Về các iđêan trên nửa vành

Golan xuất bản năm 1992 xem [4] để tìm hiểu các iđêan trong nửa vành, đặc biệt là tìm hiểu các loại iđêan có nhiều tính chất đặc trưng tốt như các iđêan tối đại và iđêan tối tiểu, iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ THÚY KIỀU

VỀ CÁC IĐÊAN TRÊN NỬA VÀNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ THÚY KIỀU

VỀ CÁC IĐÊAN TRÊN NỬA VÀNH

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN

Vinh – 2012

MỤC LỤC

Trang MỤC LỤC.……… ……… ………… 1

LỜI NÓI ĐẦU.……… ………… 2

Chương 1 Các iđêan trên nửa vành ……… 4

1.1 Các phần tử bù được trên nửa vành …… ……… … … 4

1.2 Iđêan trên nửa vành ……… ……… …… 10

1.3 Tính chất của tập các iđêan trong một nửa vành ……… 17

Chương 2 Một số loại iđêan trên nửa vành ……… … 23

2.1 Phần tử bé và các quan hệ tương đương xác định bởi iđêan cho trước 23

2.2 Iđêan tối đại và iđêan tối tiểu ……… ……… …….29

2.3 Iđêan nguyên tố và iđêan nửa nguyên tố……… ……… …….34

KẾT LUẬN……… ……….45

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… …….46

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết nửa vành ra đời từ những năm cuối thế kỷ 19 và đạt được những thành tựu rực rỡ vào những năm cuối thế kỷ 20, dựa trên ý tưởng đặc trưng các lớp vành nhờ khảo sát cấu trúc của các môđun trên chúng

Vào giữa thế kỷ 20, do nhu cầu của nội bộ Toán học, lý thuyết nửa vành xuất hiện và thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Đặc biệt, vào những năm cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ này, do sự phát triển của công nghệ thông tin, lý thuyết nửa vành đã tỏ ra có nhiều ưu thế trong việc áp dụng toán học vào khoa học tính toán

Cũng như trong Lý thuyết vành, các iđêan đóng vai trò hết sức quan trọng

trong Lý thuyết nửa vành Luận văn của chúng tôi dựa vào cuốn sách The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science của J S Golan xuất bản năm 1992 (xem [4]) để tìm hiểu các iđêan

trong nửa vành, đặc biệt là tìm hiểu các loại iđêan có nhiều tính chất đặc trưng tốt như các iđêan tối đại và iđêan tối tiểu, iđêan nguyên tố và iđêan nửa nguyên tố, nhằm chuyển các khái niệm và tính chất cơ bản trong Lý thuyết vành sang khái niệm và tính chất tương ứng trong Lý thuyết nửa vành, nhưng các kỹ thuật chứng minh đã được thay đổi và cải tiến cho thích hợp với điều kiện hạn chế: các phần tử nửa vành nói chung không có phần tử nghịch đảo cộng tính

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Các iđêan trên nửa vành Trong chương này, chúng tôi trình

bày các khái niệm và tính chất của các phần tử bù được trên nửa vành, iđêan trên nửa vành và tính chất của tập các iđêan trong một nửa vành

Chương 2 Một số loại iđêan trên nửa vành Trong chương này, trước hết

chúng tôi trình bày khái niệm phần tử bé và các quan hệ tương đương xác định bởi iđêan cho trước trên nửa vành Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm

và tính chất của một số loại iđêan quen thuộc như iđêan tối đại và iđêan tối tiểu, iđêan nguyên tố và iđêan nửa nguyên tố.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS

TS Lê Quốc Hán đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo sau Đại học, các thầy giáo,

cô giáo trong khoa Toán học, và đặc biệt là các thầy giáo cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số - Trường Đại học Vinh, và một số thầy

cô trong khoa Toán học của trường Đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo,

cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 09 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG 1 CÁC IĐÊAN TRÊN NỬA VÀNH

1.1 CÁC PHẦN TỬ BÙ ĐƯỢC TRÊN NỬA VÀNH

1.1.1 Định nghĩa Một nửa vành là một tập khác rỗng R mà trên nó đã xác định được hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) ( , )R + là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 0;

(ii) ( ,.)R là một nửa nhóm;

(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là: (a b c+ =) ab ac+ và (a b c ac bc+ ) = + với mọi , ,a b c R∈ ;

(iv) 0r = =0 r0 với mọi r R∈

Nếu ( ,.)R là một vị nhóm với đơn vị là 1 thì R được gọi là nửa vành với đơn vị Để nửa vành R≠{0}, ta quy ước 1 0≠

1.1.2 Ký hiệu (i) Giả sử a và b là các phần tử của một nửa vành R thỏa

mãn điều kiện: tồn tại c R∈ sao cho ac ca= =0 và c b+ =1 Khi đó ta sẽ viết

∀ = Trực tiếp suy ra: 0 0< và a<1 với mỗi a R∈ Hơn nữa, nếu

R là nửa vành đơn thì 0 <b với mọi b R∈ Nếu a C R∈ ( ) thì <a b kéo theo

<

ra b đối với mọi r R∈

1.1.3 Mệnh đề Nếu a và b là các phần tử của một nửa vành R thỏa mãn

<

a b thì ab a ba= = .

Hơn nữa, nếu R là nửa vành đơn thì < a b kéo theo a b b+ = .

Chứng minh Vì < a b nên tồn tại c R∈ sao cho ac ca= =0 và c b+ =1

Từ đó a a c b= ( + = +) ac ab ab= Tương tự, a ba= Bây giờ giả thiết R là vành nửa đơn Thế thì a b a c b+ = ( + + = + + =) b ac ab b ab b b+ = □

1.1.4 Định nghĩa Phần tử a R∈ được gọi là bù được nếu < a a , nghĩa là tồn tại c R∈ sao cho ac ca= =0 và a c+ =1 Khi đó c được gọi là bù của a trong R

Nếu a có một bù thì bù đó duy nhất Thật vậy, giả sử b và c là bù của a

trong R thì b= +(a c b ab cb cb cb ca c b a) = + = = + = ( + =) c Bù của a trong

R được ký hiệu bởi a⊥ Rõ ràng ( )a⊥ ⊥ a

= nếu a bù được trong R Tập hợp tất cả các phần tử bù được trong R ký hiệu bởi comp R Tập hợp này ( )

khác rỗng vì 0∈comp R( ) với 0⊥ =1 Nếu comp R( )={ }0,1 thì R được gọi là

nửa vành nguyên vẹn Nếu a comp R∈ ( ) \ 0,1{ } thì a⊥ ∈comp R( ) \ 0,1{ } và do

đó nếu R là nửa vành nguyên (intire) thì nó là nửa vành nguyên vẹn

(intergral) Chú ý rằng comp R( )⊆I R X( ) trong đó I R X( )= ∈{r R r| 2=r }

Thật vậy, nếu a comp R∈ ( ) thì a a = = 1 a a a ( + ⊥ ) = a2+ aa ⊥ = a2 Nếu

1.1.5 Ví dụ (1) Nếu R X= ∈Ωi Ri là tích trực tiếp của các nửa vành R và i

∧ là một tập con của Ω thì phần tử e∧∈R được xác định bởi e i∧( ) 1= với

i∈∧ và e i∧( ) 0= nếu i∈Ω ∧\ là bù được Thật vậy, ( )e∧ ⊥ =eΩ ∧\

(2) Nếu R là một nửa vành và A là một tập hợp khác rỗng hữu hạn hay đếm được thì đối với mỗi B⊆A phần tử e B∈µA B, ( )R được xác định bởi

( , ) 1

B

e i j = nếu i= ∈j B và ( , ) 0e i j B = nếu i≠ j là bù được, với ( )e B ⊥ =e A B\

1.1.6 Chú ý Tổng quát hơn, nếu 0≠ ∈e I R X( ) thế thì e được gọi là nguyên vẹn (integral) nếu và chỉ nếu nửa vành eRe nguyên vẹn, nghĩa là tồn

tại , b c B∈ sao cho ebe≠0, ece≠0 và ebece=0, e ebe ece= + Như vậy, nếu

R là vành nguyên (intire) thì mỗi phần tử của I R là phần tử nguyên vẹn X( )

Ta nhắc lại rằng R được gọi là nửa vành thô nếu Z(R)=0, trong đó

Z R = ∈ ∃ ∈r R a R r a a+ = R gọi là Y - nửa vành nếu R=W(R) trong đó

W R = ∈ ∀ ∈a R b R ∃ ∈r R a r b b r a+ = + = R được gọi là nửa vành

Gelfand nếu R=G(R), trong đó ( ) { G R = ∈r R|1+ ∈r U R( )} với U(R) là tập các phần tử khả nghịch nhân tính của R.

1.1.7 Ví dụ Trước hết ta chú ý rằng với nửa vành R tùy ý có

( ) X( )

comp R ⊆I R Nếu R là Y- nửa vành đơn và thô thì bao hàm thức ngược

lại cũng đúng Thật vậy, lấy e I R thế thì tồn tại b R∈ X( ) ∈ sao cho e= +1 b

hay e b+ =1 Trong trường hợp thứ nhất, tính đơn của R kéo theo e=1 và do

đó e comp R∈ ( ) Trong trường hợp thứ hai, e e= =2 e(1+ =b) e eb+ Do đó

eb=0 Tương tự, be=0 và do đó e comp R∈ ( ) với e⊥ = b

1.1.8 Mệnh đề Nếu R là một nửa vành bất khả đối và , a b comp R∈ ( ) thì (i) aba⊥ =0;

(ii) ab và a b thuộc comp R ;( )

khi đó ab a( ⊥ b⊥)=ab a( ⊥+ab⊥)=aba⊥+abab⊥=0 và tương tự (a⊥

b⊥ ab= .

(iii) Theo (i), có aba⊥ = =0 a ba⊥ ⊥ =a ba⊥ và do đó:

ab ab= 1=ab a a( + ⊥)=aba aba+ ⊥ =aba aba a ba= + ⊥

(= +a a ba⊥) =1.ba ba= □

1.1.9 Mệnh đề Giả sử R là nửa vành bất khả đối Khi đó các điều kiện sau

đây là tương đương:

(i) Nếu , a b comp R∈ ( ) thì a b comp R+ ∈ ( );

(ii) 1 1+ ∈comp R( );

(iii) comp R( )⊆I+( ) ( {R = ∈r R r r r ;| + = })

(iv) Nếu , a b comp R∈ ( ) thì a b a+ = b;

(v) ( comp R( ), ,.)+ là một nửa vành con của R.

Chứng minh.

( )i ⇒( )ii : Trực tiếp với a=b=1.

( )ii ⇒( )iii : Nếu a comp R∈ ( ) thế thì theo Mệnh đề 1.1.8(ii) có

( )iv ⇒( )i ⇔( ):v Là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.1.8(iii) □

1.1.10 Mệnh đề Giả sử R là nửa vành bất khả đối Khi đó ( comp R( ), ,.)

là nửa vành đơn giao hoán lũy đẳng.

Chứng minh Nếu , , a b c comp R∈ ( ) thì a (b c)=a (b b c+ ⊥ )= +a a b ⊥(

b ab⊥ ⊥= +b b ab b ab⊥ + ⊥ ⊥ = +b b a b⊥ = a Như vậy giao hoán.

Chúng ta đã chứng minh được rằng (comp R( ),.) là một vị nhóm với đơn

vị là 1 Giả sử , , a b c comp R∈ ( ), thế thì a(b c)= ( a b b c+ ⊥ )=ab+

ab c ab ab⊥ = + ac ab a c ab ab ac ab a ac ab ac ab+ ⊥ ⊥ = + ⊥ = + ⊥ + ⊥ = +

)

(a ab ac ab+ ⊥ = +( )ab ac ab⊥ = ac Tương tự có (b c)a=ba ca Do đó (comp R( ), ,.) là nửa vành Chú ý rằng mỗi a comp R∈ ( ) là lũy đẳng nhân tính Hơn nữa, a comp R∈ ( ) kéo theo a a a a a a= + ⊥ = và do đó comp R là ( )lũy đẳng cộng tính Theo Mệnh đề 1.1.8(iii), nó giao hoán Nếu a comp R∈ ( )

thì a 1= +a a⊥1= +a a⊥=1 nên comp R là nửa vành đơn □( )

1.1.11 Hệ quả Nếu R là nửa vành bất khả đối thì ( comp R( ), ,.) là một đại số Bun (Boole).

Nếu R là nửa vành tùy ý thì quan hệ ≤ trên I X( )R cho bởi

a b≤ ⇔ab a= là một quan hệ thứ tự toàn phần Kết quả sau đây chứng tỏ

rằng nếu R là nửa vành bất khả đối thì quan hệ đó có thể mở rộng lên R.

1.1.12 Mệnh đề Giả sử R là nửa vành bất khả đối Khi đó quan hệ ≤ trên

R cho bởi a b≤ ⇔ ∃ ∈e comp R a eb( ): = là một quan hệ thứ tự bộ phận trên R.

Chứng minh Rõ ràng a a≤ với mọi a R∈ vì a=1.a Nếu a b≤ và b c≤thì tồn tại ,e f comp R∈ ( ) sao cho a eb= và b= fc Từ đó a efc với =

( )

ef comp R∈ theo Mệnh đề 1.1.8(ii), chứng tỏ rằng a c≤ Bây giờ giả thiết

rằng a b≤ và b a Thế thì tồn tại ,≤ e f comp R∈ ( ) sao cho a eb= và b= fa

Do đó ea e b eb a= 2 = = và theo Mệnh đề 2.1.7(iii), a eb efa= = = fea = fa b= □

1.1.13 Chú ý Đối với nửa vành R ta định nghĩa hiệu đối xứng của

comp R là đại số Bun và hiệu đối xứng này được hiểu theo nghĩa thông

thường Chú ý rằng, dưới các trường hợp đó, hàm

δ ⊥ = + ⊥ ⊥= + ⊥ = đối với tất cả a comp R∈ ( ).

1.2 IĐÊAN TRÊN CÁC NỬA VÀNH

1.2.1 Định nghĩa Một iđêan trái I của một nửa vành R là một tập con

khác rỗng của R thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Nếu ,a b I∈ thì a b I+ ∈

(ii) Nếu a I∈ và r R∈ thì ra I∈

(iii) I R≠

Chú ý rằng nếu R là nửa vành với đơn vị 1 thì điều kiện (iii) tương đương với điều kiện 1 I∉ Một iđêan phải của R được định nghĩa tương tự (bằng cách thay (ii) bởi a I∈ và r R∈ thì ar I ) I được gọi là iđêan nếu nó vừa là ∈

iđêan trái vừa là iđêan phải Chú ý rằng 0 thuộc mỗi iđêan của R và từ đó {0}

là một iđêan của R được chứa trong mỗi iđêan của R Iđêan tùy ý của R là một

nửa vành con nhưng không chứa đơn vị Chúng ta sẽ ký hiệu tập hợp tất cả

các iđêan trái (phải, hai phía) của R tương ứng là lideal(R) (rideal(R), ideal(R)).

Chú ý rằng nói chung, khi ta chứng minh một kết quả nào đó đúng đối với các iđêan trái của một nửa vành thì các kết quả tương ứng đối với các iđêan phải hay đối với các iđêan hai phía cũng đúng

1.2.2 Định nghĩa Một tập con khác rỗng A của nửa vành R được gọi là

nửa trừ được nếu và chỉ nếu a A V R∈ ∩ ( ) kéo theo − ∈ ∩a A V R( ), trong đó

V R = ∈ ∃ ∈a R b R a b+ = ; và A được gọi là trừ được nếu a A∈ và

a b A+ ∈ kéo theo b A∈ Tập con A được gọi là tập con mạnh nếu và chỉ nếu

a b A+ ∈ kéo theo a A∈ và b A∈

Mỗi tập con trừ được của R chứa 0, và mỗi tập con mạnh của R là trừ được cũng như một tập con trừ được là nửa trừ được Nếu R là nửa vành thì iđêan {0} là trừ được và do đó được chứa trong mỗi iđêan trừ được của R Nó

là tập con mạnh nếu và chỉ nếu R bất khả đối (nghĩa là a b+ =0 kéo theo

0

a b= = )

1.2.3 Ví dụ (1) Nếu R là một vành với đơn vị thì không có iđêan nào của

R là tập con mạnh Thật vậy, nếu I là một iđêan của R thì ( 1) 1 0 I− + = ∈

nhưng 1 I∉ Nếu R là một nửa vành với đơn vị nhưng không phải là một vành

thì ( )V R là một iđêan mạnh trong R Nếu {0} là iđêan duy nhất của R thì hoặc

− ∉ Nếu I+( )R là một iđêan mạnh thì R được gọi là nửa vành Ácsimét Trực tiếp thấy rằng họ tất cả các nửa vành Ácsimét đóng dưới phép

lấy tích trực tiếp

1.2.4 Định nghĩa Giả sử R là nửa vành với đơn vị Ký hiệu

(0: ) {A = ∈r R ra| = ∀ ∈0, a R} Nếu A≠{0} thì (0: )A là một iđêan trái của R

và được gọi là iđêan linh hóa tử trái của A Các iđêan linh hóa tử phải được

ý rằng nếu H là một iđêan trái của R thì (0:H) là một iđêan của R Nếu a R∈

thì ta viết (0:a) thay cho (0:{a}) Tương tự, nếu a b≠ là các phần tử của R thì

{r R ra rb∈ | = } là một iđêan trái của R.

Tổng quát hơn, nếu I là một iđêan trái của nửa vành với đơn vị R và A là tập con khác rỗng của R thì ( : ) { I A = ∈r R ra I| ∈ ∀ ∈, a A} là một iđêan trái

của R.

1.2.5 Ví dụ (1) Giả sử n là một số nguyên dương và K là một tập con khác

rỗng của n ¡ Thế thì K được gọi là một nón thực sự nếu thỏa mãn các điều

kiện sau

(i) K K+ ⊆K;

(ii) aK ⊆K với mọi a∈¡ ;+

(iii) K∩ −( K) {0}= ;

(iv) K+ −( K)=¡ ;n

(v) K là tập con đóng trong không gian tôpô n¡

Một phép biến đổi tuyến tính : nϕ ¡ →¡ gọi là toán tử dương trên K nếu

và chỉ nếu Kϕ ⊆K Tập hợp tất cả các toán tử dương trên K cùng với phép

cộng và hợp thành các toán tử tuyến tính là một nửa vành với đơn vị

(2) Giả sử R là một nửa vành và ( ) { Z R = ∈ ∃ ∈r R a R a r a| : + = } Khi đó nếu ( )Z R ≠R thì ( )Z R là một iđêan trừ được của R.

(3) Phần tử a R∈ được gọi là hấp thụ trái nếu và chỉ nếu ra a= với mọi

0 r R≠ ∈ Phần tử hấp thụ phải được định nghĩa tương tự Phần tử 1 của nửa vành R là hấp thụ trái nếu và chỉ nếu R= B ( B là nửa vành Bun) Mỗi nửa vành có ít nhất một phần tử hấp thụ trái là 0 Hơn nữa, nếu a là các phần tử vô hạn mạnh của R (nghĩa là a r a r R+ = ∀ ∈, và ra a ar= = với mọi 0 r R≠ ∈ )

thì a là phần tử hấp thụ trái Nếu a là phần tử hấp thụ trái của vành R thì hoặc

( )

a I∈ + R hoặc a a+ =0 Như vậy khi R bất khả đối thì mỗi phần tử hấp thụ trái của R thuộc vào I+( )R Tập hợp tất cả các phần tử hấp thụ trái (tương ứng, hấp thụ phải) của nửa vành với đơn vị R là một iđêan của R.

1.2.6 Định nghĩa Giả sử A R A⊂ , ≠ ∅ Ký hiệu

RA={∑r a r i i i| ∈R a, i∈A}

AR={∑a r r i i| i∈R a, i∈A}

Set A( )={∑r a s r s i i i i i| , ∈R a, i∈A}

trong đó R là một nửa vành với đơn vị.

Nếu RA R≠ (tương ứng, AR R≠ hay Set A( )≠R ) thì RA (tương ứng,

AR, hay Set(A)) được gọi là iđêan trái (tương ứng, iđêan phải hay iđêan) của

R sinh bởi A Nếu A={a} thì ta sẽ viết Ra (tương ứng, aR hay (a)) thay cho RA (tương ứng, AR hay Set(A)) và gọi là iđêan chính trái (tương ứng, iđêan chính phải hay iđêan chính) sinh bởi a.

Chú ý rằng nếu a U R∉ ( ) thì Ra aR và (a) là các iđêan trái, phải hay hai ,

phía của R Nếu a C R U R∈ ( ) \ ( ) thì Ra là iđêan (hai phía) của R Nếu

I = f t t+ f t ∈¢ t Do đó I không chứa các iđêan mạnh khác zerô

nào Thật vậy, giả thiết rằng H ≠{0} là một iđêan mạnh của [ ]¢ t được chứa

trong I Thế thì tồn tại một phần tử a khác không của ¢ và một số nguyên dương k sao cho at k∈I Không mất tổng quát, giả sử k chẵn Vì at k∈I , nên tồn tại một đa thức ( )g t ∈¢[ ]t thỏa mãn at k =g t t( ).( 1)+ và do đó thay t= −1

ta nhận được ( 1)a − k = ( 1).( 1 1) 0g − − + = : mâu thuẫn □

(2) Nếu R là một nửa vành đơn và 1 a R≠ ∈ thì I a = ∈{b R b a a| + = } là

một iđêan của R Thật vậy, 0 Ia∈ nên Ia ≠ ∅ Hơn nữa, b b1, 2∈Ia thì

(b b+ )+ = +a b (b + = + =a) b a a nên b b1 + 2∈Ia Giả sử b Ia∈ và

r R∈ Khi đó b a a+ = nên rb a rb b a+ = + + = +(r 1)b a+ =1.b a+ =

b a a+ = , do đó rb Ia∈ Tương tự, br Ia∈ □

1.2.8 Mệnh đề Nếu R là một nửa vành chia được và n là một số nguyên

dương thì S =µn( )R không có iđêan khác zero nào.

Chứng minh Đối với mỗi 1 , ≤i j n≤ giả sử e là phần tử của S được định nghĩa bởi e m n ij( , ) 1= nếu (i,j)=(m,n) và e m n ij( , ) 0= với những trường hợp còn lại Thế thì đối với mỗi f ∈S ta có f =∑{ ( , )f i j e ij|1 , ≤i j n≤ } trong S.

Giả thiết rằng I là một iđêan khác zero của S và g I g∈ , ≠0 Thế thì tồn tại 1≤r, s≤n sao cho ( , ) 0 g r s ≠ Nếu f là một phần tử khác không của S thì

đơn vị nhân tính của S thuộc I: mâu thuẫn với I S≠ □

Ta nhắc lại rằng phần tử a R∈ được gọi là giản ước được cộng tính nếu từ

( , )

a b a c b c R+ = + ∈ kéo theo b c= Ký hiệu K+( )R là tập hợp tất cả các phần tử giản ước được cộng tính của nửa vành R Tương tự, phần tử giản ước được nhân tính a thỏa mãn từ ab ac= hay ba ca b c R kéo theo b c= ( , ∈ ) = Tập hợp tất cả các phần tử giản ước được nhân tính ký hiệu bởi K R X( )

1.2.9 Mệnh đề Nếu R là nửa vành giản ước được nhân tính (nghĩa là

a A r R∈ ∈ thì ra A∈ Tương tự, ar A∈ và do đó hoặc A R= (nếu 1 A∈ )

hoặc A là iđêan của R (nếu 1 A∉ ) □

1.2.10 Chú ý Giả sử I là một iđêan trái của nửa vành R và

N I = ∈b R ab I∈ ∀ ∈a I thì ( )N I là một nửa vành con của R và I là

iđêan của ( )N I Hơn nữa, nếu S là một nửa vành con của R sao cho I là iđêan

của S thì S⊆N I( ), như vậy ( )N I là nửa vành con lớn nhất của R chứa I như một iđêan Iđêan trái I của R là iđêan của R khi ( ) N I =R Đối với iđêan phải

H của R, ta định nghĩa N H( )= ∈{b R ba H| ∈ , ∀ ∈a H} và cũng nhận được

những tính chất tương tự

1.2.11 Định nghĩa Nửa vành R không có iđêan trái (phải) trừ được khác

không được gọi là nửa vành nguyên sơ trái (phải).

1.2.12 Mệnh đề Một nửa vành nguyên sơ trái là một vành nguyên Hơn

nữa, nếu R giản ước được cộng tính thì nó giản ước được nhân tính trái.

Chứng minh Giả thiết rằng R không có iđêan trái giản ước được khác

không và ,a b R∈ \{0} thỏa mãn ab=0 Thế thì 0≠ ∈a (0: )b và do đó (0: )b =R vì nếu ngược lại (0: )b sẽ là iđêan trái giản ước được khác không của R, nhưng điều này không thể xảy ra vì 1 (0: )∉ b Như vậy R là một vành nguyên

Bây giờ giả thiết rằng R giản ước được Khi đó đối với , a b R∈ ta có

Chứng minh Ta nhắc rằng phép toán trên R x ¥ cho bởi ( , ) ( ', ') (r n + r n = +r r n n', + ') và ( , ).( ', ') ( 'r n r n = rn nr rr nn+ '+ ', ') Giả sử I là iđêan trái của R thế thì H đóng dưới phép lấy tổng và 1 (0,1) H S ∉ Nếu ( , )a n ∈S và ( ,0)b ∈I thì ( , ).( ,0) (a n b = nb ab+ ,0)∈H và do đó H là iđêan trái của S Đảo lại, nếu H là iđêan trái của S và , a b I∈ thì (a b+ ,0) ( ,0) ( ,0)= a + b ∈H và do đó a b I+ ∈ Nếu r R∈ thì

( ,0) ( ,0).( ,0)ra = r a ∈H và do đó ra I∈ Như vậy I là một iđêan trái của R

Phép chứng minh đối với các iđêan phải và iđêan tương tự

Bây giờ giả thiết rằng I là iđêan trái trừ được của R Nếu ( ,0) a ∈H và ( , )b n ∈S là các phần tử thỏa mãn điều kiện ( ,0) ( , )a + b n ∈H thế thì phải có

n=0 và a b I+ ∈ Vì I là một iđêan trái trừ được nên từ đó b I∈ Như vậy H là

iđêan trái trừ được Khẳng định ngược lại được suy ra trực tiếp □

1.3 TÍNH CHẤT CỦA TẬP CÁC IĐÊAN TRONG MỘT NỬA VÀNH

Giả sử R là nửa vành Khi đó lideal(R), rideal(R) và ideal(R) tương ứng là tập hợp các iđêan trái, iđêan phải và iđêan của nửa vành R.

1.3.1 Mệnh đề Giả sử R là nửa vành với đơn vị Trên tập hợp các tập con

của R ta định nghĩa phép cộng và phép nhân bởi A B+ = +{a b a A b B| ∈ , ∈ },

| , b1

là các nửa vành giao hoán.

Chứng minh Thử trực tiếp bằng định nghĩa □ Chú ý rằng, nói riêng vành ideal(R) đơn nếu và chỉ nếu ( U ideal R( ))=R.

1.3.2 Ví dụ Cấu trúc của ideal ¥ đã được nghiên cứu bởi Allen và Dale ( )vào năm 1975 Nếu 1 n< ∈¥ thì {k∈¥ |k n≥ ∪} {0} là một iđêan của ¥ và

họ tất cả các iđêan như vậy đóng dưới phép lấy hợp và giao Tất cả các phần

tử của ideal ¥ không nhất thiết là một iđêan chính nhưng đối với mỗi ( )

( )

I ideal∈ ¥ tồn tại một tập con hữu hạn A của ¥ sao cho I∪A là một iđêan chính của ¥

1.3.3 Mệnh đề Nếu R là một nửa vành giao hoán thì tập hợp S tất cả các

phần tử I của ideal(R) thỏa mãn điều kiện a I∈ kéo theo < a b đối với b I∈

nào đó là một nửa vành con của ideal(R).

Chứng minh Ta nhắc lại rằng < a b nếu tồn tại c R∈ sao cho ac ca= =0

và c b+ =1 Khi đó 0 0< và a<1 đối với mỗi a R∈ Do đó {0} và R thuộc S Giả thiết rằng I và H là các phần tử của S và giả sử a I∈ và 'a ∈H Thế thì

tồn tại b I∈ và 'b ∈H sao cho <a b , ' a <b Từ đó tồn tại , '' c c ∈R sao cho

' ' 0

ac a c= = và b c b c+ = + =' ' 1 Do đó nếu d ca ac aa= '+ '+ '∈ +I H thì ta có ' 1

d cc+ = trong khi đó (a a cc+ ') ' 0= , chứng tỏ rằng a a+ ' <d Như vậy

I H S+ ∈

Tương tự, nếu I và H là các phần tử của S và a IH∈ thì a I∈ ∩H nên

tồn tại b I∈ và 'b ∈H sao cho a<b và a<b' Như vậy, tồn tại , 'c c ∈R sao cho ac a c= ' ' 0= và b c b c+ = + =' ' 1 Thế thì bb'∈IH và nếu

d bc cb cc= + + thì bb d'+ =1 trong khi đó ad =0, chứng tỏ rằng a<bb' Do

đó IH S∈ Như vậy S là nửa vành con của ideal(R) □

1.3.4 Mệnh đề Nếu I và H là các iđêan (trái, phải) của R thế thì I+H là

phần tử tối tiểu duy nhất của họ các iđêan (trái, phải) của R chứa cả I và H, còn I∩H là phần tử tối đại của họ đó được chứa cả trong I và H.

Chứng minh Rõ ràng I H+ chứa cả I và H Nếu K là iđêan của R chứa cả

I và H thì nó chứa tất cả các phần tử có dạng a+b với a I b H∈ , ∈ và do đó K chứa I H+ Phép chứng minh khẳng định thứ hai hoàn toàn tương tự □

1.3.5 Chú ý Nếu I và H là các iđêan của R thì IH ⊆ ∩I H nhưng nói

chung IH I≠ ∩H Nếu R là nửa vành giao hoán và I, H là các iđêan của R

thỏa mãn I H R+ = thì I∩ = +H (I H I)( ∩H)⊆IH ⊆ ∩I H và do đó

IH I= ∩H Nói chung, (ideal R( ), , )+ ∩ không phải vành ngay cả khi R giao

hoán Nếu nó là nửa vành thì nó phải là nửa vành đơn Do đó ta nhận được kết quả sau

1.3.6 Mệnh đề Các điều kiện sau đây đối với một nửa vành giao hoán là

tương đương:

(i) ( ideal R( ), , )+ ∩ là một nửa vành;

(ii) ( ideal R( ), , )∩ + là một nửa vành.

Nếu R là nửa vành chính quy nhân tính (nghĩa là ∀ ∈a R, ∃ ∈x R axa a: = )

và nếu I, H là các iđêan của R với a I∈ ∩H thì tồn tại một phần tử b R∈ sao cho a aba a ba= = ( )∈IH và do đó đối với các nửa vành chính quy nhân tính

ta có I∩ =H IH đối với tất cả các iđêan I và H.

1.3.7 Mệnh đề Một nửa vành với đơn vị R là chính quy nhân tính nếu và

chỉ nếu HI H= ∩I đối với tất cả các iđêan trái I và iđêan phải H của R.

Chứng minh Giả thiết rằng điều kiện đã phát biểu đúng và a R∈ Thế thì

( )( )

a aR Ra∈ ∩ = aR Ra nên tồn tại b R∈ sao cho a aba= Như vậy R là

chính quy nhân tính Khẳng định ngược lại theo nhận xét trên □

1.3.8 Hệ quả Một nửa vành giao hoán với đơn vị R chính quy nhân tính

nếu và chỉ nếu ideal(R) lũy đẳng nhân tính.

Chứng minh Nếu R chính quy nhân tính thì theo Mệnh đề 1.3.7,

2

I =I∩ =I I đối với mỗi I ideal R∈ ( ) Đảo lại nếu ideal R lũy đẳng nhân ( )

tính và a R∈ thì a Ra∈ =(Ra)2=Ra Ra Ra = (vì R giao hoán) nên tồn tại

b R∈ sao cho a aba= □

1.3.9 Chú ý Mệnh đề 1.3.4 có thể mở rộng được cho tổng hữu hạn Nếu

{ |I k k∈Ω} là tập hợp các iđêan (trái, phải) của nửa vành R thì ta định nghĩa { |I k k∈Ω}

∑ là hợp của tất cả các tổng có thể { |∑ I k k∈∧} trong đó ∧ là một tập con hữu hạn của Ω Nó lại là iđêan (trái, phải) tối tiểu duy nhất của R

chứa tất cả các I Tương tự, { | k ∩ I k k ∈Ω} là iđêan (trái, phải) tối đại duy nhất được chứa trong tất cả các I Hơn nữa, lideal(R), rideal(R) và ideal(R) k

là các dàn đầy đủ

1.3.10 Mệnh đề Nếu R là nửa vành thì điều kiện đủ để các dàn lideal(R),

rideal(R) và ideal(R) modular là các thành phần của nó trừ được.

Chứng minh Giả thiết rằng mỗi thành phần của lideal(R) trừ được và

H I K lideal R∈ sao cho I∩ = ∩H I K I H I K, + = + và H ⊆K Ta phải

chứng minh H K= Thật vậy, nếu a K∈ thì a b c= + trong đó b I∈ , c H∈

Khi đó c K∈ nên từ tính trừ được, b I∈ ∩ = ∩K I H Do đó a H∈ □

1.3.11 Chú ý (i) Điều kiện đã cho trong mệnh đề 1.3.10 không phải là

điều kiện cần Chẳng hạn, xét nửa vành lũy đẳng R={0,1, }a trong đó

1+ = + =a a 1 a Thế thì ideal(R) chỉ có hai phần tử khác R: {0} và {0,a} và như vậy nó là modular Hơn nữa, thử trực tiếp được rằng {0,a} không trừ được

(ii) Tổng của các iđêan trừ được không nhất thiết là trừ được Chẳng hạn 2¥ và 3¥ là các iđêan trừ được của ¥ nhưng 2¥ +3¥ =¥ \{1} không trừ được.

1.3.12 Mệnh đề Một iđêan I của nửa vành R bù được trong ideal(R) nếu

và chỉ nếu I = a đối với 1≠ ∈a comp R( )∩C R( ) nào đó.

Chứng minh Giả thiết rằng I = a đối với 1≠ ∈a comp R( )∩C R( ) nào đó

1.3.13 Mệnh đề Nếu R là một nửa vành và n là một số nguyên dương thì

tồn tại một song ánh bảo toàn thứ tự giữa tập hợp tất cả các iđêan của R và tập hợp tất cả các iđêan của µn( )R Hơn nữa một iđêan của R là trừ được nếu và chỉ nếu iđêan tương ứng với nó trong µn( )R trừ được.

Chứng minh Nếu R là một nửa vành và n là một số nguyên dương thì ta sẽ

ký hiệu đơn vị nhân tính của µn( )R là E Đối với mỗi 1≤h k n, ≤ ta ký hiệu

Ehk là ma trận [ ] aij trong ( )µn R xác định bởi aij =1 khi i h= và j k= ;

µ Hơn nữa, nếu I ⊆I' thì ( )ψ I ⊆ψ( ')I nên ψ bảo toàn thứ tự Đảo lại,

nếu K là một iđêan của µn( )R thì đặt ( ) {φ K = ∈a R aE K| ∈ } Thế thì ( )I I

φψ = đối với mỗi iđêan I của R Hơn nữa, nếu K là một iđêan của

= và do đó ψφ( )K = K Như vậy ψ là một đơn ánh.

Bây giờ giả thiết rằng I là một iđêan trừ được của R và giả sử [a ij], [ ]b ij

là các phần tử của µn( )R sao cho [aij và ] [a ij] +[ ]b ij là các phần tử của

( )I

ψ Thế thì aij và a ij+b ij thuộc I đối với tất cả 1 ,i j n≤ ≤ và do đó bij∈I

đối với mọi i, j như vậy, từ đó [bij]∈I chứng tỏ rằng ( )ψ I trừ được Đảo lại,

giả thiết rằng a và a+b thuộc I Thế thì aE và (a+b)E=aE+bE thuộc ( )ψ I nên