Hàm green đa phức với hai cực của hình cầu đơn vị trong £n

Hàm Green đa phức đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết thế vị phức, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klime

đại học thái nguyên tr-ờng đại học s- phạm

-

 -phạm thị minh hạnh

hàm green đa phức với hai cực

- -ph¹m thÞ minh h¹nh

hµm green ®a phøc víi hai cùc

M· sè: 60.46.01

LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:

pgs.TS Ph¹m HiÕn B»ng

Th¸I nguyªn - 2010

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi

trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Khoa cơ bản Trường Đại học KTCN - ĐHTN cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi về thời gian công tác tại cơ quan, giúp tôi yên tâm học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2010

Tác giả

Phạm Thị Minh Hạnh

MỤC LỤC

Trang

CHƯƠNG 2 HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI HAI CỰC CỦA

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm Green đa phức đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết thế vị phức, nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: Siciak, Zaharjuta, Lelong, Klimek, Zeriahi, Dan Coman và đạt được nhiều kết quả sâu sắc về hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình Đó

là sự tổng quát hoá kết quả của Siciak- Zaharjuta trong £ và trong trường hợp ¥

đại số Một số kết quả về hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi,

đó là sự tổng quát hoá của hàm Green đa phức với cực hữu hạn, đã được nghiên cứu bởi Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E Amar , P.J Thomas, Dan Coman

Tuy nhiên những cấu trúc của hàm Green đa phức với nhiều cực vẫn còn

được biết rất ít Ở đây chúng tôi chọn đề tài ” Hàm Green đa phức với hai cực

của hình cầu đơn vị trong £n ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là tìm công thức Green đa phức của hình cầu đơn vị trong £n với hai cực

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

+ Xây dựng công thức cho hàm Green đa phức đối với hình cầu đơn vị trong £ n với hai cực có trọng bằng nhau

+ Chỉ ra sự tồn tại của lá của hình cầu (kỳ dị tại các cực) bởi các đĩa giải tích nhẵn đi qua một hoặc cả hai cực, sao cho hạn chế của hàm Green đa phức tới các đĩa này là điều hoà xa các cực

+ Sử dụng biểu thức của hàm Green dọc theo mỗi tờ của lá, xây dựng công thức của nó trên toàn bộ hình cầu

3 Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại

- Sử dụng các phương pháp của lý thuyết thế vị phức

- Kế thừa phương pháp và kết quả của E Amar và P.J Thomas, Dan Coman

4 Bố cục của luận văn

nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản như: Hàm điều hoà, hàm đa điều hoà, hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực trị, hàm Green phức, hàm Green đa phức, toán tử Monge-Ampere

Chương 2 mang tên “ Hàm Green đa phức với hai cực của hình cầu đơn vị

trong £n ” Nội dung của chương này là trình bày việc xây dựng công thức cho

hàm Green đa phức đối với hình cầu đơn vị trong £ n với hai cực có trọng bằng nhau, Chỉ ra sự tồn tại của lá của hình cầu (kỳ dị tại các cực) bởi các đĩa giải tích nhẵn đi qua một hoặc cả hai cực Sử dụng biểu thức của hàm Green dọc theo mỗi tờ của lá, sẽ xây dựng công thức của nó trên toàn bộ hình cầu

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các hàm điều hoà dưới

u W® - ¥ ¥ được gọi là nửa liên tục trên nếu với mỗi c Î ¡ tập hợp

{x Î W: ( )u x < c} là mở Một hàm u được gọi là nửa liên tục dưới nếu - u là nửa liên tục trên

1.1.2 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của ¡ n , và u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên không trùng - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W Hàm u như vậy được gọi là điều hoà dưới trong W nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và mỗi hàm h Î H G( )ÇC G( ) ta có

u £ h trên ¶G Þ u £ h trên G Trong trường hợp này ta viết u Î SH( )W

Định lý sau cho một đặc trưng của hàm điều hoà dưới

1.1.3 Định lý Giả sử u W® - ¥ ¥: [ , ) là nửa liên tục trên và không đồng

nhất - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W Khi đó những điều

kiện sau là tương đương

( )i u Î SH( )W

( )ii Nếu B a r Ð W( , ) , thì

Chứng minh ( )i ( )ii : giả sử u Î SH( )W và B a r Ð W( , ) Theo [K2], Mệnh

đề 2.3.3 tr37 tồn tại một dãy giảm { } uj các hàm liên tục trên ¶B a r( , ) hội tụ

tới u ¶B a r( , ) Theo [K2] (Định lý 2.2.6 tr30), tồn tại một dãy các hàm

B a r với mọi j Î ¥ Rõ ràng, dãy { }U j là giảm Lấy x Î B a r( , ) Áp dụng

định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue, ta có

Giả sử ( )ii được thoả mãn Đặt x = a ta được (iii)

(iii) ( )iv suy ra trực tiếp từ [K2], hệ quả 2.1.3 tr24

Trước khi kết thúc chứng minh định lý, chúng ta cần kết quả sau, được xem

như là nguyên lý cực đại của hàm điều hoà dưới

1.1.4 Định lý Giả sử W là một tập con mở liên thông bị chặn của ¡ m và

( )

u Î SH W Khi đó hoặc u là hằng hoặc với mỗi x Î W

( ) sup lim sup ( )

( ) lim sup ( ) ( )

y x y

ïïïïî

Khi đó v là nửa liên tục trên, và do đó nó đạt cực đại, gọi M là giá trị cực đại

của v trong W Đặt A = {x Î W: ( )u x = M} Ta sẽ chứng minh rằng nếu

A ¹ Æ, thì A = W Rõ ràng A là đóng trong W vì u là nửa liên tục trên Nếu

a Î A và B a r Ð W( , ) thì B a r( , )Ð A Thực vậy, nếu điều đó không xảy ra thì tồn tại một điểm bÎ B a r( , ) sao cho u b( )< M Do tính nửa liên tục trên của

u suy ra u < M trong một lân cận của b Ta có

Chứng minh ( )iv Þ ( )i : Giả sử ( )iv được thoả mãn, G là một tập con mở

compact tương đối của W, và h Î H G( )ÇC G( ) sao cho u £ h trên G¶ Do [K2] (Định lý 2.2.4 tr30), hàm u - h thoả mãn ( )iv trong G Từ phép chứng minh nguyên lý cực đại của các hàm điều hoà dưới suy ra rằng u - h £ 0 trong

G tức là u £ h trong G Từ đó u Î SH( )W

Kết luận cuối cùng của Định lý 1.1.3 suy ra từ chứng minh Định lý 1.1.4 và chứng minh ( )iv Þ ( )i ở trên

có một lân cận V của a và một hàm u Î SH( )V sao cho u x = - ¥( ) với

x Î E ÇV

1.2 Hàm đa điều hoà dưới

1.2.1 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £n và u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và

n

b Î £ , hàm l a u a( + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l bÎ W} Trong trường hợp này, ta viết

( )

u Î P SH W (ở đây P SH( )W là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W)

1.2.2 Định lý Cho u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông của WÐ £n Khi đó u Î P SH( )W

khi và chỉ khi với mỗi a Î W và b Î £ n sao cho

{a+ l b:l Î £,l £ 1}Ð W,

Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương

Chứng minh Phần thứ nhất suy ra trực tiếp từ định nghĩa của hàm đa điều hoà

Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được suy

ra từ kết quả tiếp theo Tương tự như trường hợp của những hàm điều hoà dưới,

ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới

1.2.4 Định lý Cho W là một tập con mở của £n và u Î P SH( )W Nếu e > 0

sao cho W ¹ Æ, thì e u *l e Ð C¥ ÇP SH(We) Hơn nữa, u *l e đơn điệu giảm khi e giảm, và

1.2.5 Hệ quả Cho W và W¢ là những tập mở trong £n và £k , tương ứng Nếu u Î P SH( )W và f :W ® W¢ là một ánh xạ chỉnh hình, thì u of là đa

điều hoà dưới trong W¢

Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có vài tính chất khác:

1.2.6 Hệ quả Nếu u v Î, P SH( )W và u = v hầu khắp nơi trong W, thì u º v

1.2.7 Hệ quả Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và

( )

u Î P SH W, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W

( ) sup lim sup ( )

y y

E Ð £ được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

a Î E đều có một lân cận V của a và một hàm u Î P SH( )V sao cho

f W® £ là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến trên

một tập mở WÐ £m và W¢là một lân cận mở của f W( )trong £m Cho

{ }u a a Î A Ð P SH(W¢) sao cho bao trên của nó sup

A

u u a

a Î

= là bị chặn trên địa phương Khi đó * *

(u of) = (u of)

Chứng minh Đặt A = {z Î W: det¶z f = 0} Vì z a det¶z f là hàm chỉnh

hình, A là đa cực nên A có độ đo Lebesgue bằng không Hạn chế của ánh xạ f

trên W\ A là mở (do định lý ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có

với bất kỳ a Î W\ A Bởi vậy (u of)* = (u* of) hầu khắp nơi trong W Cũng vậy (u of) ,(* u* of)Î P SH( )W Do đó (u of)* = (u* of) trong W

ïïïï

ïïïïî

là đa điều hoà dưới trong W Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong W\ F , thì

u là đa điều hoà trong W Nếu W là liên thông, thì W\ F cũng liên thông

1.2.13 Mệnh đề Nếu u Î P SH(£n) và u là bị chặn trên, thì u là hằng số

Cho WW, ¢ là những tập mở liên thông trong £n và f :W® W¢ là một ánh xạ riêng Dễ kiểm tra rằng f là ánh xạ đóng Ngoài ra, nếu f là chỉnh

hình thì :

( )i f là mở và đặc biệt là ( )f W = W (vì ¢ f cũng đóng);

( )ii nếu A = {z Î W ¶: z f = 0}, thì với mỗi a Î W¢ có một hình cầu mở B ,

tâm tại a và chứa trong W¢, và một hàm gÎ O B( ) sao cho g º/ 0 và

tập mở trong £n Nếu u Î P SH( )W, thì công thức

{ 1 }

xác định một hàm đa điều hoà dưới

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử W¢ là liên thông Nếu G là tập

con mở compact tương đối trong W¢, thì tập mở f –1(G) là compact tương đối

trong W,vì f là ánh xạ riêng Bởi vậy, theo định lý xấp xỉ chính, chỉ cần chứng minh mệnh đề là đúng đối với các hàm đa điều hoà dưới liên tục Giả sử rằng

là song chỉnh hình địa phương Bởi vậy tồn tại duy nhất một số k Î ¥ sao cho

với mỗi z Î W¢\ f A( ) tồn tại một lân cận V Ð W¢\ f A( ) của z và những lân cận rời nhau U1, ,U của k w1, ,w , ở đó k { } 1

Do đó v Î P SH(W¢\ f A( )) Vì v là liên tục và f A( ) là đa cực nên suy ra tính

đa điều hoà dưới của v

1.3 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

1.3.1.Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £ n và u W® ¡: là hàm đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại (hoặc cực trị) nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho v Î P SH( )G và v £ u trên ¶G , đều có v £ u trong G

Ký hiệu M P SH( )Wlà họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W Một số lớp đặc biệt các hàm đa điều hoà dưới cực đại đã được nghiên cứu trong các công trình quan trọng của Bremermann (1959) và Siciak (1962)

Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại

Khi đó các điều kiện sau là tương đương :

( )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và với mỗi hàm

( )ii Nếu v Î P SH( )W và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u- v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W

(iii) Nếu v Î P SH( )W, G là một tập con mở compact tương đối của W, và

Chứng minh ( )i Þ ( )ii : Cho v là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất: với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K Giả sử rằng u a( )- v a( ) = h < 0 tại một điểm a Î W Bao đóng của tập hợp

2

E = z Î W u z < v z + h

là tập con compact của W Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và

compact tương đối trong G Theo ( )i ta có

u z v z z G z

là đa điều hoà dưới trong W (xem Hệ quả 1.2.16) theo (iii), ( )iv , ( )v , và ( )i

Bây giờ chúng ta xem xét một lớp quan trọng các hàm cực đại liên tục

Trước hết, chúng ta cần một số định nghĩa Cho W là một miền bị chặn trong

n

£ và f Î C(¶ W) Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm nửa liên tục

trên u W® ¡: sao cho uWÎ M P SH( )W và u¶ Wº f

Cho W là miền bị chặn trong £n và f Î C(¶ W) Ta sẽ ký hiệu U( , )Wf là họ của tất cả các hàm u Î P SH( )W sao cho u* £ f trên ¶ W, trong đó

* ( ) lim sup ( )

z

w w

w

®

Î W

B f z z B z

f z z B

y y

ïïï

= ìï

Î ¶ïïî

là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập B và hàm f Hơn

với dV là yếu có thể tích trong C n

gọi là toán tử Monge-Ampe Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C W0( ) trên W

0

n c

Ch-ơng 2

HÀM GREEN ĐA PHỨC VỚI HAI CỰC

Trong ch-ơng này chỳng ta sẽ tỡm công thức đối với hàm Green đa phức của hỡnh cầu đơn vị trong Ên với hai cực cú trọng bằng nhau Chỉ ra sự tồn tại của lỏ của hỡnh cầu (kỳ dị tại cỏc cực) bởi cỏc đĩa giải tớch nhẵn đi qua một hoặc

cả hai cực, sao cho hạn chế của hàm Green đa phức trờn cỏc đĩa này là điều hũa

xa cỏc cực Lỏ này đạt được bằng cỏch giải bài toỏn cực trị đếm được, tương tự với kết quả của Lempert trong trường hợp một cực đối với miền lồi Sử dụng biểu thức hàm Green dọc theo mỗi tờ của lỏ, chỳng ta sẽ xõy dựng cụng thức của nú trờn toàn bộ hỡnh cầu

2.1 Hàm Green đa phức

Ta nhắc lại định nghĩa của hàm Green đa phức và mối liờn hệ của nó với toỏn tử Monge-Ampốre phức

2.1.1 Định nghĩa Cho W là tập mở bị chặn trong Ên và p là một điểm trong

W Một hàm đa điều hũa dưới v trờn W được gọi là cú cực logarit tại p với trọng n > 0 nếu v z( )Ê nlog z - p + , với c là hằng số và z là một điểm c thuộc lõn cận của p

2.1.2 Định nghĩa Hàm Green đa phức g ( , )Wz p của W với cực tại p được xác định bởi : g ( , )Wz p = sup ( )v z , trong đú supremum được lấy trờn tập cỏc hàm v

đa điều hũa dưới, õm trờn W cú cực logarit tại p với trọng n = 1

Định nghĩa này, được đưa ra bởi Klimek [K1], t-ơng tự với trường hợp một chiều ta được hàm Green (õm) đối với toỏn tử Laplace Hàm g (., )W p là hàm đa

điều hòa dưới, âm trong W, đạt cực đại trong W\ p{ }và có cực logarit tại p

Nó giảm đối với ¸nh x¹ chỉnh hình, tức là: g ( ( ), ( ))W¢ f z f p £ g ( , )Wz p , trong đó

( ) ( \ { })

u Î P SH W ÇC W p , u z( )- log z - p = O(1) khi z ® p, (dd u c )n = d p trong W, u = 0 trên ¶ W Ở đây d = ¶ + ¶ ,

12

c

d

i p

= ¶ - ¶ , và d p là khối lượng Dirac tại p

Hàm Green đa phức với hữu hạn cực được giới thiệu và nghiên cứu bởi Lelong [L]:

2.1.3 Định nghĩa Cho W là tập mở bị chặn trong C và n

hòa dưới, âm v trên W có cực logarit tại p j với trọng v j , j = 1, ,k

Dễ thấy rằng g (., )W A là hàm đa điều hòa dưới và âm trên W, đạt cực đại trên

j p j

=

= å là độ đo trên W Tổng quát ta có

Ký hiệu D là đĩa đơn vị trong C và xét hàm dW( )z p, = inf log{ s}, trong đó infimum được lấy trên tất cả các s Î ( )0,1 mà với nó tồn tại đĩa giải tích f :D ® W sao cho f ( )0 = z vàf s( )= p Trong trường hợp một cực, ta

có g ( , )Wz p £ dW( )z p, , với mọi z Î W (xem [K2]) Điều đó được chứng minh bởi Lempert: Nếu W là một miền lồi bị chặn trong C thì n g ( , )Wz p = dW( , )z p ,

với mọi z Î W ([Lm1], [Lm2])

Bây giờ cho W một miền lồi mạnh bị chặn trong £ n với biên giải tích

thực (hay C¥ ) (tính lồi mạnh nghĩa là W có một hàm thực Hessian là xác định dương trên tất cả các không gian tiếp xúc thực T p(¶D), p Î ¶D) Lempert chỉ

ra trong trường hợp này hàm g (., )W p là giải tích thực (tương ứng C¥ ) trên

{ }

\ p

W và với mỗi z Î W\ { }p có duy nhất một đĩa giải tích f z :D ® W được nhúng một cách thích hợp sao cho f z(0) = z, ( )f t z = p với duy nhất t > 0, và hàm VÎ D ® g (W f z( )V, )p là hàm điều hòa trên D \ t{ } Ta có

Sau đây chúng ta đi tìm công thức hàm Green của hình cầu đơn vị trong

n

£ với hai cực, và trả lời các câu hỏi này

Cho W là miền bị chặn trong £ n và A = {( ,p1 n1), ,( ,p k n k)}Ð W´ (0,+ ¥ ) Xét hàm dW(z A, )= inf{v1logs1 + + v k logs k }, trong đó inf được lấy trên tập tất cả các s1, ,s Î D k , mà với nó tồn tại một đĩa giải tích :f D ® W sao cho (0)f = z và ( )f s j = p j ,j = 1, ,k Với z Î W ta định nghĩa

( ) min{ ( , ): , }

A

2.2.1 Định nghĩa Miền W trong ê n được gọi lỏ taut nếu với mỗi dọy cõc hỏm chỉnh hớnh f j :D Ẽ W cụ một dọy { }f j k hội tụ đều về một hỏm chỉnh hớnh

z Ẽ dW z lỏ óm, nụ cụ cực logarit với trọng n j tại mỗi điểm p j , j = 1, ,k vỏ thỏa mọn g ( , )Wz A ê dWA( )z trởn W Hơn nữa, nếu W lỏ taut thớ hỏm dWA :WẼ - ơờ , 0)

f D Ẽ W sao cho f ( )0 = z f s, ( )j = p j với j = 1, ,k vỏ

( )

1logs1 k logs k z A,

n + + n < dW + e Bằng việc co D ta cụ thể giả sử rằng f lỏ hỏm chỉnh hớnh trong một lón cận của D vỏ f D Ð W( )

Đặt b:ê Ẽ ê lỏ tợch hữu hạn Blaschke với cõc khừng điểm tại s1, ,s k vỏ lấy

z đẽ W Ta xõc định f%:D Ẽ ê bởi n

j

A j

Vì A là tập hữu hạn nên A có một tập con khác rỗng S sao cho S j = S

với vô hạn j Vì vậy bằng cách chuyển qua dãy con ta có thể giả sử S j = S với mọi j Khi W là taut và bị chặn, sau khi chuyển qua dãy con, suy ra rằng { }f j

hội tụ đều địa phương đến một ánh xạ chỉnh hình f :D ® W; hơn nữa, ta có thể giả sử (lại bằng cách lấy dãy con) rằng s p j ( )® s p( )Î D, với mọi

( )p v, Î S Theo trên, ta thấy tập

( ( ))

f s p = p với (p v, )Î S ¢, nên ta có dW(z S, ¢ £) dWA( )z - e Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của dWA

Bây giờ ký hiệu n

B là hình cầu đơn vị của C và n g (., , )n p q là hàm Green đa phức của B với hai cực n p ¹ q Î B n và với một trọng tại mỗi cực Bằng cách dùng một phép tự đẳng cấu thích hợp trong B , không mất tính tổng n

quát, ta có thể giả sử rằng p = - q = (b, 0, , 0), với b Î ( )0, 1 Ta cũng ký hiệu g (., )n p và g (., )n q tương ứng là hàm Green đa phức của B với các cực n

tại p và q tương ứng Hàm dW giới thiệu ở trên có dạng như sau:

(2.1) d n ( )z p, = inf log :{ s s Î ( )0,1 ,$ Îf O(D,B n),f ( )0 = z f s, ( )= p} (2.2) d n (z p q, , )= inf log{ s + logt }

Trong đó inf được lấy trên tập tất cả ( ) ( )s t Î, 0,1 ´ D , sao cho tồn tại

Giả sử n = 2 và p = - q = ( , 0)b , trong đó b Î (0,1) Ta chia B thành 2

3 miền Gp và Gq, là giao của B với hai nón phức đóng có đỉnh tương ứng tại 2

p và q tương ứng, và D là phần bự trong B của hợp của hai miền trờn 2

Kết quả chớnh của ch-ơng này là định lý sau:

tại p = - q = (b, 0) được cho bởi

B p q , và cỏc đạo hàm riờng cấp một của nú liờn tục trờn ảB2 Miền

D được phõn lỏ bởi một họ cỏc đường cong phức tham số L g , g ẻ D cú dạng

{ 2 2 2( )( ) }

L g = z Î B g z = b g- z - g z các lá L g là các đa tạp con nhúng thực sự trong B và hạn chế của 2 g2(., ,p q )

tới mỗi L g là điều hòa xa p vµ q

Để mô tả hàm Green g n(., ,p q ,) p = - q = (b, 0, , 0) với n tùy ý, ta

-,,

Vì vậy ta có thể giả sử rằng p = - q = (b, 0, , 0)với b Î ( )0, 1

Bây giờ cố định n = 2 và giả sử rằng p = - q = (b, 0) Chứng minh của Định lý 2.2.3 được tiến hành như sau Đầu tiên chúng ta tính d2(z p q0, , )với tất

cả các điểm z0 = (0,g), g Î D Ta cũng chỉ ra rằng với những điểm z0 như thế, các đĩa cực trị 2

:

f g D ® B , mà với nó infimum trong định nghĩa (2.2) của

( )

2 z p q0, ,

d nhận được là duy nhất, được nhúng thực sự trong B và đi qua cả 2

hai điểm p,q; Hơn nữa, ta sẽ tính toán đĩa f g một cách chi tiết Khử V từ

phương trình f g( )V = z ta thu được

V

Vì các đường cong L g = f g( )D ,g Î D phân lá miền D, nên hàm g*

giới thiệu ở trên được xác định tốt trên D Ta thác triển g* trên B bằng cách 2

g là một hàm đa điều hòa dưới âm trên B lớp 2 C1,1 với các cực logarit tại p và q có cùng trọng, từ đó * ( )

s t = b , thì f V1( )= V theo Bổ đề Schwarz, suy ra f =2 0

Phần còn lại của chứng minh ta giả sử g ¹ 0 Theo định nghĩa của

Ta tiến hành chứng minh theo hai bước Đầu tiên ta sẽ chỉ ra hàm

( )s t, Î S ® s t có duy nhất một điểm cực tiểu tại (s g ,- s g)Î S , trong đó s g