(Sáng kiến kinh nghiệm) xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm môn toán THPT

Đảm bảo hình thành được ở học sinh các kỹ năng cơ bản, cần thiết cho hình thức thi trắc nghiệm như: Kỹ năng phân tích, kỹ năng tính toán, kỹ năng phán đoán, kỹ năng loại trừ, kỹ năng vận

1 Lời giới thiệu

Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi THPT Quốc gia, môn Toán bắt đầu được thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan Với sự thay đổi lớn này, việc dạy học của giáo viên đòi hỏi phải có sự nghiên cứu sâu hơn, kỹ hơn về nội dung cũng như kỹ thuật khi thiết kế bài giảng Đảm bảo hình thành được ở học sinh các kỹ năng cơ bản,

cần thiết cho hình thức thi trắc nghiệm như: Kỹ năng phân tích, kỹ năng tính toán, kỹ năng phán đoán, kỹ năng loại trừ, kỹ năng vận dụng Giúp các em trong khoảng thời

gian trung bình 1.8 phút có thể giải quyết được một câu trong đề thi

Với hình thức thi tự luận chúng ta thường “luyện” cho học sinh học theo các dạng toán, xem nhẹ lý thuyết, không cần nhớ, hiểu “quá sâu”, “quá chính xác” lý

thuyết, thậm chí có nội dung lý thuyết trong chương trình SGK chúng ta đã bỏ qua, không đề cập đến Trong hình thức thi trắc nghiệm thì các câu mang tính lý thuyết rất

dễ “lừa” học sinh Để làm được các câu này học sinh phải hiểu, nhớ chính xác và sâu

lý thuyết Mặt khác, sự đa dạng của cách hỏi, hình thức hỏi về cùng một nội dung cũng là một vấn đề cần quan tâm trong công tác dạy và học, cần tập dượt cho học sinh nắm vững và xâu chuỗi các kiến thức cơ bản thông qua hình thức khai thác một

dữ kiện để có nhiều câu hỏi khác nhau

Khi bắt đầu thực hiện dạy cho học sinh học để đáp ứng tốt nhất các yêu cầu theo hình thức thi trắc nghiệm khách quan, bản thân tôi (cũng như các đồng nghiệp khác

chia sẻ) gặp rất nhiều những khó khăn, một trong những khó khăn đó là “nguồn vốn đề” của bản thân còn hạn chế Xin được nhấn mạnh ở “vốn đề của bản thân”, nếu chúng ta lấy một số câu hỏi sẵn có kèm theo đáp án đúng, sai thì bài giảng của ta sẽ không có “hồn”, ta không biết được những ý đồ sư phạm ẩn chứa trong mỗi bài toán

đó, sẽ không hình thành được ở học sinh các hệ thống kiến thức, kỹ năng cần thiết Chúng ta có thể khai thác, tham khảo hệ thống bài tập của đồng nghiệp trên các phương tiện thông tin, nhưng trước khi dạy học sinh ta cần đọc, giải, đánh giá, bình luận chi tiết từng câu, hướng phát triển, cách hỏi khác của câu đó Và tốt nhất chúng

ta tự xây dựng cho mình một “nguồn vốn đề” trên cơ sở chọn lọc và phát triển từ

nguồn đề của đồng nghiệp

1

Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng tốt nhất các yêu cầu của hình

thức thi trắc nghiệm khách quan, tôi đã nghiên cứu đề tài SKKN: “Xây dựng hệ

thống bài tập trắc nghiệm môn Toán THPT” từ năm học 2016 - 2017 Đề tài SKKN

này tôi đã viết và báo cáo trong năm học 2017-2018 với các nội dung chính về cách xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm:

1 Khai thác một dữ kiện đã cho, từ đó xây dựng các câu hỏi khác nhau liên quan đến dữ kiện đó.

2 Khai thác một đơn vị kiến thức cơ bản, từ đó xây dựng các câu hỏi khác nhau từ kiến thức cơ bản đó.

3 Yêu cầu cơ bản khi thiết kế câu hỏi dạng trắc nghiệm”.

(Toàn bộ 3 nội dung trên tôi đưa vào phần phụ lục trong bản báo cáo SKKN này).

Để có sự nhìn nhận toàn diện hơn về đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm

môn Toán THPT”, năm học 2018-2019 tôi tiếp tục tìm hiểu, bổ sung và phát triển

thêm một số nội dung cho đề tài Xin được chia sẻ với các bạn đồng nghiệp!

2 Tên sáng kiến:

“Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm môn Toán THPT”.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Hồng Thái

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0969 611 811 E_mail: lethaivp@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Hồng Thái

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Công tác giảng dạy môn Toán trong trường THPT.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 15/09/2016

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở của việc hệ thống hóa những vấn đề lý luận và thực tiễn có liên quan đến vấn đề nghiên cứu, đề xuất một số kỹ thuật xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm môn Toán THPT

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn về việc xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm môn Toán THPT

- Đưa ra một số ví dụ điển hình minh họa cho việc xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm môn Toán THPT

7.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm môn Toán THPT như thế nào?

Phạm vi nghiên cứu

Môn Toán THPT

7.3 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập, phân tích tài liệu

7.4 Nội dung cơ bản của sáng kiến

7.4.1 Khai thác các kiến thức “dễ bị bỏ quên” trong SGK để có những bài tập trắc nghiệm thú vị.

Trước hết xin chia sẻ với các bạn đồng nghiệp về nguyên tắc chuẩn bị bài của bản thân trước khi lên lớp, đó là đọc kỹ, đọc hết các nội dung được trình bày trong SGK (kể cả phần đọc thêm) Đọc và suy nghĩ, nghiên cứu để biết được ý đồ sư phạm,

sự cần thiết của mỗi đơn vị kiến thức Tránh được những hối hận của bản thân khi học sinh mắc sai lầm khi làm toán do ta cung cấp thiếu kiến thức hoặc chưa làm sáng

tỏ các vấn đề được SGK đề cập mờ nhạt

Do vậy cần dạy các em thật kỹ để các em nhìn nhận vấn đề ở nhiều phương diện, góc cạnh khác nhau Và cũng cần thiết kế các câu hỏi trắc nghiệm để khi giải quyết học sinh thấy được “cái giá” phải trả khi hiểu biết các vấn đề một cách nông cạn, hời hợt, không toàn diện Đồng thời cũng tạo sự thú vị cho học sinh khi các em nhận thấy rằng: “Mọi bài toán khó đều được giải quyết từ các vấn đề cơ bản” Xin đưa ra một số minh họa sau:

Minh họa 1:

Trang 6, 7 - SGK Giải tích 12 – Ban cơ bản có nội dung:

“Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K.

3

a) Nếu ( ) f x/ > " Î 0 x K thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K

b) Nếu ( ) f x/ < " Î 0 x K thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên K”

Nội dung trên được trình bày là một định lý nên được giáo viên và học sinh rất chú ý, quan tâm Sau các hoạt động, ví dụ để củng cố, ghi nhớ, SKG có đưa một chú

ý (Định lý mở rộng): “Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K Nếu

( ) ( ( ) )

f x ³ f x £ " Îx K và ( ) f x/ = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K”.

Học sinh rất dễ bỏ qua nội dung của định lý mở rộng nếu người thầy không làm sáng tỏ nội dung hai định lý cho các em Tốt nhất hãy xây dựng cho học sinh các bài tập sau để khi giải quyết các em sẽ hiểu vấn đề

Câu hỏi 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( ) 1 3 2

3

f x = x - m- x + +x đồng biến trên R.

A. 0 £ m£ 2 B 0 < <m 2 C é <êê >ëm m 02 D

0 2

m m

é £ ê

ê ³ ë

3

m

f x = x - mx +m m- x+ - m Tìm điều kiện của tham

số m để hàm số đồng biến trên R.

2

m m

é = ê

ê ³ ë Khi làm hai câu hỏi trên, nếu học sinh không nắm vững nội dung lý thuyết đã nêu ở trên thì sẽ có những lựa chọn đáng tiếc (Ta coi rằng các em đã vận dụng tốt kiến thức về dấu của tam thức bậc hai) Thật vậy, nếu học sinh không để ý đến nội

dung của định lý mở rộng thì trong câu hỏi 1 các em sẽ chọn phương án B, trong khi

đáp án đúng phải là A.

Mặt khác khi các em hiểu định lý mở rộng không đầy đủ thì trong câu hỏi 2

các em lại chọn phương án đúng là D, trong khi phương án đúng là A.

Vấn đề cần củng cố, khắc sâu cho học sinh là: Với hàm số trong câu hỏi 1 có

( )

f x =x - m- x+ Khi m = 0 thì ( ) f x/ = 0chỉ xẩy ra tại x = 1, khi m = 2 thì

( )

f x = chỉ xẩy ra tại x = -1 (Hữu hạn điểm) Vậy m = 0 hoặc m = 2 thỏa mãn.

Với hàm số trong câu hỏi 2 có ( ) f x/ =mx2 - 2mx m m+ ( - 1) Khi m = 0 thì

( )

f x = "x ( ( )f x là hàm hằng trên R) Khi m = 2 thì ( ) f x/ = 0chỉ xẩy ra tại x = 1 Vậy m = 0 bị loại và m = 2 thỏa mãn.

Câu hỏi 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số ( ) 2 1

1

m x

f x

x

-=

- nghịch biến trên khoảng (2; +¥ )

1

m

m

é £

-ê

ê ³

1

m m

é <-ê

ê >

ë C - < < 1 m 1 D - £ 1 m£ 1 Sau khi tính được ( )

2 /

2

1 ( 1)

m

f x

x

-=

- học sinh rất dễ chọn đáp án là A Và một lần nữa

các em phải “trả giá” cho việc không nắm vững nội dung của định lý mở rộng nêu trên!

Như vậy, trước một nội dung được SGK trình bày khá “mờ nhạt” (SGK chỉ đưa

ra một ví dụ, chưa đủ minh họa cho nhiều tình huống mà học sinh gặp trong các đề thi), chúng ta cần phải có nhiều những bài tập minh họa để giúp học sinh rèn luyện, hình thành kỹ năng giải quyết nhanh các câu hỏi trắc nghiệm, tránh được những sai lầm đáng tiếc trong các kỳ thi quan trọng

Minh họa 2:

Trong bài “Tích phân” – SGK Giải tích 12 – Ban cơ bản có đưa ra bài toán:

“Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0; x = 1” Việc giải quyết bài toán trên là tương đối khó đối với học sinh (Gọi S(x) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 0 và x Chứng minh S / (x) = x 2)

Sau đó SGK đưa ra bài toán tổng quát: “Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b (a < b), trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b]”

Kết luận quan trọng rút ra trong bài toán này là: “Với mỗi xÎ [a b; ], kí hiệu S(x)

là diện tích của phần hình thang cong trên nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với

Ox lần lượt tại a và x, khi đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [ a b; ], nghĩa là S /

(x) = f(x) " Îx [a b; ]”.

5

H 1

H 2

y = 2 x

x

y

O

x= a x= 2

x

y

S(x)

y = f(x)

Do vấn đề nêu trên không dễ đối với đa số học sinh, nên cả thầy và trò rất dễ

bỏ qua hoặc không tìm hiểu đầy đủ để ghi nhớ và vận dụng nội dung này trong bài tập Từ sự khiếm khuyết về nội dung kiến thức này nên học sinh sẽ rất khó khăn trong việc giải quyết các bài toán sau:

Câu hỏi 1: Trong hệ trục (Oxy), xét hình phẳng (H) giới hạn bởi : Đồ thị hàm số

y = f(x), trục tung, trục hoành và đường thẳng vuông góc với trục hoành tại A(x ; 0),

0

x≥ Biết diện tích của (H) là 3x 2 và hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu trên [ ]0;2 .

Tính tích phân

2

1 ( )

I =∫ f x dx

A I = 1 B I = 2 C I = 9 D I = 6

Học sinh rất hoang mang với các dữ kiện của bài toán, không biết khai thác giả thiết như thế nào và bắt nguồn từ đâu Thực tế đây là một câu hỏi có thể xem ở mức

độ nhận biết - Nhận biết một vấn đề lý thuyết trong SKG Nếu học sinh được giáo viên lưu ý và nhấn mạnh nội dung: “Với mỗi xÎ [a b; ], kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thanh cong trên nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a

và x, khi đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [ a b; ], nghĩa là S / (x) = f(x) " Îx [a b; ]

” thì các em sẽ dễ dàng tìm ra đáp án của bài toán là 2 2

1

I = x = .

Câu hỏi 2: Trong hệ trục (Oxy), xét hình phẳng (H) giới hạn bởi : Đồ thị hàm số

y = f(x), trục tung, trục hoành và đường thẳng vuông góc với trục hoành tại A(x ; 0),

0

x≥ Biết diện tích của (H) là 2x 3 và hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu trên [ ]0;2 Tính tích phân

2 2 0 ( 1) ( )

I =∫ x + f x dx

A 342

5

15

I = C 88

3

I = D 432

15

I =

Mới đọc chúng ta có cảm giác là bài toán quá sức với học sinh Nhưng nếu các

em đã nắm vững được vấn đề của câu hỏi 1 thì câu hỏi 2 là một bài toán rèn kỹ năng

tính tích phân của hàm đa thức Thật vậy:

2x 3 là một nguyên hàm của f(x) nên f(x) = 6x 2

Suy ra:

816

15

I =∫ x + f x dx= ∫ x + x dx= ∫ x +x dx=

Minh họa 3:

Khi dạy, học phần ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay,

người dạy, người học sẽ rất sai lầm nếu chỉ chú ý đến các công thức 2 ( ) ;

b

a

V = π∫ f x dx

2 ( ) 2 ( )

b

a

V = π∫ f x −g x dx mà bỏ qua nội dung tính thể tích của vật thể bất kỳ: “Cắt một vật thể τ bởi hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a; x = b (a < b) Một mặt phẳng tùy ý vông góc với Ox tại điểm x ( a x b ≤ ≤ ) cắt τtheo một thiết diện có diện tích là S x ( ) Giả sử S x ( )liên tục trên [ ; ]a b Thể tích phần vật thể

τ giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo công thức ( )

b

a

V =∫S x dx ”.

Người biên soạn SGK khá quan tâm đến vấn đề này, đã đưa ra 03 ví dụ minh họa

(Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt) để làm nổi bật vai trò của S(x).

Tuy nhiên học sinh rất dễ chủ quan, không nghiên cứu kỹ các ví dụ này bởi đây là các công thức tính thể tích khá quen thuộc với học sinh, các em không nhận thức được đó

là các minh họa điển hình cho một vấn đề lý thuyết mới Bỏ qua nội dung này, học sinh sẽ không hiểu được tại sao trong công thức tính thể tích vật thể tròn xoay luôn có đại lượng π và f x2 ( ); các em không biết được đại lượng πf2 ( )x đơn giản là diện tích

của hình tròn thiết diện Quan trọng hơn là học sinh rất lúng túng trước các bài toán sau:

7

x

.

O

S(

x)

Câu hỏi 1: Vật thể T được giới hạn bởi hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với trục

hoành tương ứng tại x = 1 và x = 3 Mặt phẳng (R) vuông góc với trục hoành tại

A(x; 0), 1 x 3 cắt T theo một thiết diện là tam giác đều có độ dài cạnh là 2x Tính

thể tích V của vật thể T.

A 26 3

3

B

18 2 3

3

V = π − C 26 3

3

V = D 18 2 3

3

V = −

Nếu học sinh nắm vững bài toán về tính thể tích của vật thể bất kỳ, các em sẽ bắt tay

vào việc tính diện tích của tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2x Diện tích đó là

2

( ) 3

S x = x Khi đó

3 2 1

26 3 3

3

V =∫ x dx= Tương tự:

Câu hỏi 2: Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình

x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x (1 ≤ ≤x 3) thì được thiết diện là một hình tròn có đường kính là

2x.

A V =1043 π B 26

3

V = π C 26

3

V = D 104

3

V =

Đáp án là B.

Trên đây tôi đưa ra một số minh họa cho việc cần thiết phải dạy và giúp học sinh nắm được tất cả các vấn đề cơ bản trong SGK Khi học sinh nắm được từng đơn

vị kiến thức cơ bản, người thầy lại giúp các em xâu chuỗi, vận dụng các kiến dưới dạng tổng hợp này để giải quyết được các bài toán ở mức độ nhận thức cao hơn Xin

minh họa vấn đề này trong mục 7.4.2 tiếp theo.

7.4.2 Kết hợp nhiều đơn vị kiến thức cơ bản để xây dựng những bài tập trắc nghiệm.

Khi dạy học, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng: Câu hỏi ở mức độ nhận biết thường để kiểm tra một đơn vị kiến thức cơ bản Các câu hỏi ở mức độ thông hiểu, đặc biệt là mức độ vận dụng chắc chắn phải có sự liên hệ của nhiều đơn vị kiến thức

cơ bản Những câu hỏi khó thường được thiết kế sao cho học sinh có sự xâu chuỗi,

vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản của nhiều lớp học (Kiến thức cấp THSC, kiến thức của lớp 10, 11, 12)

Căn cứ vào mục đích kiểm tra, đánh giá mà giáo viên có thể xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm trong đó có sự liên hệ của ít hay nhiều các đơn vị kiến thức cơ bản; kiến của một chương hay nhiều chương; kiến thức trong khối lớp hay của cả cấp học Xin được minh họa nội dung này bằng một số câu hỏi trắc nghiệm sau:

Câu hỏi 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên R, có đồ thị là (C) và

'' ( ) 0 2; 2

f x > ∀ ∈ −x Tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0; ); (1; )y1 B y2 tương ứng có hệ

số góc là 1 2

8 1;

3

k = k = Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x'' ( ),

trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 Tính diện tích S của (H).

A 11

3

S = B 5

3

S = C 4

3

S = D 2

3

S =

Bài toán có hệ thống các giả thiết khá phức tạp, để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

a) Xác định được

1 '' 0

( )

S =∫ f x dx b) Khẳng định f x' ( ) là một nguyên hàm của hàm số y= f x''( ).

c) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm có hoành độ x 0 có hệ số góc là

'

0

( )

k = f x

Từ các kiến thức cơ bản trên, học sinh dễ dàng giải quyết được bài toán :

1

0

S =∫ f x dx= f − f = − =

Câu hỏi 2: (Câu 45 – Đề minh họa năm 2019 của Bộ GD&ĐT)

Trong không gian (Oxyz), cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng (P): 2x+ 2y z− − = 3 0

và mặt cầu ( ) : (S x− 3) 2 + − (y 2) 2 + − (z 5) 2 = 36 Gọi ∆ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình của ∆ là

A

2 9

1 9

3 8

= +



 = +



 = +



B

2 5

1 3 3

z

= −



 = +



 =



C

2 1 3

z

= +



 = −



 =



D

2 4

1 3

3 3

= +



 = +



 = −



Điểm khó trong bài toán này học sinh đã quyên bài toán cơ bản về tương giao

giữa đường thẳng và đường tròn trong chương trình lớp 10: “Tìm đường thẳng a đi

9

qua điểm A nằm trong đường tròn và cắt đường tròn tại hai điểm M, N sao cho MN nhỏ nhất” Đáp án của bài toán này là: “Đường thẳng a đi qua A, có véc tơ pháp tuyến là IAuur

, I là tâm của đường tròn” Cho học sinh nhớ lại bài toán trên và chỉ ra

các kiến thức cơ bản của chương trình Hình học giải tích lớp 12 cần sử dụng:

a) Vị trí tương đối của một điểm so với một mặt phẳng, mặt cầu (Để chỉ ra E thuộc (P) và E nằm trong (S)).

b) Tương giao giữa mặt phẳng và mặt cầu

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng; tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng (Chỉ ra tâm của đường tròn thiết

diện do (P) cắt (S)).

d) Viết phương trình đường thẳng biết một điểm nó đi qua và vông góc với hai phương cho trước

Xâu chuỗi các kiến thức trên, học sinh mới có cơ hội tìm ra đáp án của bài toán là:

C

2

3

z

= +





∆  = −

 =



Câu hỏi 3: (Câu 50 – Đề minh họa năm 2019 của Bộ GD&ĐT)

f x =mx +nx + px +qx r m n p q r R+ ∈

Hàm số y= f x' ( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Tập nghiệm của phương trình f x( ) =r có số phần tử là

Thoạt nhìn, nhiều người cho rằng phải khai thác, sử dụng

khéo léo các tính chất “khó khó” nào đó của hàm số mới có thể

giải quyết bài toán Thực tế, đây là bài toán chủ yếu kiểm tra

kỹ năng giải phương trình đại số lớp 10, kết hợp với những kiến thức đơn giản về đồ thị hàm số Ta đi giải chi tiết bài toán này để chứng minh cho nhận định trên:

0

0 (1)

x

f x r mx nx px qx

mx nx px q

=





Từ đồ thị của hàm số y= f x' ( ) ta có: m≠ 0 nên (1) là một phương trình bậc 3.

f x = mx + nx + px q+ Từ đồ thị hàm số '

( )

y= f x suy ra '

( ) 0

f x = có ba nghiệm

là -1; 5;

4 3

Áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc 3 ta có :

y

x

4