Vận dụng tư tưởng sư phạm của g poolya nhằm rèn luyện một số kỹ năng giải toán hình học lớp 11 trung học phổ thông

Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giảitoán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạtđộng dạy toán, giúp học sinh hiểu được bản chất của toán học phổ thông,đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ TẤN PHÁT

VẬN DỤNG TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G PÔLYA NHẰM RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

VÂN VVVhuyên ngành:

LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

VVVVFFV

NGHỆ AN - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ TẤN PHÁT

VẬN DỤNG TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G PÔLYA NHẰM RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành:

LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

MÃ SỐ: 60.14.10

VÂN VVVhuyên ngành:LÝ LUẬN LL

LL LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TS ĐÀO TAM

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên để tác giả cóthêm nghị lực hoàn thành luận văn.

Dù đã rất cố gắng và nổ lực, song luận văn không tránh khỏi những thiếusót, tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý Thầy cô và các bạn

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

Mở đầu 1

1.1.Tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học toán 5

1.2. Nhìn nhận về tư tưởng sư phạm của G.Polya theo quan điểm

1.6 Thực trạng của việc vận dụng tư tưởng G.Plya vào rèn luyện kỹ

112

Mở đầu

I Lý do chọn đề tài

Luật Giáo dục (năm 2005) đã nêu: “Phương pháp giáo dục phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡngnăng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên ”.(Điều 2 khoản 5) “ Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh pháttriển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản,phát triển năng lực cá nhân, tính năng động sáng tạo…” (Điều 27 khoản 1)

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, mônhọc; bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm; rènluyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm;đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”(Điều 28 khoản 2)

Nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông đang là một nhu cầucấp thiết của xã hội đặt ra đối với ngành giáo dục Việc ứng dụng các thànhtựu khoa học kỹ thuật vào đổi mới phương pháp dạy học là một trong nhữngđịnh hướng được quan tâm ở nước ta và các nước trên thế giới Việc vận dụng

tư tưởng sư phạm cuả G Polya trong việc rèn luyện các kỹ năng giải toánhình học ở trường THPT có tầm ảnh hưởng lớn đến khoa học giáo dục

Trong những năm vừa qua việc dạy học hình học ở trường THPT đã đượctập huấn, triển khai cho giáo viên nhưng việc truyền đạt các kiến thức, kỹnăng giải toán đến học sinh chưa đưọc dựa trên các quan điểm thống nhấtchung Dạy học dựa theo tư tưởng sư phạm cuả G Polya nhằm tích hợp cácphương pháp dạy học tích cực và các phương thức rèn luyện kỹ năng để chohọc sinh giải đuợc bài toán Dạy toán là dạy kiến thức, cách suy nghĩ, kỹ năng

tư duy và tính cách cho học sinh Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giảitoán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạtđộng dạy toán, giúp học sinh hiểu được bản chất của toán học phổ thông,đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ.Từ

đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho họcsinh.

Ở cấp THPT dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Đối với học sinh, cóthể việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Bài tập Toán

là phương tiện cốt yếu trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển

tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng Toán học vào thực tiễn Hoạtđộng giải bài tập Toán là điều kiện tốt nhất để thực hiện các mục đích dạyhọc Toán ở trường phổ thông bởi các chức năng của bài tập Toán đã thể hiện

Ở trong nước và trên thế giới đã có những công trình nghiên cứu vậndụng các mô hình hình học không gian cuả G Polya vào dạy học các bộ môn.Tuy nhiên đây là một vấn đề có tầm ảnh hưởng lớn nên vẫn còn cần tiếp tụcnghiên cứu

Vì những lý do đó chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Vận dụng tư

tưởng sư phạm cuả G Polya nhằm rèn luyện một số kỹ năng giải toán hình học lớp 11 THPT”.

II Mục đích nghiên cứu

Vận dụng tư tưởng sư phạm của G Polya và tích hợp một số phương phápdạy học tích cực để cụ thể hoá vào việc dạy học giải bài tập toán theo hướng

đề xuất các kỹ năng và phương thức luyện tập các kỹ năng đó để góp phầnnâng cao hiệu quả giải bài tập toán hình học 11 trung học phổ thông

III Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số quan điểm về tích cực hóa hoạt động nhận thứccủa học sinh, thể hiện trong một số phương pháp dạy học tích cực trong mốiliên hệ với tư tưởng sư phạm của G Polya

- Nghiên cứu đề xuất các kỹ năng

- Đề xuất các phương thức

- Khảo sát thực trạng để làm sáng tỏ cơ sở thực tiễn về dạy học giải bàitập toán hình học lớp 11 trung học phổ thông

- Thử nghiệm sư phạm

IV Đối tượng nghiên cứu

Xác định một số kỹ năng tìm tòi, lời giải các bài toán dựa trên định hướngtheo tư tưởng sư phạm của G Polya và tích hợp một số các phương pháp dạyhọc tích cực từ đó đề xuất các phương thức rèn luyện các kỹ năng nói trên

VI Giả thuyết khoa học

Từ việc nghiên cứu tư tưởng sư phạm của G Polya trong dạy học tích cực,dạy học giải bài tập toán và từ yêu cầu đổi mới cách học của học sinh tronggiai đoạn hiện nay, chúng ta cho rằng cần và có thể đưa ra một số kỹ năng

giải toán hình học lớp 11 THPT và lựa chọn các phương thức thích hợp để rènluyện các kỹ năng đó, từ đó để góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toántrong giai đoạn hiện nay.

VII Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận về dạy học giải bài tập nói chung vàgiải bài tập hình học không gian nói riêng theo định hướng tư tưởng sư phạmcủa G Polya gắn kết với các phương pháp dạy học tích cực;

Xử lý số liệu thực tiễn và thực nghiệm bằng phương pháp thống kê toánhọc

Khảo sát thực trạng dạy học bài tập toán hình học lớp 11 ở một sốtrường THPT trong tỉnh Đồng Tháp

VIII Những đóng góp của luận văn

Hệ thống hóa các vấn đề về lý luận dạy học có liên quan đến tư tưởng

sư phạm cuả G Polya thành một tài liệu tham khảo về chuyên môn

Đề xuất một quy trình vận dụng tư tưởng sư phạm cuả G Polya vàothiết kế và tổ chức quá trình dạy học môn toán nói chung, dạy học chủ đề rènluyện một số kỹ năng giải toán hình học lớp 11 THPT nói riêng

IX Dự kiến cấu trúc của luận văn

Thử nghiệm và đánh giá sư phạm

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiển

Chương 2: Một số phương thức rèn luyện các kỹ năng dạy học giải bài toán hình học 11

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho họcsinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào

để định hướng giải được bài toán Vì vậy cần trang bị những hướng dẫnchung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.

Polya về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán

được thể hiện như sau:

1.1.1 Thực hiện giải bài tập toán theo tư tưởng của G.Polya

Theo G Polya quy trình chung để đi tới lời giải một bài toán phải trảiqua các bước sau:

1) Tìm hiểu rõ bài toán: Để giải được bài toán, trước hết phải hiểu bài

toán và hơn nữa phải có hứng thú với bài toán đó Do vậy, GV cần chú ý tớiviệc tạo tính tò mò, lòng ham muốn, sự say mê giải toán của HS, giúp HShiểu được bài toán, muốn vậy, cần phải phân tích giả thiết và kết luận của

bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dự kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện và dự kiện

này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới hình thức khác được không? Với việc trả lời hay làm rõ những câu hỏi đó chính là bước

định hướng lời giải bài toán và đồng thời thể hiện hoạt động huy động kiếnthức liên quan đến bài toán đó

2) Xây dựng chương trình giải: Ở bước này, thao tác tư duy thể hịên

qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biếnđổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua việc xét các trường hợpriêng lẻ, xét các bài toán tương tự hay khái quát hơn, thông qua các kỹnăng sau bằng hệ thống câu hỏi:

- Huy động kiến thức liên quan:

+ Em đã gặp bài toán này hay bài toán này ở dạng khác lần nào chưa?

Em có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùng đượckhông?

+ Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?+ Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà có lần em giải rồi hoặc sửdụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

+ Em có thể nghĩ ra một bài toán liên quan mà dễ giải hơn không?Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự?

Em có thể giải một phần của bài toán không?

+ Em đã sử dụng mọi dự kiện chưa? đã sử dụng hết điều kiện chưa?

đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

+ Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xácđịnh đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

+ Sử dụng phép phân tích đi lên và phân tích đi xuống để tìm kếmhướng giải quyết vẫn đề

Để trở thành thói quen khi giải toán, GV cần luyện tập cho học sinh

về những gợi ý này trong từng tiết dạy trên lớp, đặc biệt là những giờ sửabài tập toán Nếu được luyện tập cơ bản thì không những HS có được cáchgiải bài toán mà còn có thể vận dụng vào thực tiễn đời sống khi gặp nhữngtình huống có vấn đề

3) Thực hiện chương trình giải: Khi thực hiện chương trình giải hãy

kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em

có thể chứng minh là nó đều đúng không?

4) Kiểm tra lại và nghiên cứu lời giải đã tìm ra: Bạn có thể kiểm tra

lại kết quả:

Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải của bài toán không? Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?

Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không?

1.1.2 Tư tưởng của G Polya được thể hiện qua các bước giải toán

1.1.2.1 Các quan điểm sư phạm của G Polya qua bước tìm hiểu rõ bài toán

Khi tiếp xúc với bài toán và bắt đầu tìm tòi lời giải, diễn biến tâm lý củangười giải toán diễn ra những câu hỏi độc thoại như người diễn viên phảiđóng hai vai vậy; một bên là thầy giáo và bên kia là học trò, thầy giáo đặt ra

những câu hỏi như : Những cái gì chưa biết? Những cái gì là đã cho trước?

Điều kiện của bài toán là gì? Còn HS phải xem xét những yếu tố chính của

bài toán một cách tập trung nhiều lần và nhiều khía cạnh khác nhau Nếu bàitoán liên quan đến hình vẽ thì phải vẽ hình, đặt tên, kí hiệu cho những yếu

tố có liên quan….Cuộc đàm thoại này diễn ra cho đến khi đề bài toán đượclàm rõ, và có thể đề ra được một chương trình giải

Như vậy tư tưởng sư phạm của G Polya thể hiện trong bước này là:

“Dạy học toán là dạy cách suy nghĩ tìm tòi lời giải cho các bài toán ” Theo

Ông, cách thức cần dạy cho học sinh để tìm lời giải là tập dượt cho họnhững hoạt động biến đổi quy lạ về quen bao gồm:

Hoạt động liên tưởng bài toán cần giải, mệnh đề cần chứng minh vớibài toán đã biết, định lý đã biết, đã chứng minh trước đó

Theo J.Piaget, hoạt động nhận thức của con người liên quan đến việc tổchức thông tin và thích nghi với môi trường mà người học tri giác nó Conngười tổ chức kiến thức vào sơ đồ nhận thức của mình và điều chỉnh các sơ

đồ này thông qua quá trình thích nghi Sự nhận thức lúc này chính là sự thíchnghi trí tuệ; nó bao gồm sự đồng hóa thông tin vào sơ đồ nhận thức đã có và

sự điều ứng sơ đồ đã có để có một sơ đồ nhận thức mới Khi một học sinh tiếpxúc một thông tin mới, một bài toán mới,…sự mất cân bằng sẽ bắt đầu xuấthiện cho tới khi có sự thích nghi với thông tin mới và khi đó có sự cân bằng.Nhưng để đạt được sự cân bằng trong quá trình nhận thức ở thời điểmnhất định con người phải trải qua một dãy những diễn biến khác nhau về tâm

lý, chẳng hạn khi đứng trước một bài toán, lúc đầu người giải nhìn bài toánbiệt lập, hoặc chẳng có chi tiết nào, hoặc có ít chi tiết, có chăng chỉ phân biệtđược những phần chính: như ẩn số, các dữ kiện và điều kiện hoặc điều kiệncần và kết luận của bài toán, dần dần bài toán hiện ra trước người giải hoàntoàn khác: phức tạp, mang thêm những chi tiết và bộ phận phụ, giữa chúng vàbài toán có những liên hệ nào đó mà người giải toán chưa hề nghi vấn Quátrình huy động và liên tưởng bắt đầu xuất hiện Cái nhìn về bài toán ban đầu

bị tước mất các chi tiết, xuất hiện những đường nét phụ Các tri thức tích lũy

từ trước được huy động, vận dụng, chủ yếu là các định lý có liên hệ đến bàitoán Ngay khi bắt đầu nghiên cứu bài toán, người giải không thể nào thấyđược định lý nào thực sự có triển vọng và có ích cho mình; đòi hỏi phải sànglọc, loại bỏ những cái không liên quan, giới hạn dần vùng liên hệ nhằm tìmđược định lý hay khái niệm, mệnh đề thực sự là chìa khóa để giải bài toán Đóchính là quá trình huy động và liên tưởng

Theo nhà sư phạm G Polya: “Tất cả những tư liệu, yếu tố phụ, các định

lý,…sử dụng trong quá trình giải bài toán được lấy từ đâu? Người giải đã tích lũy được những kiến thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải toán Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri

thức như vậy là sự huy động kiến thức, việc làm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức” [4,tr.310].

Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABC, O là điểm bên trong tam giác ABC Qua O vẽ các đường thẳng song song với SA,SB,SC cắt các mặt phẳng

SBC , SAC , SAB     theo thứ tự lần lượt tại A ', B', C '

AB Khi đó A ' là giao điểm của

đường thẳng qua O song song với SA

và SM B' là giao điểm của đường

thẳng qua O song song với SB và SN C' là giao điểm của đường thẳng qua

O song song với SC và SP

1 '

' SA

OA'

SC

OC' , '

, '

ON AM

OM SC

OC SB

OB

CP

OP BN

ON SB

OB AM

OM

SA

OA

Đến đây ta liên tưởng đến bài toán trong hình hoc phẳng sau:

Xét bài toán: Cho tam giác ABC O là điểm bất kì trong ∆ABC Gọi

M, N, P lần lượt là giao điểm của AO và BC, BO và AC, CO và AB.Chứng minh rằng OM AM ON BN CP OP không đổi.

Để giải được bài toán này HS cần liên tưởng tới định lí Talet trong mặt phẳng, bằng cách kẻ đường phụ IK Ta thực hiên lời giải như sau:

Hình 1

C S

Giải:

Kẻ IK qua O song song với BC Khi đó:

Sau khi đã chứng minh được

ta chỉ việc kết luân cho lời

giải bài toán ban đầu là :OA ' OB' OC' 1

SA  SB  SC  (đpcm)

Từ kết quả câu a) đã hé lộ một một ngã rẽ cho việc đi tìm lời giải câu b); đến đây HS cần liên tưởng đến bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm rồi

áp dụng kết quả câu a) để đi đến lời giải

b) Áp dụng bất đẳng thức côsi và sử dụng kết quả câu a) ta có:

' SA

ON AM

OM SC

OC SB OB

Do đó O là trọng tâm của tam giác ABC

Theo G Polya “Sự huy động các yếu tố có nhiều triển vọng có ích, gắn

với quan niệm của chúng ta về bài toán, thông thường có thể làm cho bài toán phong phú, dạng bài toán rõ rệt hơn, loại bỏ được các lỗ hổng, khắc phục được những thiếu sót, tóm lại sẽ bổ sung cho bài toán”[4,tr.132]

C M

B

I P

O

Sự liên tưởng và huy động kiến thức ở mỗi người khác nhau, khi đứngtrước một bài toán cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề,bài toán phụ mà những yếu tố này hy vọng sẽ có ích cho ta tìm được lời giảibài toán Có người chỉ liên tưởng được một số ít định lý, mệnh đề có liênquan… Do vậy sự liên tưởng và huy động kiến thức khi cần thiết phụ thuộcvào khả năng tích lũy kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong việc pháthiện mấu chốt của vấn đề trước mắt.

Thực ra, năng lực liên tưởng và huy động kiến thức không phải là điềubất biến, với cùng một bài toán, nếu đặt vào thời điểm này có thể HS khônggiải được, hoặc giải được nhưng thiếu tính sáng tạo, lời giải còn dài dòngnhưng khi ở vào một thời điểm khác có thể

HS lại giải được và còn có thể độc đáo, đầy

tính sáng tạo do trạng thái tâm lý cho phép

sự tập trung vào sự huy động kiến thức một

cách tối đa

Chẳng hạn khi đứng trước bài toán :

Bài toán 2: Cho tứ diện S.ABC Gọi G là

trọng tâm của tam giác ABC Một mặt

M2

M1

G' A

B G

B'

C

C' S

A'

M M'

Hình 3

Bài toán phẳng: Cho tam giác SAB.Gọi G là trung

điểm của cạnh AB, một đường thẳng d cắt SA, SB,

SG lần lượt tại A’, B’, G’ Chứng minh rằng:

2

SA SB SG

SA  SB  SG

Giải: Dựng AG1, BG2 song song với A’B’.Áp dụng

định lí Talet trong tam giác ta có:

'

2 '

' '

' '

'

2 1

2 1 2 1

SG

SG SG

GG SG GG SG SG

SG SG SG

SG SG

SM SM

SM SG

SG SC

MN Chứng minh rằng AO đi qua trọng tâm G của tam giác BCD

B A

B'

G

A' G' S

G 1 1

—

11G

12Hình 4

K

Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi bài toán về dạng quen thuộc,bằng cách yêu cầu chuyển bài toán đã cho về bài toán phẳng Từ đó HS lậpluận: Gọi AO cắt BN tại G Bài toán trở thành chứng minh G là trọng tâm củatam giác BCD, điều này tương đương với việc chứng minh GN = 12 GB

Do đó, bài toán được chứng minh nhờ tách bộ phận phẳng (ABN) ra

ngoài, đưa về bài toán quen thuộc: Cho tam giác ABN, gọi M là trung điểm

của AB;O là trung điểm của MN Đường thẳng AO cắt BN tại G Chứng minh

rằng GN =

2

1

GB.

+ Tư tưởng sư phạm thứ hai trong bước tìm tòi lời giải là: “Chú trọng

khảo sát bài toán, xem xét các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt để khái quát hóa để đi đến cách giải bài toán cần giải”.

Chẳng hạn xét bài toán:

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R)đôi một song song đường thẳng a cắt mặtphẳng(P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C; đường thẳng b cắt (P), (Q), (R)lần lượttại A ',B',C'

Chứng minh rằng: AB A'B'

BC B'C' (định lý talet trong không gian).

Đây là một định lý trong SGK, việc chứng minh nó nằm trong khảnăng của HS Bài toán này nếu chứng minh trong trường hợp tổng quát thì HS

(a)

sẽ gặp khó khăn Nhưng nếu HS biết nhìn nhận và thử bài toán trong trườnghợp đặc biệt trước như a song song b; hay a vuông góc với b thì việc chứngminh dễ thực hiện hơn sau đó xét trong trường hợp tổng quát.

C

A'

B

R Q

P

a a'b

Trường hợp 1: Nếu a // b

Khi đó ta có A,B,A ',B' đồng phẳng và AB// A'B'.

Gọi( ) mp(a,b)  thì ( ) cắt hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giaotuyến AA ',BB' suy ra:AA '// BB'

Vậy AA'B'B là hình bình hành nên suy ra AB A 'B'

Bước 1 Xác định một mặt phẳng  P chứa b và song song với a

Bước 2 Tìm hình chiếu vuông góc H' của một điểm H bất kỳ của a lên mặtphẳng  P .

Bước 3 Dựng đường thẳng a' là hình chiếu vuông góc của alên mặt phẳng

 P bằng cách qua H' kẻ đường thẳng song song với a

Bước 4 Gọi B là giao điểm của a' và b. Đường thẳng qua B song song với

'

HH cắt đường thẳng a tại A. Khi đó AB là đường vuông góc chung cần dựng

A

B H'

b a'

P

GV có thể tổ chức cho HS hợp tác nhóm để đề ra quy trình giải nói trên:

- Trước hết, GV chuẩn bị sẵn một hệ thống bài toán về xác định đường vuông

góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, in sẵn đề để phát cho mọi HS

Hình 7

- Sau khi tự nghiên cứu các bài toán đã cho, HS sẽ thảo luận nhóm về lời giải cácbài toán và tìm ra quy trình các bước xác định đường vuông góc chung của haiđường thẳng chéo nhau, chuẩn bị ý kiến, cử người trình bày ngắn gọn trước lớp.

- Thảo luận chung cả lớp: Một nhóm báo cáo quy trình của nhóm mình Cácnhóm sau phát biểu những ý kiến tán thành hoặc không tán thành với nhóm trước,những ý kiến trao đổi, bổ sung, chất vấn, yêu cầu giải đáp, hoặc phát biểu quy trìnhcủa nhóm mình

- GV tham gia vào việc trao đổi, đánh giá, kết luận về quy trình của các nhóm và

có thể đưa ra quy trình của mình, có thể chuẩn bị trước cho HS tham khảo Chẳnghạn, GV có thể đưa thêm quy trình sau:

Bước 1 Dựng mặt phẳng  P vuông góc với đường thẳng a tại O.

Bước 2 Dựng hình chiếu vuông góc b' của blên mặt phẳng  P , dựnghình chiếu vuông góc H của O lên b'.

Bước 3 Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt đường thẳng b

tại B.

Bước 4 Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt đường thẳng a

tại A. Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a

và b.

B

H O

Bước 1 Dựng mặt phẳng  P chứa đường thẳng b và vuông góc vớiđường thẳng a tại A.

Bước 2 Dựng AB vuông góc với đường thẳng b tại B. Khi đó AB làđoạn thẳng cần dựng

B O

Có những bài toán mặc dù HS đã biết quy trình giải

nhưng điều này cũng không có nghĩa là họ sẽ giải được

mọi bài toán áp dụng quy trình này Vì vậy, trong quá

trình dạy HS giải toán, GV còn rất nhiều việc phải làm sau khi đã giúp HS pháthiện ra quy trình giải của bài toán tổng quát.

Ví dụ 1.1: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC,

đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gọi M là trung điểm của AC. Dựng đườngvuông góc chung của SM và BC.

Bài toán này thuộc dạng nào?

Dựng đường vuông góc chung của hai đường

Ta thấy hai đường thẳng SM và BC hình như

không vuông góc với nhau, bởi vì nếu chúng vuông

góc thì mà BCSA do đó BCSAC nên BCAC, mâu thuẫn Vì vậy takhông thể áp dụng quy trình thứ ba Ta thử áp dụng quy trình thứ nhất Quytrình thứ nhất yêu cầu dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và songsong với đường thẳng kia

Ta nên dựng mặt phẳng chứa SM và song song với BC hay ngược lại?

Từ S hoặc M dựng đường thẳng song song với BC dễ hơn hay từ B hoặc C

dựng đường thẳng song song với SM dễ hơn?

Chắc chắn là từ M kẻ đường thẳng song song với BC rồi, đây chính làđường trung bình MN của tam giác ABC.

Bước thứ hai của quy trình yêu cầu điều gì?

S

A

C

B H

M N

Hình 11

Dựng hình chiếu của một điểm trên BC xuống mặt phẳng SMN. Có lẽ

ta sẽ chọn điểm đó là B hoặc C vì nó có tính chất đặc biệt hơn cả Nhưngdựng như thế nào?

Ta hãy dựng hình chiếu của điểm đó lên các cạnh SN MN SM, , Nếumay mắn, đó là điểm cần tìm (dự đoán, có thể thất bại!)

Gọi H là hình chiếu của B lên SN.

Khi đó ta có BH SN. Dễ thấy BH NM (vì NM BC// , BC SAB

  Từ đó suy ra H là hình

chiếu của B lên

Các bước tiếp theo của quy trình

yêu cầu điều gì?

Từ H kẻ đường thẳng song song

với MN, cắt SM tại E. Từ E kẻ đường

thẳng song song với HB cắt BC tại F.

Khi đó EF là đường vuông góc chung

cần dựng

Chú ý Trong tình huống trên HS đã lựa chọn quy trình thứ nhất để giải

bài toán Nếu HS lựa chọn quy trình thứ hai thì diễn biến quá trình giải bàitoán được mô phỏng như sau:

Ta thử áp dụng quy trình thứ hai Quy trình thứ hai yêu cầu dựng mộtmặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng đã cho

Trên hình vẽ đã có mặt phẳng này chưa?

Giả thiết cho SAABC, ABC vuông tại B do đó mặt phẳng vuông

E M

N

F

Hình 12

Dựng hình chiếu vuông góc của SM lên mặt phẳng SAB. Vì điểm S

thuộc SAB nên ta chỉ cần dựng hình chiếu của M lên SAB, nghĩa là cầndựng đường thẳng qua M và vuông góc với SAB. Ta đã có đường thẳng BC

vuông góc với SAB nên chỉ cần dựng đường thẳng qua M và song song với

.

BC Đây chính là đường trung bình MN của tam giác ABC. Khi đó hình chiếucần dựng chính là SN.

Tiếp theo, quy trình yêu cầu điều gi?

Dựng hình chiếu vuông góc H của B lên SN.

Tiếp theo nữa?

Từ H dựng đường thẳng song song với MN cắt SM tại E, từ E kẻđường thẳng song song với BH cắt BC tại F, khi đó EF là đoạn thẳng cầndựng

Nhận xét Như đã nói ở trên, đối với bài toán này ta nên sử dụng quy

trình thứ hai bởi lẽ mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng

Sự nổi bật tư tưởng sư G Polya ở bước này là: “Chú trọng luyện tập cho

HS đánh giá, tự đánh giá lại các bước lập luận của quá trình giải”.Theo

quan điểm của chúng tôi, đó là cách đánh giá tốt nhất cần dạy cho HS; bởi nókhông chỉ đánh giá tính hợp lý của bài toán mà còn đánh giá hoạt động tư duy

của chính HS Thông thường sau khi giải chúng ta phải xem lại kết quả bằng

những phép thử nào đó, tuy nhiên đa số học sinh khi giải xong thì thỏa mãnvới lời giải, ít đi sâu nghiên cứu lại lời giải, xem có sai sót hoặc nhầm lẫn ởbước nào không và tìm xem có cách giải khác không, có phát triển bài toán

tổng quát hơn không, có tương tự hóa bài toán được không Vì thế, trongdạy học giải bài tập toán, GV cần nhấn mạnh thêm bước bốn và nếu có thểnên lấy ví dụ và phản ví dụ để minh họa, làm được điều này thì HS sẽ đượckhắc sâu hơn, nắm vững hơn, đặc biệt đối với đối tượng HS khá, giỏi.

1.1.2.4 Quan điểm sư phạm của G Polya thể hiện qua việc phát triển về bài toán sau khi đã có được bài toán

Bước sau cùng trong dạy học giải bài tập toán theo quan điểm sư

phạm của G Polya là:“luyện tập cho học sinh phát triển bài toán thông qua

hoạt động khái quát hóa, tương tự hóa“không phải bài toán nào cũng thực

hiện được các hoạt động tương tự hóa, khái quát hóa Tuy nhiên, theo G

Polya “ không có bài toán nào là kết thúc Bao giờ cũng còn lại một cái

gì để suy nghĩ”[G Polya tr.18] Sự suy nghĩ sau khi thực hiện hoàn chỉnh

lời giải của bài toán để thực hiện các hoạt động tương tự hoá, khái quát hoá

là cấp độ khó trong khâu giải toán tuy nhiên, đây là khâu quan trọng để thầygiáo chú ý phát triển cho HS tư duy: tư duy tích cực  tư duy độc lập  tưduy sáng tạo

+ Tương tự hoá:

Bài toán 4: Trong hình học không gian và hình học phẳng ta có những bài

toán tương tự nhau:

- Trong mặt phẳng ta có tính chất : tam giác vuông ABC, có đường cao

1 1

1

AC AB

- Trong không gian ta có Tính chất của tứ diện ABCD có góc tam diệnvuông đỉnh A, đáy là ∆BCD và đường cao AH, ta có 2 2 2 2

1 1

1 1

AD AC

AB

- Trong mặt phẳng ta có bài toán: “Cho tam giác ABC Gọi O, G, H lầnlượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng.”

- Trong không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện trực tâm ABCD.Gọi O,

G, H lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp; trọng tâm; trực tâm của tứ diện.Chứng minh rằng O,G,H thẳng hàng.”

- Trong mặt phẳng có bài toán: “Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh

là BC = a, AB = c, AC = b Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Chứngminh rằng: aIA bIB cIC 0    

”

- Trong không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện ABCD có diện tích cácmặt là SBCD S1, SACD S2, SABD S3, SABC S4 Gọi I là tâm của mặtcầu nội tiếp tứ diện Chứng minh rằng: S IA S IB S IC S ID 01  2  3  4 

b. Tìm quỹ tích điểm M sao cho: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2

+ Khái quát hóa:

Bài toán 5: Từ bài toán: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có:

MA2 + MB2 +MC2 = 3MG2 + GA2+ GB2 + GC2 (1)b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MA2 + MB2 +MC2 = k2, k là một số chotrước

Ta có thể khái quát hóa bài toán bằng cách

- Nếu ta thay đổi giả thiết tam giác thành tứ giác ABCD ta sẽ có các kết quả như thế nào?

- Hãy khái quát bài toán cho n điểm A 1 , A 2 , A 3 ,…, A n ?

Mong đợi câu trả lời:

Trong mặt phẳng cho hệ n điểm A1, A2, A3,…, A3 :

a CMR tồn tại duy nhất điểm G thỏa mãn:       

Điểm G được gọi là trọng tâm của hệ n điểm

b CMR với mọi điểm M ta luôn có:

1 1 2 2 n n

m IA m IA m IA 0 I gọi làtâm tỉ cự của hệ n điểm A1, A2,…, An Khi đó với mọi điểm M ta có:

Tính huống có vấn đề là tình huống gợi cho học sinh những khó khăn

về lý luận hay thực tiễn, mà học sinh thấy cần thiết và có khả năng vượt qua,không phải nhờ một quy tắc có tính thuật toán, mà phải trải qua một quá trìnhtích cực suy nghĩ, biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn

có Như vậy, tình huống có vấn đề cần thỏa mãn điều kiện:

+ Tồn tại một vấn đề: Tình huống bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn vớitrình độ nhận thức, học sinh ý thức được khó khăn trong tư duy hoặc hànhđộng mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua

+ Gợi nhu cầu nhận thức: Học sinh cảm thấy cần thiết, thấy mình cónhu cầu cần giải quyết Tình huống gây được cảm xúc làm cho học sinh ngạcnhiên, gây hứng thú mà mong muốn giải quyết vấn đề

+ Gây niềm tin ở khả năng: Nếu tình huống có vấn đề và vấn đề tuyhấp dẫn, nhưng học sinh cảm thấy vấn đề vượt quá xa so với khả năng củamình thì học sinh cũng không sẵn sàng giải quyết Cần làm cho học sinh thấy

rõ, tuy các em chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kĩ năng

A K

Bài toán với tư cách là tình huống có vấn đề với mục đích làm cho vấn

đề trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh.Trong dạy học phát triển vấn đề ta thấy:

+ Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải đượcthông báo tri thức dưới dạng có sẵn

+ Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, huy động kiến thức và khảnăng của mình để phát hiện vấn đề cần giải quyết

+ Giáo viên không chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trìnhphát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn làm cho học sinh phát triển khả năngtiến hành các quá trình đó

Điều quan trọng trong dạy học rèn luyện kĩ năng phát hiện và giảiquyết vấn đề không phải là nêu các câu hỏi, mà là cách đặt câu hỏi như thếnào để tạo ra các tình huống có vấn đề

Khi học xong về quan hệ vuông góc và mở rộng vấn đề giáo viên cóthể đưa ra bài toán: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông,

SA vuông góc với (ABCD) Dựng đường vuông góc chung

của AD và SB

Trong bài toán này học sinh có thể nhìn thấy

ADSB Từ A dựng AKSB suy ra AK là đoạn

Vuông góc chung

Hình 13

Từ bài đoán này có thể nêu ra tình hướng để giải quyết bài toán: Chohình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, SA vuông góc với mặtphẳng (ABCD) Hãy dựng đường vuông góc chung giữa AD và SB

Trong bài toán này AD không vuông góc với SB

Vì vậy không trực tiếp dựng đoạn AK như trong

bài toán trên, nên tình huống gợi vấn đề là tình

huống thực sự có vấn đề

Dựa vào bài toán trên, đường thẳng AK

vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng

(SBD) Từ đây ta có thể xác định đường vuông Hình 14

góc chung của AD và SB trong bài toán này Với câu hỏi này, học sinh sẽnghĩ đến việc dựng B’ trên BC sau cho AB’BC Gọi AK là đoạn vuông gócchung SB’ và AD Khi đó đường vuông góc chung của AD và SB sẽ songsong với AK

Ta có thể dựng đoạng vuông góc chung AD và SB như thế nào?

Từ K dựng đường thẳng song song với AD cắt SB tại M Từ M kẻđường thẳng song song AK cắt AD tại N Khi đó MN là đoạn thẳng vuônggóc chung của AD và SB

Trong bước vận dụng bài toán ta có thể nêu các câu hỏi:

+ Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (SAB) và AD?

+ Đường thẳng SB’ và SB có mối liên hệ gì?

+ Từ đó có thể nêu quy trình dựng đoạn vuông

góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau không?

d d

d M

A

N K α

Ta đi đến quy trình sau:

* Trường hợp 1: Nếu d1 d2

Gọi (α) là mặt phẳng qua d1 và vuông góc

với d2 tại M Dựng MN vuông góc với d1, suy ra

MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

*Trường hợp 2: d1 và d2 không vuông góc

Để giải bài toán này học sinh có thể học sinh Hình 15

có thể nêu ra cách dựng đoạn vuông góc chung của d1, d2 như sau:

+ Xác định (α) vuông góc với d1 và cắt d1 tại A Gọi d3 là hình chiếucủa d2 lên (α)

+ Dựng đoạn vuông góc chung AK của d1 và d3 như trường hợp 1

+ Dựng đường thẳng qua K song song với d1 cắt d2 tại N Từ N kẻđường thẳng song song với AK cắt d1 tại M Chứng minh MN là đoạn vuônggóc chung của d1 và d2

1.2 Nhìn nhận về tư tưởng sư phạm của G Polya theo quan điểm hoạt động

Con người sống trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động Vận

dụng điều đó trong dạy học môn Toán gọi là học tập trong hoạt động và bằng

hoạt động Theo Nguyễn Bá Kim, quan điểm hoạt động trong PPDH có thể

được thể hiện ở các tư tưởng chủ đạo sau đây:

1.2.1 Luyện tập cho học sinh những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học

a Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung

Một hoạt động là tương thích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại

kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó Từ "kết quả" ởđây được hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể, phân biệt với kếtquả tạo ra ở môi trường bên ngoài Việc phát hiện những hoạt động tươngthích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự hiểu biết về những hoạtđộng nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau (như khái niệm, định lý hay

phương pháp), về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nộidung, chẳng hạn con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, conđường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý.

Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta cầnphải chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những bình diệnkhác nhau Đặc biệt chú ý đến những dạng hoạt động sau:

- Hoạt động nhận dạng và thể hiện;

- Những hoạt động toán học phức hợp;

- Những hoạt động ngôn ngữ;

- Những hoạt động trí tuệ chung;

- Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học

Sau đây ta sẽ đi vào các hoạt động cụ thể đó:

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện

Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái

ngược nhau liên hệ với một khái niệm, một định lí hay một phương pháp.Trong hoạt động giải bài tập toán có thể xem các hoạt động sau đây làhoạt động thành phần:

- Khảo sát tìm hiểu bài toán

- Hoạt động lập chương trình giải

- Hoạt động giải

- Hoạt động kiểm tra đánh giá

- Xét xem bài toán này tương tự bài toán nào đã biết

Nhận dạng bài toán:

- Xét xem bài toán này thuộc dạng bài toán nào đã biết

- Ở mức độ cao biến đổi bài toán để chuyển về bài toán quen thuộc

- Xét sự liên quan tri thức trong bài toán liên hệ với tri thức đã biết

+ Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có

phù hợp với các bước thực hiện phương pháp đó hay không, còn thể hiện một

phương pháp là tạo một dãy tình huống phù hợp với các bước của phương

pháp đã biết

Ví dụ 1.2: Hãy kiểm tra việc thực hiện từng bước tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng chéo nhau áp dụng ở bài toán trên.(Nhận dạng phương pháptính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau)

Thông thường, những hoạt động vừa nêu trên liên quan mật thiết với

nhau, thường hay đan kết vào nhau Cùng với việc thể hiện một khái niệm, một định lí hay một phương pháp, thường diễn ra sự nhận dạng với tư cách

là những hoạt động kiểm tra

+ Những hoạt động toán học phức hợp

Đó là các hoạt động như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lậpphương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích,…thường xuất hiện lặp

đi lặp lại nhiều lần trong SGK toán phổ thông Cho HS tập luyện những hoạtđộng này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung Toán học và phát triểnnhững kĩ năng và năng lực Toán học tương ứng

+ Hoạt động ngôn ngữ

Dịch bài toán từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác, để biến đổi hìnhthức của bài toán

Những hoạt động ngôn ngữ được HS thực hiện khi họ được yêu cầu phátbiểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽcủa mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác

Ví dụ 1.3: Định lí: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một

đường thẳng thì song song với nhau” Có thể yêu cầu HS phát biểu cách khác

Mong đợi câu trả lời:

Một đường thẳng cùng vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt thì haimặt phẳng này song song với nhau

Điều kiện đủ để hai mặt phẳng phân biệt song song với nhau là chúngcùng vuông góc với một đường thẳng

+ Những hoạt động trí tuệ chung

O

G O

Những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, xéttương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, cũng được tiến hành thường xuyênkhi HS giải bài toán

- phân tích, tổng hợp để xác lập liên hệ giả thiết với kết luận

- Hoạt động tương tự để chuyển hóa bài toán không gian về bài toánphẳng

- Phân tích các bài toán không gian về tổ hợp các bài toán phẳng

Giáo viên hướng dẫn cho học sinh khai thác các phương pháp khácnhau, khi giải các dạng toán hình học không gian bằng con đường tổng hợp.Học sinh biết tách các bộ phận phẳng cần nghiên cứu khỏi hình học khônggian để chuyển về các bài toán quen thuộc

Giáo viên cần bồi dưỡng học sinh khả năng chuyển các tính chất hìnhhọc, từ hình không gian này sang hình không gian khác đơn giản hơn, nhờ xétmối quan hệ giữa các hình học Kĩ năng chuyển các bài toán không gian vềbài toán phẳng nhờ các hoạt động tương tự hóa, sử dụng tính chất bất biếnqua phép chiếu song song, đặc biệt là phép chiếu vuông góc

Ví dụ 1.4: Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm

các cạnh AB, CD và O trung điểm đoạn MN Chứng minh rằng đường thẳng

AO đi qua trọng tâm G của tam giác BCD

Hình 16

Sau khi xác định giao điểm G của đường thẳng AO với mặt phẳng(BCD) là giao của AO với giao tuyến BN của hai mặt phẳng (AMN) và(BCD)

B I O

Vẽ MK//AG, sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ABG vàMKN suy ra BK = KG = GN, và từ đó suy ra GN = 21 GB

Khi giải bài toán hình không gian, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh

kĩ năng quy lạ về quen, chuyển bài toán không gian về bài toán quen thuộcbằng cách: Tách các bộ phận phẳng ra ngoài hình không gian; chuyển bàitoán không gian về mặt phẳng nhờ phép chiếu song song; hoạt động trải hình

Chẳng hạn bài toán: “ Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giácvuông tại A, cạnh BC=a, cạnh bên SA, SB, SC nghiêng đều trên đáy một góc

α Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó theo a và α

a

Tách mặt phẳng (SCB), mặt phẳng (SCB)(W) mặt cầu ngoại tiếphình chóp theo đường tròn lớn.

Tính R (hoạt động tính toán nhờ sử dụng kiến thức phẳng)

Ta có sin(180a 2) = 2R

<=>



2 sin

a

= 2R => R =



2 sin 2

a

+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến

Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học rất quan trọng trongmôn Toán, nhưng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là: lậtngược vấn đề, xét tính giải được (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiềunghiệm), phân chia trường hợp,

Ví dụ 1.5: Xét bài toán ở SGK Hình học 11

“Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD // BC, AD

= 2BC Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE I là mộtđiểm trên cạnh AC khác với A và C Qua I vẽ mặt phẳng () song song với(SBE) Tìm thiết diện tạo bởi () và hình chóp S.ABCD”

Đối với bài toán này ta thấy thiết diện tạo bởi () với hình chóp phụthuộc vào vị trí điểm I Vì vậy ta cần phân chia các trường hợp sau:

Trường hợp 1: I thuộc đoạn AO và I khác O Gọi vị trí này là I1, () //

(SBE)nên () // BE và () // SO

+ () // BE nên () cắt (ABE) theo giao tuyến M N1 1 đi qua I1 và

M N // BE (M1Î AB, N1Î AE).

+ () // SO nên () cắt (SAC) theo giao tuyến S1I1 đi qua I1 và songsong với (S1Î SA)

Ta có thiết diện là tam giác S M N1 1 1

Trường hợp 2: I thuộc đoạn OC và I khác O Gọi vị trí này là I2, () //

(SBE) nên () // BE và ( ) // SO

Dễ thấy thiết diện là tam giác SBE.

b. Phân tích hoạt động thành những họat động thành phần

Trong quá trình hoạt động, nhiều khi một hoạt động này có thể xuất hiệnnhư một thành phần của hoạt động khác Phân tách được một hoạt động thànhnhững hoạt động thành phần là biết được cách tiến hành hoạt động toàn bộ,nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho HS hoạt động toàn bộ, vừa chú ýcho họ tập luyện tách riêng những hoạt động thành phần khó hoặc quan trọngkhi cần thiết

Ví dụ 1.6: Khi chứng minh định lí ba đường vuông góc: “Cho đường

thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P).Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình

chiếu a’ của a trên (P)” (Hình học 11), GV có thể hướng dẫn HS thông quacác hoạt động thành phần sau:

- Từ giả thiết ta có thể suy ra điều gì về vị trí của a và mp(P)?

a nằm trong (P) hoặc a không nằm trong (P)

- Nếu a nằm trong (P) thì ta đã có kết luận chưa?

Nếu a nằm trong (P) thì kết quả hiển nhiên

- Nếu a không nằm trong (P) thì muốn có kết luận trước hết ta cần phải làm gì?

Ta cần dựng hình chiếu a’ của a lên (P)

- Hãy nêu cách dựng hình chiếu của a lên (P)?

Lấy 2 điểm phân biệt A và B thuộc a Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếucủa A và B trên (P), khi đó hình chiếu a’ của a trên (P) là đường thẳng đi quahai điểm A’ và B’

- Để có kết luận, ta cần chứng minh điều gì ?

Chứng minh bmp (a, a’)

Ta có: b (P) nên b AA’

Vậy nếu b  a thì b  mp (a, a’), do đó b  a’

Ngược lại, nếu b  a’ thì b  mp (a, a’), do đó b  a

c. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích

Mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động.Tuy nhiên, nếu khuyếnkhích tất cả các hoạt động như thế thì có thể rơi vào tình trạng rải mành mành,làm cho HS thêm rối ren Để khắc phục tình trạng này, cần sàng lọc nhữnghoạt động đã phát hiện được để tập trung vào những mục đích nào đó căn cứvào tầm quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện những mụcđích còn lại

Ví dụ 1.7: Khi dạy về đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau a và b, ta tập trung vào hoạt động tìm đường thẳng c cắt cả a và bđồng thời vuông góc với cả a và b vì đây là mục đích chính của giờ dạy

d Tập trung vào những hoạt động Toán học