặt, cạnh và góc ở đỉnh đều bằng nhau.
Tứ diện đều Khối lập phương
Khối mười hai mặt đều
Khối hai mươi mặt đều => A đúng
+ Hình chóp tam giác đều là hình tứ diện đều → D đúng
+ Hình hộp chữ nhật có diện tích các mặt bằng nhau là khối lập phương → B đúng
+ Trọng tâm các mặt của hình tứ diện đều không thể là các đỉnh của một hình tứ diện đều → C sai.
Câu 2: Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
A Tứ diện đều B Bát diện đều C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều Chọn đáp án A.
Câu 3: Khái niệm nào sau đây đúng với khối chóp?
A là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh
B là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp và cả hình chóp đó
C là phần không gian được giới hạn bởi hình chóp
D là khối đa diện có hình dạng là hình chóp
Nhiều độc giả có thể nhầm lẫn giữa hình chóp và khối chóp, vì vậy cần khoanh ý A Tuy nhiên, việc phân biệt rõ ràng giữa hình chóp và khối chóp, cũng như giữa hình đa diện và khối đa diện, là rất quan trọng.
Hình đa diện là một hình được hình thành từ một số hữu hạn các đa giác, với hai đặc điểm chính: Thứ nhất, hai đa giác bất kỳ có thể không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chia sẻ một cạnh Thứ hai, mỗi cạnh của các đa giác phải là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Khối đa diện là không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, bao gồm cả hình đa diện đó Trong các đáp án, ý A định nghĩa hình chóp, ý B đề cập đến khối chóp, trong khi ý C là mệnh đề thiếu và ý D là sai.
Câu 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất
A Năm cạnh B Bốn cạnh C Ba cạnh D Hai cạnh
Hướng dẫn giải bài tập khối đa diện đều theo lý thuyết trong sách giáo khoa Để hiểu rõ hơn, các em có thể tham khảo thêm các dạng toán liên quan trong sách hình học lớp 12, đặc biệt là các bài tập 1, 2, 3, 4 ở trang 25 và bài 5, 6 ở trang 26.
Câu 5: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……….số đỉnh của hình đa diện ấy”
A nhỏ hơn B nhỏ hơn hoặc bằng C lớn hơn D bằng
Câu 6: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A Tồn tại một đa diện đều có 2 mặt là 2 đa giác không bằng nhau.
B Nếu hình chóp tứ giác S.ABCD là hình chóp đều thì nó cũng là đa diện đều.
C Nếu một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của đúng 3 mặt thì tổng số đỉnh của nó phải là số chẵn.
D Nếu lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’ là lăng trụ đều thì nó cũng là đa diện đều.
Hướng dẫn giải: Đa diện đều có tất cả các mặt là các đa giác bằng nhau
Không tồn tại đa diện đều có 5 và 6 đỉnh, do đó chóp S.ABCD và lăng trụ ABC A B C ’ ’ ’ không thể là đa diện đều.
Nếu mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của đúng 3 mặt, thì nó cũng sẽ là đỉnh chung của đúng 3 cạnh Giả sử số đỉnh của đa diện là n, thì số cạnh tương ứng của nó phải là 3n.
2 n (vì mỗi cạnh được tính 2 lần), do đó n chẵn.
Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Nhận định nào sau đây không đúng :
A Hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau
B Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy là tâm của đáy.
D Hình chóp có các cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy một góc.
Hình chóp đa giác đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, với đỉnh của hình chóp có hình chiếu trùng với tâm đáy Ví dụ, hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, và hình chiếu của đỉnh S xuống đáy cũng trùng với tâm của hình vuông này.
Trong không gian cho hai vectơ \( \mathbf{u} \) và \( \mathbf{v} \), với điểm bất kỳ \( M \), ta xác định \( M_1 \) là ảnh của \( M \) qua phép biến hình \( T_{\mathbf{u}} \) và \( M_2 \) là ảnh của \( M_1 \) qua phép biến hình \( T_{\mathbf{v}} \) Do đó, phép biến hình này chuyển điểm \( M \) thành điểm \( M_2 \).
A Phép tịnh tiến theo vectơ u v r r B Phép tịnh tiến theo vectơ u r
C Phép tịnh tiến theo vectơ r v D Một phép biến hình khác
Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ
� �� r r uuuuur r uuuuur uuuuuur r r uuuuur r r uuuuuur r u v
Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm M 2 là phép tịnh tiến theo vectơ u v r r
Câu 9: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành chính nó?
Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với nhau Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b?
Câu 11: Trong không gian cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A Không có phép tịnh tiến nào biến (P) thành (Q)
B Có duy nhất một phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
C Có đúng hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
D Có vô số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)
Câu 12 : Trong không gian cho hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau (
AB A B AC A C BC B C ) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A Không thể thực hiện một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
B Tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
C Có nhiều nhất hai phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia
D Có thể thực hiện vô số phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia
Để thực hiện phép tịnh tiến biến tam giác ΔABC thành tam giác ΔA'B'C', hai tam giác này cần phải nằm trên hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, với điều kiện rằng các đỉnh tương ứng A, B, C và A', B', C' phải có tọa độ giống nhau.
Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ u r uuuur A A ' biến A B C' ' ' thànhABC và phép tịnh tiến theo vectơ
' r uuuur v A A biến A B C' ' ' thành ABC Như vậy chỉ có hai phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC
Phép tịnh tiến theo vectơ 1
2 r uuur u AD biến tam giác A J'I thành tam giác
A C’CD B CD’P với P là trung điểm của B’C’
C KDC với K là trung điểm của A’D’ D DC’D’
Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ 1
Hai mặt phẳng α và β song song với nhau Cho điểm M bất kỳ, M1 là ảnh của M qua phép đối xứng Đα, và M2 là ảnh của M1 qua phép đối xứng Đβ Phép biến hình f = Đα ∘ Đβ biến điểm M thành M2.
A Một phép biến hình khác B Phép đồng nhất
C Phép tịnh tiến D Phép đối xứng qua mặt phẳng
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
MM IM M J IJ u (Không đổi)
Vậy M 2 là ảnh của M qua phép tịnh tiến u r
Câu 15: Trong không gian một tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?
Trong không gian, tam giác đều ABC có bốn mặt phẳng đối xứng, bao gồm ba mặt phẳng trung trực của các cạnh và mặt phẳng chứa tam giác ABC.
Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có các kích thước là a, b, c a b c Hình hộp chữ nhật này có mấy mặt đối xứng
Hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có 3 mặt đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực AB, AD, AA’.
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD) Hình chóp này có mặt đối xứng nào?
A Không có B SAB C SAC D SAD
LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy B thì thể tích tính theo công thức V 1B.h
Để tính thể tích của khối chóp khi chưa biết chiều cao, cần xác định vị trí chân đường cao trên đáy Đối với chóp có cạnh bên vuông góc với chiều cao, cạnh bên chính là chiều cao Trong trường hợp chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy, giao tuyến của hai mặt bên sẽ tạo ra đường cao Nếu chóp có mặt bên vuông góc với đáy, chiều cao của mặt bên sẽ tương ứng với chiều cao của chóp Chóp đều có chiều cao từ đỉnh đến tâm của đa giác đáy Cuối cùng, hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là khoảng cách từ đỉnh đến hình chiếu.
Chú ý: Các công thức tính diện tích đáy a) Tam giác:
S 1 bcsin A 1 ca.sin B 1 ab sin C
ABC vuông tại A: 2S AB.AC BC.AH
4 b) Hình vuông cạnh a: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành ABCD: S = đáy cao = AB.AD.sinBAD� e) Hình thoi ABCD: S AB.AD.sinBAD� 1AC.BD
2 f) Hình thang: S 1 2 a b h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc: S 1 AC.BD
Câu 1: Thể tích (cm 3 ) khối tứ diện đều cạnh bằng 2
Gọi cạnh tứ diện đều là a Dễ dàng tinh được V = a 3 2
Câu 2: Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là:
Thề tích của khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a có thể tích là V1 3 2
Mà thể tích của khối bát diện đều bằng 2V1 Do đó thể tích khối bát diện đều là V= 3 2 a 3
Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập, được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên, là một khối chóp tứ giác đều với chiều cao 147m và cạnh đáy dài 230m Thể tích V của khối chóp này là một thông số quan trọng trong kiến trúc cổ đại.
+ Thể tích của kim tự tháp Kê - ốp là 1.147.230 2 2592100 3
Để tính thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ, ta sử dụng công thức thể tích V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy của hình chóp là a^2, và chiều cao có thể được tính từ góc 60 độ Thể tích khối chóp S.ABCD sẽ được xác định dựa trên các thông số này.
Gọi H là giao điểm của AC và BD Do S.ABCD là chóp đều nên SO (ABCD)
Theo giả thiết ta có SAO SBO SCO SDO � � � � 60 0
Trong tam giác OBS ta có tan 60 0 2 3 6
Câu 5: Một khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b, chiều cao h Khi đó thể tích khối chóp là:
Gọi M là trung điểm BC của hinh chóp S.ABC và H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) Khi đó AH= b 2 h 2 ,
2 b h Gọi x là cạnh của tam giác đều ABC suy ra
Diện tích tam giác ABC:
Câu 6: Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1.
Gọi O là tâm của ABCD, ta có 1 1 1 2
Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 Thể tích của khối chóp đó bằng:
Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a Mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60 0 Tính thể tích V của hình chóp S.ABC
Gọi các điểm như hình vẽ Theo đề suy ra SIA � 60 0
Để tính thể tích V của tứ diện AMNP trong hình chóp tứ giác đều S ABCD với cạnh AB bằng a và chiều cao SA bằng a², trước tiên xác định M, N, P là các trung điểm của các cạnh SA, SB và CD Việc sử dụng công thức thể tích tứ diện sẽ giúp tính toán giá trị V một cách chính xác.
Gọi O là tâm của đáy ABCD Tính được SO= 6
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD Khi đó
SO là đường cao hình chóp, góc SMO là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.
OM a SO OM a Suy ra
Câu 11: Khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Khi đó độ dài đường cao h của khối chóp là:
Trong tứ diện đều ABCD, các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Nếu diện tích tứ giác MNPQ bằng 1, thì thể tích của tứ diện ABCD có thể được tính dựa trên mối liên hệ giữa diện tích tứ giác và thể tích tứ diện đều.
Ta chứng minh được MNPQ là hình vuông, suy ra cạnh tứ diện bằng 2, 2 2
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3 Tính thể tích V khối chóp đó.
Gọi các đỉnh của hình chóp tứ giác đều như hình vẽ bên và đặt cạnh bằng AB2x Khi đó SOx 2,OH x suy ra
Để tạo ra một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tôn vuông có cạnh dài 1 + 3, người ta thực hiện việc cắt tấm tôn thành các tam giác cân bằng nhau.
MAN NBP PCQ QDM sau đó gò các tam giác ABN BCP CDQ , , , DAM sao cho bốn đỉnh M N P Q , , , trùng nhau(hình vẽ)
Biết rằng, các góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân là 150 0 Tính thể tích V của khối chóp đều tạo thành.
+ �AMN DMQ� 15 0 �� AMD60 0 �MAD đều
Vì vậy hình chóp tứ giác đều tạo thành có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng MA
+ Dễ dàng chứng minh được rằng:
“Một khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng x thì có thể tích là
Trong cuộc thi làm đồ dùng học tập, bạn Bình lớp 12S2 của trường THPT Trưng Vương đã sáng tạo một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tôn vuông MNPQ có cạnh a Bạn đã cắt tấm tôn thành các tam giác cân MAN, NBP, PCQ, và QDM, sau đó gò các tam giác ANB, BPC, CQD, và DMA để tạo ra bốn đỉnh M, N, P, Q trùng nhau Hình chóp đều này có thể tích lớn nhất được xác định từ quy trình trên.
Gọi cạnh hình vuông ABCD là x thì đường cao mặt bên là: SM= 2
a x suy ra chiều cao của phối chóp SO 1 2
6x a ax lập bbt suy ra V lớn nhất tại x = 2 2
Câu 16: Cho hình chóp lục giác đều SABCDEF có SA5; AB3 Tính thể tích khối chóp SABCDE.
Lục giác ABCDEF là một lục giác đều, được hình thành bằng cách sắp xếp 6 tam giác đều AOB theo chiều kim đồng hồ Chúng ta cần xác định hai yếu tố quan trọng liên quan đến hình dạng và tính chất của lục giác này.
Chiều cao (để ý tam giác AOB đều nên OA AB 3):
Diện tích để ý diện tích ngũ giác ABCDE bằng 5 lần diện tích tam giác AOB nên ta có:
Để tính thể tích của khối tám mặt đều nội tiếp trong một khối lập phương có cạnh bằng a, ta cần xác định các đỉnh của khối tám mặt đều là các tâm của các mặt khối lập phương Thể tích của khối tám mặt đều này được tính bằng công thức V = (1/3) * a^3.
Dựng được hình như hình bên
+ Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp S.ABCD
+ Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của S.ABCD
+ ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu của S lên mặt đáy
SO ; BD cạnh của hình lập phương a Suy ra các cạnh của hình vuông 2
Câu 18: Cho hình chóp đều S ABC có đáy cạnh bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
ABC bằng 60� Gọi A � , B � , C � tương ứng là các điểm đối xứng của A, B, C qua S Thể tích của khối bát diện có các mặt ABC , A B C���, A BC� , B CA� , C AB� , AB C��, BA C��, CA B�� là
Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S ABC:
Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a 3
CH Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0
Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S ABC là:
Diện tích tam giác SBC là: 2 39
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là:
Tứ giác BCB C' ' là hình chữ nhật vì có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Thể tích khối 8 mặt cần tìm là: V 2 1 3 d A SBC , S BCB C ' ' 2 a 3 3 3
Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc HuyềnLB).