(Sáng kiến kinh nghiệm) ứng dụng bất đẳng thức cô si để chứng minh một số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

nh m m c đích đ a n n giáo d c c a nọc ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ư ền giáo dục của nước nhà sánh nga

SKKN ng d ng b t đ ng th c Cô-si đ ch ng Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng ụng bất đẳng thức Cô-si để chứng ất đẳng thức Cô-si để chứng ẳng thức Cô-si để chứng ức Cô-si để chứng ể chứng ức Cô-si để chứng minh m t s b t đ ng th c và tìm GTLN, GTNN ột số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ố bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ất đẳng thức Cô-si để chứng ẳng thức Cô-si để chứng ức Cô-si để chứng

I L i gi i thi u: ời giới thiệu: ới thiệu: ệu:

Đ t nư c ta đang trên con đường công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rấtng công nghi p hóa - hi n đ i hóa, do đó r tệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ại hóa, do đó rất

c n nh ng con ngường công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rấti có tri th c, có năng l c làm vi c, có ph m ch t đ oức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ực làm việc, có phẩm chất đạo ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ẩm chất đạo ại hóa, do đó rất

đ c t t, và nhi m v c a ngành giáo d c chính là đào t o ra nh ng conức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ại hóa, do đó rất

ngường công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rấti nh v y Vì th Đ ng và Nhà nư ậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ư c luôn coi giáo d c là qu c sáchụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những conhàng đ u, ch t lượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcng giáo d c liên t c đụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc đ u t phát tri n, t b c h cư ển, từ bậc học ừ bậc học ậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ọc

m m non cho đ n sau đ i h c, hàng lo t c i cách giáo d c đế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ại hóa, do đó rất ọc ại hóa, do đó rất ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc áp d ng:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

nh chư ương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng trình thay sách giáo khoa m i, đ i m i phổi mới phương pháp dạy và ương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng pháp d y vàại hóa, do đó rất

h c, nh m m c đích đ a n n giáo d c c a nọc ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ư ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ư c nhà sánh ngang t m khu

v c và th gi i.ực làm việc, có phẩm chất đạo ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Trong chương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng trình giáo d c THPT, môn toán đụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc coi là m t trong nh ngột trong nhữngmôn h c quan tr ng hàng đ u, b i Toán h c có ti m năng khai thác r tọc ọc ởi Toán học có tiềm năng khai thác rất ọc ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

l n, có th kh i d y và phát tri n năng l c trí tu , rèn luy n và phát tri nển, từ bậc học ơng trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy và ậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ển, từ bậc học ực làm việc, có phẩm chất đạo ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ển, từ bậc họccác thao tác và ph m ch t c a t duy góp ph n r t l n vào m c tiêu giáoẩm chất đạo ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ư ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

d c toàn di n con ngụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ường công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những coni c a th i đ i m i.ờng công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ại hóa, do đó rất

Trong quá trình b i dồi dưỡng chuyên môn thông qua sinh hoạt cụm chuyên ưỡng chuyên môn thông qua sinh hoạt cụm chuyênng chuyên môn thông qua sinh ho t c m chuyênại hóa, do đó rất ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những conmôn cũng nh các kỳ thi h c sinh gi i các c p thì chuyên đ v b t đ ngư ọc ỏi các cấp thì chuyên đề về bất đẳng ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ẳng

th c và c c tr là m t chuyên đ hay và b ích vì ngoài ki n th c mangức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ực làm việc, có phẩm chất đạo ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ột trong những ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ổi mới phương pháp dạy và ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạotính lý thuy t, thì lo i toán này có tính ng d ng và li n h v i th c t r tế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ại hóa, do đó rất ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ực làm việc, có phẩm chất đạo ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

l n, đ n cơng trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy và ử là m t bài toán kinh t tính toán sao cho chi phí ít nh t, nh ngột trong những ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ư

l i nhu n l n nh t ch ng h n Chính vì nh ng lí do này mà nó thợng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học ậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ẳng ại hóa, do đó rất ường công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rấtngxuyên xu t hi n trong các kỳ thi h c sinh gi i các c p, thi vào THPT và thiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ọc ỏi các cấp thì chuyên đề về bất đẳngvào các kh i l p 10 chuyên

Có th nói B t đ ng th c và c c tr là m t trong nh ng ph n toán khóển, từ bậc học ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ực làm việc, có phẩm chất đạo ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ột trong những

nh t trong toán s c p c a c p THCS, b i đ có th làm đơng trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy và ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ởi Toán học có tiềm năng khai thác rất ển, từ bậc học ển, từ bậc học ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc c n có m tột trong những

n n t ng ki n th c toán h c v ng ch c, thành th o các phền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ọc ắc, thành thạo các phương pháp biến ại hóa, do đó rất ương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng pháp bi nế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

đ i, có t duy nh y bén, kh năng phán đoán chính xác Có khá nhi u cáchổi mới phương pháp dạy và ư ại hóa, do đó rất ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khukhác nhau đ gi i quy t bài toán b t đ ng th c và c c tr , và m t trongển, từ bậc học ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ực làm việc, có phẩm chất đạo ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ột trong những

nh ng cách đó là S d ng b t đ ng th c Cô-si Trong khi đó SGK l p 9 chử ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ỉ

đ a b t đ ng th c này ra dư ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ư i d ng gi i thi u, nhi u h c sinh khá gi iại hóa, do đó rất ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ọc ỏi các cấp thì chuyên đề về bất đẳng(trong ph m vi đ i trà) cũng ch hi u đại hóa, do đó rất ại hóa, do đó rất ỉ ển, từ bậc học ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc hình th c c a b t đ ng th cức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạonày, nên khi v n d ng đ gi i toán v n còn lúng túng, máy móc, khôngậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ển, từ bậc học ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ẫn còn lúng túng, máy móc, khôngphát huy hi u qu , th m chí đ c l i gi i có s n trong tài li u cũng khôngệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ọc ờng công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ẵn trong tài liệu cũng không ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất

hi u đển, từ bậc học ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc cách làm S dĩ nh th là do các em ch a th c s hi u sâu s cởi Toán học có tiềm năng khai thác rất ư ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ư ực làm việc, có phẩm chất đạo ực làm việc, có phẩm chất đạo ển, từ bậc học ắc, thành thạo các phương pháp biến

v nó.ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

V i suy nghĩ nh v y tôi đ a ra đ tài: “ư ậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ư ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si ng d ng b t đ ng th c Cô-si ụng bất đẳng thức Cô-si ất đẳng thức Cô-si ẳng thức Cô-si ức Cô-si

đ ch ng minh m t s b t đ ng th c và tìm GTLN, GTNN ể chứng minh một số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ức Cô-si ột số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ố bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ất đẳng thức Cô-si ẳng thức Cô-si ức Cô-si ”.

II Mô t b n ch t c a sáng ki n: ả bản chất của sáng kiến: ả bản chất của sáng kiến: ất đẳng thức Cô-si để chứng ủa sáng kiến: ến:

1 Ki n th c liên quan đ n v n đ nghiên c u: ến: ức Cô-si để chứng ến: ất đẳng thức Cô-si để chứng ề nghiên cứu: ức Cô-si để chứng

1.1 Đ nh nghĩa v b t đ ng th c: ịnh nghĩa về bất đẳng thức: ề bất đẳng thức: ất đẳng thức Cô-si ẳng thức Cô-si ức Cô-si

Cho 2 s a và b ta có:

; (V i d u : ³ ; £ ta có b t đ ng th c không ch t).ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ặt)

1.2 M t s tính ch t c b n c a b t đ ng th c: ột số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ố bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ất đẳng thức Cô-si ơ bản của bất đẳng thức: ản của bất đẳng thức: ủa bất đẳng thức: ất đẳng thức Cô-si ẳng thức Cô-si ức Cô-si

Tính ch t 1 ất 1 :

Tính ch t 2 ất 1 :

Tính ch t 3: ất 1

1.3 B t đ ng th c Cô-si (Cauchy) cho 2 s , cho n s không âm: ất đẳng thức Cô-si ẳng thức Cô-si ức Cô-si ố bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ố bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

(d u b ng x y ra khi a = b)ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

(d u b ng x y ra khi aằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách 1 = a2 = = an)

(d u b ng x y ra khi a = b)ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

(d u b ng x y ra khi aằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách 1 = a2 = = an)Trong đó:

đượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học ọcc g i là trung bình c ng.ột trong những

đượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học ọcc g i là trung bình nhân

Theo cách vi t nhế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ư d ng 1 và d ng 2 ta đởi Toán học có tiềm năng khai thác rất ại hóa, do đó rất ại hóa, do đó rất ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc cách đánh giá t trung bìnhừ bậc học

c ng sang trung bình nhân, n u vi t theo chi u ngột trong những ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học ại hóa, do đó rấtc l i ta có cách đánh

Ta có th hi u b t đ ng th c Cô-si theo ngôn ng đ n gi n nh sau: ể hiểu bất đẳng thức Cô-si theo ngôn ngữ đơn giản như sau: ể hiểu bất đẳng thức Cô-si theo ngôn ngữ đơn giản như sau: ất 1 ẳng thức Cô-si theo ngôn ngữ đơn giản như sau: ức Cô-si theo ngôn ngữ đơn giản như sau: ữ đơn giản như sau: ơn giản như sau: ản như sau: ư sau:

+ N u các s không âm có tích không đ i thì t ng c a chúng nh nh t khiế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ổi mới phương pháp dạy và ổi mới phương pháp dạy và ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ỏi các cấp thì chuyên đề về bất đẳng

t t c các s b ng nhau.ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

+ N u các s không âm có t ng không đ i thì tích c a chúng l n nh t khiế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ổi mới phương pháp dạy và ổi mới phương pháp dạy và ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

t t c các s b ng nhau.ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

1.4 Giá tr l n nh t (GTLN) và Giá tr nh nh t (GTNN): ịnh nghĩa về bất đẳng thức: ớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN): ất đẳng thức Cô-si ịnh nghĩa về bất đẳng thức: ỏ nhất (GTNN): ất đẳng thức Cô-si

* Đ nh nghĩa GTLN: ịnh nghĩa về bất đẳng thức:

Cho bi u th c f(x,y, ) xác đ nh trên D Ta nói M là giá tr l n nh t c aển, từ bậc học ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những conf(x,y, ) trên D, kí hi u M = max f(x,y, ) n u hai đi u ki n sau tho mãn:ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

- V i m i x, y, thu c D thì f(x,y, ) ≤ M (M là h ng s )ọc ột trong những ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu (1)

- T n t i xồi dưỡng chuyên môn thông qua sinh hoạt cụm chuyên ại hóa, do đó rất 0; y0; thu c D sao cho f(xột trong những 0,y0, ) = M (2)

*

Đ nh nghĩa GTNN: ịnh nghĩa về bất đẳng thức:

Cho bi u th c f(x,y, ) xác đ nh trên D Ta nói m là giá tr nh nh t c aển, từ bậc học ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ỏi các cấp thì chuyên đề về bất đẳng ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những conf(x,y, ) trên D, kí hi u m = min f(x,y, ) n u hai đi u ki n sau tho mãn:ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

- V i m i x, y, thu c D thì f(x,y, )ọc ột trong những ³ m (m là h ng s )ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu (1’)

- T n t i xồi dưỡng chuyên môn thông qua sinh hoạt cụm chuyên ại hóa, do đó rất 0; y0; thu c D sao cho f(xột trong những 0,y0, ) = m (2’)

Chú ý:

- N u ch có đi u ki n (1) hay (1’) thì chế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ỉ ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ưa th k t lu n gì v c c tr c aển, từ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ực làm việc, có phẩm chất đạo ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

m t bi u th c.ột trong những ển, từ bậc học ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo

- Đ có s th ng nh t chung trong chuyên đ và đ ph i nh c l i nhi uển, từ bậc học ực làm việc, có phẩm chất đạo ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ỡng chuyên môn thông qua sinh hoạt cụm chuyên ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ắc, thành thạo các phương pháp biến ại hóa, do đó rất ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

l n khi xét các bài toán c c tr , t m quy ực làm việc, có phẩm chất đạo ị là một chuyên đề hay và bổ ích vì ngoài kiến thức mang ại hóa, do đó rất ư c đi u ki n (1) và (1’) là đi uền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

ki n 1, đi u ki n (2) và (2’) là đi u ki n 2.ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất

- Ta có th s d ng b t đ ng th c Cô-si đ tìm GTNN ho c tìm GTLN c aển, từ bậc học ử ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ển, từ bậc học ặt) ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

m t bi u th c Tùy thu c vào yêu c u c a bài toán mà bi n đ i bi u th cột trong những ển, từ bậc học ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ột trong những ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ổi mới phương pháp dạy và ển, từ bậc học ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo

đ xu t hi n các s không âm có tích không đ i ho c có t ng không đ i.ển, từ bậc học ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ổi mới phương pháp dạy và ặt) ổi mới phương pháp dạy và ổi mới phương pháp dạy và

2 ng d ng b t đ ng th c Cô-si đ ch ng minh m t s b t đ ng Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng ụng bất đẳng thức Cô-si để chứng ất đẳng thức Cô-si để chứng ẳng thức Cô-si để chứng ức Cô-si để chứng ể chứng ức Cô-si để chứng ột số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ố bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ất đẳng thức Cô-si để chứng ẳng thức Cô-si để chứng

th c: ức Cô-si để chứng

2.1 D ng toán không có đi u ki n ràng bu c gi a các bi n: ạng 1: ề bất đẳng thức: ện ràng buộc giữa các biến: ột số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ữa các biến: ến:

* Ph ương pháp chung: ng pháp chung:

M t s chú ý khi x d ng b t đ ng th c Cô-si:ột trong những ử ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo

Khi s d ng b t đ ng th c Cô-si thì các s ph i là nh ng s không âm.ử ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Đi u ki n x y ra d u “=” là các s b ng nhau.ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

B t đ ng th c Cô-si thẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ường công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rấtng áp d ng khi trong b t đ ng th c c n ch ngụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạominh có d ng t ng và tích.ại hóa, do đó rất ổi mới phương pháp dạy và

Phương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng pháp thường công nghiệp hóa - hiện đại hóa, do đó rấtng dùng là tách ghép c p trong b t đ ng th c Cô-si.ặt) ẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo Bài 1: Cho a, b, c là các s không âm Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

a) a3 + b3 ≥ ab(a + b)

Gi i:ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

a) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

b) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

c) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

Bài 2: Cho a, b, c là các s dương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

a)

b)

c)

d)

Gi i:ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

a) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

C ng theo t ng v c a ba BĐT trên ta đột trong những ừ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học c:

b) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

C ng theo t ng v c a ba BĐT trên ta đột trong những ừ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc:

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

c) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

C ng theo t ng vột trong những ừ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách c a ba BĐT trên taủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

đượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học c:

(Cô-si) Þ

Do đó:

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Ta l iại hóa, do đó rất có: ;

;

Do đó:

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Bài 3: Cho a, b, c là các s không âm Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

a)

b)

c)

Gi iảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách :

a) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có: b + c ≥ 2ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con Þ a(b + c) ≥ 2a

Þ ab + ac ≥ 2a

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t : bc + ba ≥ 2ực làm việc, có phẩm chất đạo ; ca + cb ≥ 2

Do đó: ab + bc + ca ≥

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

b) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có: b + c ≥ 2ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con Þ a2(b + c) ≥ 2a2

Þ a2b + a2c ≥ 2a2

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t :ực làm việc, có phẩm chất đạo b2c + b2a ≥ 2b2 ; c2a + c2b ≥ 2c2

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

c) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Bài 4: Cho a, b 1 Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

Gi i:ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

a)

b)

Gi i:ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t :ực làm việc, có phẩm chất đạo ;

C ng theo t ng v c a ba BĐT trên ta đột trong những ừ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học c:

b) Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t :ực làm việc, có phẩm chất đạo ;

Do

đó:

Ta l i có:ại hóa, do đó rất

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Bài 6: Cho a, b 0 Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

Gi i:ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Ta có:

Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Bài 7: Cho a, b, c ba s dương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

Gi i:ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

có:

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t :ực làm việc, có phẩm chất đạo ;

C ng theo t ng vột trong những ừ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách c a ba BĐT trên taủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

đượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học c:

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Bài 8: Cho a, b, c > 1 Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

Gi iảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách :

Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t :ực làm việc, có phẩm chất đạo

C ng theo t ng v c a ba BĐT trên ta đột trong những ừ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học c:

Bài 9: Cho a, b, c > 0 Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

Gi iảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách :

Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

C ng theo t ng v c a ba BĐT trên ta đột trong những ừ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc:

Bài 10: Cho a, b, c > 0 Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

Gi iảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách :

Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

Bài 11: Cho a, b, c là đ dài ba c nh c a m t tam giác và p là n a chu vi.ột trong những ại hóa, do đó rất ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ột trong những ử

Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu (p - a)(p - b)(p -c)

Gi i:ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t :ực làm việc, có phẩm chất đạo p - b > 0, p - c > 0

Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

(p - a)(p - b)

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t : (p - b)(p -c)ực làm việc, có phẩm chất đạo ; (p - c)(p - a)

Do đó:

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Bài 12: Cho a, b, c > 0 Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

Gi iảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách :

Áp d ng BĐT Cô-si, ta có:ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con

Ch ng minh tức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t r i c ng theo t ng v ta đực làm việc, có phẩm chất đạo ồi dưỡng chuyên môn thông qua sinh hoạt cụm chuyên ột trong những ừ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc:

V yậy Vì thế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

2 D ng toán có đi u ki n ràng bu c gi a các bi n: ạng 1: ề bất đẳng thức: ện ràng buộc giữa các biến: ột số bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN ữa các biến: ến:

*Ph ương pháp chung: ng pháp chung:

Đ ch ng minh đển, từ bậc học ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ượng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc họcc b t đ ng th c c a đ toán, chúng ta ph i khai thácẳng ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

đi u ki n ràng bu c c a bi n Tùy thu c vào đi u ki n đ bi n đ i choền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ột trong những ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ột trong những ền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu ệp hóa - hiện đại hóa, do đó rất ển, từ bậc học ế Đảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách ổi mới phương pháp dạy vàphù h p.ợng giáo dục liên tục được đầu tư phát triển, từ bậc học

Bài 1: Cho a, b, c là đ dài ba c nh c a m t tam giác và a + b + c = 2.ột trong những ại hóa, do đó rất ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ột trong những

Ch ng minh r ng:ức, có năng lực làm việc, có phẩm chất đạo ằm mục đích đưa nền giáo dục của nước nhà sánh ngang tầm khu

Gi i:ảng và Nhà nước luôn coi giáo dục là quốc sách

Vì a, b, c là đ dài ba c nh c a m t tam giác nên a < b + cột trong những ại hóa, do đó rất ủa ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ột trong những Þ 2a < a + b + c mà

a + b + c = 2 Þ 2a < 2 Þ a < 1

Tương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng t : b < 1, c < 1ực làm việc, có phẩm chất đạo

Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0

M t khác, Áp d ng BĐT Cô-si cho 3 s dặt) ụ của ngành giáo dục chính là đào tạo ra những con ương trình thay sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy vàng 1 - a, 1 - b, 1 - c, ta có:

(1 - a)(1 - b)(1 - c)

Do đó: 0 < (1 - a)(1 - b)(1 - c)